KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG VUÔNG góc CHUNG và CHÉO NHAU

Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
KHOẢNG CÁCH
GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ
ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG
Chủ Đề Hình Học Không Gian nói chung và “ Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung ” nói riêng , là một chủ đề tương đối
khó với học sinh. Chúng tôi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận
vấn đề trên dễ dàng hơn và có hệ thống hơn.
A-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP :
Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn vuông
góc chung, thông thường người ta dùng 2 phương pháp cơ bản sau:
Phương pháp 1:
Bước 1: Xác định mặt phẳng
a⊥)(
α
tại A và
)(
α
cắt b.
Bước 2: Chiếu vuông góc b xuống
)(
α
được hình chiếu b’.
Bước 3: Kẻ A’B’ như hình vẽ 1a,
dựng hình bình hành ABB’A’.
Dể dàng cm được AB là đoạn vuông góc
chung của 2 dt a, b.
Trong trường hợp đặt biệt :
)(
α
⊂b

, lúc
đó AB là đoạn góc chung (Hình vẽ 1b)
Phương pháp 2:
Bước 1: Xác định mặt phẳng
a//)(
α
và
)(
α
⊂b
( hình 2)
Bước 2: Chiếu vuông góc theo phương
HK a lên mặt phẳng
)(
α
được dt a’.
Bba
=∩
'
Bước 3: Dựng hình bình hành AHKB.Dể
chứng minh được AB là đoạn vuông góc
chung cần tìm.
1
Hình 1a
Hình 1b
Hình 2
A
B
B'
A'

b'
b
a
α
α
a
b
A
B
K
H
α
b
A
B
a
Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
B-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ :
Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a .Xác định và tình độ dài đoạn vuông
góc chung của AB và CD.
Gợi ý :
+ Lập mặt phẳng chứa
CDAB
⊥
cắt CD tại I
+ Kẻ
IHABIH ⇒⊥
là đoạn vuông góc chung.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có
)(ABCDSA ⊥

, đáy ABCD là hình chữ nhật.
Dựng đoạn vuông góc chung của
a) SA và CD . b) AB và SC.
Gợi ý :
a) SA và CD.
AD
DCAD
SADDC
⇒



⊥
⊥ )(
là đoạn vuông góc chung cần tìm .
b) SC và AB.
)(SADAB ⊥
, SD là hình chiếu của SC lên (SAD).
Kẻ
SDAI ⊥
, dựng hbh AIKH .
Lúc đó, KH là đoạn vuông góc chung.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
AB= a, BC= a , AD=3a , CD= a
7
, SA= a
2
.Khi SA
⊥
(ABCD) , hãy dựng và

tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa các đường thẳng :
a) SA và CD b) AB và SD c) AD và SC
Gợi ý:
a) AK
b) AI
c) HK
2
H
I
A
B
D
K
H
I
S
A
B
C
D
P
H
A'
K
I
B
C
D
A
S

Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
Bài tập 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vuông
cạnh a.
a) Hình lăng trụ có đặc điểm gì?
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’.
Gợi ý:
a) Hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh a.
b) EK
Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB= a, đường cao SO=
h. xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SB và AD.
Gợi ý:
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AD.
(SIJ)
⊥
(SAD)
⇒
AD
⊥
JH
(SIJ)
⊥
(SBC)
⇒
SB
⊥
JH
Kẻ KE // JH. KE là đoạn vuông góc chung cần tìm.
3
K

E
H
I
I'
A'
B'
C'
C
B
A
F
H
K
I'
I
D
S
A
B
C
O
Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa
hai đường thẳng DM và D’N.
Gợi ý:
+ Gọi I là trung điểm AM.
Lập hình chữ nhật IMDJ
⇒
(D’JD)

⊥
DM.
+DH
⊥
JD’
DH
⊥
DM
+Kẻ EF // DH
⇒
EF là đoạn vuông góc chung cần tìm.
Bài tập 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ .Hãy xác định đoạn vuông góc
chung của BD’, B’C.
Gợi ý:
')''('
'''
''
BDDABCCB
CBCD
CBBC
⊃⊥⇒



⊥
⊥
IJ
⊥
BD’
⇒

IJ là đoạn thẳng cần tìm.
Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Hãy xác định đoạn
vuông góc chung của hai đương thẳng A’C’ và B’C.
Gợi ý:
+ (AB’C) // A’C’.
+ Chiếu A’C’ lên (AB’C).
Kẻ OE’
⊥
O’B’
⇒
O’E
⊥
(AB’C)
+ Qua E kẻ EI: là hình chiếu của A’C’
lên (AB’C)
Dựng IJ // OE. IJ là đoạn thẳng cần tìm.
4
F
E
H
N
I
M
J
D'
A'
C'
B'
D
C

