Chuyên đề 2 : Đạo hàm- nguyên hàm- tích phân potx

Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT


PHẦN 1 : ĐẠO HÀM
A).TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1). Định nghĩa:

( )
( ) ( )
0 0
lim lim
x x
f x x f x
y
f x
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
′
= =
∆ ∆
o o
o
2). Các quy tắc tính đạo hàm:
a). Đạo hàm một tổng, hiệu:
( )
1 2 1 2
′
′ ′ ′
± ± ± = ± ± ±

L L
n n
u u u u u u
b). Đạo hàm một tích:
( )
. . .u v u v u v
′
′ ′
= +
* Trường hợp đặc biệt:
v k=
(
k
là hằng số) ta được:
( )
. .k u k u
′
′
=
c). Đạo hàm một thương:
( )
2
0
.u u v u v
v
v v
′
′ ′
−
 

= ≠
 ÷
 
* Trường hợp đặc biệt:
1u =
ta được:
( )
2
1
0
v
v
v v
′
′
 
= − ≠
 ÷
 
3). Các công thức tính đạo hàm:
( ) ( )
1 *n n
u nu u n
−
′
′
= ∈¥
( ) ( )
2
cot

sin
u
gu u k
u
π
′
′
= − ≠
( )
( )
0
2
u
u u
u
′
′
= >
( )
u u
e e u
′
′
=
( )
sin cos .u u u
′
′
=
( )

( )
0 1ln
u u
a a au a
′
′
= < ≠
( )
cos sin .u u u
′
′
= −
( ) ( )
0ln
u
u u
u
′
′
= >
( )
2
2cos
u
tgu u k
u
π
π
′
 

′
= ≠ +
 ÷
 
( )
( )
0 1 0log ;
ln
a
u
u a u
u a
′
′
= < ≠ >
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
7
Chuyên đề 2 :
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
B).BÀI TẬP:
 Ghi nhớ: Để làm các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, chứng
minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức
( )
, , , , , F x y y y y
′ ′′ ′′′
, với
( )
y f x=
là hàm số cho trước, ta thực hiện các bước sau:
• Tìm tập xác định của hàm số

( )
y f x=
• Tính
, , ,y y y
′ ′′ ′′′
K
(có khi ta phải rút gọn hàm số
( )
y f x=
trước, sau đó
mới tính đạo hàm).
• Thay
, , ,y y y
′ ′′ ′′′
K
vừa tìm được vào biểu thức
F
, tiếp theo thực hiện
theo yêu cầu của từng bài toán.
Bài 1: Cho hàm số
( )
2
1
2
x
y x= −
. Giải phương trình
0y xy
′
+ =

.
Bài 2: Cho hàm số
2 x
y x e=
. Chứng minh đẳng thức:
( )
2xy x y
′
= +
.
Bài 3: Cho hàm số
2
2
cos
x
y =
. Chứng minh đẳng thức:
cos siny x y x y
′
− =
.
Bài 4: Cho hàm số
sin
x
y e x=
. Chứng minh rằng:
2 2 0y y y
′ ′′ ′′′
− + =
.

Bài 5: Cho hàm số
( )
2
1 cosy x x= −
.
Hãy tìm các giá trị của
x
sao cho:
( ) ( )
1 0x y y y
′′ ′
− + − =
Bài 6: Cho hàm số
4 4
cos siny x x= −
.
a. Chứng minh rằng:
2 2 0siny x
′
+ =
.
b. Giải phương trình
2 0y y
′
+ =
.
Bài 7: Cho hàm số
2
lny x=
. Giải bất phương trình

2
3y xy x y
′ ′′
+ − ≤
Bài 8: Cho hàm số
( )
2
1
x
y e x
−
= +
.
Tìm các giá trị của
x
sao cho:
2 1 0
′ ′′ ′′′
+ + +
− =
y y y y
Bài 9: Cho hàm số
( )
2
1ln
x
y e x
 
