bài giảng trọng tâm môn toán 9

TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN ĐỨC TẤN
NGUYỄN ANH HOÀNG – NGUYỄN PHƯỚC
(Biên soạn 2009)
BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM
ÔN THI VÀO LỚP 10
CHUYÊN TOÁN THPT
VÀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
THCS
Sách được dùng cho việc dạy và học các giáo viên và học sinh cấp
II chuẩn bị kiến thức trước các kì thi
In lần thứ nhất (8/5/2010)
Trang 1
Phần I: Tính giá trị của một biểu thức
I. Kiến thức liên quan
Yêu cầu HS nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ, viết đợc nhiều cách khác nhau, biết
một số hằng đẳng thức mở rộng, nắm đợc các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử các
phép tính về phân thức đại số vận dụng vào giải bài tập một cách linh hoạt.
1/ Các hằng đẳng thức đáng nhớ
)BABA)(BA(
)BA.(B.A.3)BA(BA.3
)BA).(BA(BA.2
B.A.2)BA(BA.1
22
333
22
222
+=
=
+=
=+

2/Các hằng đẳng thức mở rộng
3.
)BAB BABAA)(BA(BA
1n2n23n2n1nnn
+++++=
n là số tự nhiên
4.
)BAB BABAA)(BA(BA
n21n222n21n2n21n21n2
+++=+
++
5.
nn
n
1n1n
n
22n2
n
1n1
n
n0
n
n
BCABC BACBACAC)BA( +++++=+

( C
k
n

gọi là tổ hợp chập k của n phần tử)
C
k
n
=
!k)!kn(
!n

Quy ớc 0! = 1
Từ công thức trên có: C
1
n
= C
n-1
n
; C
2
n
= C
n-2
n
; C
3
n
= C
n-3
n
; C
k
n

+ C
n-1
n
= C
k
n+1
Giới thiệu tam giác Pascan để khai triển nhị thức Niu tơn có số mũ nhỏ.
Dạng tính giá trị của biểu thức đại số
Ví dụ 1: Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc với a; b; c

0.
Tính giá trị của P = (1 +
b
a
)(1 +
c
b
)(1 +
a
c
)
Gợi ý
Từ a
3

+ b
3
+ c
3
= 3abc => a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = 0

( a+b+c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca) = 0
Nếu a+b+c = 0 thì P = -1
Nếu a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca = 0 thì a = b = c và P = 8
Trang 2
ABC3)CBA).(A.CC.BB.A.(3)CBA(
)AC).(CB).(BA.(3)CBA(CBA.2

)A.CC.BB.A.(2)CBA(CBA.1
3
3333
2222
+++++++=
+++++=++
++++=++
Ví dụ 2: Cho xy +yz + zx = 0; xyz

0. Tính Q =
222
z
xy
y
zx
x
yz
++
Gợi ý
áp dụng kết quả trên coi a =
x
1
; b =
y
1
; c =
z
1
ta có
xyz

3
z
1
y
1
x
1
333
=++
Q =
222
z
xy
y
zx
x
yz
++
=
333
z
xyz
y
yzx
x
xyz
++
= xyz (
333
z

1
y
1
x
1
++
) = xyz .
xyz
3
= 3
Ví dụ 3: Cho a; b thoả mãn





=
=
777ba3b
999ba3a
23
23
Tính M = a
2
+ b
2
Gợi ý
Bình phơng hai vế của hai đẳng thức trên rồi cộng vế với vế thu gọn đợc (a
2
+ b

2
)
3
= 999
2

+ 777
2
suy ra M = a
2
+ b
2
=
3 22
777999 +
Ví dụ 4: a) Cho P = x
3
3x
2
+ 5x;
Q = y
3
3y
2
+ 5y;
P + Q = 6
Tính S = x + y
b) Cho A = 18x
3
54x

2
+ 60x + 71;
Q = 18y
3
54y
2
+ 60y + 71;
A + B = 190
Tính S = x + y
Gợi ý
a) Biến đổi P + Q = (x - 1)
3
+ (y - 1)
3
+ 2x + 2y +2 vì P + Q = 6 nên
(x - 1)
3
+ (y - 1)
3
+ 2x + 2y +2 = 6

(x - 1)
3
+ (y - 1)
3
+ 2(x + y - 2) = 0


(x + y - 2)( (x - 1)
2

- (x - 1) (y - 1) + (y - 1)
2
) = 0
=> x + y = 2 vì (x - 1)
2
- (x - 1) (y - 1) + (y - 1)
2
> 0.
Ví dụ 5: Giả sử x; y; z là các số thực khác 0 và thoả mãn hệ đẳng thức :






=++
=+++++
)2(333
)1(
1zyx
2)
y
1
x
1
(z)
x
1
z
1

(y)
z
1
y
1
(x
Tính P =
1 1 1
x y z
+ +
Gợi ý
Từ (2) suy ra: x
2
y + x
2
z + y
2
z + y
2
x + z
2
y + z
2
x = -2xyz

x
2
y + x
2
z +xyz + y

2
z + y
2
x + xyz + z
2
y + z
2
x + xyz = xyz

(xy + yz +zx )(x + y + z) = xyz
Mặt khác x
3
+ y
3
+ z
3
=
xyz3)zyx).(zxyzxy.(3)zyx(
3
+++++++
Suy ra x + y + z = 1 => xy + yz +zx = xyz => P =
1 1 1
x y z
+ +
= 1
Trang 3
Một số bài khác:
Bài 1: Cho a; b; c ; x; y; z

0 và

0
z
c
y
b
x
a
=++
(1)
;
1
c
z
b
y
a
x
=++
(2)
Tính A =
222
c
z
b
y
a
x
++
KQ : 1
Bài 2: Cho a; b; c đôi một khác nhau và