B
A
K
H
A'
B'
C'
D'
C
B
A
D
E
J
I
O'
O
D
A
B
C
D '
C '
B '
A '
Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên
SA = a, SA
⊥
(ABC), I là trung điểm cạnh BC. Xác định và tính độ dài đoạn vuông

góc chung giữa hai đường thẳng SI và AB.
Gợi ý:
+ Gọi M là trung điểm của AC. Dựng AQ
⊥
dt IM.
+ Chiếu AB lên (SQI) là KJ.
+ Dựng h.b.h AKJH. JH là đoạn thẳng cần tìm.
Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là
tâm các hình vuông AĐ’A’ và BCC’B’. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc
chung giữa hai đường thẳng CI và AJ.
Gợi ý:
+CI // (AA’J)
+IM // A’D’.Kẻ IH
⊥
MJ
⇒
IH
⊥
(AA’J)
⇒
IH
⊥
AJ.
ICIH
JAIC
JAIH
⊥⇒




⊥
'//
'
+Dựng EF // IH. EF là đoạn thẳng cần tìm.
Bài tập 11: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi ,
cạnh 2a , cạnh bên AA’= a
2
, AD’
⊥
BA’.Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AD’ và BA’ .
Gợi ý:
BHEADBdADBAd
EADAD
EADBH
EDBHBHAC
DDBDAC
ACDD
BDAC
==⇒



⊂
⊥
⇒
⊥⊥⇒
⊥⇒




⊥
⊥
))'(,()','(
)'('
)'(
',
)',(
'
Dựng h.b.h BHEF.
5
J
H
K
M
Q
I
B
C
A
S
D'
F
E
H
M
I
J
A'
B'

C'
B
C
D
A
F
E
I
H
E
D
A
C
B
B'
C'
D'
A'
Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
EF là đoạn vuông góc chung của AD’, BA’
Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều
111
. CBAABC
, đáy ABC có cạnh
a, cạnh bên bằng h . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và
1
BC
.
Gợi ý:
+Dựng h.b.h ACC’B. Gọi I là trung điểm BC’.

+Tam giác BCC’ cân,
'
1
BCC
cân.
+



=∩
⊥
⊥
111
11
1
)()'(
)()'(
)('
CIICCBCC
ICCBCC
ICCBC
Kẻ CH
⊥
1
IC
)'(,(),(
11
CBCCdBCACd =⇒
Do




⊂ )'(
//)'(
11
1
CBCBC
ACCBC
Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC’=2a và
AB=AA’= a.
a) Chứng minh:
'' CDAC
⊥
b) d(D,(ACD’).
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AC’, CD’.
Gợi ý:
a) AB =AA’
⇒
AA’B’B và DD’C’C là hình vuông.
'.'
)'('
)'('
'
''
ACCD
ADCAC
ADCCD
CDDA
DCCD
⊥⇒




⊂
⊥
⇒



⊥
⊥
⇒
b) Gọi H hình chiếu của D lên (ACD’). Đặt h=DH
. ' ' . ' '
1 1
. .
3 3
D ACD AD C A DD C DD C
V h S V AD S= = =
c) Kẻ
'ACIK
⊥
.Rõ ràng
'CDIK
⊥
Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh:
)''(' CDBABC ⊥
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’.
Gợi ý:

a)
)''('
'
''
DCABBC
BCCD
CBBC
⊥⇒



⊥
⊥
b) Ta có (B’A’DC)
⊥
BC’.
Chiếu B’A lên (B’A’DC) là B’K.
Kẻ IH. Dựng HK // BC’ cắt B’A tại K.
Dựng KP // HI .KP là đoạn thẳng cần tìm.
6
F
E
H
I
C'
B
C
A
C
1

A
1
B
1
H
I
K
D'
D
A
B
C
C'
B'
A'
P
K
H
I
A'
B'
B
C
C'
D'
D
A
Một số bài tập rèn luyện Hình Học Không Gian Beckbo1210
Bài tập 15: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong 2 mp
vuông góc nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) AD và SB b) SA và BD
Gợi ý:
a) HM
b) Dựng hình chữ nhật IDEA
Kẻ HF
⊥
EA
Dựng HK
⊥
SF
⇒
HK=
OP
2
1

Bài tập 15: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD
⊥
BC, AD= a và
d(D,BC)= a. H là trung điểm của BC .
a) Chứng minh: BC
⊥
(ADH) b) DI
⊥
(ABC) c) Xác định và tính đoạn
vuông góc chung giữa AD và BC.
Gợi ý:
a) Kẻ
)(AHDBC
BCAD

BCAH
⊥⇒



⊥
⊥

b)
)(),( ABCBCAHDI
AHDI
aDHAD
BCDI
≡⊥⇒
⊥⇒



==
⊥

c) HK
Bài tập 16: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
0
60
ˆ
=A
và có đường cao SO= a .Tính:
a) d(O,(SBC))
b) d(AD,SB)

Gợi ý:
a) OH. Dựng (SOP)
⊥
(SBC).Kẻ OH
⊥
SP.
b) IK. Dựng (STM)
⊥
(SBC). Kẻ IK
⊥
SM.
7
F
I
P
K
M
O
H
N
D
E
A
B
C
S
P
H
K
I

M
60
0
O
C
B
A
S
D
K
H
I
O
A
D
C
B