Chuyên đề khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
1

Chủ đề:


KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG
THẲNG CHÉO NHAU VÀ ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG
Chuyên đề “Hình Học Không Gian” nói chung và chủ đề “Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung” nói riêng, là một chủ đề tương đối
khó khăn với đa số học sinh. Chúng tôi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận
vấn đề trên dễ dàng hơn và có hệ thống hơn.
I-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:
Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn vuông góc chung,
thông thường dùng 2 phương pháp cơ bản sau:
Phương pháp 1:


Bước 1
: Xác định mặt phẳng
(
)
a
α
⊥

tại A và
)(
α
cắt b.

Bước 2
: Chiếu vuông góc
b
xuống
(
)
α

được hình chiếu
'
b
.
Bước 3
: Kẻ
'
AH b
⊥
, dựng hình chữ
nhật AHKP.
Dể dàng chứng minh: PK là đoạn vuông
góc chung của 2 đường thẳng
a
và
b
.

Trong trường hợp đặt biệt :
(
)
( )

b
a
α
α

⊂


⊥



+ Dựng
AH b
⊥ ⇒
AH là đoạn vuông
góc chung của 2 đường thẳng
a
và
b
.

Phương pháp 2:

















Bước 1:
Xác định mặt phẳng
(
)
//
a
α
và
(
)

b
α
⊂
.
Bước 2:
Chiếu vuông góc đường thẳng
a
trên mặt phẳng
(
)
α
được đường thẳng
'
a
,
{
}
'
a b K
∩ =

Bước 3:
Dựng hình chữ nhật AHKP.
Dễ dàng chứng minh được: KP là đoạn
vuông góc chung của 2 đường thẳng
a

và
b
.

I
H
K
P
A
b'
b
a
α
αα
α

α
αα
α
a
b
A
H

K
P
b
H
A
a'
a
α
αα

α

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
2

II-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ:
Bài tập 1
: Cho tứ diện đều ABCD cạnh
a
. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung
của AB và CD.
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
AHB
.
Rõ ràng:
(
)
CD AHB
⊥

Bước 2: Dễ thấy,
(
)
AB AHB
⊂
.

Dựng
HK AB HK
⊥ ⇒
là đoạn vuông góc chung
của AB và CD.
Bước 3: Tính HK:
Xét
AHK
∆
vuông tại K:
2 2
HK AH AK
= −


Bài tập 2
: Cho hình chóp S.ABCD có
(
)
SA ABCD
⊥
, đáy ABCD là hình chữ nhật. Dựng
đoạn vuông góc chung của : a) SA và CD . b) AB và SC.
Hướng dẫn:
a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
ABCD
.

Rõ ràng:
(
)
SA ABCD
⊥

Bước 2: Dễ thấy,
(
)
CD ABCD
⊂
.
và
AD CD AD
⊥ ⇒
là đoạn vuông góc chung
của SA và CD.
Bước 3: Tính AD (tùy theo giả thiết)
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SC:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
SAD
.
Dễ chứng minh được:
(
)
AB SAD
⊥

Bước 2: Chiếu SC trên
(
)
SAD
:
Ta có:
(
)
CD SAD SD
⊥ ⇒
là hình chiếu của SC trên
(
)
SAD
.
+ Dựng
AH SD AH
⊥ ⇒
là khoảng cách của SC và AB.
+ Dựng hình chữ nhật AHKP
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SC và AB.
Bước 3: Tính AH.
Xét
SAD
∆
vuông tại A:
2 2 2
1 1 1

AH SA AD
= +
.
Bài tập 3
: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vuông cạnh
a
.
a) Hình lăng trụ có đặc điểm gì ?
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’.
Hướng dẫn:
a) Hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh a.
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’:



K
D
C
B
H
A

S
A
B
C
D

P
K

H
D
C
B
A
S

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
3

Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
' '
AII A
.
Dễ chứng minh được:
(
)
' ' ' '
B C AII A
⊥

Bước 2: Chiếu A’B trên
(
)
' '
AII A
:

Ta có:
(
)
' ' '
BI AII A A I
⊥ ⇒
là hình chiếu của A’B trên
(
)
' '
AII A
.
+ Dựng
' ' '
I H A I I H
⊥ ⇒
là khoảng cách của A’B và B’C’.
+ Dựng hình chữ nhật HKPI’
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng A’B và B’C’.
Bước 3: Tính I’H.
Xét Xét
' '
A I I
∆
vuông tại I’:
2 2 2
1 1 1
' ' ' '

I H A I II
= +
.

