BD HSG phân tích đa thức thành nhân tử

Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
2008
Ngày soạn : 01/09/10
Ngày dạy : 08/09/10
Chủ đề 2
phân tích đa thức thành nhân tử
Buổi 1
các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh nhớ lại và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các hạng tử
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử
- Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS: Ôn lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS: Nêu các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà em
đã đợc học trên lớp ?
- GV: Nhắc lại, bổ sung
III. Bài mới
Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung

1. Lí thuyết:
a) Phơng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có
nhân tử chung. Cụ thể:
AB + AC + AD = A(B + C + D)
b) Các bớc tiến hành:
B ớ c 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu
ngoặc.
B ớ c 2 : Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa
thức cho nhân tử chung.
2. Bài tập:
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
A = 2x
2
+ x => A = x(2x + 1)
B = 17x
3
y - 34x
2
y
2
+ 51xy
3
B = 17xy( x
2
- 2xy + 3y
2
)
C = 16x

2
(x - y) -10y(y - x) C = (x - y)(16x
2
+ 10y)
D = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax - by) => D = 2x
2
(ax + 2by + ax - by)
= 2x
2
(2ax + by).
Bài 2: Phân tích A và B thành nhân tử:
= + A 10a b 5a 5 a (a 0)
= B x y y x (x 0;y 0)
Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
1. Lí thuyết:
a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng
thức đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức.
b) Các hằng đẳng thức quan trọng
1) a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2

+ + = +
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)
2) a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2
+ =
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)
3) a
2
b
2
= (a + b).(a b)
4)
= + a b ( a b).( a b) (a,b 0)
5) a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= (a + b)
3
+ + + = +

3 3 3
a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)
6) a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
= (a - b)
3
+ =
3 3 3
a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)
7)
+ = + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
+ = + = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
a
n
+ b
n
=(a + b)(a
n-1
- a
n-2

b + ... - ab
n-2
+ b
n-1
) với n lẻ
8)
= + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
= = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + ... + ab
n-2
+ b
n-1
)
9) a
2
+ b
2
+ c

2
+ 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)
2
+ + + + + = + +
2
a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0)
2 2 2 2 2
a b c d 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd (a b c d)+ + + + + + + + + = + + +
10) Lũy thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu tơn)
0
1
2 2 2
(a b) 1
(a b) 1a 1b
(a b) 1a 2ab 1b
+ =
+ = +
+ = + +
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
2008
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
5 5 4 3 2 2 3 4 5
(a b) 1a 3a b 3ab 1b
(a b) 1a 4a b 6a b 4ab 1b
(a b) 1a 5a b 10a b 10a b 5ab 1b
+ = + + +

+ = + + + +
+ = + + + + +

Viết tam giác Pa xcan để khai triển
n
(a b)+
nh sau:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
..
Cách viết:
+ Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
+ Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng
với số bên trái của số liền trên.
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
- 4 = x
2
- 2
2
= (x - 2)(x + 2).
b) x
2
+ 2xy + y

2
- 25 = (x + y)
2
- 5
2
= (x + y + 5)(x + y - 5).
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
P =(a
2
+ 4)
2
- 16a
2
=(a
2
+ 4)
2
- (4a)
2
= [(a
2
+ 4) - 4a][(a
2
+ 4) + 4a] = (a - 2)
2
(a + 2)
2

Q = (x + y)
2

- 2(x + y) + 1 = ( x + y - 1)
2
R = a
3
+ 6a
2
+ 12a + 8 = (a + 2)
3
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) (x - y)
2
- (y - z)
2
.
b) x
3
- 36x
2
y + 54xy
2
- 27y
3
.
c) 4a
2
b
2
- (a
2
+ b