= +
 

.
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
8
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
a. Giải phương trình
( )
2
1 0y x y
′ ′′
+ + =
.
b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
y
′
.
Bài 10: Cho hàm số
x
y xe
−
=
.
Chứng minh bất đẳng thức sau:
0,y y y y x
′′′ ′ ′′
+ − − > ∀ ∈¡
.
Bài 11: Cho hai hàm số:
( )
2
2cos cosf x x x=

;
( )
2 2
1
2
2
sin sing x x x= +
.
a. Tính
( )
f x
′
,
( )
g x
′
.
b. Chứng minh rằng:
( ) ( )
0f x g x
′ ′
+ =
.
Bài 12: Cho hàm số
( )
3 2. .y f x tg x tg x tgx= =
.
Chứng minh rằng:
( )
2 2 2

3 3 2 2f x tg x tg x tg x
′
= − −
.
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
9
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
PHẦN 2 : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN
§1. NGUYÊN HÀM:
1). Định nghĩa :
Hàm số
( )
F x
gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
( )
,a b
nếu
( ) ( ) ( )
, ,F x f x x a b
′
= ∀ ∈
.
Ghi nhớ : Nếu
( )
F x
là nguyên hàm của
( )

f x
thì mọi hàm số có dạng
( )
F x C+
(
C
là hằng số) cũng là nguyên hàm của
( )
f x
và chỉ những hàm số có
dạng
( )
F x C+
mới là nguyên hàm của
( )
f x
. Ta gọi
( )
F x C+
là họ nguyên hàm
hay tích phân bất định của hàm số
( )
f x
và ký hiệu là
( )
f x dx
∫
.
Như vậy:
( ) ( )

f x dx F x C
= +
∫
2). Tính chất:
a.TC1:
( ) ( ) ( )
0;kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
b.TC2:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫
c.TC3: Nếu
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
thì
( ) ( )
f u du F u C= +
∫
.
3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b a 0∈ & ≠¡
:
dx x C
= +

∫
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
( )
1
1
1
,
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x x
e dx e C
= +
∫
sin cosxdx x C
= − +

∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
cos sinxdx x C
= +
∫
1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x
π
π
= + ≠ +
∫
1
cos sinaxdx ax C
a
= +

∫
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
10
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
2
cot ,
sin
dx
gx C x k
x
π
= − + ≠
∫
2
1
2
,
cos
dx
tgx C x k
ax a
π
π
= + ≠ +
∫
( )
0ln ,
dx
x C x
x

= + ≠
∫
2
1
cot ,
sin
dx
gax C x k
ax a
π
= − + ≠
∫
4). Bài tập:
Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu)
của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng
tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành
một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.
Bài 1: Cho hai hàm số
( )
1 1
2
2 4
sinF x x x= +
;
( )
2
cosf x x=

.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
G x
biết rằng
0
4
G
π
 
=
 ÷
 
.
Bài 2: Cho hàm số
( )
4 4
2 3cos cos cos
cos sin
x x x
f x
x x
+ +

=
−
.
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )
F
π π
=
.
Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2 4cos cosf x x x=
. Tìm hàm số
( )
G x
biết rằng
( ) ( )
G x f x
′′
=
và
( )
29 1

0
144 12 32
;G G
π
 
= − = −
 ÷
 
.
Bài 4: Cho hàm số
( )
8 2 4sin cos cos cosf x x x x x=
.
a. Giải phương trình
( ) ( )
0f x f x
′′
+ =
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng đồ thị của hàm số
( )
F x
đi qua điểm
0

8
;M
π
 
−
 ÷
 
.
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
11
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
Bài 5: Biết rằng hàm số
( )
1
sin
cos
x
F x
x
=
+
là nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy tìm
các giá trị của
x
sao cho
( ) ( )
0f x f x

′
− =
.
Bài 6: Cho hàm số
x
y xe=
.
a. Tính
y
′
và
( )
2y
′
.
b. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2007
x
f x x e= +
.
Bài 7: Cho hàm số
( )
sin
x
f x e x=
. Chứng minh rằng hàm số
( ) ( )
f x f x
′ ′′