0
ba
c
ac
b
cb
a
=

+

+

Tính B =
222
)ba(
c
)ac(
b
)cb(
a

+

+

. KQ : 0
Bài 3: Cho a + b + c

và

1
ba
c
ac
b
cb
a
=
+
+
+
+
+
Tính
ba
c
ac
b
cb
a
222
+
+
+
+
+

KQ : 0
Bài 4: Cho ax + by = z; by + cz = x; ax + cz = y và x + y + z

0.
Tính P =
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ cba
.
Bài 5: Cho x; y; z thoả mãn xyz = 2008.
Tính Q =
1zxz
z
2008yyz
y
2008x2008xy
x2008
++
+
++
+
++
. KQ : 1
Bài 6: Cho a; b; c là các số thực

0 thoả mãn





=++
++
=++
9333
2
1111
cba
cbacba
Tính S = a
2007
+ b
2007
+ c
2007
KQ : 2
6021
Bài 7:. Cho a, b, c là ba số phân biệt khác không thoả mãn điều kiện:
a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức
P = (

+ + + +

a b c b c c a a b
)( )

b c c a a b a b c
KQ : 9
Dạng tính giá trị của biểu thức chứa căn
Yêu cầu nắm vững khái niệm, các phép tính các phép biến đổi căn bậc hai căn bậc 3 và căn bậc
n để vận dụng rút gọn 1 biểu thức.
Căn bậc hai
Ví dụ 1: Tính giá trị của a) A =
9024294351273 ++
b) B =
7474 +
Gợi ý
a) Dùng máy tính CASIO để tính kết quả A = (
2845
) +
54240
Trang 4
b) Giải bằng 2 cách kết quả A = -
2
Ví dụ 2: Tính giá trị của C =
)53).(210.(53 +
kết quả C = 2
D =
402088 +++
Gợi ý viết D =
1522251022 +++++
=
2
)152( ++
=
152 ++

Ví dụ 3: Cho (
)y2008y)(x2008x(
22
++++
= 2008 Tính x
2009
+ y
2009
KQ x + y = 0 => x = - y => x
2009
+ y
2009
= 0
Ví dụ 4: Cho a + b + c = 0 và a; b; c

0. Chứng minh
c
1
b
1
a
1
c
1
b
1
a
1
222

++=++
. Vận dụng
tính S =
222
3
1
2
1
1
1
++
+
222
4
1
3
1
1
1
++
+ .+
222
100
1
99
1
1
1
++
Kết quả S = 98,49

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức sau C = (
)116)(
63
12
26
4
16
15
+



+
+
Gợi ý
Trục căn thức ở mẫu của từng biểu thức
C = (
)116)(
3
)63(12
2
)26(4
5
)16(15
+
+

+
+

C =
)116(
)116( +
= - 115
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức sau
D =
1009999100
1

4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+
+
Gợi ý
Xét biểu thức tổng quát
1kkk)1k(
1
+++
=
1k
1

k
1
+

KQ: D = 0,9
Ví dụ 7: Cho biểu thức A =
2
x
16
x
8
1
4x4x4x4x
+
++
a)Rút gọn biểu thức A.
b)Tìm những giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Gợi ý
a)* Tìm tập xác định của A: x > 4
* Rút gọn với x > 4 A =
x
4
1
24x24x

++
Trang 5
* Với 4 < x

8 ta có A =

4x
x4

* Với x > 8 ta có A =
4x
x2

b) * Với Với 4 < x

8 & x

Z ta có A =
4x
x4


Z

A = 4+
4x
16


Z và 0 < x- 4

4
(1)
Để A nguyên thì x 4 phải là Ư
(16)
& thoả mãn (1) => x 4 nhận các giá trị 1; 2; 4 => x nhận các

giá trị 5; 6; 8 khi đó A nhận các giá trị 20; 12; 8.
* Với x > 8; x

Z để A =
4x
x2

x

Z thì trớc hết
4x
phải nguyên. Do vậy x - 4 = k
2

(k

N
*
)

x = 4 + k
2
=> A =
k
8
k2
k
k28
2
+=

+
Vì x > 4 => k
2
> 4 => k > 2. Để A

Z thì k

Ư
(8)

& k > 2 Do vậy k nhận các giá trị 4; 8 => x
nhận 20; 68 khi đó A = 10; 17.
Kết luận: x = 5; 6; 8; 20; 68.
Ví dụ 8: Cho a; b; c là các số dơng thoả mãn: a + b + c +
abc
= 4
Tính Q =
(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )a b c b c a c a b
+ +
-
abc
Gợi ý
Xét
)c4)(b4(a
=
)4416( bccba +
Từ giả thiết a + b + c +
abc
= 4
=>16- 4b 4c = 4a + 4

abc
Do đó
)c4)(b4(a
=
)4416( bccba +
=
)bcabc4a4(a ++
= 2a +
abc

Tơng tự
)c4)(a4(b
= 2b +
abc
;
)b4)(a4(c
= 2c +
abc
Vậy Q = 8
Ví dụ 9: Cho dãy số x
1
; x
2
; x
3
; x
n
đợc xác định nh sau: x
1

= 1; x
n

=
1n
1n
x31
x3



+
. tính x
2006
;
x
2007
; x
2008

Gợi ý
Tính x
2
= - (2 +
3
); x
3
=
3
- 2; x

4
= 1 cứ tiếp tục nh thế thấy x
5

= x
2
; x
6
= x
3
; x
7
= x
4
=> x
3k+1

= x
1
; x
3k+2
= x
2
; x
3k
= x
3
Nh vậy sẽ tính đợc x
2006
; x

2007
; x
2008

Căn bậc ba
Chú ý mọi số đều có căn bậc 3 và các phép tính phép biến đổi trên căn bậc 2 vẫn đúng với căn
bậc 3.
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức D =
33
27
1
102
27
1
102 ++

