Phương trình vi phân của hệ thống tự động pdf

TỈÛ ÂÄÜNG HỌA QUẠ TRÇNH NHIÃÛT - PHÁƯN I


53
CHỈÅNG 5: PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN CA HÃÛ THÄÚNG TỈÛ ÂÄÜNG

Mún tçm phỉång trçnh vi phán ca hãû thäúng thç ta cáưn phi xạc âënh phỉång
trçnh ca cạc kháu tảo nãn hãû thäúng âọ.
- Âãø chuøn phỉång trçnh vi phán ca cạc kháu thnh phỉång trçnh vi phán hãû
thäúng thç ta phi loải táút c cạc biãún säú trỉì thäng säú m ta quan tám, thỉåìng ta
giỉỵ lải hàòng säú ca hãû thäúng v thäng säú âiãưu chènh
-
Trong thỉûc tãú ta cọ thãø sỉí dủng 1 trong 3 phỉång phạp sau:
-

5.1 Phỉång phạp thãú:
Vê dủ:

Sỉí dủng hãû thäúng tỉû âäüng bãø nỉåïc cọ tỉû cán bàòng âáưu vo v âáưu ra ( trỉåïc )

1- Âäúi tỉåüng âiãưu chènh ( bãø nỉåïc )

2- Pháưn tỉí âo lỉåìng (phao )
3- Hãû thäúng tay ân
Nhỉ ta â biãút phỉång trçnh vi phán ca cạc kháu trãn l:
* Phỉång trçnh vi phán ca âäúi tỉåüng :
T
o
.
ϕ
’ + A .
ϕ
=
µ
-
λ
(1)
* Phỉång trçnh ca pháưn tỉí âo lỉåìng
T
P
2
. ξ’’ + T
C
. ξ’ +δ
ÂL
ξ = ϕ (2)
* Phỉång trçnh ca tay ân liãn hãû :
µ = ξ (3)
Viãút cạc phỉång trçnh trãn dỉåïi dảng thût toạn

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=++
−=+
ζµ
ϕζδζζ
λµϕϕ


22
DLcP
o
PTPT
APT
(1’) & (2’) & (3’)
Thay 3’ vo 2’ ta cọ ⇒
ϕµδµµ
=++
22
DLCP
PTPT
(4)
Rụt
µ

tỉì 4 thay vo 1’ ta âỉåüc :
2
3
1
ϕ
λ
µ
ξ
l
m
Ho
∆H
Qr, Pr
∆X
Qv, Pv
m

l
TỈÛ ÂÄÜNG HỌA QUẠ TRÇNH NHIÃÛT - PHÁƯN I


54
λ
δ
ϕ
ϕ
−=
++
−+
DLCP

o
PTPT
APT

).(
2
2
.

⇒
[]
λ
δ
δ
ϕ
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
−+++
DLCp
DLCpo
PTPT
PTPTAT

.
1) )((
22
22

[]
[]
DLCP
DLCDLoPCoPo
PTPT
APATTPATTTPTT
δλ
ϕδδ
++−=
−+++++
22
2232
.
1).() (

(5) l phỉång trçnh vi phán ca hãû thäúng tỉû âäüng viãút våïi biãún säú ϕ dỉåïi dảng
thût toạn, nọ mä t tỉång quan giỉỵa
ϕλ
&
hay cn gi phỉång trçnh
chuøn âäüng cọ nhiãùu ca hãû thäúng
- Khi ta rụt nhiãùu âi
λ
= 0 thç ta cọ phỉång trçnh chuøn âäüng tỉû do ca hãû
thäúng v cọ dảng :

[]
01).()(
2232
=−+++++
ϕδδ
DLCDLoPCoPo
APATTPATTTPTT
(6)
Phỉång trçnh hãû säú trỉåïc
ϕ
gi l phỉång trçnh âàûc tênh ca hãû thäúng
[
]
01).()(
2232
=−+++++
DLCDLoPCoPo
APATTPATTTPTT
δδ
(7)
 Gii hãû phỉång trçnh 1’ , 2’ , 3’ våïi biãn säú µ, láúy (4) thay vo (1’) ( biãún µ )
Ta cọ :
{}
{
}
TP A
o
. +=−
µλ

trong { } l biãøu thỉïc ca
ϕ
tỉì (4) nhán vo v âàût thỉìa säú chung ta cọ
[]
λµδδ
−=−+++++⇒ 1).()(
22232
DLCDLoPCoPo
APATTPATTTPTT
(5’)

So sạnh (5) v (5’) ta tháúy dảng phỉång trçnh âàûc tênh ca hãû thäúng khäng
âäøi nghéa l dảng ca nọ khäng phủ thüc vo dảng ca biãún säú m tỉì âọ
phỉång trçnh âàûc tênh thu nháûn âỉåüc.
Hãû thäúng åí âáy gi l hãû thäúng báûc 3 ( báûc ca phỉång trçnh âàûc tênh )
Trong trỉåìng håüp chung nháút phỉång trçnh mä t hãû thäúng tỉû âäüng báûc n l
( . ) ( )aP a P aP a bP b
n
n
n
n
om
m
o
++++=+
−
−
1
1
1

ϕλ
(8)
hồûc
AP BP() ()
ϕλ
=
(8’)
Nãúu hãû thäúng cng phỉïc tảp thç n cng låïn.
Phỉång phạp ny chè gii cho trỉåìng håüp êt phỉång trçnh !