Bài tập 4
: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh
a
nằm trong 2 mặt phẳng
vuông góc với nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) AD và SB b) SA và BD
Hướng dẫn:
a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SB và AD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
SIM
.
Dễ chứng minh được:
(
)
AD SIM
⊥

Bước 2: Chiếu SB trên
(
)
SIM
:
Ta có:
(

)
BM SIM SM
⊥ ⇒
là hình chiếu của SB trên
(
)
SIM
.
+ Dựng
IH SM IH
⊥ ⇒
là khoảng cách của SB và AD.
+ Dựng hình chữ nhật HKPI
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SB và AD.
Bước 3: Tính IH.
Xét
SIM
∆
vuông tại I:
2 2 2
1 1 1
IH IS IM
= +
.
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)

(
)
//
SEA BD SEA
⇒
.
Bước 2: Chiếu BD trên
(
)
SEA
:
Gọi L và J là trung điểm EA và DO
IL SL
⇒ ⊥
.
+ Dựng
(
)
IH SL IH SEA
⊥ ⇒ ⊥
.
+ Dựng
(
)
//
JR IH JR SEA
⇒ ⊥

Suy ra:
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , ,d d d
BD SA BD SAE J SAE JR
= = =

+ Dựng hình chữ nhật RKPJ
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SA và BD.
Bước 3: Tính JR.
Ta có:
2 .
JR IH
=
Xét
SIL
∆
vuông tại I:
2 2 2
1 1 1
IH IS IL
= +

.



P
K
H
I
C
A
B
A'
B'
C'
I'

M
P
K
H
I
D
C
B
A
S

R
J
O

E
S
A
B
C
D
I
H
K
P
L

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
4

Bài tập 5
: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
,
AB a
=

, 3 , 7, 2

BC a AD a CD a SA a
= = = =
. Khi SA
⊥
(ABCD), dựng và tính độ dài đoạn
vuông góc chung giữa các đường thẳng:

a) SA và CD b) AB và SD c) AD và SC
Hướng dẫn:
a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
ABCD
.
Rõ ràng:
(
)
SA ABCD
⊥

Bước 2: Dễ thấy,
(
)
CD ABCD
⊂
.
Dựng
AH CD AH
⊥ ⇒
là đoạn vuông góc chung
của SA và CD.
Bước 3: Tính AH:
Xét
ACD
∆
vuông tại A:

2 2 2
1 1 1
AH AC AD
= +
.
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
SAD
.
Rõ ràng:
(
)
AB SAD
⊥

Bước 2: Dễ thấy,
(
)
SD SAD
⊂
.
Dựng
AK SD AK
⊥ ⇒
là đoạn vuông góc chung của SD và AB.
Bước 3: Tính AK:
Xét
SAD

∆
vuông tại A:
2 2 2
1 1 1
AK AS AD
= +
.
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AD và SC:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
SAB
.
Dễ chứng minh được:
(
)
AD SAB
⊥

Bước 2: Chiếu SB trên
(
)
SIM
:
Ta có:
(
)
BC SAB SB
⊥ ⇒
là hình chiếu của SC

trên
(
)
SAB
.
+ Dựng
AI SB AI
⊥ ⇒
là khoảng cách của SB và AD.
+ Dựng hình chữ nhật AIJP
⇒
JP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SC và AD.
Bước 3: Tính AI.
Xét
SAB
∆
vuông tại I:
2 2 2
1 1 1
AI AS AB
= +
.
Bài tập 6
: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy
,
AB a
=
đường cao
SO h

=
. Xác
định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SB và AD.
Hướng dẫn:



Giải bằng

Phương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
SBC
.
Dễ chứng minh được:
(
)
//
AD SBC

K
H
S
A
D
B
C

C
B
D
A
S
I
J
P

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
5

Bước 2: Chiếu AD trên
(
)
SBC
(hay tính
(
)
,
d
AD SB
)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và AD
ON BC
⇒ ⊥

