tổ hợp sát suất

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Phần 1 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. Hai quy tắc sơ bản
1. Quy tắc cộng:
Giả sử công việc có thể được thực hiện theo phương án A
hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách
thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n +
m cách.
Tổng quát: Giả sử công việc có thể được thực hiện theo 1
trong k phương án A
1
, A
2
,, …, A
k
. Có n
1
cách thực hiện phương
án A
1
, n
2
cách thực hiện phương án A
2
, … và nk cách thực hiện
phương án A
k
. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n
1
+ n

2
+ … + n
k
cách.
2. Quy tắc nhân:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B.
Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện
công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó
công việc cố thể thực hiện theo n.m cách.
Tổng quát: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công
đoạn A
1
, A
2
, …, A
k
. Công đoạn A
1
có thể thực hiện theo n
1
cách,
công đoạn A
2
có thể thực hiện theo n
2
cách, …, công đoạn A
k
có
thể thực hiện theo n
k

cách. Khi đó công việc có thể thực hiện
theo n
1
.n
2
…n
k
cách.
II. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
1. Hoán vị:
Cho tập hợp A có n (n
∈
N
*
) phần tử. Khi đó sắp xếp n phần
tử này theo 1 thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A
(gọi tắt là 1 hoán vị của A).
Định lí:
Số các hoán vị của 1 tập n phấn tử là:
P
n
= n! = n(n + 1)(n + 2)…1.
2. Chỉnh hợp:
Cho 1 tập hợp A gồm n phấn tử và số nguyên k với 0 < k <
n + 1. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp sếp chúng theo 1 thứ tự,
ta được 1 chỉnh hợp k của n phần tử của A (gọi tắt là 1 chỉnh hợp
chập k của A).
1
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Định lí:

Số chỉnh hợp chập k của 1 tập hợp có n phần tử (0 < n + 1)
là:
A
k
n
= n(n + 1)(n + 2 )…(n – k + 1). (1)
Chú ý:
- Với 0 < k < n thì ta có thể viết công thức (1) dưới
dạng
( )
!kn
!n
A
k
n
−
=
.
(2)
- Ta quy ước: 0! = 1 và
1
0
=
A
n
.
3. Tổ hợp:
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 0 < k < n
+ 1. Một tập con con của A có k phần tử gọi là một tổ hợp chập k
của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k của A).

Định lí:
Số các tổ hợp chập k của 1 tập hợp có n phần tử (0 < k , n
+ 1) là
( )( ) ( )
!k
1kn 2n1nn
!k
A
C
k
n
k
n
+−−−
==
(3)
Chú ý:
- Với 0 < k < n + 1 ta có thể viết công thức (3) dưới
dạng
( )
!kn!k
!n
C
k
n
−
=
4. Tính chất:
a) Tính chất 1:
Cho các số nguyên n và k với 0

≤
k
≤
n. Khi đó
CC
kn
n
k
n
−
=
.
b) Tính chất 2:
Cho các số nguyên n và k với 1
≤
k
≤
n. Khi đó
CCC
1k
n
k
n
k
1n
−
+
+=
.
III. Nhị thức Niutơn

Công thức nhị thức Niu-tơn
( )
ba
n
+
=
bCbaCbaCaC
nn
n
kknk
n
n
n
n
n
++++
−−

1110
=
∑
=
−
n
k
kknk
n
baC
0
(quy ước a

0
= b
0
= 1).
2
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Phần 2: XÁC SUẤT – THỐNG KÊ
I. Biến cố và xác suất của biến cố
1. Biến cố:
a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:
Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành đọng
mà:
- Kết quả của nó không đoán trước được
- Có thể xác định được tập hợp các kết quả có thể xảy
ra của phép thử đó.
Kí hiệu: T
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử
được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu là
Ω
.
b) Bến cố:
Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy
ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là
một kết quả thuận lợi cho A.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là
Ω
A
.
2. Biến cố của xác suất:

a) Định nghĩa cổ điển của xác suất:
Giả sử phép thử T có không gian mẫu
Ω
là một tập hữu
hạn và các kết quẩ của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến
cố liên quan với phép thử T và
Ω
A
là tập hợp các kết quả thuận
lợi cho A thì xác suất của A là một số kí hiệu P(A) và được xác
định bởi công thức:
P(A) =
Ω
Ω
A
.
Chú ý:
Từ định nghĩa ta suy ra:
- 0
≤
P(A)
≤
1
- P(
Ω
) = 1 , P(
φ
) = 0.
b) Định nghĩa thống kê của xác suất:
3

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Số lần xuất hiện của biến cố A được gọi là tần số của A
trong N lần thực hiện phép thử
Tỉ số tần số của A với N được gọi là tần suất của A trong N
lần thực hiện phép thử T.
II. Các quy tắc tính xác suất
1. Quy tắc cộng xác suất:
a) Biến cố hợp:
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra” kí hiệu A
∪
B được gọi là hợp của hai biến cố A và B.
Tổng quát:
Cho k biến cố A
1
, A
2
, …, A
k
. Biến cố “Có ít nhất một trong
các biến cố A
1
, A
2
, …, A
k
xảy ra”, kí hiệu là A
1
∪
A
2

∪
…
∪
A
k
, được
gọi là hợp của k biến cố đó.
b) Biến cố xung khắc:
Cho hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố
này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra và ngược lại.
c) Quy tắc cộng xác suất:
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xãc suất để A hoặc B
xảy ra là
P(A
∪
B) = P(A) + P(B).
Tổng quát:
Cho k biến cố A
1
, A
2
, …, A
k
đôi một xung khắc. Khi đó:
P(là A
1
∪
A
2
∪

…
∪
A
k
) = P(A) + P(B) + …+ P(A
k
).
d) Biến cố đối:
Cho A là một biến cố. khi đó biến cố “không xảy ra A”, kí
hiệu là
A
, được gọi là biến cố đối của A.
Chú ý:
Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc nhưng hai
biến cố xung khắc thì chưa chắc là hai biến cố đối nhau.
Định lí:
Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối
A
là
P(
A
) = 1 – P(A).
2. Quy tắc nhân xác suất:
a) Biến cố giao:
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí
hiệu là AB được gọi là giao của hai biến cốA và B.
Tổng quát:
Cho k biến cố A
1
, A

