Đề thi HSG Toán 8 Cấp huyện cực hay

a b c
M
b c c a a b
= + +
+ + +
UBND huyện thanh sơn
PHòNG GD&ĐT THANH SƠN
Đề THI HọC SINH NĂNG KHIếU CấP HUYệN
Năm học: 2009-2010
Môn: Toán 8
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 ( 4,0 điểm):
a. Tính giá trị của biểu thức A =
+ +
4 3 2
19 19 19 20x x x x
tại x = 18.
b. Chứng minh rằng: Với a, b là 2 số nguyên tùy ý ta luôn có 8ab(a
2
- b
2
+6)
M
48
Bài 2 ( 4,0 điểm):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
( ) ( ) ( )A ab a b bc b c ac a c
= + + +
b) Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho 4x
2
+ 12 là bình phơng của một số tự

nhiên.
Bài 3 ( 6,0 điểm):
Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đờng chéo. Qua O kẻ đ-
ờng thẳng song song với AB cắt AD tại E; cắt BC tại F.
a. Chứng minh :
AOD BOC
S S

=
b. Chứng minh: OE = OF.
c. Chứng minh:
+ =
1 1 2
AB CD EF
Bài 4 ( 4,0 điểm): Giải các phơng trình sau
a) 4x
2
- 4x -3 = 0
b)
2 2 2
( ) 4 4 12x x x x
+ + +
Bài 5 (2,0 điểm):
Cho a+b
ạ
0; b+c
ạ
0; c +a
ạ
0 và thỏa mãn điều kiện a

3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
a) Chứng minh a+b+c = 0 hoặc a = b = c.
b) Tính giá trị biểu thức
.
Hết
UBND huyện thanh sơn
PHòNG GD&ĐT THANH SƠN
hớng dẫn chấm THI
HọC SINH NĂNG KHIếU CấP HUYệN
Năm học: 2009-2010
Môn: Toán 8
Câu Đáp án Điểm
1 a) Tính giá trị của biểu thức A =
+ +
4 3 2
19 19 19 20x x x x
tại x = 18. (1,5)
A = x
4
-18x
3
-x
3
+18x
2

+x
2
-18x-x+18+2
= x
3
(x-18)-x
2
(x-18)+x(x-18)-(x-18)+4
Với x = 18, giá trị của biểu thức A là 2
0,5
0,5
0,5
b) Chứng minh rằng:
Với a, b là 2 số nguyên tùy ý ta luôn có 8ab(a
2
- b
2
+ 6)
M
48
(2,5)
Với a,b

Z, ta có ab(a
2
- b
2
+ 6) = ab[(a
2
-1)-(b

2
-1)+ 6]
= ab(a
2
-1) - ab(b
2
-1) + 6ab= ab(a-1)(a+1) - ab(b-1)(b+1) + 6ab
Ta thấy a(a-1)(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên
a(a-1)(a+1)
M
3.
a(a-1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên a(a-1)
M
2
hay a(a-1)(a+1)
M
2.
Mà (2,3) = 1 => a(a-1)(a+1)
M
6.
Tơng tự b(b-1)(b+1)
M
6
suy ra ab(a-1)(a+1) - ab(b-1)(b+1)
M
6 hay ab(a
2
- b
2
)

M
6
=>ab(a
2
- b
2
) + 6ab
M
6
Suy ra 8ab(a
2
- b
2
+ 6)
M
48 (Đpcm)
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
2 (4)
a) Phân tích đa thức
( ) ( ) ( )A ab a b bc b c ac a c
= + + +
thành nhân
tử
(2)

( ) ( ) ( )A ab a b bc b c ac a c
= + + +
= a
2
b + ab
2
- b
2
c - bc
2
+ ac(a-c)
= b(a
2
- c
2
) + b
2
(a - c) + ac(a-c)
= b(a-c)(a+c) + b
2
(a - c) + ac(a-c)
= (a-c)(ab + bc + b
2
+ ac)
= (a-c)(a+b)(b+c)
0,5
0,5
0,5
0,5
b) Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho 4x

2
+ 12 là bình phơng của
một số tự nhiên.
(2)
Giả sử có số tự nhiên x thỏa mãn đề bài
Ta có 4x
2
+ 12 = 4(x
2
+ 3) là bình phơng của một số tự nhiên
=> x
2
+ 3 = 4y
2
(1) (Với y

N)
<=> 4y
2
- x
2
= 3 <=> (2y-x)(2y+x) = 3 (2)
Theo (1): 4y
2
= x
2
+ 3 > x
2
hay (2y)
2

> x
2

Nhng x, y

N nên 2y>x => 2y-x > 0 và 2y+x > 0
Mặt khác (2y+x) - (2y-x) = 2x

0 (do x

N)
Từ (2) =>
2 1
2 3
y x
y x
=


+ =


=> 2y=
1 3
2
2
+
=
=> y=1 => x =2y-1=1 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy x=1 là giá trị duy nhất cần tìm.

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
3 (6)
O
A
B
D
C
F
E
H K