tích phân đổi biến

Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến số
Trong phơng pháp đổi biến số để tính tích phân I =
( )
b
a
f x dx

ta thờng
dùng ẩn phụ, quy trình gồm các bớc:
Bớc 1: Chọn x = u(t) hoặc t = v(x) với u(t) và v(x) là các hàm số
thích hợp
Bớc 2: Lấy vi phân dx = u(t)dt hoặc dt =v(x)dx
Bớc 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử là g(t)dt sau đó tính các cận
, tơng ứng theo a và b
B4 : Tính tích phân I=
( )g t dt



thay cho việc tính tích phân trên
Nh vậy vấn đề ở đây là bài toán dạng nào thì vận dụng đợc phơng
pháp đổi biến số này và việc chọn ẩn phụ dựa vào các dấu hiệu gì? ta phải
tìm hiểu bài toán đã cho để phát hiện ra điều đó. Việc đặt ẩn phụ rất đa
dạng tuỳ thuộc vào hàm số đã cho dới dấu tích phân; nhiều khi còn phụ
thuộc vào cận a và b nữa. Dới đây là một số dấu hiệu và các gợi ý đặt ẩn
phụ khi dạy học sinh giải bài tập tính tích phân :
* Phép đổi biến số dạng 1:
Khi đặt x = u(t):
Cần chú ý các vấn đề sau:
+ f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
+ x=u(t) là hàm đơn điệu, khả vi liên tục trên đoạn [; ]

+ Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn [; ]
+ u() = a ; u() = b
Khi đó ta có:
( ). ( ( )). '( ).
b
a
f x dx f u t u t dt


=

ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:
+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn
+ Phát hiện và đặt x = u(t) cho đúng là vấn đề then chốt của phơng
pháp giải bài toán tính tích phân.
Giáo viên cho học sinh nhận xét giả thiết để tăng cờng khả năng phát
hiện lời giải dựa trên một số gợi ý:
- Những bài toán có dạng nh thế nào thì vận dụng phơng pháp đổi
biến số đợc.
- Các dạng quen thuộc nào để vận dụng phơng pháp đổi biến số
Sau đây là một số dấu hiệu đổi biến số cần rèn luyện cho học sinh:
STT Dấu hiệu của hàm
dới dấu tích phân
Gợi ý cách đổi biến số trong giải
toán
1
f(
2 2
a x

)
x= | a |.sint hoặc x=| a |.cost
2
f(
2 2
x a

)
x
sin
a
t
=
hoặc x
a
cost
=
3
f(
2 2
a x
+
)
x= | a |.tant hoặc x=| a |.cott
4
f(
a x
a x

+

)
f(
a x
a x
+

)
x=a.cos2t
Một số ví dụ khai thác giả thiết trong bài toán tính tích phân
bằng phép đổi biến số dạng 1
Bài toán 1. Tính tích phân sau:
1
2
1
2
1 .I x dx

=


HD Giải: Vấn đề then chốt của các bài toán dạng này là đặt ẩn phụ
thế nào? tại sao lại nghĩ đến việc đặt ẩn phụ?
Giáo viên có thể dẫn dắt học sinh dựa vào đặc điểm của các hàm số
dới dấu tích phân cụ thể đối với hàm số y=
2
1 x
có tập xác định [ -1;
1 ] ta liên tởng đến tập giá trị của hàm số lợng giác sinx hoặc cosx. Chẳng
hạn cách đặt ẩn phụ và dẫn đến việc đổi biến số tính tích phân nh sau:
Đặt x = sint, ta có dx = costdt với t

;
6 2





Khi đó:
2
2
6
1 sin .cos .I t t dt



=

2
6
cos .cos .t t dt



=

2
2
6
cos .t dt

=

2
6
1 2
.
2
cos t
dt



+
=

2
6
sin 2 3
( ) /
2 4 3 8
t t




= + = +
.
Bài toán 2. Tính tích phân sau:

2 2 2
0
. .
a
I x a x dx
=

với a >0
HD Giải: Bài toán tích phân này có biểu thức hàm số phức tạp hơn
tổng quát hơn trớc hết phải cho học sinh thấy thành phần nào cần quan tâm
đến khi tìm hớng giải bài toán này, có liên hệ đợc gì với bài toán trên hay
không? từ đó học sinh có thể liên hệ giữa các biểu thức
2
1 x
và

2 2
a x
khi giả thiết cho a > 0 .
Đặt x= a.sint ta có dx = a.cost.dt với t
0;
2




khi đó:
2 2 2 2 2
0
.sin . sin . .cos .