2
- c
2
)
2
.
Bài 4: Phân tích M, N, P thành nhân tử :
M =

2
a 2
N =
9a 1 (a 0)
P =
+ + x 1 2 x (x 0)
Phơng pháp 3: Nhóm các hạng tử
1. Lí thuyết
Phơng pháp này thờng đợc dùng cho những đa thức cần phân tích
thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay đợc hằng
đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm
lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể:
B ớ c 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
B ớ c 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân
tử chung.
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
B ớ c 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
2. Bài tập
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) xy - xz - y + z = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1)

b) x
2
+ y
2
- z
2
+ 2xy + 2z - 1 = (x
2
+ 2xy + y
2
) - (z
2
- 2z + 1)
= (x + y)
2
- (z - 1)
2
= (x + y - z + 1)(x + y + z - 1).
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 5x
2
- 5xy - 10x + 10y.
b) x
3
- x
2
y - x
2
z - xyz.
c) 2x

2
+ 2y
2
- x
2
z + z - y
2
z - 2.
d) (a
2
+ b
2
)xy + (x
2
+ y
2
)ab.
Bài 3: Phân tích D, E thành nhân tử :
D =
+ a 2 a 1 b (a 0;b 0)
E =
+ a b a 2 ab b b a (a 0,b 0)
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập đã
chữa
- Giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân
tử chung
a)
a 5 b 5

b) x(y + z) + 3(y + z)
c) m(n - p) - n + p
d) a(b - a)(a + b) - (a + b)(a
2
- ab + b
2
)
e) x
m + 2
- x
m
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp dùng
hằng đẳng thức
a) 25a
2
+ 10a + 1
b) 9x
2
xy +
1
36
y
2
c) x
4
y
4
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm các
hạng tử
a) 5a

2
5ax 9a + 9x
b) ma mb + na nb pa + pb
c) ax
2
+ 5y bx
2
+ ay + 5x
2
by
D/Bổ sung
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
2008
Ngày soạn : 02/09/10
Ngày dạy : 10/09/10
Chủ đề 2
phân tích đa thức thành nhân tử
Buổi 2
các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng
một hạng tử.
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử

- Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Giải bài tập 1a đã cho tiết trớc
- HS2: Giải bài tập 2a đã cho tiết trớc
III. Bài mới
Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử;
hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử
1. Lí thuyết
*) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra
những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức:
*) Các tr ờng hợp :
a, Trờng hợp đa thức dạng ax
2
+ bx + c ( a, b, c

Z; a, b, c

0)
Tính :

= b
2
- 4ac:

- Nếu

= b
2
- 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc.
- Nếu

= b
2
- 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình phơng của một nhị
thức bậc nhất
- Nếu

= b
2
- 4ac > 0
+)

= b
2
- 4ac = k
2
( k

Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q.
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
+)

= b

2
- 4ac

k
2
đa thức phân tích đợc trong trờng số thực R.
b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên:
- Nhẩm nghiệm của đa thức:
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0

đa thức có nghiệm bằng
1.
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ

đa thức có nghiệm bằng - 1.
- Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải
là ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng
p
q
thì p là ớc
của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất".
- Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc
dùng sơ đồ Hooc ne để hạ bậc của đa thức.
2. Bài tập
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x
2
+ 6xy + y
2
.

C á ch 1 : Tách 6xy thành 5xy + xy có:
5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 5xy) + (xy + y
2
) = 5x(x + y) + y(x + y)
= (5x + y)(x + y).
C á ch 2 : Thêm 4x
2
vào 5x
2
rồi bớt 4x
2
ta có :
5x
2
+ 6xy + y
2
= 9x
2
+ 6xy + y
2
- 4x
2
= (9x
2

+ 6xy + y
2
)- 4x
2

= (3x + y)
2
- (2x)
2
= (5x + y)(x + y).
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
3
+ 3x
2
- 4
Cách 1: x
3
+ 3x
2
- 4
= x
3
+ 4x
2
- x
2
- 4x + 4x - 4
= x
2
(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1)