Ta có:
(

)
(
)
SMN SBC
⊥
, dựng
(
)
OH SN OH SBC
⊥ ⇒ ⊥

+ Dựng
(
)
//
MI OH MI SBC
⇒ ⊥

Suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , ,

d d d
AD SB AD SBC M SBC MI
= = =

+ Dựng hình chữ nhật MIKP
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SB và AD.
Bước 3: Tính MI. Ta có:
2 .
MI OH
=

Xét
SON
∆
vuông tại O:
2 2 2
1 1 1
OH OS ON
= +
.
Bài tập 7:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng
DM và D’N.
Hướng dẫn:




Giải bằng

Phương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
'
D NJ
. (với hình bình hành DJIM)
Dễ chứng minh được:
(
)
// '
DM D NJ

Bước 2: Chiếu DM trên
(
)
'
D NJ
. (hay tính
(
)
, '
d
DM D N

)
Do
(
)
// '
DJ MI DJ IJ IJ D JD
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
.
Ta có:
(
)
(
)
' '
D JD D NJ
⊥
, dựng
(
)
' '
DH D J DH D NJ
⊥ ⇒ ⊥

Suy ra:
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
, ' , ' , '
d d d
DM D N DM D NJ D D NJ DH
= = =

+ Dựng hình chữ nhật HKPD
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng DM và D’N.
Bước 3: Tính DH.
Xét
'
D DJ
∆
vuông tại D:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4
' ' '
DH DD DJ DD MI DD AM
= + = + == +
.
Bài tập 7
: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy xác định đoạn vuông góc chung
của BD’, B’C.
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn mặt phẳng

(
)
' '
ABC D
.
Dễ dàng chứng minh
(
)
' ' '
BC ABC D
⊥

Bước 2: Dễ thấy,
(
)
' ' '
BD ABC D
⊂
.
Dựng
'
HK BD HK
⊥ ⇒
là đoạn vuông góc
chung của BD’ và B’C.
Bước 3: Tính HK: Ta có
1
'
2
HK C P

=

Xét
' '
BC D
∆
vuông tại C’:
2 2 2
1 1 1
' ' ' '
C P C D C B
= +



O
P
K
I
H
S
A
B
C
D
M
N

P
K

H
J
I
N
D
C
B
A
B'
C'
A'
D'
M

P
K
H
D
C
B
A
B'
C'
A'
D'

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
6

Bài tập 8
: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh
a
. Hãy xác định đoạn vuông góc
chung của hai đương thẳng A’C’ và B’C.
Hướng dẫn:

Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
' '
DBB D
.
Dễ chứng minh được:
(
)
' ' ' '
A C DBB D
⊥

Bước 2: Chiếu B’C trên
(
)
' '
DBB D
:
Ta có:
(
)
' '

OC DBB D
⊥

'
B O
⇒
là hình chiếu của B’C trên
(
)
' '
DBB D
.
+ Dựng
' ' '
O H B O O H
⊥ ⇒
là khoảng cách của A’C’ và B’C.
+ Dựng hình chữ nhật O’HKP
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng A’C’ và B’C.
Bước 3: Tính O’H.
Xét
' '
O B O
∆
vuông tại O’:
2 2 2
1 1 1
' ' ' '

O H O B OO
= +
.
Bài tập 9
: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh
a
, cạnh bên
SA a
=
,
SA
⊥
(ABC), I là trung điểm cạnh BC. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa
hai đường thẳng SI và AB.
Hướng dẫn:




Giải bằng

Phương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
SIJ
, với
//
IJ AB

và
AJ IJ
⊥
.
Dễ chứng minh được:
(
)
//
AB SIJ

Bước 2: Chiếu AB trên
(
)
SIJ
(hay tính
(
)
,
d
AB SI
)
Ta có:
(
)
(
)
SAJ SIJ
⊥
, dựng
(

)
AH SJ AH SIJ
⊥ ⇒ ⊥

Suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , ,
d d d
AB SI AB SIJ A SIJ AH
= = =

