Chương 3: Mô hình tối ưu tuyến tính - Quy hoạch tuyến tính (Bài 1) doc

BỐ CỤC BÀI GIẢNG
1.Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến
tính:
1.1 Lập kế hoạch sản xuất:
1.2 Phân bổ vốn đầu tư:
2. Định nghĩa:

1. Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến
tính (QHTT):
1.1 Lập kế hoạch sản xuất:
sản phẩm
Chi phí
S
1
S
2
S
3

Số lượng nguyên
liệu hiện có
Nguyên liệu 1 (N1)
Nguyên liệu 2 (N2)
Nguyên liệu 3 (N3)
Lao động
4
2
3
10

5
4
6
7
3
3
4
6
15.000
12.000
10.000
500.000
Giả sử rằng sản phẩm sản xuất ra đều có thể tiêu thụ được
hết với lợi nhuận khi bán một đơn vị sản phẩm S
1
, S
2
, S
3

tương ứng là 5000:10000:7000 (đồng). Yêu cầu lập kế hoạch
sản xuất tối ưu.

Gọi x
j
là số sản phẩm của S
j
(j = 1,2, 3) cần sản xuất (x
j

≥ 0, j = 1, 2, 3.)
1 2 3
4 5 3 15000x x x
+ + ≤
Theo kế hoạch sản xuất phải tìm lượng nguyên liệu tiêu
hao là:
N
1
:
1 2 3
2 4 3 12000x x x
+ + ≤
N
2
:
1 2 3
3 6 4 10000x x x
+ + ≤
N
3
:
Số phút cần sử dụng:
1 2 3
10 7 6 500.000x x x+ + ≤
Tổng lợi nhuận theo kế hoạch sản xuất là:
1 2 3
5000 10000 7000x x x
+ +
Yêu cầu tối ưu là:
5000 10000 7000 max

1 2 3
x x x+ + →

Mô hình bài toán:
Tìm x = (x
1
, x
2
, x
3
) sao cho:
( )
5000 10000 7000 max
1 2 3
4 5 3 15000
1 2 3
2 4 3 12000
1 2 3
3 6 4 10000
1 2 3
10 7 6 500000
1 2 3
0, 1,2,3
f x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x j
j












= + + →
+ + ≤
+ + ≤
+ + ≤
+ + ≤
≥ =

Tổng quát: ta có bài toán lập kế hoạch sản xuất
dưới dạng bảng số liệu sau đây:
Yếu tố
sản xuất
Số lượng
hiện có
Sản phẩm
S
1
S
2
…

S
n
Y
1
b
1
a
11
a
12
…
a
1n
Y
2
b
2
a
21
a
22
…
a
2n
… … … … … …
… … … … … …
Y
m
b
m

a
m1
a
m2
…
a
mn
Lợi nhuận đơn vị
c
1
c
2
…
c
n

Mô hình:
Tìm x = (x
1
, x
2
,…, x
n
) sao cho:
max
1
n
f c x
j j
j

= →
∑
=
, 1, ,
1
n
a x b i m
ij j i
j
≤ =
∑
=
0, 1, ,x j n
j
≥ =

2.2 Phân bổ vốn đầu tư:
Một nhà đầu tư có 4 tỉ đồng muốn đầu tư vào 4 lĩnh vực
Lĩnh vực đầu tư Lãi suất/năm
Chứng khoán
Công trái
Gửi tiết kiệm
Bất động sản
20%
12%
15%
18%
Ngoài ra, để giảm thiểu rủi ro, nhà đầu tư cho rằng
không nên đầu tư vào chứng khoán vượt quá 30%
tổng số vốn đầu tư; đầu tư vào công trái và gửi tiết

kiệm ít nhất 25% tổng vốn đầu tư; gửi tiết kiệm ít
nhất 300 triệu đồng. Hãy xác định kế hoạch phân bổ
vốn đầu tư sao cho tổng thu nhập hàng năm là lớn
nhất.

