Đề cương hình học 11(HK2)

PHẦN II: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài tập1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. SA
⊥
(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD.
a) Chứng minh: BC
⊥
(SAB); CD
⊥
(SAD); BD
⊥
(SAC).
b) Chứng minh rằng: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong
một mặt phẳng.
c) Chứng minh: HK
⊥
(SAC). Từ đó suy ra HK
⊥
AI.
d) Tính diện tích tứ giác AHIK biết SA = AB = a.
Bài tập2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và góc ADC bằng 60
0
. Biết rằng: SA = SC
và SB = SD
a) Chứng minh: (SBD)
⊥
(ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng : IJ
⊥
(SBD).
c) Đặt SO = a, tính khoảng cách từ O đến (SCD).

d) Tính góc giữa SD và (ABCD), (SCD) và (ABCD).
Bài tập3 :Cho tứ diện O.ABCD có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là điểm thuộc mặt phẳng
(ABC) sao cho OH
⊥
(ABC). Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có các góc đều nhọn
b) BC
⊥
(OAH) và H là trực tâm của tam giác ABC.
c) H là trực tâm của tam giác ABC.
d)
2222
1111
OCOBOAOH
++=
.
e) Đặt OA = OB = OC = a .Gọi I là trung điểm của BC. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của
các cặp đường thẳng:OA và BC , AI và OC
Bài tập4 : Cho tứ diện S.ABC có SA
⊥
(ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng
minh rằng:
a) AH, SK và BC đồng quy
b) SC
⊥
(BHK)
c) HK
⊥
(SBC)
Bài tập5 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a

2
. Gọi H và K
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a) Chứng minh: SH
⊥
(ABCD) và (SAD)
⊥
(SAB).
b) Chứng minh: AC
⊥
SK và CK
⊥
SD.
c) Tính góc giữa SD và (SAB).
d) Tính khoảng cách từ H đến (SCD).
Bài tập6 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC’ vuông góc với đáy và
CC’=a.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: AI
⊥
BC’.
b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh: BC’
⊥
AM.
c) Gọi K là trung điểm của A’B’ sao cho B’K =
4
a
và J là trung điểm của B’C’. Chứng minh rằng: AM
⊥
MK và
AM

⊥
KJ.
Bài tập7 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD=a
3
. Cạnh bên SA vuông góc với
đáy và SA=a.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Tính góc giữa đường thẳng SB và CD.
c) Tính góc giữa đường thẳng SD và mp(SAB).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD, AB và SD.
Bài tập8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác
vuông cân đỉnh S. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng : SI
⊥
(SCD), SJ
⊥
(SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ.Chứng minh SH
⊥
(ABCD),tính SH.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM
⊥
SA.Tính AM theo a.

HD: c) BM
⊥
SA => MB
⊥
AH
Hai tam giác AIH và BCM đồng dạng => CM =2AI

IH =
22
SHSI −
=3a/4 => CM =3a/2
AM
2
= AD
2
+ MD
2
= AD
2
+(CM-CD )
2
=> AM =
2
5a
Bài tập9 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh mp (SBC)
⊥
mp(SAC)
b) Gọi I là trung điểm của SC, chứng minh rằng mp(ABI)
⊥
mp(SBC).
Bài tập10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ABC bằng 60
0
, SA=SB=SC=a.
a) Chứng minh mp(ABCD)
⊥

mp(SBD)
b) Chứng minh tam giác SBD là tam giác vuông.
c) Tính góc giưã hai mp (SCD) và (ABCD) .
Bài tập11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA
⊥
(ABCD).Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng
30
0
.Tính theo a:
a) Góc giữa SB và (ABCD),(SAD),(SCD),(SAC).
b) Tính góc giữa (SAB) và(SCD), (SAD) và(SBC).
c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC),(SCD),(SBD).
Bài tập12 : Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC=a,
0
60=
∧
ACB
. Đường
chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30
0
.
a) Tính độ dài đoạn AC’.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC’) và (ABC).
Bài tập13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D,AB = 2a, AD = DC = a,SA
⊥
(ABCD) và
SA = a.
a) Gọi I là trung điểm AB, chứng minh CI
⊥
(SAB).