+ Dựng hình chữ nhật AHKP
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng AB và SI.
Bước 3: Tính AH. Xét
SAJ
∆
vuông tại A:
2 2 2
1 1 1

AH AJ SA
= +
.
Bài tập10:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh
a
. Gọi I, J lần lượt là tâm các
hình vuông ADD’A’ và BCC’B’. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai
đường thẳng CI và AJ.
Hướng dẫn:




Giải bằng

Phương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
'
AA J
.
Dễ chứng minh được:
(
)
// '
CI AA J

Bước 2: Chiếu IC trên
(
)
'
AA J
(hay tính
(
)
,
d
CI AJ
)
Dựng
IH MJ
⊥
, để ý rằng
(
)
'
A A MIJ
⊥
.
Ta có:
( )
'
'
IH MJ
IH AA J
IH A A
⊥


⇒ ⊥

⊥


Suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , ' , '
d d d
CI AJ CI AA J I AA J IH
= = =

P
H
K
O'
D
C
B
A

B'
C'
A'
D'
O

P
K
H
J
I
S
A
B
C

P
K
H
M
J
I
D
D'
A'
C'
B'
A
B
C

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
7

+ Dựng hình chữ nhật IHKP
⇒
KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AJ và CI.
Bước 3: Tính IH.
Xét
MIJ
∆
vuông tại I:
2 2 2
1 1 1
IH IM IJ
= +
.
Bài tập 11:
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh
2
a
,
cạnh bên
' 2
AA a
= , AD’
⊥
BA’.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BA’ .
Hướng dẫn:




Giải bằng

Phương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
'
AD E
, với
// '
'
BE DD
BE DD


=

.
Dễ chứng minh được:
(
)
' // '
A B AD E

Bước 2: Chiếu A’B trên

(
)
'
AD E
(hay tính
(
)
' , '
d
A B AD
)
Ta có:
( ) ( ) ( )
' ' ' ' '
'
AI BD
AI BB D B AD E BB D B
AI BB
⊥

⇔ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Dựng
(
)
' '
BH D E BH AD E

⊥ ⇒ ⊥

Suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
' , ' ' , ' , '
d d d
A B AD A B AD E B AD E BH
= = =
+ Dựng hình chữ nhật BHKP
⇒
KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng A’B và
AD’.
Bước 3: Tính BH.
Xét
IBE
∆
vuông tại B:
2 2 2
1 1 1
BH BE BI
= +

.
Bài tập 12:
Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’, đáy ABC có cạnh
a
, cạnh
bên bằng
h
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’.
Hướng dẫn:




Giải bằng

Phương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
'
BDC
, với
//
CD AB
CD AB


=


.
Dễ chứng minh được:
(
)
// '
AC BDC

Bước 2: Chiếu AC trên
(
)
'
BDC
(hay tính
(
)
, '
d
AC BC
)
Gọi I là trung điểm BD.
Ta có:
( ) ( ) ( )
' ' '
'
CI BD
BD CC I BDC CC I
CC BD
⊥

⇔ ⊥ ⇒ ⊥


⊥


Dựng
(
)
' '
CH C I CH BDC
⊥ ⇒ ⊥

Suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ' , ' , '
d d d
AC BC AC BDC C BDC CH
= = =
+ Dựng hình chữ nhật CHKP
⇒
KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và
BC’.

Bước 3: Tính CH.
Xét
'
ICC
∆
vuông tại C:
2 2 2
1 1 1
'
CH CI CC
= +
.
I
P
K
H
E
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'

D
I
C'
B'

A'
B
A
C
H
K
P

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
8

Bài tập 13:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo
' 2
AC a
=
và
'
AB AA a
= =
.
a) Chứng minh:
' '
AC CD
⊥

b) Tính d(D,(ACD’)).
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AC’, CD’.
Hướng dẫn:

a) Do
' ' '
AA AB a ABB A
= = ⇒
là hình vuông.
Suy ra:
( )
'
' ' ' '
' '
CD DC
CD ADCB CD AC
CD A D
⊥