Gợi ý
Trang 6
Có thể biến đổi biểu thức dới dấu căn về lập phơng của một biểu thức rồi khai căn và tính kết
quả (cách này khó hơn).
Có thể lập phơng hai vế rồi tìm D bằng cách giải phơng trình bậc 3
D
3
= 2 + 10
27
1
+ 2 - 10
27
1
+ 3

27
1
1004
D

D
3
= 4 +2D

( D -2)(D
2
+ 2D +2) = 0

D = 2 vì D
2
+ 2D +2 > 0
Ví dụ 2: Cho x =
)1
4
51323
4
51323
(
3
1
33


+
+

Tính giá trị biểu thức M = 2x
3
+ 2x
2
+1
Gợi ý
Đặt
3
4
51323 +
= a;
3
4
51323
= b
Khi đó ab = 1; a
3
+ b
3
=
2
23
. Ta có 3x + 1 = a + b
Lập phơng hai vế đợc 27x
3
+ 27x
2
+ 9x + 1 = a
3

+ b
3
+ 3ab(a + b)

27x
3
+ 27x
2
+ 9x + 1 =
2
23
+ 3(3x + 1)

2x
3
+ 2x
2
= 1

M = 2.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a) Nếu
333
cba ++
=
3
cba ++
thì với mọi số nguyên dơng lẻ
n, ta đều có:
nnn
cba ++

=
n
cba ++
b) Nếu ax
3
= by
3
= cz
3
và
1
111
=++
zyx
thì
3
222
czbyax ++
=
333
cba ++
Gợi ý
a)Chỉ ra đợc a = - b hoặc a = - c; c = - a.
b) Đặt
3
222
czbyax
++
= A Biến đổi để A = x
3

a
= y
3
b
= z
3
c
.
Rồi suy
3
a
=
x
A
;
3
b
=
x
B
;
3
c
=
x
C
và biến đổi tiếp.
Phần II: Bất đẳng thức
Yêu cầu HS chứng minh đợc các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, các bất đẳng thức
thờng dùng biết vận dụng để chứng minh một số bài toán BĐT

A.Một số bất đẳng thức thờng dùng
1. Bất đẳng thức Cô-Si
* Với 2 số dơng a, b thì a + b

2
ab
dấu = xảy ra

a = b
*Với 3 số dơng a, b, c thì a +b +c

3
3
abc
dấu = xảy ra

a = b = c
* Tổng quát : với a
1
; a
2
; a
3
;a
n

0 thì a
1
+ a
2

+ a
3
++a
n

n
n
n321
a aaa

Dấu = xảy ra

a
1
= a
2
= a
3
= = a
n
.
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
*Với 2 cặp số (a; b) và(x; y) thì (ax + by)
2

(a
2
+b
2
)(x

2
+y
2
)
Dấu = xảy ra

y
b
x
a
=
Trang 7
*Với 2 bộ số (a; b; c) và(x; y; z) thì (ax + by+ cz)
2

(a
2
+b
2
+ c
2
)(x
2
+y
2
+ z
2
)
Dấu = xảy ra

y
b
x
a
=
=
z
c
3.Một số bất đẳng thức đ ợc suy ra từ các bất đẳng thức trên .
* (a + b)
2

2(a
2
+b
2
). Dấu = xảy ra

a = b
* (a + b + c)
2

3(a
2
+ b
2
+ c
2
). Dấu = xảy ra

a = b = c
*
x
y
y
x
+

2 với x; y là 2 số cùng dấu. Dấu = xảy ra

x = y
*
yx
4
y
1
x
1
+
+
với x; y cùng dơng. Dấu = xảy ra

x = y
* (x + y +z)(
z
1
y
1
x
1

++
)

9 với x; y; z cùng dơng
B.Một vài phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
I.Ph ơng pháp dùng định nghĩa BĐT và tính chất của luỹ thừa bậc chẵn
Ví dụ1: Chứng minh rằng a + b + c


cabcab ++
với mọi a; b; c > 0.
Ví dụ2: Chứng minh rằng: a) với 2 số dơng x; y thoả mãn xy

1 thì
xy1
2
z1
1
y1
1
x1
1
+

+
+
+
+
+
b) Cho x; y; z > 0 thoả mãn x; y; z

1 thì
xyz
zyx
+

+
+
+
+
+
1
3
1
1
1
1
1
1
222
Gợi ý
a)
xy1
2
z1
1
y1
1
x1
1

+

+
+
+
+
+


(2 + x + y)(1 +
xy
)

2 (1 + x)(1 + y)

)xy1()yx(
2



0 luôn đúng.
b) áp dụng câu a
xyz1
2
xy1
2
y1
1
x1
1

22
+

+

+
+
+
(vì z < 1)

xyz1
2
yz1
2
z1
1
y1
1
22
+

+

+
+
+
(vì x < 1)

xyz1
2

xz1
2
z1
1
x1
1
22
+

+

+
+
+
(vì y < 1)
Cộng vế với vế => ĐPCM
II.Ph ơng pháp làm trội làm giảm
Ví dụ 1: a) Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2222
n
1

