SKKN dat giai A cap tinh

A - đặt vấn đề:
i. lời mở đầu:
Qua các năm giảng dạy môn toán 9 cùng với kết quả cụ thể trong năm học
2007 - 2008. Tôi thấy rằng các em còn lúng túng trong các dạng bài tập về tìm
nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn, phơng trình đa thức có một
hoặc nhiều ẩn, phơng trình dạng phân thức, cũng nh một số phơng trình khác,
mà mấu chốt của đặc trng để giải phơng trình đó là tìm ra nghiệm nguyên của
phơng trình thì việc tiếp cận với các dạng toán tìm nghiệm nguyên là một vấn đề
hết sức khó khăn trong quá trình toán học.
Mặt khác trong việc gỉang dạy toán cần rèn luyện cho các em các phẩm chất trí
tuệ, đặc biệt là tính độc lập, tính sáng tạo và các phơng pháp giải toán tìm nghiệm
nguyên thông qua các bài tập từ dễ đến khó. Để các em nắm chắc đợc kiến thức
nhằm nâng cao chất lợng trong trong học tập. Vì vậy tôi lựa chọn đề tài một số
phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên .
ii. thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
1. Thực trạng.
Trong giải toán tìm nghiệm nguyên của phơng trình việc giúp các em nắm
bắt đợc cách giải phơng trình tìm nghiệm nguyên là hết sức cần thiết. song qua
một bài toán bằng sự gợi mở cũng nh tung ra các phơng pháp một cách khéo léo
để từ đó giúp các em củng cố đợc nhiều hơn đơn vị kiến thức, đồng thời nắm
đợc các phơng pháp giải ở một số phơng t rình khác nhau.
2. Kết quả hiệu quả của thực trạng trên.
Trong quá trình giảng dạy và điều tra, khảo sát chất lợng giảng dạy môn
toán ở trờng THCS Nga Điền nói chung, môn toán khối 9 nói riêng, cụ thể là bài
toán tìm nghiệm nguyên, tôi thấy sự lúng túng của học sinh khi gập bài toán
tìm nghiệm nguyên ở các bài toán dễ. Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã tìm
tòi các bài toán cơ bản dễ hiểu để từ đó học sinh tiếp cận kiến thức một cách dễ
dàng hơn. Khi cha áp dụng phơng pháp này thì kết quả thấp, và sau khi áp
dụng kết quả có khả quan hơn.
1
Cụ thể là:

Lớp
Sĩ
số
Phơng pháp
Điểm dới
5
Điểm
5 - 6
Điểm
7 - 8
Điểm
9-10
SL %
SL
% Sl
%
SL %
9C 34
Khi cha áp dụng
16 47 12 35,3
4 11,8 2 5,9
9D 34
Khi cha áp dụng
17 50 13 38,2 3 8,8 1
3,0

Chính vì thực tiễn trên là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán tôi đã nghiên
cứu tìm ra nguyên nhân của thực trạng tên, để từ đó tìm ra phơng pháp dễ hiểu
để học sinh tiếp cận một cách dễ dàng hơn, và trong chuyên đề này tôi mạnh dạn đề
cập một số phơng pháp giải phơng trình với nghiệm nguyên cho các phơng

trình nh là phơng trình bậc nhất hai ẩn, phơng trình đa thức một hoặc nhiều ẩn,
phơng trình dạng phân thức.
B. giải quyết vấn đề.
i. Các giải pháp thực hiện.
Một số dạng toán và phơng pháp giải :
Dạng toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn.
Phơng pháp giải:
+ Phơng pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn.
+ Phơng pháp tách ra các giá trị nguyên.
+ Phơng pháp tìm một nghiệm riêng.
Dạng toán 2. Phơng trình đa thức có một hoặc nhiều ẩn.
Phơng pháp giải:
+ Phơng pháp đa về phơng phơng trình ớc số.
+ Phơng pháp xét các số d từng vế.
Dạng toán 3. Phơng trình dạng phân thức.
Phơng pháp giải:
+ Phơng pháp dùng bất đẳng thức.
+ Phơng pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn.
2
+ Phơng pháp tách các giá trị nguyên.
+ Phơng pháp tìm một nghiệm riêng.
+ Phơng pháp xét số d từng vế.
và một số phơng pháp khác
II. cáC BIệN PHáP Để Tổ CHứC THựC HIệN
Các ví dụ vận dụng cho từng dạng toán:
Dạng toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn.
Cơ sở lý thuyết:
Xét phơng trình: ax + by = c trong đó a, b, c
Z
;

