Giáo án Ôn thi TN - Chủ đề Ứng dụng đạo hàm khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
( 9 tiết : từ 26/04 – 08/05 )
Các kiến thức cần nhớ :
1. Tính đơn điệu của hàm số, mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm
số và dấu của đạo hàm cấp một của nó
2. Điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số. Các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực
trị
3. Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số
4. Đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang
5. Vẽ đồ thị hàm số
Các dạng toán cần luyện tập
1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo
hàm cấp một của nó. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương
trình hoặc chứng minh bất đẳng thức
2. Tìm điểm cực trị của hàm số, tính giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số. Tìm
giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng. Ứng dụng vào việc
giải phương trình, bất phương trình.
3. Tìm đường cận đứng , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số
3 2 4 2
; ;
ax b
y ax bx cx d y ax bx c y
cx d
+
= + + + = + + =
+
5. Dùng đồ thị hàm số để biện luận theo m số nghiệm của phương trình
6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( tại một điểm thuộc đồ thị hàm số ,
biết hệ số góc )
TIẾN TRÌNH ÔN TẬP

Hoạt động 1 : Hệ thống lý thuyết
Hoạt động 2 : Luyện tập các dạng toán
Bài 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau :

3 2
. 6 9 4a y x x x= − + −
b.
4 2
1 5
3
2 2
y x x= − +
c.
2 1
1
x
y
x
−
=
−
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Giáo viên yêu cầu học sinh
nhắc lại sơ đồ khảo sát hàm
số và vẽ đồ thị của hàm số
Giáo viên nhấn mạnh các
dạng ( về cực trị , tiệm cận ,
hình dáng của đồ thị ) của
từng loại hàm số để học sinh
ghi nhớ

Giáo viên nhận xét và phân
Học sinh trả lời theo yêu cầu
của giáo viên và ghi nhớ
những nhận xét của giáo viên
để lĩnh hội kiến thức vững
chắc hơn
Thực hiện các bài tập giáo
viên đã đề ra
Khảo sát và vẽ đồ thị của các
hàm số sau :
3 2
. 6 9 4a y x x x= − + −
b.
4 2
1 5
3
2 2
y x x= − +
c.
2 1
1
x
y
x
−
=
−
tích những sai sót thường
gặp của học sinh để tránh
mất điểm không đáng có

Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
a.
3
3 2y x x= − +
tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2
b.
4 2
2y x x= −
tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8
c.
2 3
2 1
x
y
x
+
=
−
tại giao điểm của (C) với trục Oy
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Nêu các bước viết phương
trình tiếp tuyến của (C) :
( )y f x=
tại điểm M(
0 0
; ( ))x f x
trên (C)
Giáo viên gọi 3 học sinh lên
bảng thực hiện
Giáo viên nhận xét và sửa sai

cho học sinh
+ Tính
'( )f x
+ Tính
0
'( )f x
+ Áp dụng công thức :
0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
Học sinh thực hiện
Phương trình tiếp tuyến của
đồ thi (C) y =
( )f x
tại điểm
M(
0 0
; ( ))x f x
trên (C) là:
0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
Kết quả :
a.
9 14y x= −
b.
24 40y x= −
và

24 56y x= − +
c.
8 3y x= − −

Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
a.
3
3 2y x x= − +
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9
b.
4 2
2y x x= −
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
24y x=
c.
2 3
2 1
x
y
x
+
=
−
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2
y x=
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Nêu ý nghĩa hình học của
đạo hàm
Khi biết được hệ số góc của
tiếp tuyến ta cần xác định
được yếu tố nào để viết
phương trình của tiếp tuyến

Cho hai đường thẳng :
(d) :
y ax b= +
và
(d’):
' 'y a x b= +
Hãy cho biết quan hệ của
, 'a a
khi :
+ (d) song song (d’)
+ (d) vuông góc (d’)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
điểm M(
0 0
; ( ))x f x
trên (C)
là
0
'( )f x
Ta đi tìm tọa độ tiếp điểm
bằng cách giải phương trình
0
'( )f x k=
+ Khi (d) //(d’) :
'a a=
+ Khi (d)
( ')d⊥
:
. ' 1a a
= −

Bài giải của bài tập 3
Bài 4 : Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình :
3
3 2 0x x k− − + =
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Giáo viên gọi 1 học sinh
lên bảng thực hiện câu a
Giáo viên gọi 1 học sinh
trình bày cách dùng đồ thị
biện luận số nghiệm của
phương trình
Gọi học sinh thể hiện bài
giải
Giáo viên điều chỉnh sai
sót ( nếu có)
Một học sinh thực hiện
+ Bước 1 : Biến đổi
phương trình đã cho thành
phương trình hoành độ giao
điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng d có phương
nằm ngang
+ Bước 2 : Lập luận
Số giao điểm của (C) và d
là nghiệm của phương trình