a
I a t a a t a t dt
=


4 4 4
2
2
0
0
1 .
. (1 4 ). .( .sin 4 ) /
8 8 4 16
a a a
cos t dt t t



= = =

.
Bài toán 3. Tính tích phân sau:
1
2
0
1
dx
I
x
=

+

HD Giải: Với bài toán này hàm số dới dấu tích phân ta liên hệ với
các công thức:

2
2
1
1 tan
cos


+ =
và (tan

) =
2
1
cos

Nhờ các dấu hiệu trên ta có suy nghĩ tới việc đổi biến số nh sau:
Đặt x = tant ta có
dx
=

2
2
1
. (1 tan )dt t dt
cos t

= +

với t
0;
4




Khi đó:
1
2
4 4
2 2
0 0 0
1 tan
.
1 1 tan 4
dx t
I dt dt
x t


+
= = = =
+ +

.
Bài toán 4. Tính tích phân sau:
0

.
a
a x
I dx
a x

+
=


với a >0
HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân với tập xác định [-a; a) ta
liên hệ với công thức :
1 cos 2
cot
1 2
+ +
= =

a x t
t
a x cos t
từ đó có cách đổi biến
số nh sau:
Đặt x= a.cos2t. Khi x = -a thì t=
2

. Khi x= 0 thì t =
4

Và dx = -2a.sin2t.dt
Suy ra:
4 4
2
2 2
2 . cot .sin 2 . 4 .


= =

I a t t dt a cos t dt
2
2
4
4
1 2
2 (1 2 ). 2 ( .sin 2 ) / .( )
2 2
a cos t dt a t t a






= + = + =

.
Bài toán 5. Tính tích phân sau:
2

2
2
3
1
dx
I
x x
=


HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân có tập xác định
+( ;1) (1; )
ta có
<
1
1
x
ta liên tởng đến sinx và cosx cũng có tập giá
trị [-1; 1]. khi đó ta có cách đổi biến số của bài toán nh sau:
Đặt
1
cos
x
t
=
với t
;
6 4

2
1
.sin .dx t dt
cos t
=
Suy ra:


=


2
4
6
2
1
.sin .
1 1
. 1
cos
t dt
cos t
I
t cos t
=
2
4

6
1
.sin .
sin
1
.
cos
t dt
cos t
t
t cost



=
4
4
6
6
/
12
dt t





= =

.

*Bài toán tơng tự:
Các bài toán này khi khai thác giả thiết với các hàm số cho dới biểu
thức tích phân ta cũng hớng đến cách giải tơng tự.
Bài 1. Tính tích phân sau:
1
2
2
0
.
4
x
I dx
x
=


.
HD : Đặt x= 2.cost hoặc x= 2.sint
Bài 2. Tính tích phân sau:
2 2 2
0
( )
a
dx
I
a x
=
+

a>0.

HD: Đặt x = a.tant
Bài 3. Tính tích phân sau:
3
2
2
2
3
2
9 2
.
x
I dx
x
+
=

.
HD: Đặt
2. 3.tanx t
=
Bài 4. Tính tích phân sau:
1
3
2 3
0
.
(1 )
x
I dx
x

=
+

HD: Đặt x = tant.
Bài 5. Tính tích phân sau:
1
2
0
ln(1 )
.
1
x
I dx
x
+
=
+

HD: Đặt x = tant
* Phép đổi biến số dạng 2
Khi đặt t = u(x):
Cần chú ý các vấn đề sau:
. f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] với các biến là: u(a) và u(b).
. Hàm số t = u(x) đơn điệu, khả vi liên tục trên đoạn [a;b] .
. Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn [; ].
. Các giá trị u(a) =

; u(b) =

.

Khi đó ta có:
( ( )). '( ) ( ).


=

b
a
f u x u x dx f t dt
.
ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:
+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn.
+ Phát hiện và đặt t = u(x) cho đúng vấn đề của phơng pháp giải bài
toán.
Trong phơng pháp này chủ yếu là học sinh xác định đợc thành phần
nào là f(u(x)), thành phần nào là u(x). Do vậy giáo viên cần dẫn dắt học
sinh nhận biết các thành phần đó trong mỗi bài toán tính tích phân.
Giáo viên cho học sinh phát hiện các dấu hiệu đặc trng khi chọn hàm
u(x) trong phép đổi biến số.
Một số dấu hiệu đặt ẩn phụ dạng 2 theo bảng gợi ý sau:
STT Dấu hiệu của hàm dới dấu
tích phân
Gợi ý cách đặt ẩn phụ trong
giải toán
1 f(ax+b) t = ax+b
2 f(x
n+1
)x
n
t = x

n+1
3
f(
x
).
1
2 x
t =
x
4
f(lnx)
1
x

t = lnx
5 f(cosx).sinx t = cosx
6 f(sinx).cosx t = sinx
7
f(tanx)
2
1
cos x
t = tanx
8
f(cotx)
2
1
sin x
t =cotx
9 f(e

x
)e
x
t = e
x
10
f(
1
x
x

)(
2
1
1
x
m
) t =
1
x
x

Một số ví dụ khai thác giả thiết trong bài toán tính tích phân bằng
phép đổi biến số dạng 2:
Bài toán1. Tính tích phân sau:
1
2007
0
(1 ) .I x dx
= +