= (x - 1)(x + 2)
2

Cách 2: x
3
+ 3x
2
- 4
= x
3
- x
2
+ 4x
2
4 = ... = (x - 1)(x + 2)
2
Cách 3: x
3
+ 3x
2
- 4 = x
3
- 1 + 3x
2
3 ... = (x - 1)(x + 2)
2
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) A = 3x
3
+ 2x

2
+ 2x 1
b) B = x
4
+ 4
c) C = x
2
- 6x + 8
Giải:
a) Nhẩm đợc nghiệm x =
1
3
A = 3x
3
+ 2x
2
+ 2x 1 = 3x
3
- x
2
+ 3x
2
+ 3x - x - 1
= x
2
( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1)
= x
2
(3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1)
= (3x - 1) ( x

2
+ x + 1)
b) B = x
4
+ 4 = x
4
+ 4 + 4x
2
- 4x
2
= (x
2
+ 2)
2
- (2x)
2

= (x
2
+ 2x + 2)(x
2
2x + 2)
c) C = x
2
- 6x + 8 = x
2
- 6x + 8 + 1 - 1= (x - 3)
2
- 1
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu

Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
2008
= (x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2)
Hoặc C = x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8 = x( x - 2) - 4 ( x - 2)
= (x - 2)( x - 4)
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
P = x
2
- 7xy + 12y
2
= x
2
- 3xy - 4xy + 12y
2

P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y)
Q = x
3
- 3x + 2 = x
3
- 1 - 3x + 3 = (x - 1)(x
2
+ x + 1) - 3(x - 1)
= (x - 1)(x

2
+ x - 2)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Q = x
4
+ 64
= x
4
+ 16x
2
+ 64 - 16x
2

= ( x
2
+ 8)
2
- (4x)
2

= (x
2
+ 8 - 4x)(x
2
+ 8 + 4x)
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 4x
4
+ 81 = 4x
4

+ 36x
2
+ 81 - 36x
2
= (4x
4
+ 36x
2
+ 81) - (6x)
2
= (2x
2
+ 9)
2
- (6x)
2
= (2x
2
+ 9 - 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
b) x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
x + x
2
+ x + 1

= (x
7
- x) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
6
- 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
3
- 1)(x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x - 1)(x
3
+ 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)[x(x - 1)(x
3
+ 1) + 1]
= (x

2
+ x + 1)(x
5
- x
4
+ x
2
x + 1)
*) Ch ú ý : Các đa thức dạng: x
3m+2
+ x
3m+1
+ 1 đều chứa thừa số x
2
+ x + 1
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
4 3
x 5x 10x 4+ +
b)
3 3 3
x y z 3xyz+ +
c)
8
x x 1+ +
d)
5 4
x x 1+ +
e)
10 5

x x 1+ +
Hớng dẫn:
a) Thêm bớt 2x
2
, đáp số:
2 2
(x 5x 2)(x 2)+ +
b) Thêm bớt 3xy(x + y), ta đợc:
( ) ( )
3 3 3 3 3
2 2 2
x y + 3xy x y z -3xy x y 3xyz (x y) z 3xy(x y z)
(x y z)(x y z xy yz zx)
+ + + + = + + + +
= + + + +
c) Thêm bớt x
2
, ta có kết quả:
2 6 5 3 2
(x x 1)(x x x x 1)+ + + +
d) Thêm bớt x
3
, ta có kết quả:
2 3
(x x 1)(x x 1)+ + +
e) Thêm bớt
2
x x+
Ta có:
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số

Trờng THCS Hồng Hng

(
)
(
)
(
)
10 5 10 5 2 2
3
3 2 3 2
3 6 3 2 3 2
2 6 3 2
2 8 7 5 4 3
x x 1 (x x) (x x ) (x x 1)
x x 1 x x 1 (x x 1)
x(x 1)(x x 1) x x 1 (x x 1)
(x x 1) x(x 1)(x x 1) x (x 1) 1
(x x 1)(x x x x x x 1)
+ + = + + + +