+ Bước 3 : Dựa và đồ thị
( Chú ý đến hai giá trị cực
trị của hàm số ) cho giá trị
của tham số thay đổi theo
giá trị của hai cực trị để
nhận xét số giao điểm , suy
ra số nghiệm của phương
trình
Học sinh thực hiên
Một học sinh nhận xét
a.
x
y
B
O
A
1
b. Kết quả :
+ k < 0 : Pt có 1 nghiệm
+ k = 0 : pt có 2 nghiệm
+0 < k < 4 : pt có 3 nghiệm
+ k = 4 : pt có 2 nghiệm
+ k > 4 : pt có 1 nghiệm
Bài 5 : Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
2x x m− =

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Giáo viên gọi 1 học sinh có
học lực TB lên bảng thực
hiện và các học sinh còn lại
tự thực hiện
Học sinh thực hiện
Học sinh nhận xét
x
y
B
O
A
1
b. Kết quả :
+ m < - 1 : pt vô nghiệm
+ m = - 1 : pt có 2 nghiệm
+ - 1 < m < 0 : pt có 4 nghiệm
+ m = 0 : Pt có 3 nghiệm
+ m > 0 : pt có 2 nghiệm
Bài 6 : Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C) và đường thẳng d :
1y mx= −

. Biện luận theo m
số giao điểm của (C) và d
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Bài toán đã nêu thuộc thể loại
nào ? Và yêu cầu của bài
toán là gì ?
Nêu trình tự bài giải của thể
loại này ?
Gọi 1 học sinh thực hiện
Giáo viên nhận xét bài giải
và nhấn mạnh cách trình bày
bài giải
Bài toán thuộc thể loại : sự
tương giao của hai đồ thị . Đề
bài yêu cầu biện luận số giao
điểm của 2 đồ thị
+Nêu phương trình hoành độ
giao điểm của (C) và d
+ Biến đổi pt trên thành
phương trình đã biết cách
giải
+ Lập luận : Số nghiệm của
phương trình HĐGĐ chính là
số giao điểm của (C ) và d
+ Biện luận
+ Kết luận
Phương trình hoành độ giao
điểm của (C ) và d là :

1

1 ( 1)
1
x
mx x
x
+
= − ≠
−
( )
2
( 2) 0
2 0
mx m x
x mx m
⇔ − + =
⇔ − − =
+ Nếu m = 0 hay m = - 2 :
phương trình có 1 nghiệm
0x
=
+ Nếu
0m ≠
và
2m ≠ −

phương trình có hai nghiệm
0x
=
và
2

1
m
x
m
+
= ≠
Kết luận :
+ m = 0 hay m = -2 : có 1 gđ
+
0m ≠
và
2m ≠ −
: có 2 gđ
Bài 7 : Cho đồ thị hàm số (C) :
3
3 1y x x= − +
. Đường thẳng d đi qua A( - 1 ; 3) có hệ số góc
k . Tìm k để (C) và d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Yêu cầu của bài toán là gì ?
Bài toán được giải như thế
nào ?
Tìm k để (C) và d cắt nhau
tại 3 điểm phân biệt
+ Lập phương trình đường
thẳng d
+ Lập phương trình hoành
độ giao điểm của (C) và d
+ Lập luận : Để (C) và d cắt
d :

3y kx k= + +
Ta có pt hoành độ giao điểm
của (C) và d :
Em có nhận xét gì về vị trí
của A đối với (C)
Giáo viên nhận xét , chỉnh
sửa những sai sót – Phát
triển bài toán đối với học
sinh khá, giỏi
nhau tại 3 điểm phân biệt thì
phương trình trên phải có 3
nghiệm phân biệt
+ Ta có A thuộc đồ thi (C) ,
do đó phương trình trên có
một nghiệm
1x = −
+ Ta phân tích phương trình
trên thành phương trình tích
số :
( 1)x +
( tam thức bậc hai ) =
0
+ Yêu cầu bài toán
⇔
pt bậc
hai có hai nghiệm phân biệt
khác – 1
+ Giải hệ bpt
+ Kết luận
( )

( )
3
2
2
3 1 3
( 1)( 2) 0 1
1
( ) 2 0 2
x x kx k
x x x k
x
g x x x k
− + = + +
⇔ + − − − =
= −