−
là nguyên hàm của hàm số
( )
2 f x
.
Bài 8: Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
3 2
2
3 3 1
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
,biết rằng
( )
1
1
3
F =
. (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003)
§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa:
( ) ( ) ( ) ( )

b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Tính chất:
a. TC1:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
b. TC2:
( ) ( )
0( )
b b
a a
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
c. TC3:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 

∫ ∫ ∫
d. TC4:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
e. TC5: Nếu
( )
[ ]
0, ;f x x a b≥ ∀ ∈
thì
( )
0
b
a
f x dx ≥
∫
f. TC6: Nếu
( ) ( )
[ ]
, ;f x g x x a b≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
Hội đồng bộ môn Toán - THPT

12
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
g. TC7: Nếu
( )
[ ]
, ;m f x M x a b
≤ ≤ ∀ ∈
thì
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
− ≤ ≤ −
∫
3). Bài tập:
 Ghi nhớ:
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu
tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn
hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta
phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích
phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu
GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
4
0
2cos cosx xdx
π

∫

b.
4
cos sinx x dx
π
π
+
∫

c.
2
1
1
2 3
2
x x
dx
x
−
+ +
+
∫

d.
2
2
1
lnx x
e

dx
x
+
∫
Bài 2: Cho hàm số
( )
2
1
x
f x
x
=
+
và hàm số
( )
2
1lnF x x
= +
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Áp dụng câu a. tính
1
2
0

1
xdx
x +
∫
.
Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2ln lnf x x x x x= −
.
a. Tính
( )
f x
′
.
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
13
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
b. Áp dụng câu a. tính
2
1
ln
e
xdx
∫
.
Bài 4: Biết hàm số
( )
cos sin
cos sin

x x
F x
x x
−
=
+
là một nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy
tính :
( )
4
0
f x dx
π
′
∫
.
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát:
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′

= 
 
∫ ∫
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu
tích phân có dạng tích của
( )
f x
ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )
x
ϕ
) với đạo hàm của
hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt
cụ thể như sau:
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
sint x=

→ hoặc
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
cos .sinf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
cost x=

→ hoặc
cost p x q= +

( )

,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+
nằm trong
n
.
c). TH3:
( )
1
ln .f x dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
lnt x=

→ hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈¡

Hội đồng bộ môn Toán - THPT

14
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
→ hoặc
ln
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
lnp x q+
nằm trong dấu
n
.
d). TH4:
( )
2
1
.
cos
f tgx dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
t tgx=

→ hoặc
t ptgx q= +

( )

,p q∈¡

→ hoặc
n
t ptgx q= +
nếu như biểu thức
ptgx q+
nằm trong dấu
n
.
e). TH5:
( )
2
1
.
sin
f cotgx dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
t cotgx=

→ hoặc
t pcotgx q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
n
t pcotgx q= +
nếu như biểu thức
pcotgx q+
nằm trong
n
.
2). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
b.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π

+
∫
c.
( )
1
3 2ln
e
dx
x x +
∫
d.
19
2
3
0
8
xdx
x +
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
1
2
0
2
4 5
x dx
x x
−

− +
∫
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
15
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
b.
2
4
2
0
cos
tgx
e dx
x
π
∫
c.
( )
2
2
6
3 1cot sin
dx
gx x
π
π
+
∫
d.
4

2 1
1
x
dx
e x
+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3
0
cos
tgxdx
x
π
∫
b.
2
2 3
6
sin cosx xdx
π
π
∫
c.
6
4 4
0
2sin

cos sin
xdx
x x
π
−
∫
d.
( )
4
2
0
2cos
sin cos
xdx
x x
π
+
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3
4
0
sin
cos
xdx
x
π
∫

b.
3
2 3
0
1x x dx+
∫
c.
6
0
2
2 1
sin
sin
xdx
x
π
+
∫
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
16
Ti liu tham kho ụn tp TN.THPT
d.
4
3
6
dx
tgx tg x


+

Đ4. TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TNG PHN:
1). Cụng thc tng quỏt:
( )
b b
b
a
a a
uv dx uv v u dx

=

hay
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv
v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu


(tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn
tng phn tựy tng bi toỏn c th m ta phi xem xột).
3). Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn:
Tớch phõn tng phn thng c ỏp dng tớnh cỏc tớch phõn cú dng nh
sau:
a). Dng 1:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm
sin ( )x

hoc
cos ( )x

.
Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u p x
dv q x dx
=

=

Ghi nh : Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ khi th vo
cụng thc ta c
b
a
vdu

phc tp hn

b
a
udv

ban u.
Hi ng b mụn Toỏn - THPT
17
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
b). Dạng 2:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx
∫
Trong đó
( )
p x
là hàm số đa thức, còn
( )
q x
là hàm logarit.
→ Trong trường hợp này ta đặt:
( )
( )
u q x
dv p x dx
 =

=


Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn
khi suy ra
v
từ
dv
.
4). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
0
2 1 sinx xdx
π
+
∫
b.
( )
2
0
2 cosx x xdx
π
+
∫
c.
4
2
0
cosx xdx
π

∫
d.
4
2
0
cos
xdx
x
π
∫
e.
( )
1
2
2
0
1
x
x e dx+
∫
f.
1
0
3 2
x
x
dx
e
−
∫

g.
1
0
3 2( )
x
x dx−
∫
h.
( )
1
2
0
x
x e dx+
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
18
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
a.
( )
3
2
1
3 1 lnx xdx+
∫
b.
( )
1
0

1lnx x dx+
∫
c.
2
1
ln
e
xdx
∫
d.
( )
1
2
0
1lnx x dx+
∫
§5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
2
2
6
1 cos
sin
x dx
x
π
π
−

∫
b.
( )
2
2
1
ln
x
x x e dx
x
+
∫
c.
( )
2
2
2
6
2cot sin
sin
g x x dx
x
π
π
+
∫
d.
2
0
2

3 1
sin
cos
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
e.
2
0
1
sin cos
cos
x xdx
x
π
+
∫
f.
1
2
0
1 1
2
x

xdx
x e
 
−
 ÷
+
 
∫
g.
0
2
2 2
2 3
cos cos
sin
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
h.
1
2
0
3 1lnx x dx+
∫

§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
19
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b= = = =

(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
(2)
b). Các bước thực hiện:
• Bước1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai
thì giải phương trình
( ) ( )
f x g x=
(PTHĐGĐ của
( )
1

C
và
( )
2
C
) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa
GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý:
Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng
hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân
nào đó mà trên hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≥
, và
( )
1

C
nằm
dưới
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≤
.
2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:
• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính
được diện tích bằng công thức (2).
• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng
diện tích tất cả các hình nhỏ.
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau đây quanh trục Ox:
( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b= = =
(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( )
2
b
a
V f x dx
π

=  
 
∫
(3)
b). Các bước thực hiện:
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
20
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
• Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai
thì giải phương trình
( )
0f x =
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (3).
4). Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
2
6 5
2 1
:
x x
C y
x
− +

=
−
và trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( ) ( )
2
3:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
3
3 1:C y x x= − +
và đường thẳng
3:d y =
.
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
2
2 2
1
:
x x
C y
x
+ +

=
+
; đường tiệm cận xiên của
( )
C
; Ox;
1x e= −
.
Bài 6: Cho đường cong
( )
3 2
3 4:C y x x x= − +
. Viết phương trình tiếp
tuyến
d
của
( )
C
tại gốc tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
d
.
Bài 7: Cho parabol
( )
2
6 5:P y x x= − +
.
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của

( )
P
tại các giao điểm của
( )
P
với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
P
và các tiếp tuyến
nói ở câu a.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
:C y x=
;
2:d y x= −
và trục Ox.
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
21
Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
4:P y x=
và
đường thẳng
2 4:d y x= −
.
Bài 10: Cho parabol
( )

2
4:P y x=
.
a. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
P
, trục
Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 11: Cho đường cong
( )
2 1
1
:
x
C y
x
+
=
+
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn
bởi các đường:
( )
; ;C Ox Oy
. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi
quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong

( )
4 2
:C y x x= −
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn
bởi
( )
C
và trục Ox. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung
quanh trục Ox.
Hội đồng bộ môn Toán - THPT
22