de thi HSG lop 8 an nam 09-10 - dap an

Phòng GD & ĐT huyện Thờng Tín
Trờng THCS Văn Tự
Gv: Bùi Thị Thu Hiền
đề kiểm tra học sinh giỏi
Năm học 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút
đề bài:
Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2 2
2 3 2 8 3 21 2 8
: 1
4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3
x x x x
x x x x x x x
+

+ +
ữ
+ +

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
1
2
x
=
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tìm x để P > 0.

Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình:
a)
2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x

= +
ữ
+ +

b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x

+ + + =
c)
2 3 5x
+ =
Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng
vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận
tốc dự định đi của ngời đó.
Bài 4 (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối
xứng của điểm C qua P.

a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh
EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc
vào vị trí của điểm P.
d) Giả sử CP

BD và CP = 2,4 cm,
9
16
PD
PB
=
. Tính các cạnh của hình chữ
nhật ABCD.
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 2009
2008
+ 2011
2010
chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
đáp án và biểu điểm
Bài 1: Phân tích:
4x

2
12x + 5 = (2x 1)(2x 5)
13x 2x
2
20 = (x 4)(5 2x)
21 + 2x 8x
2
= (3 + 2x)(7 4x)
4x
2
+ 4x 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
1
Điều kiện:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x


0,5đ
a) Rút gọn P =
2 3
2 5
x
x


2đ
b)
1

2
x
=

1
2
x
=
hoặc
1
2
x

=

+)
1
2
x
=


P =
1
2
+)
1
2
x

=


P =
2
3
1đ
c) P =
2 3
2 5
x
x


=
2
1
5x
+

Ta có:
1 Z

Vậy P
Z

khi
2
5
Z

x



x 5

Ư
(2)
Mà Ư
(2)
= { -2; -1; 1; 2}
x 5 = -2

x = 3 (TMĐK)
x 5 = -1

x = 4 (KTMĐK)
x 5 = 1

x = 6 (TMĐK)
x 5 = 2

x = 7 (TMĐK)
KL: x

{3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ
d) P =
2 3
2 5
x

x


=
2
1
5x
+

0,25đ
Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì
2
5x
> 0

x 5 > 0

x > 5 0,5đ
Với x > 5 thì P > 0. 0,25
Bài 2:
a)
2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x

= +

ữ
+ +

( ) ( ) ( )
15 1 1
1 12
4 1 4 3 1
x
x x x x

= +
ữ
ữ
+ +

ĐK:
4; 1x x


3.15x 3(x + 4)(x 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)


3x.(x + 4) = 0

3x = 0 hoặc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)
2
S = { 0} 1đ
b)

148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x

+ + + =

148 169 186 199
1 2 3 4 0
25 23 21 19
x x x x


+ + + =
ữ ữ ữ ữ


(123 x)
1 1 1 1
25 23 21 19

+ + +
ữ

= 0
Do
1 1 1 1
25 23 21 19

+ + +

ữ

> 0
Nên 123 x = 0 => x = 123
S = {123} 1đ
c)
2 3 5x
+ =
Ta có:
2 0x x
=>
2 3x
+
> 0
nên
2 3 2 3x x
+ = +
PT đợc viết dới dạng:

2 3 5x
+ =

2x

= 5 3


2x

= 2

+) x - 2 = 2 => x = 4
+) x - 2 = -2 => x = 0
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ
Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:

3
( / )
1
10
3
3
x x
km h=
(3
h
20

=
( )
1
3
3
h
) 0,25đ
Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:

( )
3

5 /
10
x
km h
+
0,25đ
Theo đề bài ta có phơng trình:

3
5 .3
10
x
x

+ =
ữ

0,5đ

x =150 0,5đ
Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ
Vận tốc dự định là:
( )
3.150
45 /
10
km h
=
3
Bài 4(7đ)

Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ
a) Gọi O là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật ABCD.
PO là đờng trung bình của tsm giác CAM.
AM//PO

tứ giác AMDB là hình thang. 1đ
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân
ở I nên góc IAE = góc IEA.
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ
Mặt khác IP là đờng trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ
c)
( )
MAF DBA g g

:
nên
MF AD
FA AB
=
không đổi. (1đ)
d) Nếu
9
16
PD
PB
=
thì

9 , 16
9 16
PD PB
k PD k PB k= = = =
Nếu
CP BD
thì
( )
CP PB
CBD DCP g g
PD CP
=
:
1đ
do đó CP
2
= PB.PD
hay (2,4)
2
= 9.16 k
2
=> k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC
2
= BP.BD = 16 0,5đ
do đó BC = 4 (cm)
CD = 3 (cm) 0,5đ

Bài 5:
a) Ta có: 2009
2008
+ 2011
2010
= (2009
2008
+ 1) + ( 2011
2010
1)
Vì 2009
2008
+ 1 = (2009 + 1)(2009
2007
- )
= 2010.() chia hết cho 2010 (1)
2011
2010
- 1 = ( 2011 1)(2011
2009
+ )
= 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 1đ
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
b)
2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
(1)

4
A
B
C
D
O
M
P
I
E
F

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
0
1 1 1 1
0

1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
   
⇔ − + − ≥
 ÷  ÷
+ + + +
   
− −
⇔ + ≥
+ + + +
− −
⇔ ≥
+ + +
V×
1; 1x y
≥ ≥
=>
1xy
≥
=>
1 0xy
− ≥
=> B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) 1®

Chó ý: C¸c c¸ch gi¶i kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a.
5