b) Xác định góc của (SAB) và (SBC), tính tang của góc đó.
c) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) và khoảng cách giữa AB và (SCD).
d) Dựng đường vuông góc chung của SD và AC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy.
HD:
c)Kẻ DM // AC , E là trung điểm của MD
AP
⊥
SE => AP
⊥
(SMD)
PQ // DM dựng QN //AP => QN là đường vuông góc chung
QN = AP = d(AC,SD) =
3
2a
Bài tập14 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và đường cao a SO=
3
3a
. Gọi I là trung điểm của
BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên SI.
a) Tính khoảng cách từ O đến SA.
b) Chứng minh: BC
⊥
(SOI).
c) Chứng minh: OK
⊥
(SBC).
d) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
Bài tập15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a và đường cao SO=
2
a

.
a) Tính khoảng cách từ O đến SD.
b) Gọi I là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên SI.
i. Chứng minh: BC
⊥
(SOI)
ii. Chứng minh: OK
⊥
(SBC)
c) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và DC.
Bài tập16 : Cho tứ diện ABCD có hai mặt ADB và ADC nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với mp (BCD).Vẽ
đường cao DE,BK của tam giác BCD và đường cao BF của tam giác ABC.
a) Chứng minh: AD
⊥
(BCD).
b) Chứng minh: (ADE)
⊥
(ABC) và (BFK)
⊥
(ABC).
c) Gọi H,N lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và BCD .Chứng minh rằng: NH
⊥
(ABC).
d) Giả sử 3 điểm A,B,C cố định và điểm A lưu động trên nữa đường thẳng Dx vuông góc với (BCD) tại D
(A
≠
D).Tìm tập hợp điểm H và điểm F.
Bài tập17 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a,cạnh SC vuông góc với đáy và
SC = a

2
.Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của C trên các cạnh SB,SD.
1)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
2) CMR: SA
⊥
(CHK)
3)Tính góc giữa hai đường thẳng SD và AB; góc giữa SA và (SBC).
4)Gọi I là hình chiếu của C trên mp(SBD).Chứng minh I là trực tâm của tam giác SBD.
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SBD).
Bài tập18 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D
’
có cạnh a.
a) Chứng minh rằng: B’D
⊥
(BA’C’) và B’D
⊥
(ACD’).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’)
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’, AA’ và BD’.
Bài tập19 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng
60
0
và hình chiếu H
’
của đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm của B
’
C
’
.
e) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC
’
.
c) Tính góc giữa mp(ABB’A’) và mặt đáy.
Bài tập20 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ vuông góc với mp(ABC). Đường chéo
BC’ của mặt trên (BCC’B’) hợp với (ABB’A’) góc 30
0
.
a) Tính AA’.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mp(BA’C’).
c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB’. Tính góc giữa MN và mp(BA’C’).
A B
C
N
M
A’ B’
C’
I
Hướng dẫn:
a) Gọi I là trung điểm của A’B’
Ta có IB là hình chiếu C’B lên (ABB’A’)
⇒
Góc IBC’ = 30
0
.
⇒
AA’ = BB’ = a
2
b) CM: MH
⊥

(BA’C’)
MH =
11
66a
c) CM HK là hình chiếu MN lên (BA’C’)
[MN,(BA’C’)] = góc MKH
Tính KM nhờ
∆
KMM’ đồng dạng
∆
KNB
55
54
sin =⇒ K
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1:
Cho hình chóp tam giác O. ABC có OA, OB, OC vuông góc từng đôi một. Biết OA = a, OB = b, OB = c và h là chiều
cao của hình chóp.
1.Chứng minh rằng a
2
tgA = b
2
tgB = c
2
tgC
Với A, B, C là các góc của ∆ABC.
2. Gọi S
1
, S
2