3
1
2
1
1
1
++++
< 2-

n
1
( với n > 1).
b)
2222
n
1

3
1
2
1
1
1
++++
<
3
5
Gợi ý
Trang 8
a) Với k > 1, ta có:
k
1
1k
1
k)1k(
1
k
1
2

=

<
Do đó:
n
1
2
n
1
1n
1

3
1
2
1
2
1
11
n
1

3
1
2
1
1
1

2222
=

++++<++++
(đpcm)
b) Với k > 1, ta có:
)
1k2
1
1k2
1
(2
)1k2)(1k2(
4
1k4
4
k4
4
k
1
222
+


=
+
=

<=
Vậy

)
1k2
1
1k2
1
(2
k
1
2
+


<

Do đó:
2222
n
1

3
1
2
1
1
1
++++
< 1 + 2 (
)
1n2
1

1n2
1

7
1
5
1
5
1
3
1
+


+++
< 1+
3
2
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức với n

N
*
; n
2
2n2
n
1

4
1

3
1
2
1
3n2 <++++<
Giải:
Đặt A=
n
1

4
1
3
1
2
1
++++
a) Chứng minh A >
3n2
Làm giảm mỗi số hạng của A
)k1k(2
k1k
2
kk
2
k
1
+=
++
>

+
=
Do đó A > 2[
)1nn( )43()32( +++++++
] = 2
)21n( +
=
221n2 +
>
31n2 +
>
3n2
a) Chứng minh A <
2n2
Làm trội mỗi số hạng của A
)1kk(2
1kk
2
kk
2
k
1
=
+
<
+
=
Do đó A < 2[
)12()23( )1nn( +++
] = 2

)1n(
=
2n2
(đpcm)
Chứng minh bất đẳng thức
2
n)1n(
1

34
1
23
1
2
1
<
+
++++
với

n

1
Giải:
Ta biến đổi số hạng tổng quát của vế trái
)
1k
1
k
1

(2)
1k
1
k
1
)(
1k
k
1(
)
1k
1
k
1
)(
1k
1
k
1
(k)
1k
1
k
1
(k
)1k(k
k
k)1k(
1
+

<
+

+
+=
+

+
+=
+
=
+
=
+
Trang 9
Do đó:
2)
1n
1
1(2
n)1n(
1

34
1
23
1
2
1
<

+
<
+
++++
(đpcm)
III.Ph ơng pháp sử dụng các bất đẳng thức đ biết:ã
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh bất đẳng thức:
2
cba
ba
2
c
ac
2
b
cb
2
a ++

+
+
+
+
+
Cách 1(Dựa vào bất đẳng thức Cô si)
a
2
a
.2
4

cb
.
cb
2
a
2
4
cb
cb
2
a
==
+
+

+
+
+
Suy ra:
4
cb
a
cb
2
a +

+

Tơng tự
4

ac
b
ac
2
b +

+

4
ba
c
ba
2
c +

+
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên, ta đợc:
2
cba
2
cba
)cba(
ba
2
c
ac
2
b
cb
2

a ++
=
++
++
+
+
+
+
+
Cách 2
Theo bất đẳng thức bunhia Côpxki: (a
2
+b
2
+c
2
)(x
2
+y
2
+z
2
)

(ax+by+cz)
2
.Ta có:
( ) ( ) ( )
[ ]
2

222
222
ba.
ba
c
ac.
ac
b
cb.
cb
a
baaccb
ba
c
ac
b
cb
a






+
+
++
+
++
+

+++++














+
+






+
+

+

2
)cba()c2b2a2)(
ba
2
c
ac
2
b
cb
2
a
( ++++
+
+
+
+
+

2
cba
ba
2
c
ac
2
b
cb

2
a ++

+
+
+
+
+
Ví dụ 2: a) Cho hai số dơng a, b có a + b = 1. Chứng minh rằng:
6
ba
1
ab
1
22

+
+
14
ba
3
ab
2
22

+
+
b) Cho a; b; c > 0. Chứng minh rằng:
Trang 10
)

c
1
b
1
a
1
(
4
1
c2ba
1
cb2a
1
cba2
1
++
++
+
++
+
++
c) Cho a; b; c

0 và a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: a+2b + c +

4(1- a)(1- b)(1- c)
Giải
a) áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
(x+y)(

y
1
x
1
+
)


xy
1
.2.xy2


y
1
x
1
+


yx
4
+
(1) với x; y > 0
Ta có: ab


4
1
2

ba
2
=






+



4
ab
1

(2)
áp dụng bất đẳng thức (1) và (2) ta có:

6
)ba(
4
2
4
ba
1
ab2
1
ab2

1
ba
1
ab
1
22222
=
+
+
+
++=
+
+
Dấu "=" xảy ra
2
1
ba ==
*)
14
)ba(
4
.3
2
4
)
ba
1
ab2
1
(3

ab2
1
ba
3
ab2
4
ba
3
ab
2
2222222
=
+
+
+
++=
+
+=
+
+
Dấu "=" xảy ra
2
1
ba ==
b) Từ (1) suy ra:
4
1
yx
1

+
(
y
1
x
1
+
) (3)
áp dụng bất đẳng thức (3), ta có:
c16
1
b16
1
a8
1
)]
c
1
b
1
(
4
1
[
4
1
a8
1
)
cb

1
a2
1
(
4
1
cba2
1
++=++
+
+
++
Tơng tự
c16
1
b8
1
a16
1
cb2a
1
++
++

c8
1
b16
1
a16
1

c2ba
1
++
++
Cộng vế với vế


)
c
1
b
1
a
1
(
4
1
c2ba
1
cb2a
1
cba2
1
++
++
+
++
+
++
Dấu "=" xảy ra

cba ==
c) áp dụng bất đẳng thức 4xy

(x+y)
2
ta có:
4(1- a)(1- b)(1- c) = 4(b + c)(1- c)(1- b)

(1+b)
2
(1-b)= (1+b) (1-b
2
)