•
Do tổng số tiền đầu tư không được vượt quá số tiền
hiện có nên: x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
≤ 4000 (triệu đồng)

•
Điều kiện về số tiền đầu tư vào chứng khoán:
0,3( ) 0,7 0,3 0,3 0,3 0
1 1 2 3 4 1 2 3 4
x x x x x x x x x
≤ + + + ⇔ − + + + ≥
Gọi x
1
, x
2
, x
3
, x

4
tương ứng là số tiền (triệu đồng) đầu
tư vào chứng khoán, công trái, gửi tiết kiệm, bất động
sản ( )
0, 1, , 4
j
x j
≥ =
•
Thu nhập của năm là:
1 2 3 4
0, 2 0,12 0,15 0,18x x x x
+ + +
•
Yêu cầu tối ưu:
1 2 3 4
0, 2 0,12 0,15 0,18 maxx x x x
+ + + →
•
Điều kiện về số tiền đầu tư vào công trái và gửi tiết kiệm:
( )
2 3 1 2 3 4 1 2 3 4
0, 25 0, 25 0,75 0,75 0, 25 0x x x x x x x x x x
+ ≥ + + + ⇔ + + − ≥
3
300
x
≥
Và

Mô hình:
Tìm x = ( x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) sao cho:
1 2 3 4
( ) 0, 2 0,12 0,15 0,18 maxf x x x x x
= + + + →
1 2 3 4
0, 25 0,75 0,75 0, 25 0x x x x+ + − ≥
3
300
x
≥
0, 1, , 4
j
x j
≥ =
0,7 0,3 0,3 0,3 0
1 2 3 4
x x x x
− + + + ≥
1 2 3 4
4000x x x x+ + + ≤

Vậy để lập mô hình toán học của một bài toán thực
tế, ta phân tích bài toán đó theo 3 bước sau:
Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn.
Bước 2: Lập hệ ràng buộc chính
Bước 3: Lập hàm mục tiêu

2. Định nghĩa:
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát có dạng:
Tìm x = (x
1
, x
2
, …,x
n
) sao cho:
( )
1
( ) min max
n
j j
j
f x c x
=
= →
∑
Với hệ ràng buộc:
, 1, ,
ij j i
a x b i m
≤

 
 
= =
 
 
≥
 
∑
0
0 , 1, 2, ,
tuy y
j
x j n
≥
 
 
≤ =
 
 
 
hàm mục tiêu
ràng buộc biến
(ràng buộc chính)
ràng buộc dấu


Vectơ x=( x
1
, x
2

, x
3
, x
4
)
T
được gọi là phương án (PA) của
bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán

Phương án x*=( x
1
*, x
2
*, x
3
*, x
4
*)T được gọi là phương
án tối ưu (PATƯ) của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục
tiêu tại đó là tốt nhất.

Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó
(nếu có).

Một số khái niệm:


Bài toán giải được là bài toán có PATƯ.

Bài toán không giải được là bài toán không có PATƯ.

Khi đó hoặc là bài toán không có phương án hoặc có
phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chặn
( đối với bài toán max (min)).
( ) ( )
f x
→ +∞ −∞

Nếu phương án x thỏa mãn ràng buộc nào đó với
dấu “=” thì ta nói x thỏa mãn chặt ràng buộc đó. Ngược
lại nếu thỏa dấu “>” hoặc “<” thì ta nói thỏa mãn lỏng
rạng buộc đó.

Một số khái niệm:

- Ứng với ràng buộc thứ i ta có vectơ A
i
* = (a
i1
, a
i2
, …,a
i3
).
- Ký hiệu:
1
2
3
.
j
j

j
a
a
A
i
a
 
 
 
=
 
 
 
 
là vectơ các hệ số của biến x
j
trong các
ràng buộc (không kể ràng buộc dấu).
- Hệ vectơ A
i
* tương ứng với các ràng buộc chính tạo
thành ma trận ràng buộc chính, ký hiệu là A.
- Các ràng buộc gọi là ràng buộc độc lập tuyến tính nếu
hệ véctơ A
i
* tương ứng độc lập tuyến tính.

Một số khái niệm:

- Phương án cực biên (phương án cơ bản): là phương

án thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính.
+ Phương án cực biên (PACB) thỏa mãn chặt đúng n
ràng buộc gọi là PACB không suy biến, PACB thỏa mãn
chặt hơn n ràng buộc gọi là PACB suy biến.