2
, …, A
k
. Biến cố”Tất cả k biến cố A
1
, A
2
,
…, A
k
đều xảy ra” kí hiệu Cho k biến cố A
1
A
2
…A
k
được gọi là giao
của k biến cố.
4
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
b) Biến cố độc lập:
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc
xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra
của biến cố kia.
Tổng quát:
Cho k biến cố A
1
, A
2
, …, A

k
, k biến cố này được gọi là độc
lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố
không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại.
c) Quy tắc nhân xác suất:
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
P(AB) = P(A)P(B).
Tổng quát:
Nếu k biến cố A
1
, A
2
, …, A
k
độc lập với nhau thì
P( A
1
A
2
…,A
k
) =P(A
1
)P( A
2
)…P( A
k
).
III. Biến cố ngẫu nhiên rời rạc
1. Khái niệm biến cố ngẫu nhiên rời rạc:

Đại lượng X được gọi là một biến cố ngẫu nhiên rời rạc nếu
nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị
ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được.
2. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc:
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị {x
1
,
x
2
,…, x
n
}. Để hiểu rõ hơn về X ta thường quan tâm đến xác xuất
để X nhận giá trị x
k
tức là các số P(x = x
k
) =p
k
với k = 1, 2,…, n.
Ta được bảng sau:
X x
1
x
2
… x
n
P p
1
p
2

… p
n
Được gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
rời rạc X.
3. Kì vọng:
Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x
1
,
x
2
,…, x
n
}. Kì vọng của X kí hiệu là E(X) là một số được tính theo
công thức
E(X) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+…+ x
n
p
n
=
∑
=
n

i
i
i
p
x
1
,
ở đó p
i
= P(X = x
i
), i = 1, 2, …, n.
Có thể hiểu kì vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình
của X.
4. Phương sai và độ lệch chuẩn:
a) Phương sai:
5
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x
1
, x
2
,…,
x
n
}. Phương sai của X kí hiệu là V(X) là một số được tính theo
công thức
V(X) =
( ) ( ) ( )
p

x
p
x
p
x
n
n
2
2
2
2
1
2
1

µµµ
−++−+−
=
( )
∑
−
=
n
i
i
i
p
x
1
2

µ
ở đó pi = P(X = xi) , i = 1, 2,…, n và
µ
= E(X).
b) Độ lệch chuẩn:
Căn bậc hai của phương sai kí hiệu
( )
x
σ
được gọi là độ lệch
chuẩn của X, nghĩa là
( ) ( )
XVx =
σ

B. BÀI TẬP
1. Dạng 1: Bài toán lập số.
Thông thường để lập được số n =
m321
a aaa
từ các chữ số cho trước (với a
1
≠
0)
 Ta dùng các phép chỉnh hợp – hoán vị và cả tổ hợp (nếu các chữ số có lập lại).
 Nếu trong quá trình sắp xếp; nếu có các chữ số hoặc các số có điều kiện thì ta
chọn trước và các chữ số có tính chất bình đẳng thì ta chọn sau.
 Sau đó vận dụng các quy tắc nhân – quy tắc cộng trong phép đếm để có kết
quả.
BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1:
Cho tám chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 và 7. Từ tám chữ số trên có thể lập được
bao nhiêu số, mỗi số gồm bốn chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho
10.
Giải :
Gọi A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và số có bốn chữ số là n =
4321
aaaa
.
 Chọn a
4
từ A \ {0} : có 7 cách chọn.
 Chọn a
1
từ A \ {0, a
4
} : có 6 cách chọn.
6
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
 Chọn hai vị trí còn lại a
2
, a
3
từ A \ { a
1
, a
4
} : có
2
6

A
cách chọn.
Vậy số các số nhận được thỏa điều kiện đề bài là : 7.6.
2
6
A
= 1260 số.
Bài 2 :
Cho tập A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hòi có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ
số không chia hết cho 3 mà các chữ số trong mỗi số là khác nhau.
Giải :
Gọi số có ba chữ số là n =
321
aaa
.
 Trước tiên ta số các số n =
321
aaa
được lập từ A
- Chọn a
1
từ A \ {0} : có 5 cách chọn.
- Chọn hai vị trí còn lại a
2
, a
3
từ A \ {a
1
} : có
2

5
A
cách chọn.
Số các số nhận được là : 5.
2
5
A
= 100 số.
 Trong 100 số vừa tìm được, có các số chia hết cho 3 và các số không chia hết
cho 3.
- Các số gồm ba chữ số chia hết cho 3 được lập bởi các :
Nhóm 1 : {0, 1, 2} ; {0, 1, 5}; {0, 2, 4} ; {0, 4, 5}
Nhóm 2 : {1, 2, 3} ; {2, 3, 4}; {1, 3, 5} ; {3, 4, 5}
+ Xét : {0, 1, 2}
 Chọn a
1
≠
0 : có 5 cách chọn.
 Chọn hai vị trí còn lại a
2
, a
3
: có 2! cách chọn.
Vậy có 2.2! = 4 số nhận dược từ {0, 1, 2}.
Vậy từ nhóm 1 có 4.4 = 16 số.
+ Xét : {1, 2, 3} có 3! số nhận được.
Vậy từ nhóm 2 có 4.3!= 24 số.
Vậy số các số chia hết cho 3 là : 16 + 24 = 40 số.
Kết luận : số các số thỏa yêu cầu đề bài là : 100 – 40 = 60 số.
Bài 3 :

1) Có bao nhiêu số chẵn gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ
số đầu tiên phải là số lẻ.
2) Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng
ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn.
Giải :
Gọi A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và số có sáu chữ số là n =
654321
aaaaaa
.
1)  Chọn a
1
là số lẻ : có 5 cách chọn.
 Chọn a
6
là số chẵn : có 5 cách chọn.
 Chọn bốn vị trí còn lại từ A \ { a
1
, a
6
} : có
4
8
A
cách chọn.
Vậy các số nhận được thỏa yêu cầu đề bài là : 5.5.
4
8
A
= 42000 số.
7

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
2) Trước tiên ta tìm số các dãy số gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó có
đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn ( tức là kể cả a
1
= 0).
 Chọn ra ba số chẵn : có
3
5
C
cách chọn.
 Chọn ra ba số lẻ : có
3
5
C
cách chọn.
 Sắp xếp thứ tự sáu số vừa được chọn, có 6! cách.
Vậy số các dãy số nhận được:
3
5
C
.
3
5
C
.6! = 72000 dãy.
Trong 72000 dãy số vừa tìm được ta tìm số các dãy số dạng :
65432
aaaaa0
 Chọn ra hai số chẵn còn lại : có
2

4
C
cách chọn.
 Chọn ra ba số lẻ : có
3
5
C
cách chọn.
 Sắp xếp thứ tự năm số vừa được chọn, có 5! cách.
Vậy số các dãy số nhận được:
2
4
C
.
3
5
C
.5! = 7200 dãy.
Kết luận: số các số thỏa yêu cầu đề bài là : 72000 – 7200 = 64800 số.
Bài 4 :
Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong mỗi số đó có hai chữ
số đứng cạnh nhau không giống nhau.
Giải :
Gọi A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và số có sáu chữ số là n =
654321
aaaaaa
.
 Chọn a
1
từ A \ {0} : có 9 cách chọn.