.
HD Giải: Do d(x+1) = dx nên vai trò của x+1 tơng tự x khi lấy vi
phân
mà đã biết nguyên hàm của x
2007
.
Đặt 1+x = t ta có: dt = dx, t
[ ]
1;2
Khi đó:
2008
2
2
2007 2008
1
1
1 2 1
. . /
2008 2008
I t dt t

= = =

Bài toán này có thể liên hệ tới nguyên hàm của hàm hợp từ đó dẫn đến
việc tính tích phân. Các thành phần khác có thể thay đổi thành các bài toán
khác hay ta có thể giải bài toán tổng quát sau:
Tính tích phân sau:
(1 . ) . với n N
b

n
a
I x dx

= +

Bài toán 2. Tính tích phân sau:
2
1
2
. 1
dx
I
x x
=
+

HD Giải: Với bài toán này hàm số dới dấu tích phân cho ta thấy mối
quan hệ giữa biểu thức trong căn và biểu thức bên ngoài cụ thể khi lấy vi
phân ta có: d(x
2
+1) = 2x.dx suy ra
2
1
. ( 1)
2
x dx d x= +
từ đó ta có giải pháp
sau:
Đặt

2
1t x= +
. Khi đó
2 2 2 2
1 ; x 1, x.dx=t.dtt x t= + =
Suy ra:
+
= =
+
5
2
1 1 ( 5 ).( 2 1)
.ln ln
2 1 2
t
t
Bài toán 3. Tính tích phân sau:
2
1
ln
.
(ln ) 1
e
x
I dx
x x
=
+

HD Giải: Ta nhận thấy rằng (lnx) =
1
x
khi đó dễ nhận ra u(x) = lnx
việc còn lại là vận dụng phơng pháp đổi biến số.
Đặt t = lnx t
[ ]
0;1
,
1
.dt dx
x
=
.
Khi đó
2
1
1 1
2
2 2
0 0
0
. 1 (1 ) 1 1
. .ln( 1)/ .ln2
1 2 1 2 2
t dt d t
I t
t t
+

= = = + =
+ +

.
Bài toán 4. Tính tích phân sau:
=
+

1
2
0
.
sin 7.sin 10
cosx dx
I
x x
HD Giải: Ta nhận xét thấy hàm số dới dấu tích phân có chứa cosx và
các lũy thừa của sinx và (sinx) = cosx nên ta nhận thấy:
u(x) = sinx do đó cách giải bài toán nh sau:
Đặt t = sinx thì t
[ ]
0;1

= =


1
0
1 1 1 1 8
. ( ). .ln

3 5 2 3 5
I dt
t t
Bài toán 5. Tính tích phân sau:


=


4
2
0
tan
( ) . (0 < x < )
(1 tan ).cos 4
t
x
I t dx
x x
HD Giải: Ta cũng nhận thấy rằng (tanx) =
2
1
cos x
. Khi đó dễ nhận ra
u(x) = tanx . Suy ra cách giải bài toán bằng phơng phơng pháp đổi
biến số nh sau:
Đặt t = tanx ta có
2
1
.dt dx

cos x
=
suy ra:
4
tan tan
2
2 2
0 0
1
( ) . ( 1 ).
1 1
t t
t
I t dt t dt
t t
= = + +



tan
3
0
1 1 1 1
( .ln ) / tan tan .lntan( )
3 2 1 3 2 4
t
t t
t t t t
t

= + + = +
+
.
Bài toán 6. Tính tích phân sau:
ln3
0
1
x
dx
I
e
=
+

.
HD Giải: Vấn đề làm mất căn thức trong các biểu thức hàm số bằng
cách đặt biến mới cũng là một ý tởng gợi cho học sinh cho việc đổi biến số
trong bài toán này.
Đặt
2 x 2
1 t 1 e 1
x x
t e e t= + = + =

2
2
.
1
t

dx dt
t
=

, t
2;2


Khi đổi biến nh vậy vấn đề khi chuyển về biến mới thì biểu thức hàm
số trong tích phân mới không còn căn thức và dễ dàng tìm đợc nguyên
hàm.
Khi đó:
2
2 2
2
2 2
2
2 1 1 1 3 2 2
. ( ). ln / ln
1 1 1 1 3
t
I dt dt
t t t t
+
= = = =
+ +