Một số khái niệm:

( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
10 12 9 max
12 5 0
8 4 6 52
0, 0,
f x x x x
x x x
x x x
x x x
= + + →
− + ≥


+ − =


≥ ≤

Ví dụ 1:

*
1 1
1 1 -12 5
(1, 12,5); A ; A=
8 8 4 -6
A
   
= − =
   
   
( ) ( )
0 1
13 2;0;0 ; 8;0;2x x= =

Mô hình bài toán:
Tìm x = (x
1
, x
2
, x
3
) sao cho:
( )
5000 10000 7000 max
1 2 3
4 5 3 15000
1 2 3
2 4 3 12000
1 2 3
3 6 4 10000

1 2 3
10 7 6 500000
1 2 3
0, 1,2,3
f x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x j
j











= + + →
+ + ≤
+ + ≤
+ + ≤
+ + ≤
≥ =
Hàm mục
tiêu

Hệ ràng buộc chính
Hệ ràng buộc dấu

3. Các dạng đặc biệt của bài toán QHTT:
a. Bài toán QHTT dạng chính tắc:
( ) ( )
( )
( )
1
ij
1
max min
1, ,
0 1, ,
n
j j
j
n
j i
j
j
f x c x
a x b i m
x j n
=
=
= →
∑
= =
∑

≥ =
Định lý: Phương án x của bài toán QHTT dạng chính tắc
là phương án cực biên khi và chỉ khi hệ thống các vectơ
{Aj} tương ứng với các thành phần dương của phương
án là độc lập tuyến tính.

Ví dụ 2: Cho bài toán QHTT có hệ ràng buộc:
1 2 4
2 3 4
2 4
3 2 3
0; 1, , 4
j
x x x
x x x
x j
+ + =
+ + =
≥ =
Các phương án
x
1
= (4; 0; 3; 0); x
2
= (2; 1; 0; 0); x
3
= (0; 1/2; 0; 3/4)
là các PACB theo định lý trên.

* Cách biến đổi bài toán QHTT dạng tổng quát về dạng

chính tắc:
- Nếu có ràng buộc dấu dạng thì đặt x
j
= -x
j
, với .
0
j
x ≤
0
j
x ≥
- Nếu x
j
không có ràng buộc dấu đặt
j j j
x x x
′ ′′
= −
, 0
j j
x x
′ ′′
≥
với
-
Nếu có ràng buộc dạng thì thay bằng
1
n
ij j i

j
a x b
=
≥
 
 ÷
≤
 
∑
( )
1
n
p
ij j i i
j
a x x b
=
+ − =
∑
0
p
i
x
≥
với
Ví dụ 3: đưa bài toán QHTT ở ví dụ 1 về dạng chính tắc.

Ví dụ 4: Đưa bài toán QHTT sau về dạng chính tắc.
( )
1 2 3

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 min
2 2 2
2 3
2 6
0; 0; tuy y
f x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
= + + →
+ + ≥
+ + =
+ + ≤
≥ <

b. Bài toán dạng chuẩn:
* Một ma trận của hệ ràng buộc chính chứa các vectơ A
j

lập được thành một ma trận đơn vị được gọi là ma trận
chứa ma trận đơn vị.
Ví dụ:
( )
( )
2 5 4 min

5
1 2 3 4 6
6 2 9 30
5
1 2 4
4 3 40
5
2 3 4
3 26
5
2 6
0 1, ,6
f x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x j
j
= + + + − − →
− − − ≥
+ + + =
+ + ≤
≥ =

* Bài toán QHTT dạng chuẩn là:
+ Bài toán QHTT dạng chính tắc.
+
+ Ma trận hệ số chứa ma trận đơn vị.
( )
0 1, ,

i
b i m
≥ =
Ví dụ:
( )
( )
2 5 4 min
5
1 2 3 4 6
6 2 9 30
5
1 2 4
4 3 40
5
2 3 4
3 26
5
2 6
0 1, ,6
f x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x j
j
= + + + − − →
− − − =
+ + + =
+ + =
≥ =


Bằng cách sắp xếp lại bài toán QHTT dạng chuẩn
có dạng.
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
max min
1
a
1 1 1 1
1 m+1
a
2 1 2 2
1 m+1
a
1
m+1
0 1, , ; 0 1, ,
n
f x c x
j j
j
x x a x b
n

m n
x x a x b
n
m n
x x a x b
m mn n m
m
m
x j n b i m
j i
= →
∑
=
+ + + =
+
+ + + =
+
+ + + =
+
≥ = ≥ =

Các biến tạo thành ma trận đơn vị gọi là ẩn cơ bản.
Ẩn còn lại gọi là ẩn không cơ bản.