5.2. Phỉång phạp âënh thỉïc:
Âãø thỉûc hiãûn phỉång phạp ny ta qui ỉåïc mäüt säú cạch viãút:
Qui ỉåïc
: - Táút c cạc biãún säú phủ thüc ca hãû thäúng viãút åí vãú trại ca phỉång

trçnh cn cạc biãún säú âäüc láûp viãút åí vãú phi
- Cạc phỉång trçnh ca cạc kháu âỉåüc sàõp xãúp tỉì trãn xúng dỉåïi sao
cho nhỉỵng biãún säú giäúng nhau nàòm trong mäüt cäüt biãún säú no khäng
cọ trong phỉång trçnh ca kháu âang xẹt âỉåüc viãút våïi hãû säú khäng

(5)
TỈÛ ÂÄÜNG HỌA QUẠ TRÇNH NHIÃÛT - PHÁƯN I


55

Gi sỉí
: hãû thäúng tỉû âäüng âỉåüc mä t = 1 loảt phỉång trçnh sau
CP CP CP A
CP CP CP A

CP CP CP A
nn
nn
nn nnnn
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1122
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
ϕϕ ϕ
ϕϕ ϕ
ϕϕ ϕ
+++=
+++=
+++=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

ϕϕ ϕ
12
,
n
- Cạc biãún säú phủ thüc ca hãû thäúng

AA A
n12
,
- Cạc biãún säú âäüc láûp ca hãû thäúng
C
11
. .C
n
- Cạc hãû säú trong phỉång trçnh âäüng ca cạc kháu
Tỉì l thuút ca phỉång trçnh tuún tinh thç ta cọ thãø xạc âënh báút k giạ trë
ϕ

no tỉì phỉång trçnh trãn bàòng cạch :
∆
∆
==
i
nnn
n
n
nnnn
n
n
PCPCPC
PCPCPC
PCPCPC
PCAPC
PCAPC
PCAPC

)() ()(

)() ()(
)() ()(
)( ) (

)( ) (
)( ) (
12
22221
11211
2
2222
1112
1
ϕ

∆ - L âënh thỉïc chênh tỉì cạc hãû säú
∆
i
- L âënh thỉïc hçnh thnh tỉ ìâënh thỉïc ∆ bàòng cạch thay cäüt thỉï i = cäüt hãû säú
tỉû do
∆
∆
=
i
i
ϕ

p dủng cho vê dủ trãn
Viãút lải 3 phỉång trçnh theo ngun tàõc v chuøn âãún dảng thût toạn
(1’)
()TP A o
o
+−+=−
ϕµ ζ λ

(2’)
−−+ + + =10 0
2
.(.)
ϕµ δζ
TTP
PC DL

(3’)
01 0
ϕµζ
+−=.


110
)(01
01)(
2
−
++−
−+
=∆

DLCP
o
PTT
APT
δ
;
110
)(00
01
2
−
++
−−
=∆
DLCP
PTT
δ
λ
ϕ

Tặ ĩNG HOẽA QUAẽ TRầNH NHIT - PHệN I


56


100
)(01
0)(
2

++
+
=
DLCP
o
PTT
APT


à
;
010
001
1)(

+
=


APT
o


Khai trióứn caùc õởnh thổùc naỡy




=

;
à
à
=


;


=



[]
= + + + + + TT P TT AT P T AT P A
oP oC P oDL C DL
( ) (. )
23 222
1




=++(. . )TP TP
PCDL
22

Ta cuợng õổồỹc phổồng trỗnh (5) tổùc laỡ :

[]
[]
DLCP
DLCDLoPCoPo
PTPT
APATTPATTTPTT


++=
+++++
22
2232
.
1).() (


5.3: Phổồng phaùp duỡng haỡm sọỳ truyóửn cuớa caùc khỏu vaỡ cuớa hóỷ thọỳng:









Tỗm haỡm sọỳ truyóửn cuớa caùc phỏửn tổớ
- Cuớa õọỳi tổồỹng :
WP
dt

() =


à

- Caùc bọỹ õióửu chốnh
WP
BDC
() =
à

vaỡ
WP
HT
() =



Nóỳu hóỷ trón laỡ hồớ ( õổùt )
W (P)
HTHồớ
= W(P)
õt
. W(P)
BC

Tổỡ trón


à

.)(
BDC
PW=




=+
+
= .)(.)(.)(
.)(
)(
dtBDCdt
BDC
dt
PWPWPW
PW
PW

dtBDCdt
PWPWPW )(.))(.)(1(

=



à
W(p)BC W(p)T
TỈÛ ÂÄÜNG HỌA QUẠ TRÇNH NHIÃÛT - PHÁƯN I

57
dtHTH
PWPW )(.))(1(
λϕ
=−⇒
(10)
⇒=
−
ϕ
λ
WP
WP
dt
HTH
()
()1

Váûy W(P)
HTK
=
HTH
dt
PW
PW
)(1
)(
−
(11)


Thỉûc cháút (10) cng l phỉång trçnh vi phán viãút dỉåïi dảng thût toạn
⇒

pháưn trỉåïc
ϕ cng l pháưn âàûc tênh ca hãû thäúng
⇒ Phỉång trçnh âàûc tênh ca hãû thäúng
1 - W(P)
HTH
= 0

Váûy tỉì tênh cháút ca hãû håí ta cọ thãø suy ra âàûc tênh ca hãû kên ( quan trng )
Thỉåìng trong thỉûc tãú
µ
v
λ
trại dáúu nhau do âọ phỉång trçnh âàûc tênh ca hãû
thäúng l:
1 + W(P)
HTH
= 0
Vê dủ:
Âäúi våïi âäúi tỉåüng bãø nỉåïc:

APT
PW
dt
+
=
0

1
)(


dlCP
BDC
PTPT
PW
δ
++
=
22
1
)(

=>
()( )
dlCPP
HH
PTPTAPT
PW
δ
+++
=
22
1
)(

Váûy phỉång trçnh âàûc tênh hãû thäúng l
()( )

0
1
1
22
=
+++
−
dlCPP
PTPTAPT
δ