 Chọn a
2
từ A \ {a
1
} : có 9 cách chọn.
 Chọn a
3
từ A \ {a
2
} : có 9 cách chọn.
 Chọn a
4
từ A \ {a
3
} : có 9 cách chọn.
 Chọn a
5
từ A \ {a
4
} : có 9 cách chọn.
 Chọn a
6
từ A \ {a
5
} : có 9 cách chọn.
Kết luận: số các số thỏa yêu cầu đề bài là : 9
6
số.
Bài 5 :
Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số

đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nó.
Giải:
Theo đề bài, ta có tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} là tập lập số và mỗi cách chọn
ra năm phần tử từ A thì ta chỉ nhận được một số duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề
bài.
Ví dụ {3, 5, 2, 1, 9} thì chỉ nhận được số: 12359.
Vậy số các số nhận được thỏa đề bài chính là số tổ hợp chập năm của chín phần
tử.
Vậy có
5
9
C
= 126 số thỏa yêu cầu đề bài.
8
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Bài 6 :
Có bao nhiêu số có sáu chữ số khác nhau đôi một luôn có hai chữ số 1 và
6 không đứng cạnh nhau.
Giải :
Gọi số có sáu chữ số là n =
654321
aaaaaa
Trước tiên ta tìm số các số có sáu chữ số mà trong mỗi số có hai chữ số 1 và 6:
 Nếu a
1
= 1
 Sắp chữ số 6 vào năm vị trí còn lại : có 5 cách sắp.
 Chọn bốn vị trí còn lại từ A \ { 1, 6} : có
4
8

A
cách chọn.
Vậy có 5.
4
8
A
= 8400 số.
 Nếu a
1
= 6
Tương tự như trên ta có 8400 số.
 Nếu a
1

≠
1 và a
1

≠
6
 Chọn a
1
từ A \ {0, 1, 6} : có 7 cách chọn.
 Sắp xếp hai chữ số 1 và 6 : có
2
5
A
cách.
 Chọn ba vị trí còn lại từ A \ { a
1

, 1, 6} : có
3
7
A
cách chọn.
Vậy có 7.
2
5
A
.
3
7
A
= 29400 số.
Vậy có 8400 + 8400 + 29400 = 46200 số có sáu chữ số mà mà trong mỗi số có
hai chữ số 1 và 6.
Ta tìm số các số có sáu chữ số mà trong mỗi số có hai chữ số 1 và 6 đứng liền
nhau ( tức là có chứa 16 hoặc 61).
Số được tạo thành trong trường hợp này tương ứng như là số có năm chữ số đôi
một khác nhau với tập lập số là {16, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
 Trường hợp số có sáu chữ số có chứa 16.
Số được tạo thành trong trường hợp này tương ứng như là số có năm chữ số đôi
một khác nhau
54321
aaaaa
với tập lập số là {16, 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}.
Vậy có 8.
4
8
A

= 13440 số.
 Trường hợp số có sáu chữ số có chứa 61.
Tuông tự như trên, ta cũng có 13440 số.
Vậy có 26880 số mà trong mỗi số có hai chữ số 1 và 6 đứng liền nhau.
Kết luận : Có 46200 – 26880 = 19320 số thỏa đề bài.
Bài 7 :
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các chữ số đó nhỏ hơn 345 ?
Giải :
Gọi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và số có ba chữ số là n =
321
aaa
< 345.
 Trường hợp 1 : Chọn a
1
< 3.
 Chọn a
1
= 1 hoặc a
1
= 2 : có 2 cách chọn.
9
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
 Chọn hai chữ số còn lại từ A \ { a
1
} : có
2
5
A
cách chọn.

Vậy số các số nhận được là: 2.
2
5
A
= 40 số.
 Trường hợp 2 : Chọn a
1
= 3.
 Chọn a
1
= 1 : có 1 cách chọn.
 Chọn a
2
= 1 hoặc a
1
= 2 : có 2 cách chọn.
 Chọn chữ số còn lại từ A \ { 3, a
2
} : có 4 cách chọn.
Vậy số các số nhận được là: 1.2.4 = 8 số.
 Trường hợp 3 : Chọn a
1
= 3.
 Chọn a
1
= 1 : có 1 cách chọn.
 Chọn a
2
= 4 : có 1 cách chọn.
 Chọn chữ số còn lại từ các số 1, 2 : có 2 cách chọn.

Vậy số các số nhận được là: 1.1.2 = 2 số.
Kết luận : Có tất cả : 40 + 8 + 2 = 50 số thỏa yêu cầy đề bài.
Bài 8 :
Với các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba
chữ số khác nhau và không lớn hơn 789 ?
Giải :
Gọi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } và số có ba chữ số là n =
321
aaa
> 789.
 Trường hợp 1: Chữ số a
3
= 8
 Chọn a
3
= 8 : có 1 cách chọn.
 Chọn a
1
từ A \ {7, 8, 9} : có 6 cách chọn (a
1
< 7).
 Chọn a
2
từ A \ {8, a
1
} : có 7 cách chọn
Vậy số các số nhận được là : 1.6.7 = 42 số.
 Trường hợp 1: Chữ số a
3
= 8

 Chọn a
3
= 8 : có 1 cách chọn.
 Chọn a
1
= 7 : có 1 cách chọn
 Chọn a
2
từ A \ {7, 8, 9} : có 6 cách chọn (a
1
< 7).
Vậy số các số nhận được là : 1.1.6 = 6 số.
 Trường hợp 3: Chữ số a
3
= 6 ( tương tự cho a
3
= 4, a
3
= 2)
 Chọn a
3
= 6 : có 1 cách chọn.
 Chọn a
1
từ tập {1, 2, 3, 4, 5} : có 5 cách chọn (a
1
< 7).
 Chọn a
2
từ A \ {6 , a