= + + + +


= + + + + + +

= + + + + + +


= + + + + +

Bài 8: Cho x
Z
, chứng minh rằng:
200 100 4 2
x x 1 x x 1+ + + +M
Hớng dẫn:
Thêm bớt
4 2
x x+
(
)
(
)
200 100 200 2 100 4 4 2
2 198 4 96 4 2
33 16
2 6 4 6 4 2
2 6 4 6 4 2
6 2 4 4 2
3 3
A x x 1 (x x ) (x x ) (x x 1)
x (x 1) x (x 1) (x x 1)
x x 1 x x 1 (x x 1)
x (x 1).B(x) x (x 1).C(x) (x x 1)
(x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1)
(x 1)(x
= + + = + + + +
= + + + +

= + + + +

= + + + +

= + + + +


=
(
)
2 4 4 2
4 2 2 4 4 2
4 2
1) x .B(x) x .C(x) (x x 1)
(x 1)(x 1)(x x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1)
A x x 1

+ + + + +



= + + + + + + +


=> + +M
Bài 9: Phân tích Q, K thành nhân tử :
Q =
+ a 3 a 2 (a 0)
K =
+ x 7 x 12 (x 0)

IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập đã
chữa
- Giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử
a) P = ab(a - b) + bc(b - c) + ac(a - c).
b) Q = x
3
+ 3x
2
- 4.
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử
a) 9x
2
+ 6x 8
b) 4x
2
3x 1
D/Bổ sung
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
2008
Ngày soạn : 13/09/10
Ngày dạy : 17/09/10
Chủ đề 2
phân tích đa thức thành nhân tử

Buổi 3
các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử: Phơng pháp dùng phép chia đa thức; phơng pháp đặt ẩn
phụ.
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử
- Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức sĩ số
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Giải bài tập 1 đã cho tiết trớc
- HS2: Giải bài tập 2 đã cho tiết trớc
III. Bài mới
Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm)
1. Lí thuyết:
- Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x)
(q(x) là thơng của phép chia)
*) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a <=> f(a) = 0
2. Bài tập:
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
4

- 2x
3
+ x
2
- 4.
Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ớc của 4.
Ư(4) =
{ }
1; 2; 4
Thấy x = - 1 là nghiệm nên : x
4
- 2x
3
+ x
2
- 4= (x + 1)(x
3
- 3x
2
+ 4x - 4).
Mà g(x) = x
3
- 3x
2
+ 4x - 4 có x = 2 là nghiệm .
Do vậy g(x) = (x - 2)(x
2
x + 2).
Với đa thức : x
2

x + 2 có = 1- 8 = - 7 < 0 nên đa thức này không
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
phân tích đợc trên R.
Do vậy: x
4
- 2x
3
+ x
2
- 4 = (x + 1)(x - 2)(x
2
x + 2).
Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)
1. Lí thuyết:
- Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới
để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa
một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích đợc dựa vào
tìm nghiệm của đa thức bậc 2 .
- Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn
và đặt ẩn phụ cho thích hợp
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử .
A = (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x -12 = (x

2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x)
2
- 12
Đặt (x
2
+ x)
2
= X.
Ta có: A = X
2
+ 4X - 12 = X
2
+ 4X + 4 - 16
= (X+ 2)
2
- 4
2
= (X + 6)(X - 2)
Thay X = x
2
+ x. Ta có: A = (x
2
+ x + 6)(x
2
+ x - 2)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử .
f(x) = (2x
2
+ 3x + 5)
2
+ 5(2x
2
+ 3x + 5) + 6.
Đặt : 2x
2
+ 3x + 5 = t ta có f(t) = t
2
+ 5t + 6.
Dễ dàng phân tích đợc f(t) = (t + 2)(t + 3), từ đó ta có :
f(x) = (2x
2
+ 3x + 7)(2x
2
+ 3x + 8)
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử .
f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +7 ) - 9 = [(x + 1)(x + 7)][(x + 5)(x + 3)] - 9
= (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) - 9
Đặt : x
2
+ 8x + 11 = t, ta có f(t) = (t - 4)(t + 4) - 9.
Suy ra f(t) = t