⇔

= − − − =

(C) cắt d tại 3 điểm phân biệt
(1)⇔
có 3 nghiệm phân biệt
(2)⇔
có hai nghiệm phân biệt
khác – 1
0
( 1) 0g
∆ >


⇔

− ≠

9
4 9 0
4
0
0
k
k
k
k

+ >
> −


⇔ ⇔
 
≠


≠

Vậy giá trị cần tìm là :

9
4
0

k
k

> −



≠

Bài 8 : Xác định m để hàm số :
a.
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m x m= + + − + −
đạt cực tiểu tại
2x =
b.
2
4x mx
y
x m
− +
=
−
đạt cực đại tại
x
= 1
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

Yêu cầu của bài toán là gì ?
Hãy trình bày cách giải của
bài toán
Gọi học sinh trình bày bài
giải
Tìm m để hàm số đạt cực
tiểu của hàm số tại
2x =
+ Tính đạo hàm :
'( ); ''( )y x y x
+ Lập luận : Hàm số đạt cực
tiểu tại
2x =
'(2) 0
''(2) 0
y
y
=

⇔

>

Học sinh thực hiên
a. Ta có : D = R

2 2
' 2 1
'' 2 2
y x mx m

y x m
= + + −
= +
Hàm số đạt cực tiểu tại
2x =
'(2) 0
''(2) 0
y
y
=

⇔

>

Giáo viên có thể cho học
sinh tìm cách giải khác ( đối
với 12 C1 )
Khi giải câu b theo cách giải
trên thì ta sẽ gặp khó khăn
nào ?
Để khắc phục ta phải thực
hiện như thế nào ?
Giáo viên có thể cho học
sinh tìm cách giải khác ( đối
với 12 C1 )
Bước tính
''y
khó khăn hơn
bài a

+ Ta tính
'( )y x
+ Hàm số đạt cự đại tại
1x
=

'(1) 0y⇒ =
(*)
+ Giải (*) tìm m
+ Thử lại
+ Kết luận
2
1
4 3 0
3
4 2 0
2
m
m m
m
m
m
 = −


+ + =


⇔ ⇔
= −

 

+ >


> −

1m⇔ = −
Vậy giá trị cần tìm là : m = -1
b. Ta có :
{ }
\D m= ¡

( )
2 2
2
2 4
'
x mx m
y
x m
− + −
=
−
Hàm số đạt cực đại tại
1x
=
1
'(1) 0
3

m
y
m
= −

⇒ = ⇔

=

Thử lại :
Giá trị cần tìm là : m = 3
Bài 9 : Cho hàm số :
3 2
1
( 1) 3( 1) 2
3
y mx m x m x= + − + − +
a. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b. Tìm m để hoành độ
1 2
,x x
của các điểm cực trị thỏa
1 2
2 1x x+ =
( Câu b dành cho học sinh lớp 12C1 )
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Yêu cầu của bài toán là gì ?
Khi nào thì hàm số có cực
đại và cực tiểu ?
Nêu cách giải bài toán

Tìm m để hàm số có cực đại
và cực tiểu
Hàm số có cực đại và cực
tiểu khi
'y
đổi dấu 2 lần
Học sinh trình bày cách giải
+ Tính
'( )y x
+ Hàm số có cực đại và cực
tiểu khi
'y
đổi dấu 2 lần
'( ) 0y x⇔ =
có 2 nghiệm pb
0
0
m ≠

⇔

∆ >

2
0
2 1 0
m
m m
≠


⇔

− + + >

a. Ta có : D = R
+
2
'( ) 2( 1) 3( 1)y x mx m x m= + − + −
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu
khi
'y
đổi dấu 2 lần
'( ) 0y x⇔ =
có 2 nghiệm pb
0
0
m ≠

⇔

∆ >

2
0
2 1 0
m
m m
≠

⇔


− + + >

0
1
1
2
m
m
≠


⇔

− < <


0
1
1
2
m
m
≠


⇔

− < <



b. kết quả :
1
2
m =

Bài 10 :1. Cho hàm số
3 2
6 9y x x x m= − + +
. Viết phương trình đường thẳng đi qua các
điểm cực trị của đồ thị hàm số . Tìm m để đường thẳng đó đi qua A( 1 ; - 2)
2. Tìm m để hàm số sau có một cực đại và một cực tiểu . Khi đó tìm phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

2
2
2
x x m
y
x
− −
=
+
( Bài tập này dành cho lớp 12 C1)
Bài 11 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a.
4 2
2 1y x x= − −