1
} : có 7 cách chọn
Vậy số các số nhận được là : 1.5.7 = 35 số.
Vậy các số nhận được tương ứng a
3
= 6 hoặc a
3
= 4 hoặc a
3
= 2 là 3.35 = 105
số.
 Trường hợp 4: Chữ số a
3
= 6 ( tương tự cho a
3
= 4, a
3
= 2)
 Chọn a
3
= 6 : có 1 cách chọn.
 Chọn a
1
= 7 : có 1 cách chọn .
 Chọn a
2
từ {1, 2, 3, 4, 5, 8} : có 6 cách chọn.
Vậy số các số nhận được là : 1.1.6 = 6 số.
10
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A

Vậy các số nhận được tương ứng a
3
= 6 hoặc a
3
= 4 hoặc a
3
= 2 là 3.6 = 18
số.
Kết luận : Có tổng số : 42 + 6 + 105 + 18 = 171 số thỏa đề bài.
Bài 9 :
1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau và các
chữ số đều lớn hơn 5.
2) Tính tổng các số đó.
Giải :
1) Vì tất cả các chữ số đều lớn hơn 5, nên ta có tập lập số là: A = {6, 7, 8, 9 }.
Do đó số số có bốn chữ số n =
4321
aaaa
được thành lập từ A là số hoán vị của 4
phần tử và bằng : 4! = 24 số.
2) Trong 24 số đã tìm ở câu 1) có:
- Sáu số có dạng:
6aaa
321
(a
1
, a
2
, a
3

nhận được từ hoán vị của ba phần tử 7, 8, 9)
- Sáu số có dạng:
7aaa
321

- Sáu số có dạng:
8aaa
321

- Sáu số có dạng:
9aaa
321

 Vậy tổng các chữ số của hàng đơn vị của 24 số ở câu 1) là:
6( 6 + 7 + 8 + 9) = 180.
 Tương tự ta có tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm và hàng ngàn
đều là 180.
Vậy tổng tất cả 24 chữ số ở câu 1) là :
180.10
3
+ 180.10
2
+ 180.10 + 180 = 199980.
Bài 10 :
Có bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau và tính tổng của chúng.
Giải:
 Gọi A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và số có ba chữ số là n =
4321
aaaa
.

 Chọn a
1

≠
0 : có 9 cách chọn.
 Chọn ba chữ số còn lại từ A \ {a
1
} : có
3
9
A
cách chọn.
Vậy có tất cả : 9.
3
9
A
= 4536 số thỏa yêu cầu đề bài.
 Tính tổng của 4536 số vừa nhận được:
- Xét các số dạng p =
4321
aaaa
( kể cả a
1
= 0 )
 Số có dạng :
0aaa
321
có
3
9

A
= 504 số.
 Tương tự như trên ta có 504 số có hàng đơn vị lần lượt là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9.
Vậy tổng các chữ số của hàng đơn vị của số p là:
504(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 22680.
11
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Tương tự ta có tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm và hàng ngàn đều là
22680.
Suy ra tổng của các số dạng p đã xét là :
22680.10
3
+ 22680.10
2
+ 22680.10 + 22680 = 25197480.
- Xét các số dạng q =
432
aaa0

 Số có dạng :
1aa0
32
có
2
8
A
= 56 số.
 Tương tự như trên ta có 56 số có hàng đơn vị lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Vậy tổng các chữ số của hàng đơn vị của số p là:

56(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 2520.
Tương tự ta có tổng của các chữ số hàng chục và hàng trăm đều là 2520.
Suy ra tổng của các số dạng q đã xét là :
0.10
3
+ 2520.10
2
+ 2520.10 + 2520 = 279720.
Kết luận : Tổng của 4536 số tìm được ở phần trên là :
25197480 – 279720 = 24917760.
2. Dạng 2: Bài toán sắp xếp công việc.
- Bài toán có thể là phép chỉnh hợp – hoán vị: đặc điểm của loại toán
này là sắp theo thứ tự.
- Bài toán có thể là phép toán tổ hợp: đặc điểm của loại toán này là
không kể thứ tự.
- Bài toán có thể là phép toán chỉnh hợp – hoán vị và tổ hợp: khi giải
quyết bài toán này cần phải phân biệt các công đoạn thực hiện, trong từng công
đoạn phải phân biệt được tính chất có thứ tự hoặc không cần phân biệt có thứ tự.
Bài 1:
Có bao nhiêu cách phân phối 8 đồ vật khác nhau vào 3 hộp khác nhau, sao
cho hộp thứ nhất chứa 3 đồ vật, hộp thứ hai chứa 3 đồ vật và hộp thứ ba chứa 2
đồ vật?
Giải :
Ta có thể thực hiện mỗi cách phân phối theo 3 bước sau đây:
Bước 1: Chọn 3 trong 8 đồ vật đặt vào hộp thứ nhất. Có
3
8
C
cách chọn.
Bước 2: Chọn 3 trong 5 đồ vật còn lại đặt vào hộp thứ hai. Có

3
5
C
cách chọn.
Bước 3: Đặt 2 đồ vật còn lại vào hộp thứ ba. Có 1 cách chọn.
Số cách phân phối thoả yêu cầu bài toán:
3
8
C
.
3
5
C
.1 = 560 (cách).
Bài 2:
Trên giá sách có 30 quyển sách, trong đó có 27 quyển có tác giả khác
nhau, và 3 quyển có cùng một tác giả. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các sách ấy, sao
cho các sách của cùng một tác giả đứng cạnh nhau?
Giải :
12
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Ta xem 3 quyển sách của cùng một tác giả như một bộ sách gồm 3 tập. Như vậy
có 28 quyển sách có tác giả khác nhau. Ta có thể sắp chúng trên giá sách theo
28
P
cách. Ba quyển sách của cùng một tác giả có thể hoán vị theo
3
P
cách.
Vậy có