1+b = a+2b+c
Dấu "=" xảy ra

a =
2
1
; b = 0; c =
2
1
Ví dụ 3: Cho x; y; z
4
3

và x+y+z=1. Chứng minh:
Trang 11
393z43y43x4 +++++

Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpxki cho ba cặp số (
3x4 +
; 1); (
3y4 +
; 1); (
3z4 +
; 1)
ta có:
3z43y43x4.1113z4.13y4.13x4.1
222
++++++++++++
393.13)9z4y4x4.(3.3z43y43x4 ==++++++++
Dấu "=" xảy ra
3
1
zyx ===
Ví dụ 4: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
abc

(a+b-c) (b+c-a)(c+a-b)
Cách 1:
Ta có: a >
cb

0)cb(aa
222
>
b >
ca

0)ca(bb
222
>

c >
ba

0)ba(cc
222
>

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên, ta đợc:
a
2
b
2
c
2

])cb(a[
22

])ca(b[
22

])ba(c[
22

a
2
b
2
c
2

(a+b-c)
2
(b+c-a)
2
(c+a-b)
2

abc

(a+b-c) (b+c-a)(c+a-b)
Dấu "=" xảy ra

a = b = c
Cách 2:
áp dụng bất đẳng thức xy
2
2
yx

+

. Ta có:
(a+b-c) (b+c-a)
2
2
b
2
)acb()cba(
=






+++

(b+c-a)(c+a-b)
2
2
c
2
)bac()acb(
=

+++

(c+a-b)(a+b-c)
2
2
a
2
)cba()baac(
=






+++

Vì các vế của các bất đẳng trên đều dơng nên ta nhân vế với vế chúng lại, ta đợc:
(a+b-c)
2
(b+c-a)
2
(c+a-b)
2


a
2

b
2
c
2

abc

(a+b-c) (b+c-a)(c+a-b)
Ví dụ 5: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a)
3
cba
c
bca
b
acb
a

+
+
+
+
+
b)

++

+

+
c
1
b
1
a
1
2
cp
1
bp
1
ap
1
với p =
2
cba ++
Giải
a) Đặt A = b+c- a; B = a + c- b; C = a + b- c
Khi đó A+B+C = a+b+c và 2a = a+b+c-(b+c-a) = A+B+C - A = B+C nên a =
2
CB +
;
Trang 12
b =
2

CA +
; C =
2
BA +
Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
3
C2
BA
B2
CA
A2
CB

+
+
+
+
+


6
C
BA
B
CA
A
CB

+
+

+
+
+


6
C
B
B
C
C
A
A
C
B
A
A
B







++

++






+
(đúng)
b) Ta có:
c
4
)ba(p2
4
bp
1
ap
1
=
+


+


a
4
cp

1
bp
1


+

;
b
4
cp
1
ap
1


+








++

+

+

c
1
b
1
a
1
2
cp
1
bp
1
ap
1
Dấu "=" xảy ra

a = b = c
Ví dụ 6: Cho x, y, z > 0. Chứng minh:
222333333
z
1
y
1
x
1
xz
z2
zy
y2
yx
x2

++
+
+
+
+
+
Giải
Ta có: x
3
+ y
3

xy
1
yx
x2
xxy2
33

+

Tơng tự:
yz
1
zy
y2
33

+
;

zx
1
xz
z2
33

+


zx
1
yz
1
xy
1
xz
z2
zy
y2
yx
x2
333333
++
+
+
+
+
+
Mặt khác
xy

2
y
1
x
1
22
+
;
yz
2
z
1
y
1
22
+
;
zx
2
x
1
z
1
22
+

++
zx
1
yz

1
xy
1
222
z
1
y
1
x
1
++

222333333
z
1
y
1
x
1
xz
z2
zy
y2
yx
x2
++
+
+
+
+

+
Dấu "=" xảy ra

x = y = z = 1
Trang 13
Phần III: cực trị đại số
A/ Định nghĩa
Định nghĩa 1:
Cho biểu thức f(x,y,) xác định trên miền D ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,) trên miền D
nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn
- Với

x,y

D thì f(x,y,)

M với M là hằng số
- Tồn tại x
0
, y
0
thuộc D sao cho f(x
0
,y
0
) = M
Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,) trên miền
D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn
- Với mọi x, y, thuộc D thì f(x,y,)

m với m là hằng số
- Tồn tại x
0
, y
0
thuộc D sao cho f(x
0
,y
0
) =m
B/ Những sai lầm thờng gặp khi giải bài toán tìm cực trị
1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1
Ví dụ 1:Tìm cực GTLN của biểu thức
17x6x
1
A
2
+
=
Giải
Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất
Ta có
88)3(176
22
+=+ xxx
Min
38)176(
2
==+ xxx

Vậy MaxA =
8
1

3x =
Sai lầm : Cha đa ra nhận xét và mẫu đều dơng
Lời giải đúng
Nhận xét tử và mẫu là các số dơng

A > 0 do đó AMax

A
1
Min.
A
1
=
17x6x
2
+
Ta có:
176
2
+ xx
= ( x- 3)
2
+ 8

8. Dấu = xảy ra

x=3
Min
A
1
= 8. Vậy MaxA=
8
1

3x =
Ví dụ 2: Tìm GTNN của
A = x
2
+y
2
biết x+y=4
Giải
Ta có A = x
2
+y
2


2xy
Do đó AMin

x
2
+y
2
= 2xy

x=y=2
Khi đó MinA= 2
2
+2
2
=8
Sai lầm: Mới chứng minh đợc f(x,y)

g(x,y) chứ cha chứng minh đợc f(x,y)

m với m là hằng
số
Lời giải đúng
Trang 14
Ta có x+y = 4

x
2
+2xy+y
2
= 16
Ta lại có (x-y)
2


0

x
2

-2xy + y
2


0


2(x
2
+y
2
)