, S
3
lần lượt là diện tích tam giác OAB, OBC, OCA.
Chứng minh rằng S
1
+ S
2
+ S
3
≥
2
9
2
h
Bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AD = 2BC = 2AB = 2a. Hai mặt bên SAB
và SADvuông góc với đáy và (SBC) tạo thành một góc
45
0
.
1. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AD; tính khoàng cách giữa 2
đường thẳng này.
3. Trên cạch SB lấy điểm M bất kì. Gọi SM = x ( 0 < x < a <
2
).
Mặt phẳng (MAD) cắt hình chóp theo thiết diện nào? Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x.
4. Qua A dựng mặt phẳng (
α
) vuông góc với SD tại E. mặt phẳng này cắt SC tại F. Đường thẳng EF cắt mp(ABCD)

tại G. Chứng minh rằng:
AF
⊥
mp(SDC) và 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 3:
Trong mặt phẳng (
α
) cho tam giác ABC vuông cân tại B; AB = a. Dựng 2 tia Bx và Cy vuông góc với (
α
) và cùng
nằm về một phía (
α
). Các điểm M và N lần lượt di động trên Bx và Cy sao cho CN = 2BM.
1. Tính khoảng cách giữa Bx và mp(ACy).
2. Gọi (∆) là giao tuyến của mp(
α
) và mp(AMN). TÍnh khoảng cách giữa Cy và (∆).
3. Cho CN = 2BM = a
6
. TÍnh góc
ϕ
tạo bởi mp(
α
) và mp(AMN). Tính diện tích tam giác AMN.
Bài4 :
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng a
2
.
1. Chứng minh S.ABCD là hình chóp đều.
2. Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC tại C’. Mặt phẳng này cắt SB và SC tại B’ và C’.

Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có hai đường chéo vuông góc. Tính diện tích của nó.
3. Tính góc tạo bởi 2 mặt phẳng (P) và (ABCD).
4. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải:
Bài 1:
1.Kẻ đường cao OH. Gọi I là giao điểm AB và CH. Chứng minh AB
⊥
(OCI)
Ta có: 2.S
(SAB)
= AB.CI= AB.AI.
AI
CI
= OA
2
.tgA = a
2
tgA.
Tương tự b
2
tgB = c
2
tgC = 2.S
(SAB)
=> a
2
tgA = b
2
tgB = c
2

tgC.
2. Ta sẽ chứng minh được
222222
111111
OCOBOAOCO IOH
++=+=
Hay
2222
1111
cbah
++=
S
1
=
2
1
ab ; S
2
=
2
1
bc ; S
3
=
2
1
ca
Áp dụng BĐT Cô-si: S
1
+ S

2
+ S
3
≥
3
321
8
1
3 SSS
=
2
3
3
222
cba
(1)
2222
1111
cbah
++=


≥
3
222
1
3
cba
=
3 222

3
cba
(2)
Nhân (1) với (2) ta được: (S
1
+ S
2
+ S
3
).
2
1
h
≥
2
9

⇔
S
1
+ S
2
+ S
3
≥
2
9
2
h
Đẳng thức xảy ra khi:

cba
cba
SSS
==⇔





==
==
222
321
111
.
Bài 2:
1.Ta chứng minh SA
⊥
(ABCD) => tam giác SAB và SAD cùng vuông tại A.
C/m BC
⊥
AB, BC
⊥
SA => BC
⊥
mp(SAB) => BC
⊥
SB=> ∆SBC vuông tại B.
Gọi I trung điểm AD => ABCI hình vuông => ∆ACD vuông tại C. CD
⊥

AC, CD
⊥
SA => CD
⊥
mp(SAC) =>CD
⊥
SC: ∆SCD vuông tại C.
2.C/m AD // mp(SBC).
Từ A kẻ AH
⊥
SB tại H. C/m AH
⊥
mp(SBC)
Nếu kẻ từ H đường thẳng song song với AD cắt SC tại J thì HJ là hình chiếu vuông góc của AD trên mp(SBC). Từ J
dựng đường vuông góc với mp(SBC) cắt AD tại k (JK // AH) thì JK là đường vuông góc chung của SC và AD.
=> góc SAB = 45
0
. d(SC,AD) = JK = AH =
2
2
2
aSB
=
3.Thiết diện thu được là hình thang vuông tại A và M (AD
⊥
(SAB)=>AD
⊥
AM).
S
(AMND)