3
P
.
28
P
= 241920 cách sắp 30 quyển sách thoả mãn yêu cầu bài toán.
Bài 3:
Một học sinh c ó 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 sách
Toán, 4 s ách Văn và 6 sách Anh Văn. Có bao nhiêu cách sắp xếp lên kệ sách dài
nếu các cuốn sách cùng loại xếp liền nhau.
Giải :
Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài thì có 2! cách.
Trong mỗi nhóm ta hoán vị các sách cùng loại với nhau thì sách Toán có
2! cách, sách Văn có 4! cách, và sách Anh Văn có 6! cách.
Vậy c ó 3!2!.4!.6! = 207360 các xếp.
Bài 4:
Một thiếu nữ có n vỏ sò khác nhau trong đó có hai vỏ bị khuyết một phần.
Có bao nhiêu cách:
a. Xếp thành một hàng dọc trên cát mà hai vỏ sò bị khuyết ở cuối
b. Xâu thành một vòng chuỗi sò.
Giải :
a. Hai vỏ sò bị khuyết xếp cuối có 2! cách xếp.
n- 2 vỏ sò còn lại có có ( n- 2)! cách xếp.
Vậy có 2( n- 2)! cách xếp hàng dọc trên cát mà hai vỏ bị khuyết nằm ở cuối dãy.
b. Chuỗi vòng khép kín nên vỏ sò thứ nhất coi như có một vị trí chọn. Ta có n -1
vỏ sò còn lại thì có (n -1) hoán vị.
Nhưng chuỗi vòng lật ngược thì được một chuỗi có hoán vị khác, do đó cứ hai
hoán vị tương ứng thì được một chuỗi vòng.
Vậy có
)!1(

2
1
−n
cách xâu chuỗi vòng.
Bài 5:
Có bao nhiêu cách tặng 5 món quà khác nhau cho ba người mà người nào
cũng có quà.
Giải :
Có hai khả năng:
1. Một người nhận một quà, hai người kia đều nhận hai quà.
- Có ba cách chọn người nhận một quà
13
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
- Có 5 cách chọn quà cho người đó.
- Có
2
4
C
cách chọn quà cho người sau.
- Có 1 cách cho người cuối nhận 2 quà.
Do đó có 3.5.
2
4
C
.1= 90 cách.
2. Một người nhận ba quà, hai người kia đều nhận một quà
- Có ba cách chọn người nhận ba quà.
- Có
3
5

C
cách chọn quà cho người đó.
- Có
1
2
C
cách chọn quà cho người sau.
- Có một cách người cuối nhận một quà.
Do đó có: 3.
601.C.C
3
5
3
5
=
cách.
Vậy tổng cộng có 90+60 = 150 cách.
Bài 6 :
Một đội công nhân có 15 người, gồm 9 nam và 6 nữ.
1. Có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác gồm 4 nam và 2 nữ từ đội công
nhân trên.
2. Trong đó có vợ chồng anh Thu và chị Chi vì có con nhỏ nên không thể
tham dự một tổ được. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác như trên để
chiếu cố đến tình hình này?
ĐS: 1.
2
6
4
9
CC

2.
1
5
3
8
CC
Bài 7:
Có 16 đội bóng đá tham gia thi đấu. Thể lệ cuộc thi là bất kì hai đội nào
cũng chỉ gặp nhau một lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
ĐS:
2
16
C
Bài 8:
Từ một tập thể nhà khoa học gồm 2 nhà toán học và 10 nhà kinh tế học, có
bao nhiêu cách thành lập một phái đoàn 8 người, trong đó có ít nhất một nhà toán
học?
ĐS: 450
Bài 9:
14
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành chi đoàn gồm 3 người, một bí
thư, một phó bí thư và một uỷ viên, trong một chi đoàn có 20 đoàn viên?
ĐS:
3
20
A
Bài 10:
Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường
vụ.

a. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ
thì có bao nhiêu cách chọn?
b. Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó bí
thư, Uỷ viên thường vụ. thì có bao nhiêu cách chọn?
ĐS: a. 35 b. 210
Bài 11:
Một trạm cảnh sát có 9 người. Có bao nhiêu cách:
a) Phân công 6 người trực, 3 người nghỉ.
b) Phân công 3 người giải quyết tại A, 2 người tại B và 4 người trực trạm.
ĐS: a.
6
9
C
b.
1.C.C
2
6
3
9
Bài 12: Nhóm 20 học sinh trong đó có 10 nữ. Lập nhóm công tác 5 người, có bao
nhiêu cách lập mà:
a) Ít nhất một nữ
b) Tối đa một nữ
ĐS: a.
5
10
5
20
CC −
b.

1
10
4
10
5
10
C.CC +
3. Dạng 3: Bài toán sắp xếp chỗ ngồi.
- Bài toán có thể là phép chỉnh hợp – hoán vị: đặc điểm của loại toán
này là sắp theo thứ tự.
- Bài toán có thể là phép toán tổ hợp: đặc điểm của loại toán này là
không kể thứ tự.
- Bài toán có thể là phép toán chỉnh hợp – hoán vị và tổ hợp: khi giải
quyết bài toán này cần phải phân biệt các công đoạn thực hiện, trong từng công
đoạn phải phân biệt được tính chất có thứ tự hoặc không cần phân biệt có thứ tự.
- Đối với những bài toán cần phân biệt vị trí thì cần lưu ý đối với ngồi
quanh bàn tròn cần cử ra một người bất kì để làm chuần vì không thể phân biệt
được sự khác nhau của các chỗ ngồi trên bàn tròn.
15
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài1:
Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn
Giải:
Do các chỗ ngồi quanh bàn tròn không có phần tử thứ nhất và cuối cùng nên đại
biểu thứ nhất được ngồi tự do. Số đại biểu còn lại có số các chọn vị trí ngồi lần
lượt là ( n – 1), ( n – 1), ,1
Vậy số cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn là: ( n – 1)!
Bài 2:
Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu

cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải
đứng liền nhau.
Giải:
Do 7 học sinh nam đứng liền nhau nên ta có thể xem họ như một vị trí X
Bước 1: Sắp xếp X, y
1
, y
2
, y
3
: có 4! Cách
Bước 2 : Sắp xếp 7 nam trong vị trí
X = x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
: có 7! Cách
Vậy số cách sắp xếp cần tìm là: S = 4!.7! = 120960.
Bài 3:
Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 6 ghế. Người ta muốn

xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
a. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác
trường nhau
b. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
c. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì cùng trường với nhau.
Giải:
a. Ta có 12 chỗ ngồi và 12 học sinh, để thỏa mãn yêu cầu của đề bài, số cách
chọn người vào vị trí lần lượt là các số ghi trong ô.
Vậy số cách xếp là: S = 12.6.(5!)
2
= 1036800
16
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
b. S = 2
6
*(6!)
2
= 33177600
c. Ngồi đối diện nhau thì cùng trường nhau
Ta thấy mỗi trường có 6 học sinh, do dó mỗi trường sẽ có 3 cặp học sinh ngồi đối
diện nhau.
Với 12 chổ ngồi như trên ta có 6 cặp chỗ ngồi (mỗi cặp chỗ ngồi là 2 ghế ngồi
đối diện nhau).
Trước tiên ta chọn 3 cặp chỗ ngồi cho học sinh trường A trong 6 cặp chỗ :
có
3
6
C
cách chọn.