16


x
2
+ y
2


8

MinA =8

x =y=2
2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2
Ví dụ1 :
Tìm GTNN của

xxA +=
Lời giải sai
4
1
4
1
)
2
1
x(xxA +=+=
Vậy MinA =
4
1



2
1
x =
vô lí
Lời giải đúng
Để tồn tại
x
phải có x

0.
Do đó

xxA +=

0 MinA = 0

x = 0
Ví dụ 2:
Tìm GTLN của A = xyz(x+y)(y+z)(x+z) với x,y,z

0 và x + y + z = 1
Lời giải sai
áp dụng BĐT
2
)ba(ab4 +

1)zyx(z).yx(4
2
=+++

1)zyx(z).yx(4
2
=+++
Nhân từng vế (do hai vế đều không âm), ta đợc:
64. xyz(x+y)(y+z)(x+z)

1
=> MaxA =
64
1
Sai lầm:
Cha chỉ ra đợc trờng hợp xảy ra dấu =
Điều kiện để
64

1
=A
là










=++
=+
=+
=+
0z;y;x
1zyx
yzx
xzy
zyx






=++
===

0z;y;x
1zyx
0zyx
mâu thuẫn
Lời giải đúng
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm:
1 = x+y+z
3
xyz3
(1)
Trang 15
2= (x+y)+(y+z)+(x+z)
3
)zx)(zy)(yx(3 +++

(2)
Nhân 2 vế (1) và (2). Do hai vế đều không âm
3
3
)
9
2
(AA92
Vậy MaxA =
2
)
9
2
(

3
1
zyx ===
Ví dụ 3:
Tìm GTNN của A =
x
)bx).(ax( ++
với x > 0; a và b là các hằng số dơng cho trớc
Lời giải sai
Ta có x+a
ax2
(1)
;
bx2bx +
(2)
Do đó
30yx
MinA = 4
ab

bax ==
Sai lầm : A=4
ab
Khi (1) và (2) xảy ra dấu = tức là x=a; x=b đòi hỏi phải có a=b ; a+b thì
không có đợc A=4
ab
Lời giải đúng
2
2

)ba(baab2)ba(
x
ab
x
x
abx)ba(x
A +=+++++=
+++
=
Vậy MinA =





>
=
+
0x
x
ab
x
)ba(
2
abx =
Ví dụ 4 :
Tìm GTNN của A= 2x+3y biết 2x
2
+ 3y
2

5

Lời giải sai
Gọi B = 2x
2
+ 3y
2
, ta có B
5

.
Xét A+B = 2x+3y+2x
2
+ 3y
2
=
4
5
4
5
)
2
1
y(3)
2
1
x(2
22
+++

(1)
Ta lại có B
5

nên -B
5

(2)
Cộng (1) và (2):
4
25
A
. minA= -
2
1
yx
4
25
==
Sai lầm: với x = y =
2
1

dấu = xảy ra ở 1. Nhng không xảy ra ở (2) với x = y =
2
1

thì B

5
do đó -B

-5
Lời giải đúng
Xét
25)y3x2(5)y3.3x2.2()y3x2(A
22222
++=+=
5A5
. Vậy MinA = -5
1yx ==
C. Một số phơng pháp thờng dùng khi tìm cực trị
I. Xét biểu thức phụ
Ví dụ 1: Tìm GTNN, GTLN của
Trang 16
A =
2
x32
1

Giải
Đ/K: -
3x3
Với -
3x3
thì 2-
2
x3

2 -
3
mà 2 -
3
> 0
=> A > 0
Xét biểu thức
2
x32
A
1
B ==
Ta có
2x32320x333x30
222

MinB =
== 0xx3332
2
maxA
32
32
1
+=

=
MaxB =2
3x0x3
2
==

MinA =
2
1
Nhận xét: Để tìm cực trị của A (A>0) ta có thể xét biểu thức phụ
2
A;A;A;
A
1

. Hoặc B
sai khác A một hằng số.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của
x
1
x1
2
A +

=
với 0 < x < 1
Giải
Ta có thể xét biểu thức
x
1
x1
2
B +

=
với 0 < x < 1

áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số dơng
x
x
x
x

1
;
1
2
Ta có
22
x
x1
.
x1
x2
2B =



B = 2
2






<<

=


)2(
)1(
1x0
x
x1
x1
x2
Giải (1) :
x12x)x1(x2
22
==
Do 0 < x < 1 nên
12
1x
1
xx12x =
+
==
Nh vậy MinB =
12x22 =
Xét A - B =
312)
1
1
2
()

1
1
2
(
=+=

+

+

x
x
x
x
xx
Trang 17
Do đó MinA
12x322 =+=
Ví dụ 3: Tìm GTNN của
1xx1xxA
22
++++=
Giải
Cách 1: Nhận xét A > 0

x
4)1xx1x(2A
2422
++++=
Vậy MinA = 2

0x =
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi
21xx2)1xx)(1xx(2A
24
4
22
++=+++
Vậy MinA = 2 với x = 0
Ví dụ 4: Tìm GTNN của
3x2x12x4xA
22
++++=
Giải
Tập xác định
)1(
2
2
3x1
0)x3)(1x(
0)x6)(2x(
03x2x
012x4x