⇔ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

.
b) Ta có:
(
)
(
)
(
)
' ' '
CD ADCB ADI AD C

⊥ ⇒ ⊥

và
(
)
(
)
'
ADI AD C AI
∩ =
.
Dựng
DH AI
⊥

(
)
(
)
(
)
' , '
d
DH AD C D AD C DH
⇒ ⊥ ⇔ =

Xét
'
ADC
∆

vuông tại D:
2 2 2
1 1 1
'
DH DA DC
= +
.
c) Theo câu a,
(
)
' '
CD ADCB
⊥
và
(
)
{
}
' '
CD ADCB I
∩ =
.
Dựng
'
IK AC IK
⊥ ⇒
là đoạn vuông góc chung của AC’ và CD’.
Xét
'
DAC

∆
đồng dạng với
'
KIC
∆
, ta có:
' . '
' '
KI KC AD KC
KI
AD DC DC
= ⇔ =
.
Bài tập 14:
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh:
(
)
' ' '
BC A B CD
⊥

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’.
Hướng dẫn:

a) Chứng minh
(
)
' ' '
BC A B CD

⊥
:
Ta có:
( )
' '
' ' '
'
BC B C
BC A B CD
BC CD
⊥

⇔ ⊥

⊥

.
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
' '
A B CD
.
Dễ chứng minh được:
(
)
' ' '
BC A B CD
⊥

Bước 2: Chiếu AB’ trên
(
)
' '
A B CD
:
Ta có:
(
)
' '
AH A B CD
⊥

'
HB
⇒
là hình chiếu của AB’ trên
(
)
' '
A B CD
.
+ Dựng
'
IJ B H IJ
⊥ ⇒
là khoảng cách của AB’ và BC’.
+ Dựng hình chữ nhật IJKP
⇒

KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng AB’ và BC’.
Bước 3: Tính IJ.
Xét
'
CB D
∆
đồng dạng với
'
JB I
∆
, ta có:
' . '
' '
IJ IB CD IB
IJ
CD B D B D
= ⇔ =
.


D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
H

K
I

J
P
I
D'
A'
C'
B'
A
B
C
D
K
H

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
9

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1
: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD
⊥
BC,
AD a
=
và
(

)
,
d
D BC a
=
. Gọi H là trung điểm của BC .
a) Chứng minh: BC
⊥
(ADH) b) DI
⊥
(ABC)
c) Xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa AD và BC.
Bài tập 2
: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh
a
, góc
0
60
BAD
=
và
có đường cao
SO a
=
.Tính: a) d(O,(SBC)) b) d(AD,SB)
Bài tập 3
: Cho hình lập phương ABCD.A
/
B
/

C
/
D
/
tâm đáy là O, O
/
.Xác định đoạn vuông góc
chung giữa:
a) OO
/
và CD
/
. b) BD và CD
/
. c) BO
/
và CD
/
.
Bài tập 4
: (
Đại Học Y Dược Tp. HCM – 1999
). Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông
ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường
thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S. Gọi
α
là góc nhọn tạo bởi mặt bên và
đáy của hình chóp S.ABCD.
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD theo a và
α

.
b) Xác định đường vuông góc chung của SA cà CD. Tính độ dài đường vuông góc
chung đó theo a và
α
.

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
10

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC:
Đề 02:

ĐH B- 2002
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng
a
.
a) Tính theo
a
khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc
giữa hai đường thẳng MP và C’N.
Đề 03:

ĐH Dự bị D-1 2002
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh
6 2
a = . Hãy xác định độ dài
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
Đề 04:

ĐH B- 2007
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a

. Gọi
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm
của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo
a
khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN và AC.
Đề 05:

ĐH Dự bị D-2 2007
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều
bằng
a
. M là trung điểm của đoạn AA’. Chứng minh:
'
BM B C
⊥
và tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng BM và B’C.

Đề 06:

ĐH D- 2008
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB BC a
= =
, cạnh bên =
' 2
AA a
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo
a

thể
tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.

Đề 07:

ĐH A-2010
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc
với mặt phẳng
(
)
ABCD
và
SH a
=
3
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo
a
.

Đề 08:

ĐH A- 2012
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao

2
HA HB
=
. Góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo
a
.

RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC GÓP Ý CỦA QUÍ THẦY CÔ
VÀ CÁC BẠN HỌC SINH!
Xin trân trọng cám ơn!