Sắp học sinh trường A vào 3 cặp chỗ ngồi đã chọn (6 chỗ ngồi) : có 6! cách sắp.
Sắp học sinh trường B vào chỗ ngồi còn lại : có 6! cách sắp.
Vậy có tổng số cách sắp là :
3
6
C
.(6!)
2
cách sắp.
Bài 4:
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được kê thành
hàng ngang sao cho:
1) Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau?
2) Các bạn nam ngồi kề nhau?
Giải :
Để xác định, các ghế được đánh số thứ tự từ 1 đến 10 tính từ trái sang phải.
1. Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số lẻ thì các bạn nữ ngồi ở các ghế
còn lại. Có 5! Cách xếp bạn nam, 5! Cách xếp bạn nữ. tất cả có (5!)
2
cách xếp
Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số chẵn thì các bạn nữ ngồi ở các ghế
còn lại thì có (5!)
2
cách xếp nam và nữ.
Vậy có: 2. (5!)
2
cách xếp nam và nữ ngồi xen kẻ nhau.
2. Các bạn nam được bố trí ngồi ở các ghế từ k đến k + 4, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Trong mỗi trường hợp có (5!)
2

cách xếp nam và nữ. vậy có: 6.(5!)
2
cách xếp mà
các bạn nam ngồi cạnh nhau.
Bài 5:
Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình vào
10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho:
1) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau?
2) Hai bạn An và Bình ngồi không cạnh nhau?
Giải :
17
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
1. Có 2.9 = 18 cách xếp chỗ ngồi cho An và Bình ngồi cạnh nhau, 8 bạn kia
được xếp vào 8 chỗ còn lại. Vậy có 8! Cách xếp 8 bạn còn lại và do đó có 18.8!
cách xếp sao cho An, Bình ngồi cạnh nhau.
2. Có 10! Cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn. Từ đó có 10! – 18.8! = 72.8! cách
xếp chỗ ngồi cho 10 bạn mà An và Bình không ngồi cạnh nhau.
Bài 6:
Bốn người đàn ông, 2 người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào 7
cái ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho:
1) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà?
2) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông?
Giải :
1. Xếp hai người đàn bà ngồi cạnh nhau, có 2 cách xếp. Sau đó xếp đứa trẻ
ngồi vào giữa, có 1 cách. Xếp 4 người đàn ông vào 4 ghế còn lại, có 4! Cách
Vậy có: 2.1.4! = 48 cách xếp đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà.
2. Đầu tiên chọn hai người đàn ông, có
2
4
C

cách. Xếp 2 người đó ngồi cạnh
nhau, có 2 cách. Sau đó xếp đứa trẻ vào giữa, có 1 cách. Xếp 4 người còn lại vào
4 ghế còn lại, có 4! Cách.
Vậy có:
2
4
C
.2.4! = 288 cách.
Bài 7:
Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế
mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu :
1) Ghế sắp hàng ngang?
2) Ghế sắp quanh một bàn tròn?
Giải :
1. Xếp 6 nam vào 6 ghế cạnh nhau, có 6! Cách. Giữa các bạn nam có 5
khoảng trống cùng hai đầu dãy, nên có 7 chỗ có thể đặt ghế cho nữ. bây giờ chọn
4 trong 7 vị trí để đặt ghế, có
4
7
C
cách. Xếp nữ vào 4 ghế đó, có 4! Cách.
Vậy có: 6!.
4
7
C
.4! = 120.7! cách xếp mà không có hai bạn nữ nào ngồi
cạnh nhau.
2. Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi, có 5! Cách. Giữa hai nam
có khoảng trống. Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó, có
4

6
A
cách.
Vậy có: 5!.
4
6
A
= 43200 cách.
Bài 8:
Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho:
1) C ngồi chính giữa
2) A và E ngồi hai đầu ghế.
Giải :
18
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
a. C ngồi chính giữa: có 1 cách
Xếp A, B, D, E vào bốn chỗ còn lại có 4! cách.
Vậy có 1.4! = 24 cách xếp.
b. Xếp A, E ngồi hai đầu ghế: có hai cách là A - E hoặc E - A
Xếp B, C, D vào ba chỗ còn lại có 3! cách.
Vậy có 2.3! = 12 cách xếp.
Bài 9:
Có 6 học sinh nam và ba học sinh nữ xếp hàng dọc vào lớp. Có bao nhiêu
cách xếp:
a. Học sinh nữ đứng đầu hàng
b. Có đúng hai học sinh nam xen kẽ giữa ba học sinh nữ
Giải :
a. Chọn một học sinh nữ đứng đầu hàng thì có 3 cách.
Còn lại 8 học sinh thì có 8! hoán vị
Vậy có 3.8! = 120960 cách.

b. Đánh số thứ tự hàng dọc từ 1 đến 9. Để có đúng 2 học sinh nam xen kẽ với ba
học sinh thì ba học sinh nữ đứng vị trí thứ: (1, 3, 5), (2,4, 6), (3, 5, 7), (4, 6,8) và
(5, 7,9): có 5 cách.
Nhóm 3 nữ có 3! hoán vị.
Còn 6 vị trí dành cho 6 học sinh nam thì có thì có 6! hoán vị.
Vậy có 3.5!.6!= 21600 cách
Bài 10:
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào
hàng 8 ghế nếu:
a. Họ ngồi chỗ nào cũng được?
b. Họ ngồi kề nhau?
c. Ba nam ngồi kề nhau, hai nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất
một ghế trống?
Giải :
a. Họ ngồi chỗ nào cũng được: có
cách6720A
5
8
=
b. Họ ngồi kề nhau:
Đánh số ghế từ 1 tới 8
Trước hết ta chọn vị trí chung của 5 người. Vì họ muồn ngồi kề nhau, nên
chỉ có thể ngồi vào các ghế từ 1 đến 5, hoặc từ 2 đến 6, hoặc từ 3 đến 7, hoặc từ 4
tới 8. Có 4 cách chọn. Sau đó trong mỗi trường hợp có 5! =120 cách xếp chỗ
ngồi
vậy có: 4. 120 = 480 cách.
c. Ba nam ngồi kề nhau, hai nữ ngồi kề nhau, giữa hai nhóm này có ít nhất một
ghế trống:
1 2 3 4 5 6 7 8
19