+
+

++
++
Xét hiệu (
12x4x
2
++
) - (
3x2x
2
++
) =2x+9
Do (1) nên 2x + 9 >0
0> A
Xét
22
))x3)(1x()x6)(2x((A ++=
A
0
Nhng dấu = không xảy ra (vì A> 0) .
Ta biến đổi cách khác
)x3)(1x)(x6)(2x(2)x3()1x()x6)(2x(A
2
+++++=
)x3()x6()x3)(1x)(x6)(2x(2)x3)(2x()x6)(1x( +++++=

3))x3)(2x()x6)(1x((

2
+++=
Vì
0))x3)(2x()x6)(1x((
2
++
, nên A
2

3
. Dấu " =" xảy ra

x = 0.
Do A > 0 nên MinA =
3
khi x = 0
II. Đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới
Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN
)1y)(1x(A
44
++=
biết x; y
10yx;0 =+
Giải
1yxyx)1y)(1x(A
444444
+++=++=
Ta có
10=+ yx
xyyx 210

22
=+

222244
yx2yx4xy40100yx +=+

2244
yx2xy40100yx +=+
Đặt xy = t thì
1tt2t40100A
42
+++=
a) Tìm GTNN
Trang 18
4540t40t1016t8tA
224
++++=
4545)2t(10)4t(A
222
++=
AMin = 45
2= t
. Khi đó xy = 2;
10yx =+
Nên x; y là nghiệm của phơng trình
02X10X
2
=+

tức

2
210
y;
2
210
x

=
+
=
hoặc
2
210
y;
2
210
x
+
=

=
b) Tìm GTLN
Ta có 0
)1(
22
2
5
t0
2
5

)
2
10
()
2
yx
(xy ==
+

Viết dới dạng
101)40t2t(tA
3
++=
Do (1) nên
0405
8
125
40t2t
8
125
t
33
<++
còn t
0

nên A
101
.
Vậy max A= 101

0t =
tức là x= 0; y=
10
hoặc x=
0y;10 =
III. Vận dụng các bất đẳng thức đ biết một cách linh hoạtã
Ví dụ 1: Tìm GTLN của
a)
2y1xA +=
biết x+y = 4
b)
y
2y
x
1x
B

+

=
Giải
a) Điều kiện x
2y;1
Ta có
)ba(2ba)ba()ba(2
22222
++++
áp dụng bất đẳng thức trên
2)3yx(2)2y1x(2A =+=+
MaxA=

=
=




=+
=

5,2y
5,1x
4yx
2y1x
2
b) Điều kiện
2y;1x
áp dụng bất đẳng thức
2
ba
ab
+

Coi các bất đẳng thức
2
x
2
1x1

)1x.(11x =
+
=

2
y
2
)2y.(2
2y

=
Trang 19
2
1
2y
y
y
2y
;
x
1
x2
x
x
1x
=

=

MaxB =



=
=




=
=

+
=+
4y
2x
22y
11x
4
22
2
1
2
1
Ví dụ 2: Tìm GTNN, GTLN của
)x10199(xA
2
+=
Giải

Xét biểu thức phụ
A
và áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacopxki và Côsi
)x10199)(199(x)x101.199.99(xA
22
+++=

1000
2
x200x
.10x20010.x
22
2
=
+
=







=
=

=
<
=
22

2
2
x2000x
10x
x101
99
1
99
101x
1000A
Do đó -1000

A

1000
MinA = -1000 với x= -10
MaxA = 1000 với x=10
Ví dụ 3: Tìm GTNN của
A= x
4
+y
4
+z
4
biết xy + yz +xz =1
Giải
2244
2222224442244
2244
zx2xz

zxzyyxzyxzy2zy
yx2yx
+
+++++
+
Mặt khác : ta có nếu a + b + c =1 thì
3
1
222
++ cba
CM: a+b+c =1
1)(
2
=++ cba
1)acbcab(2cba
222
=+++++
Mà
3
1
cba1)cba(3acbcabcba
222222222
++++++++
áp dụng kết quả trên
3
1
222222
=++++ xzyzxyzxzyyx
3
1

zyxA
444
++=
Trang 20
Amin =
3
3
zyx
3
1
±===⇔
VÝ dô 4: a) Cho x; y thay ®æi sao cho 0
≤
x
≤
6 vµ 0
≤
y
≤
7.
T×m GTLN cña M = (6-x) (7- y) (2x + 3y)
b) Cho x; y lµ c¸c sè thùc > 1. T×m GTLN cña P =
)1)(1(
)()(
2233
−−
+−+
yx
yxyx
.

c) Cho x; y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n
36
16
y
9
x
22
=+
.
T×m GTNN; GTLN cña S = x – y +2008
Gi¶i
a) M =
3y) (2x 3y) -(21 2x)-(12
6
1
+
¸p dông C«si víi 3 sè kh«ng ©m cã M =
3y) (2x 3y) -(21 2x)-(12
6
1
+
≤

3
)
3
3y 2x3y -212x-12
(
6
1 +++

=
6
11
3
DÊu “=” x¶y ra
⇔





≤≤≤≤
+=−
−=−
7 y 0 ; 6 x 0
y3x2y321
y321x212

⇔
x =
3
10
;
2
1
=y
KL: GTLN cña M =
6
11
3

⇔
x =
3
10
;
2
1
=y
b) P =
)1y)(1x(
)yx()yx(
2233
−−
+−+
=
1x
y
1y
x
22
−
−
−
C
1
¸p dông B§T C«si
1
2
−y
x

+ 4(y-1)
≥
4x;
1
2
−x
y
+ 4(x-1)
≥
4y => P
≥
8
DÊu “=” x¶y ra
⇔



−=
−=
)1x(2y
)1y(2x
⇔
x = y = 2
C
2
Ta cã (x - 2)
2

≥
0 => x

2

≥
4(x - 1) v× x > 1 nªn
1
2
−x
x
≥
4;
1
2
−y
y
≥
4
Suy ra
1
2
−x
x
+
1y
y
2
−
≥
8 hay
)1y)(1x(
)yx(xyyx