( 0)x >

b.
2
2 1
( 1)
1
x x
y x
x
− −
= < −
+
c.
3 2
3 9 35y x x x= − − +
trên đoạn
[ ]
4;4−
d.
2
4y x x= − +

e.
2
4ln(1 )y x x= − −
trên đoạn
[ ]
2;0−

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Hãy nêu lại cách tìm GTLN,

GTNN của hàm số trên một
khoảng
( )
;a b
và trên đoạn
[ ]
;a b
Học sinh trình bày cách giải
bài toán
1) Cách tìm GTLN – GTNN
của hàm số trên
( )
;a b
+ Lập bảng biến thiên của
hàm số trên
( )
;a b
+ Nếu hàm số có một cực trị
duy nhất là cực đại ( cực tiểu )
thì giá trị cực đại ( cực tiểu ) là
GTLN ( GTNN) của hàm số
trên
( )
;a b
2) Cách tìm GTLN – GTNN
của hàm số trên
[ ]
;a b
+ Tính đạo hàm
'( )f x

+ Tìm các điểm
1 2
, , ,
n
x x x

trên
( )
;a b
mà tại đó
'( ) 0f x =

hoặc
'( )f x
không xác định
+ Tính
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
Nội dung bài giải của học
sinh đã được chỉnh sửa
Kết quả
a. Không tồn tại GTLN

( )
0;
min ( ) 2f x
+∞
= −

tại
1x =
b. Không tồn tại GTNN
( )
; 1
max ( ) 9f x
−∞ −
= −
tại
2x = −
c.
[ ]
4;4
max ( ) 40f x
−
=
tại
1x = −

[ ]
4;4
min ( ) 41f x
−
= −
tại
4x = −
d.
[ ]
2;2
min ( ) 2f x

−
= −
tại
2x = −
[ ]
2;2
max ( ) 2 2f x
−
=
tại
2x =
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ
nhất m trong các số trên . Ta
có :
[ ]
[ ]
;
;
max ( ), min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
e.

[ ]
2;0
min ( ) 1 4ln 2f x
−
= −
tại

1x = −

[ ]
2;0
ax ( ) 0m f x
−
=
tại
0x =
Bài tập rèn luyện
1. Hàm số bậc ba :
Bài 1 :Cho hàm số
3 2
3 1y x x= − +
, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 2
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3
3 1 0x x m− + + =
Bài 2 : Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − + −
, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d :
9 7y x= − +
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Bài 3 : Cho hàm số :
3

3y x x= +
, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 4
c. Tìm m để đường thẳng d :
4y mx m= − +
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Bài 4 : Cho hàm số
3 2
3 3 2y x x x= − + −
, có đồ tị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d :
1
2010
3
y x= − +
2. Hàm trùng phương
Bài 1 : Cho hàm số
4 2
2y x x= −
, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
2x = −

c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Bài 2 : Cho hàm số
4 2
2 3y x x= + −

, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) với trục Ox
Bài 3 : Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − + +
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm
phân biệt :
4 2
2 0x x m− + =
Bài 4 : Cho hàm số :
4 2 2
( 9) 10y mx m x= + − +
(1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b. Tìm m để hàm số (1) có ba cực trị
3. Hàm nhất biến
Bài 1 : Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
có đồ thị là (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
c. Tìm m để đường thẳng d :
2 1y x m= − +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Bài 2 : Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ nguyên
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
5 2010y x= +
Bài 3 : Cho hàm số :
2 4
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
2
y x= +
c. Gọi d là đường thẳng đi qua A( - 3 ; 2 ) và có hệ số góc k. Biện luận theo k, số giao
điểm của d và (C)
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a.
2 3
3 2
x
y
x
+
=
−
trên đoạn
[ ]
2;3
b.
2
.lny x x=
trên đoạn
1
;e
e
 
 
 

c.
lny x x= −
d.
2
2 5y x x= + +
trên đoạn
[ ]
3;0−
e.
4 2
36 2y x x= − +
trên đoạn
[ ]
1;4−
f.
2
cos cos 2y x x= − +
g.
3
4
2sin sin
3
y x x= −
trên đoạn
[ ]
0;
π
5. Cực trị của hàm số
Bài 1 : Tìm m để hàm số
3

1y x mx= − +
đạt cực tiểu tại
1x =
Bài 2 : Xác định m để hàm số
3
3 2y x mx= + +
có cực trị
Bài 3 : Tìm m để hàm số
3 2
1 2
3 3
y x mx x m= − − + +
đạt cực tiểu tại
2x =

Bài 4 : Cho hàm số :
4
2
4
x
y a bx= + −
. Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng 5 khi
2x =