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Việc sắp xếp chỗ ngồi gồm hai giai đoạn.
- Giai đoạn một.
Chọn vị trí chung cho 3 nam và vị trí chung cho hai nữ. Trước hết ta xếp hai nữ
ngồi vào số ghế nhỏ và ba nam ngồi vào số ghế lớn. Vì có đúng ba ghế trống nên
có ba trường hợp:
TH1. Giữa hai nhóm có một ghế trống:
Chỉ cần chọn vị trí chung cho hai nữ, vì sau đó vị trí chung của 3 nam đã
được xác định. Hai nữ có thể ngồi các ghế 1- 2, hoặc 2 - 3, hoặc 3- 4. Có ba cách
sắp xếp.
TH2: Giữa hai nhóm có hai ghế trống:
Hai nữ có thể ngồi vào các ghế 1- 2 hoặc 2 - 3: có hai cách.
TH3: Giữa hai nhóm có ba ghế trống:
Hai nữ có thể ngồi các ghế 1- 2: có 1 cách.
Vậy có 3+ 2+ 1 = 6 cách xếp nữ ngồi số nhỏ.
Tương tự có 6 cách xếp nữ ngồi số ghế lớn.
Tóm lại ở giai đoạn 1, có 12 cách chọn vị trí chung.
- Giai đoạn hai: Sau khi chọn xong vị trí chung, có 31 cách xếp chỗ cho 3 nam
và 2! cách xếp chỗ cho nữ.
Vậy có tất cả: 12.6.2 = 144 caah1 xếp chỗ ngồi.
Bài 11 :
Một hàng ghế gồm 10 chiếc ghế. có bao nhiêu cách sắp xếp một đôi vợ
chồng ngồi vào các ghế đó nếu:
a. Họ ngồi ghế nào cũng được?
b. Họ ngồi kề nhau?
c. Vợ ngồi bên phải chồng
d. Họ ngồi cách nhau một ghế ?
Giải :
a. Nếu họ ngồi chỗ nào cũng được thì người chồng có thể chọn một trong mười
ghế: Có 10 cách chọn. Sau đó người vợ chỉ còn 9 ghế để chọn: có 9 cách.

Vậy có: 10.9 = 90 cách.
b. Nếu họ ngồi kề nhau thì có thể sắp xếp họ ngồi vào chín đôi ghế khác nhau là:
(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6,7), (7, 8),(8, 9), (9,10).
Khi đã chọn đôi ghế xong, có hai cách xếp họ vào đôi ghế đó.
Vậy có: 9.2 = 18 cách
c. Nếu người vợ ngồi bên phải người chồng thì ngưoi2 chồng chỉ có thể chọn một
trong 9 ghế. Người vợ chỉ có một cách chọn( ngồi bên phải chồng).
Vậy có: 9.1 = 9 cách
d. Nếu họ ngồi cách nhau một ghế, thì có thể xếp họ ngồi vào 8 ghế là (1,3), (2,
4),…,(8, 10).
Sau đó có hai cách xếp họ vào đôi ghế đã chọn.
vậy có 8. 2 = 16 cách.
20
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Bài 12:
Có n nam và n nữ ngồi vào hai dãy n ghế đối diện nhau. có bao nhiêu cách
xếp:
a. Nam nữ ngồi tuỳ ý.
b. Nam nữ ngồi đối diện nhau.
Giải :
a. Có 2 cách chọn một dãy ghế.
Tổng cộng 2n người thì có
n
n2
C
cách chọn ra n người. Xếp n người đó vào
một dãy ghế có n! cách và n người còn lại cũng có n! cách xếp vào dãy còn lại.
Vậy có:
2.
n

n2
C
.n!.n! = 2.(2n)! cách.
b. Bước 1: Xếp n nam vào một dãy thì có n! cách.
Bước 2: Xếp n nữ vào dãy còn lại thì có n! cách.
Bước 3: Đổi chỗ n cặp nam nữ đối diện thì có: 2.2.2…2 = 2
n
cách.
Vậy có: (n!)
2
2
n
cách xếp nam nữ ngồi đối diện nhau.
Bài 13:
Có n nam và n nữ ngồi quanh một bàn tròn có 2n ghế. Có bao nhiêu cách
xếp:
a. Nam nữ ngồi tuỳ ý.
b. Không có hai học sinh cùng giới tính ngồi liền nhau.
Giải :
a. Tổng cộng có 2n học sinh ngồi vào 2n ghế nên có(2n)! hoán vị. Nhưng vì bất
kỳ học sinh nào ngồi cũng làm chuẩn được tức là học sinh thứ nhất chỉ tính một
cah1 ngồi trong số 2n ghế.
Vậy có
)!1n2(
n2
)!n2(
−=
cách xếp ( hoán vị vòng)
b. Theo đề bài thì n nam, n nữ ngồi xen kẽ.
Ta xếp n nam vào n ghế, cách nhau một ghế trống thì có n! cách, tiếp đó xếp n

nữ vào n ghế trống còn lại thì có n! cách. nhưng vì học sinh thứ nhất chỉ tính một
cách ngồi trong n ghế nên thực sự có:
)!1n(!n
n
!n!n
−=
cách xếp nam nữ ngồi xen
kẽ.
4. Dạng 4: Bài toán đại số tổ hợp trong hình học.
Bài 1:
21
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Giả sử X là một tập hợp gồm 6 điểm của mặt phẳng. Trong đó không có 3
điểm nào thẳng hàng.
a. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm thuộc X.
b. Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh thuộc X.
Giải :
a. Mỗi đường thẳng tương ứng với một tổ hợp 6 chập 2 của X nên số đường
thẳng kẻ được là:
( )
15
2
5*6
!2!26
!6
C
2
6
==
−