.
Bài toán 7. Tính tích phân sau:
1

2
0
1 3
.ln .
9 3
x
I dx
x x
+
=


Giải: Đặt
2
3 3-x 3+x 6.dx
ln dt= .( )'.dx=
3 3+x 3-x 9-x
x
t
x
+
=

, t
[ ]
0;ln2
Suy ra:
2
ln2
1 ln2

2
2
0 0
0
1 3 1 1
.ln . . . / .ln 2
9 3 6 12 12
x t
I dx t dt
x x
+
= = = =


Bài toán 8. Tính tích phân sau:
2
2
4
1
1
.
1
x
I dx
x

=
+

HD Giải: Nhờ các kết quả:

=
+
+
2
2
4
2
2
1
1
1
với x 0
1
1
x
x
x
x
x

(
1
x
x
+
) =
2
1

1
x

và (
1
x
x
+
)
2
=
2
2
1
2x
x
+ +
Ta có
2
2
4
1
1
.
1
x
I dx
x
+
=

+

=
2
2
1
2
2
1
1
.
1
x
dx
x
x

+

Đặt
2 2
2 2
1 1 1
dt=(1- ) t =x + +2
x x
t x dx
x
= +
t
5

2;
2



Khi đó
5 5
2 2
2
2 2
1 (t+ 2) ( 2)
. .
2
2 2 ( 2).( 2)
dt t
I dt
t
t t

= =

+

( Đây là tích phân của hàm hữu tỷ quen thuộc)

5
2
2
1 2 1 (5 2 2).(2 2)
ln / = .ln

2 2 2 2 2 6 2
t
t
+
=
+
.
Bài toán 9. Tính tích phân sau:
4
1
1
.
1
o
x
I dx
x
+
=
+

.
HD Giải: Dựa vào biểu thức của hàm số dới dấu tích phân ta xem xét
việc làm mất căn thức trong biểu thức hàm số là mấu chốt cơ bản của vấn
đề.
Thông thờng các hàm số chứa căn thức thì một trong cách làm mất
căn là đặt cả căn thức làm ẩn phụ vậy ta có cách đổi biến sau đây:
Đặt
4 3
4

t , dx= 4t .t x x dt= =
với t
[ ]
0;1
Suy ra
3
1 1
2
2 2 2
0 0
(1 ). 1 2 1
4. = 4. (t 1 . ).
1 2 1 1
t t dt t
I t dt
t t t
+
= + +
+ + +


3 2
1
2
0
1
4.( .ln(1 ) arctan )/
3 2 2
t t
t t t= + + +

1 1
4.( .ln2 )
4 2 6

=
.
Các bài toán tơng tự:
Bài 1. Tính tích phân sau:

3
1
2 3
0
.
( 1)
x dx
I
x
=
+

HD: Từ biểu thức của hàm số dới dấu tích phân ta dẫn đến cách đổi biến
quen thuộc:
Cách 1: Đặt t= x
2
+1
Cách 2: Đặt x= tant
Bài 2.Tính tích phân sau:

1
2
2
1
2
(2 3) 4 12 5
dx
I
x x x

=
+ + +

HD: Do (
2
4 12 5x x+ +
) =
2
2(2 3)
4 12 5
x
x x
+
+ +
Đặt
2
4 12 5t x x= + +
Bài 3. Tính tích phân sau:

2

2 2 2 2
0
sin .cos .
( a; b 0 )
.cos .sin
x x dx
I
a x b x

=
+

HD: Đặt
2 2 2 2
cos sint a x b x= +
Bài 4. Tính tích phân sau:
2
0
2cos sin 3
dx
I
x x

=
+ +

HD: Đặt
tan
2
x

t =
Bài 5. Tính tích phân sau:
1
0
.
1
x
x
e dx
I
e


=
+

HD: đặt
1
x
u e

= +
Tính tích phân sau:
2
0
2cos .
3 2sin
x dx
I
x

=
+

HD: đặt t = sinx.
Qua các bài toán trên cho thấy nếu khai thác tốt giả thiết thì học sinh
dễ tìm đợc lời giải bởi vì trong giả thiết chứa các gợi ý cho lời giải. Vấn đề
tìm ra lời giải là điều kiện cần để giải quyết bài toán còn trình bày lời giải
là điều kiện đủ. Nh vậy khai thác triệt để giả thiết của một bài toán là một
trong các giải biện s phạm cho việc tăng cờng khả năng giải quyết vấn đề
cho học sinh phổ thông.