Bài tập Bất Đẳng Thức Vécto

CHUYÊN ĐỀ 1 : SỬ DỤNG BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ ĐỂ GIẢI TOÁN
I. Sử dung biểu thức toạ độ của véctơ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 1. Với điều kiện xác định, chứng minh rằng
5 1 6 1 1 11 3x x x+ + + + − ≤
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta có
( )
2 2 2 2 2 2
x y y z z x xyz x y z+ + ≥ + +
Bài 3. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 2008 thì ta có

5 2 5 2 5 2 30138x y z+ + + + + ≤
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta có
2 2 2 2 2 2
x xy y y yz z x xz z+ + + + + ≥ + +
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi x, y, z thỏa mãn x + y + z > 0 ta có
( )
2 2 2 2 2 2
3x xy y y yz z x xz z x y z+ + + + + + + + ≥ + +
Bài 6. Chứng minh rằng khi ab + bc + ca = abc; a, b, c là các số dương ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
b a c b a c
ab bc ca
+ + +
+ + ≥
Bài 8. Chứng minh rằng
2 2
1 1 2 ,a a a a a− + + + + ≥ ∀
Bài 7. Chứng minh rằng
( ) ( )

6 9 6 9 15x x x x+ + − + + − ≤
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi x, y ta có
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4cos cos sin 4sin sin sin 2x y x y x y x y+ − + + − ≥
Bài 10. Chứng minh rằng
1.
2 2 2 2
4 6 9 4 2 12 10 5x y x x y x y+ + + + + − − + ≥
2.
2 2
9 3 2 16 4 2 5x x x x+ − + + − ≥
3.
( )
2 2 2 2 2 2
2 os 2 cos 2 cosx a axc x b bx a b ab
α β α β
+ − + + − ≥ + − +
II. Sử dụng biểu thức tọa độ của véc tơ để giải phương trình
Bài 1. Giải phương trình
2
1 3 2 1x x x x+ + − = +
Bài 2. Giải phương trình
2 2 2
sin 1 cos 1 cos 2 sin 1x x x x− + + = +
Bài 3. Giải phương trình
2 2
2 5 2 10 29x x x x− + + + + =
Bài 4. Giải phương trình
2

2 4 6 11x x x x− + − = − +
III. Sử dụng biểu thức tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Bài 1. Tìm GTLN của hàm số
15 17y x x= + + −
Bài 2. Tìm GTLN của hàm số
2 2
2cos 1 2sin 1y x x= + + +