=
b. Mỗi tam giác tương ứng với một tổ hợp 6 chập 3 của X nên số tam giác
đó là:
( )
20
2*3
4*5*6
!3!36
!6
C
3
6
==
−
=
Bài 2:
Đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo:
a. Ngũ giác lồi.
b. n giác lồi
Giải:
a. Do mỗi đường chéo hoặc mỗi cạnh tương ứng với một tổ hợp 5 chập 2 của
tập các đỉnh nên ta có tổng số cạnh và số đường chéo là:
10
!2!3
!5
2
51
=== CS
Số cạnh của ngũ giác lồi là
5

2
=S
Vậy số đường chéo là:
5510
21
=−=−= SSS
b. Tương tự ta có số đường chéo của n giác lồi là:
( )
( ) ( )
2
3nn
n
2
1nn
n
!2!2n
!n
nCS
2
n
−
=−
−
=−
−
=−=
Bài 3:
Trong không gian cho n điểm sao cho không có điểm nào đồng phẳng.
Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu tứ diện nhận các điểm đó làm đỉnh.
Giải:

Mỗi tứ diện tương ứng với một tổ hợp n chập 4 của n điểm đã cho trong không
gian. Vậy số các tứ diện thành lập được là:
4
n
C
Bài4:
22
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3
đỉnh được lấy từ các đỉnh của H
a. Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy. Có bao nhiêu tam giác có đúng 2
cạnh là cạnh của H.
b. Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H. Có bao nhiêu tam
giác không có cạnh nào là cạnh của H
Giải:
a. Có
3
20
C
tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H:
3
20
C
= 1140
Có 20 tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.
b. Ứng với mỗi cạnh ta có 16 tam giác thỏa đề bài
Vậy có 20.16 = 320 tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H
Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của H:
S = 1140 – 20 – 320 = 800
Bài 5:

Cho n đường thẳng cắt nhau đôi một và không có 3 đường thẳng nào đồng
quy. Chúng sẽ chia mặt phẳng thành mấy miền.
Giải:
Gọi f(k) là số miền được chia bởi k đường thẳng
Đường thẳng thứ k + 1 sẽ được k đường thẳng trên chia làm k + 1 phần và tạo
thêm k + 1 miền mới
Ta có f(k + 1) = f(k) + k + 1
f(k + 1) - f(k) = k + 1
f(0) = 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
2
1nn
1k0f1kfkfnf
n
1k
n
1k
+
+
=+






=+







−−=
∑∑
==

Vậyf(n) =
2
2nn
2
++
Bài 6:
Cho một n giác lồi mà không có ba đường chéo nào đồng quy tại một
điểm khác đỉnh. Hỏi các đường chéo chia phần bên trong của đa giác thành mấy
miền.
Giải:
Đặt f(k) là số miền bên trong của một k giác lồi A
1
A
2
A
3
…A
k
Ta có f(k) = f(k – 1) + T + N, trong đó T và N là số miền mới sinh ra bởi A
k
ở

bên trong và bên ngoài (k – 1) giác A
1
A
2
A
3
…A
k-1
Ta có T =
3
k
C
, N = k – 2
23
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A
)18k17k6k(
6
1
2k
6
)3k)(2k)(1k(
)1k(f)k(f
23
−+−=−+
−−−
=−−⇒
Khi đó
[ ]
( )
24

)12n3n)(2n)(1n(
)n(f
118k17k6k
6
1
)3(f)1k(f)k(f)n(f
2
n
4k
23
n
4k
+−−−
=⇒
+−+−=+






−−=
∑∑
==
Bài 7:
Cho n điểm A
1,
A
2,
A

3,
…, A
n
trong mặt phẳng sao cho không có 3 điểm
nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu p giác với các đỉnh là p trong số n đỉnh đó.
Giải:
Mỗi p giác có thể tạo ra 2p chỉnh hợp n chập p khác nhau.







−
231p
1p31
p1p21
AA AA

AA AA
AA AA
p









−−
−
23p1
p12p1p
121pp
AA AA

AA AA
AA AA
p
Vậy số p giác khác nhau tạo được là:
p2
A
S
p
n
=
Bài 8:
Cho p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng (2 < q < p).
Nối p điểm đó lại với nhau, hỏi:
a. Có bao nhiêu đường thẳng.
b. Có bao nhiêu tam giác.
Giải:
a. Số tổ hợp p chập 2 là:
2
p
C
Số tổ hợp không tạo thành đường thẳng mới là:
1C

2
q
−
Vậy số đường thẳng tạo ra được là:
1CCS
2
q
2
p
+−=
b. Số tổ hợp p chập 3 là:
3
p
C
Số tổ hợp không tạo thành tam giác mới là:
3
q
C
Vậy số tam giác tạo ra được là:
3
q
3
p
CCS −=
Bài 9:
Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng
cũng song song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu
hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng đã cho?
24
THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A

Giải :
Kí hiệu A và B lần lượt là 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường
thẳng song song cắt 6 đường thẳng đã cho.
Mỗi hình bình hành được tạo bởi hai đường thẳng của tập A và hai đường
thẳng của tập B. Vậy số hình bình hành cần tìm là:
42028.15C.C
2
8
2
6
==
(hình)
Bài 10:
Trong một đa giác đều 7 cạnh, kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao
điểm của các đường chéo, trừ các đỉnh?
Giải :
Mỗi giao điểm của hai đường chéo ứng với một và chỉ một tập hợp gồm 4
điểm từ tập hợp 7 đỉnh của đa giác. vậy có:
35C
4
7
=
giao điểm.
Bài 11:
Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ?
Giải :
Số đoạn nối 2 đỉnh của đa giác đã cho là
2
20
C

, số cạnh của đa giác là 20.
Vậy số đường chéo là:
2
20
C
- 20 = 170.
5. Dạng 5: Các bài toán liên quan đến P
n
,
k
n
A
,
k
n
C
Đối với dạng toán này cần sử dụng linh hoạt các công thức và xét đúng
các điều kiện.
5.1 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
Bài 1:
Chứng minh:

)!5n(!6
)!1n(
)!5n(!5
!n
)!6n(!6
!n
−
+

=
−
+
−
Giải:
Để ý: 6! =1. 2. 3. 4. 5. 6 = 6. 5!
(n-5)! = (n-5)(n-6)!
Ta có:
)!5n(!6
6!n)5n(!n
)!5n(!5
!n
)!6n(!6
!n
−
+−
=
−
+
−

)!5n(!6
)1n(!n
−
+
=
25