2
-16 - 9 = t
2
- 25 = (t - 5)(t + 5)
Do vậy : f(x) = (x
2
+ 8x + 6) (x
2
+ 8x + 16).
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử .
a) P = (x
2
+ x) + 3(x
2
+ x) + 2
Đặt x
2
+ x = y ta có: P = y
2
+ 3 y + 2 = y
2
+ y + 2y + 2
P = y(y +1) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 2)
Thay x
2
+ x = y ta có: P = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2)

b) Q = x
2
- 2xy + y
2
+ 3x - 3y 10 = (x - y)
2
+ 3(x - y) - 10
Đặt x - y = t ta có:
Q = t
2
+ 3t - 10
= t
2
- 2t + 5t - 10
= t(t - 2) + 5(t - 2)
=(t - 2)(t + 5)
Thay x - y = t ta có: Q = (x - y - 2)(x - y + 5)
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
2008
b) B = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2

- 6x + 1
Hớng dẫn:
a) A =(x
2
+ 10x)(x
2
+ 10x + 24) + 128
Đặt x
2
+ 10x + 12 = y
=> Đa thức có dạng A = (y - 12)(y + 12) + 128 = y
2
- 16= (y + 4)(y - 4)
=> A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x
2
+ 10x + 16)(x
2
+ 10x + 8)
= (x + 2)(x + 8)(x
2
+ 10x + 8)
b) B = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
6x + 1 = x
4
- 6x

3
- 2x
2
+ 9x
2
- 6x + 1
B = x
4
+ (6x
3
- 2x
2
) + (9x
2
- 6x + 1) = x
4
+ 2x
2
(3x - 1)+ (3x - 1)
2
Đặt y = 3x 1 => B = (x
2
)
2
+ 2x
2
y + y
2
= (x
2

+ y)
2
Vậy B = (x
2
+ 3x - 1)
2
Luyện tập chung
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp dùng phép
chia đa thức
a) 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3.
b) 2x
3
+ 5x
2
+ 5x + 2.
c) 1 + 6x - 6x
2
- x
3
.
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 24.
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ:
A =
2 2 2
(x 3x 1) 12(x 3x 1) 27 +

Kết quả: A =
(x 1)(x 4)(x 2)(x 5)+ +
Bài 9:
a) Chứng minh rằng:
3 3 3 3
(x y z) x y z 3(x y)(y z)(z x)+ + = + + +
b) Phân tích đa thức thành nhân tử
A =
3 3 3 3
(a b c) (a b c) ( b c a) (c a b)+ + + + +
Hớng dẫn:

[ ]
3
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2
a)(x y z) x y z (x y) z x y z
(x y) z 3z(x y)(x y z) x y z
x y 3xy(x y) z 3z(x y)(x y z) x y z
3(x y)(xy xz yz z ) 3(x y)(y z)(z x)
+ + = + +
= + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + + = + + +
b) Đặt x = b + c a;
y c a b;z b a c x y z a b c= + = + => + + = + +
Do đó A =
3 3 3 3

(x y z) x y z 3(x y)(y z)(z x)+ + = + + +
= 24abc
Bài 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) A =
2 2
(x 2x)(x 2x 1) 6
b) B =
2 2 2 2
(x 4x 3) 5x(x 4x 3) 6x+ + +
c) C =
2 2 2 2
(x x 4) 8x(x x 4) 15x+ + + + + +
Hớng dẫn:
a) Đặt a =
2
x 2x
=> A =
2
(x 1)(x 3)(x 2x 2)+ +
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số