0

a
hoặc
0

b
.
Ta có định lý sau:Phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi
c
),( ba
và khi biết phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên ta sẽ tìm các phơng
pháp để giải phơng trình đó.
1.1/ Sử dụng phơng pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn.
Ví dụ. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
7x + 4y = 120 (1)
Giải: Vì (7 , 4) = 1 ; 120

1 nên phơng trình (1) có nghiệm nguyên.
Ta thấy 4y và 120 đều chia hết cho 4 nên 7x

4 mà (7 , 4) = 1 nên x

4.
Đặt x = 4t với t
Z
thì phơng trình (1) trở thành
7(4t) + 4y = 120

7t + y = 30

y = 30 - 7t
Do đó



=
=
ty
tx
730
4
với t
Z
Thử laị . Thay



=
=
ty
tx
730
4
vào phơng trinh (1) thấy thoả mãn VT = VP.
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình (1) là :



=

=
ty
tx
730
4
với t
Z
.
1.2/ Sử dụng phơng pháp tách ra các giá trị nguyên:
Ví dụ. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
14x + 8y = 46 (1)
Giải: Thu gọn phơng trình (1) ta đợc: 7x + 4y = 23
3
Biểu thi y theo x ta đợc: y =
4
723 x
(2)
Tách riêng giá trị nguyên của y ở biểu thức (2) ta đợc.
y =
4
1
26
4
1824
+=
+ x
x
xx
Để y nguyên thì
4

1x
phải nguyên;
Đặt
4
1x
= t với t
Z


x = 4t + 1
do đó y = 6 - 2(4t +1) + t = 6 - 8t - 2 + t = 4 - 7t
Thay x = 4t + 1, y = 4 - 7t vào phơng trình (1) ta đợc nghiệm đúng.
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là:



=
+=
ty
tx
74
14
t
Z
1.3/ Sử dụng phơng tìm một nghiệm riêng.
Cơ sở lý thuyết:
Ta có định lí: Cho phơng trình ax + by = c (1)
Trong đó a, b, c
Z
;

0

a
hoặc
0

b
và (a,b) = 1. Nếu ( x
0
, y
0
) là một nghiệm
nguyên của phơng trình (1) thì phơng trình (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi
nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dới dạng:




=
+=
atyy
btxx
0
0
với t
Z
.
Ta gọi (x
0
, y

0
) là một nghiệm riêng. Nh vậy, để tìm tất cả các nghiệm nguyên
của phơng trình (1) ta chỉ cần tìm ra một nghiệm riêng của phơng trình. trong tr-
ờng hợp đơn giản ta có thể tính nhẩm nghiệm riêng này bằng cách thử chọn.
Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 6x - 4y = 2.
Giải: Dễ thấy x
0
= 1, y
0
= 1 là một nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên
của phơng trình đó là:




=
=
ty
tx
61
41
Dạng toán 2. Phơng trình đa thức có một hoặc nhiều ẩn.
Cơ sở lý thuyết:
4
Phơng trình có dạng f(x , y ) = 0 trong đó f(x , y ) là đa thức của các biến x
, y, gọi là phơng trình đa thức.
2.1/ Sử dụng phơng pháp đa về phơng trình ớc số.
Ví dụ. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: y + x - 4 = -xy (1)
Giải: y + x - 4 = - xy
x + xy + y = 4

x(y +1) + (y +1) = 5
(x + 1)(y + 1) = 5
Ta gọi phơng trình này là phơng trình ớc số.
Vì x, y
Z
nên x + 1
Z
, y +1
Z
và x+ 1 , y +1 là ớc của 5 do đó:
x +1
5 -1
1
-5
Suy ra
x 4
-2
0
-6
y + 1
1
-5
5
-1
y 0
-6 4
-2
2.2/ Sử dụng phơng pháp xét số d từng vế.
Ví dụ: Cho phơng trình 4x
2