=
2
1
(AD+MN).AM
AD = 2a; MN // BC =>
2
x
MN
SB
SM
BC
MN
==>=
Áp dụng định lí hàm số cos trong tam giác SAM:
AM
2
= SM
2
+ SA
2
– 2.SM.SA.cos45
0
AM =
2
22
axax −+
S
(AMND)
=
)24(

4
1
xa +
2
22
axax −+
4.AF
⊥
CD (CD
⊥
(SAC)) và AF
⊥
SD (SD
⊥
(
α
)) => AF
⊥
mp(SCD)
AG
⊂
mp(
α
) => AG
⊥
mp(SAD). Mặt khác AB
⊥
SA và AB
⊥
AD nên

AB
⊥
mp(SAD). Ta thấy 2 đường thẳng này trùng nhau. vậy A, B, C thẳng hàng.
Bài 3:
1. C/m Bx // mp(ACy), mp(ACy)
⊥
mp(ABC)
Nếu từ B kẻ Bi vuông góc AC tại I thì BI
⊥
mp(ACy). I trung điểm AC.
d[Bx,(ACy)] = Bi =
2
2a
2.C/m AD là giao tuyến (AMN) và (ABC).
Ta có tỉ số
2
1
==
CN
BM
DC
DB
⇒
B là trung điểm CD. Do đó AB = BC = BD = a.
Nên AC
⊥
AD và AC
⊥
Cy
Sau cùng d(AD,Cy) = AC = a

2
3.Ta có AD
⊥
AC và AD
⊥
AN suy ra góc giữa (AMN) và (ABC) là góc CAN.
tgCAN =
3
2
6
==
a
a
AC
CN
.
Vậy CAN = 60
0
. S
(ABC)
= S
(AMN)
.cos60
0
.
S
(AMN)
= 2S
(ABC)
= a

2
.
Bài 4:
1. C/m ABCD là hình thoi. Gọi O là giao điểm AC và BD, các tam giác SAC và SBD cân tại S nên: SO
⊥
AB, SO
⊥
BD
=> SO
⊥
(ABCD).
Vì SA = SB = SC = SD =a
2
nên OA = OB = OC = OD => ABCD là hình vuông.
Vậy S.ABCD là hìn chop đều.
2. C/m SAC là tam giác đều => C’ là trung điểm SC.
C/m SC
⊥
B’D’ và AC
⊥
B’D’ rồi dẫn đến B’D’
⊥
(SAC)=> B’D’
⊥
AC’
S
(AB’C’D’)
=
'''.
2

1
DBAC
.
Tam giác SAC đều nên AC’=
2
6
2
3.2 aa
=
Đi chứng minh BD // B’D’ để có B’D’ là đường trung bình
∆
SBC
B’D’=
2
2
2
aBD
=
S
(AB’C’D’)
=
4
3
2
2
.
2
6
.
2

1
2
aaa
=
3.A là điểm chung (P) và (ABCD).
B’D’
⊂
(P), BD
⊂
(ABCD)
B’D’ // BD
Vậy giao tuyến của (P) và (ABCD) là đường thẳng (
∆
) qua A // BD.
4.Khoảng cách giữa BD và (P) = khoảng cách từ O đến (P).
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến AC’.
C/m OH // SC mà SC
⊥
(P) nên OH
⊥
(P)
Trong tam giác AOI vuông tại O:
222
111
OIOAOH
+=
(*)
IO =
6
6

3
1 a
SO =
(I trọng tâm
∆
SAC).
Thay OA =
2
2a
và OI =
6
6a
vào (*) ta được:
22
81
aOH
=
4
2a
OH =⇒
.
Vậy khoảng cách từ B đến (P) là d =
4
2a