- 8y
3
+ 2z
2
= 4(1 - x) (1)
Chứng minh rằng phơng trình (1) không có nghiệm nguyên.
Giải: 4x
2
- 8y
3
+ 2z
2
= 4(1 - x)


4x
2
+ 4x = 8y
3
- 2z
2
+ 4


4x
2
+ 4x + 1 = 8y
3
- 2z
2

+ 5


(2x +1)
2
= 8y
3
- 2z
2
+ 5 (2)
Vế trái của (2) là một số chính phơng lẻ nên chia cho 8 d 1. (3)
Xét vế phải của (2).
8y
3


8
2z
2
chia hết cho 8 nếu z chẵn.
chia cho 8 d 2 nếu z lẻ .
Vậy vế phải chia cho 8 d 5 hoặc d 7 (4)
Từ (3) và (4) suy ra phơng trình (2) không có nghiệm nguyên, do đó phơng
trình (1) không có nghiệm nguyên.
5
Dạng toán 3. Phơng trình dạng phân thức.
Sử dụng phơng pháp dùng bất đẳng thức, sắp thứ tự của các ẩn, và xét từng
khoảng giá trị của biến.
Ví dụ.
Cho phơng trình:

1
22
=+
yx
(1)
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình.
Giải. Từ phơng trình (1) ta nhân vào hai vế của phơng trình với
2
1
khi đó phơng
trình (1) trở thành.

2
111
=+
yx
(2)
Do vai trò của x và y là nh nhau, ta giả sử x

y. Ta xác định khoảng giới hạn
của y (là số nhỏ trong hai số). Vì x > 0 nên

2
2
11
>< y
y
Mặt khác x

y > 0 nên

yx
11

Suy ra
yyyx
1111
++
Hay
4
2
2
1
y
y
(3)

Từ (1) và (2) suy ra 2
4< y
.

Với y = 3 thì
6
6
1
3
1
2
11
=== x
x

,

Với y = 4 thì
4
4
1
4
1
2
11
=== x
x
,

Các nghiệm nguyên dơng của phơng trình là (6;3) và (4;4).
III.kết luận:
Sau một thời gian đa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh ở một số lớp 9 tôi
tự nhận thấy và rút ra một số kết luận nh sau:
1 - Mức độ yêu thích môn học đại số, bài toán tìm nghiệm nguyên đợc nâng lên,
các em không cảm thấy ngại khi gặp bài toán tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
2 - Thông qua đó đa số các em đã nắm đợc một số phơng pháp giải tìm nghiệm
nguyên và có kỹ năng sử dụng các phơng pháp vào các bài tập cụ thể.
3 - Học sinh có kỹ năng khai thác bài toán đã cho thành bài toán khó hơn nhằm
mở rộng kiến thức.
Kết quả đạt đợc khi vận dụng các phơng pháp trên.
Lớp
Sĩ
số
Phơng pháp
Điểm dới

5
Điểm
5 - 6
Điểm
7 - 8
Điểm
9-10
SL %
SL
% Sl
%
SL %
9C 34
Khi áp dụng
5 14,7 14
41,1 11 32,4 4 11,8
9D
34 Khi áp dụng
7 20,6 16
47,1
8 23,5 3 8,8

Để vận dụng và làm tốt các bài tập cần cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyết
kỹ năng và phơng pháp để từ đó học sinh không còn lúng túng khi giải bài toán
tìm nghiệm nguyên.

Nga Điền, ngày 25 tháng 04 năm 2009
Ngời thực hiện

Đỗ Văn Nghĩa.

6
7
7