2222
−−
+−+

mµ P =
=
−−
+−+
)1y)(1x(
)yx()yx(
2233

)1y)(1x(
)yx(xyyx
2222
−−
+−+
+
)1y)(1x(
)yx()yx(
2
−−
+−

≥
8
DÊu “=” x¶y ra
⇔
2
1

2
xzyzxy
2
zyx
=
++
≥
++
⇒

⇔
x = y = 2
Trang 21
c) áp dụng BĐT (a
2
+ b
2
) (x
2
+ y
2
)

(ax + by)
2

Ta có
22222
)
4

y
.4
3
x
.3()43()
4
y
()
3
x
( +






+
=> (
2
22
)(25).
169
yx
yx
+
Suy ra 36 . 25

(x - y)
2

=>
yx


30 => -30

30 yx
yx
= 30









=+
=
36
169
43
22
yx
yx

=
=
2,19y
8,10x
Ví dụ 5: Tìm GTNN của
xz
z
zy
y
yx
x
A
+
+
+
+
+
=
222
biết x; y; z > 0 ;
1=++ xzyzxy
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
)222)(() (
222
2
zyx
xz
z
zy

y
yx
x
xz
xz
z
zy
zy
y
yx
yx
x
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
2
222
zyx
xz
z
zy

y
yx
x ++

+
+
+
+
+

Mặt khác: x+y
xzxzyzzyxy 2;2;2 ++
2
1
22
=
++

++

xzyzxy
zyx
Vậy MinA =
3
1
2
1
=== zyx
IV. Chia khoảng để tìm cực trị
Ví dụ 1: Tìm GTLN của

A = x
2
(3-x) với x

0
Giải
a) Xét
30 x
. Viết A dới dạng
)3.(
2
.
2
.4 x
xx
A =
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm
x
xx
3;
2
;
2
Ta đợc
1)
3
3
22
()3.(
2

.
2
3
=
++

x
xx
x
xx
Do đó A

4
(1)
b) Xét x

3, khi đó A

0
(2)
So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận
Trang 22
MaxA = 4
2
0
3
2
=

=
x
x
x
x
Ví dụ 2: Tìm GTLN của A = x
2
1 x
Giải
Đ/ k: -1

x

1
* Xét - 1
ox

thì A

0.
* Xét 0 < x

1thì A =
2
1
)1(

22
22
xx
xx
+

.
MaxA =
2
2
0
1
2
1
22
=



>
=
x
x
xx
Ví dụ 3: Tìm GTNN; GTLN của
33
yxA +=
biết x; y > 0 ; x
2
+ y

2
=1
Giải
a) Tìm GTLN
Từ giả thiết
1
10
10
2233
23
23
=++













yxyx
xy
xx
y
x

MaxA=1
1;0
23
23
==





=
=
yx
yy
xx
hoặc x=1; y = 0
b) Tìm GTNN
1
2
22)(2)(
222

+
+=++
yx
yxyxyx
Do đó
2
))((
33

33
yxyx
yx
++
+
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki
=+++=++
233
22
2
3
2
333
)())(())(( yyxxyxyxyxyx

1)(
222
=+ yx
2
1
33
+ yx
. Vậy MinA
2
1
=
với x = y =
2
2
V. Dùng tam thức bậc hai

5.1 Đổi biến để đa về tam thức bậc hai đối với biến mới
Ví dụ: Tìm GTLN của
xxA += 2
Giải
Điều kiện x

2. Đặt
02 = yx
ta có
xy = 2
2
4
9
4
9
)
2
1
(2
2
+=+= yyyA
Trang 23
MaxA
4
7
4
1
2
2
1

4
9
==== xxy
5.2 Đổi biến để đa về bất phơng trình bậc hai với biến mới.
Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN của
22
yxA +=
biết
)1(22222
1)2()32( =++ yyxx
Giải
Từ (1) suy ra
03)(4)(
222222
=+++ xyxyx
Vì
22
yxA +=
310)3).(1(034
2
+ AAAAA
VậyMinA=1

x=0 khi đó y=

1
MaxA = 3

x=0 khi đó y =
3

5.3 Đa về phơng trình bậc hai sử dụng điều kiện
0

Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của

1
1
2
2
++
+
=
xx
xx
A
Giải
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơng trình ẩn x sau đây có nghiệm
)1(
2
2
1
1
++
+
=
xx
xx
a
Do
01

2
++ xx
nên (1)
11
22
+=++ xxaxax

)2(2
0)1()1()1( =+++ axaxa
Trờng hợp 1 nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trờng hợp 2 nếu a

1 thì (2) có nghiệm
0

tức là
0)3)(13(
0)221)(221(
0)1(4)1(
22

++++
+
aa
aaaa
aa
3
3
1
a

(a
1
)
Với a =
3
1
hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là
)1(2
1
)1(2
)1(
a
a
a
a
x

+
=

+
=
Với a =
3
1
thì x =1, với a = 3 thì x = -1
Gộp cả hai trờng hợp 1 và 2, ta có:
MinA =
1
3

1
= x
MaxA = 3
1= x
Nhận xét :
a) Phơng pháp giải nh trên gọi là phơng pháp miền giá trị của hàm số.
Đoạn






3;
3
1
là tập giá trị của hàm số
1
1
2
2
++
+
=
xx
xx
A
b)Cách khác tìm GTLN của A
Trang 24
3

1
)1(3
)1(2
3
1
1
)1(2
3
1
242333
2
2
2
2
2
22

++

+=
++
+
=
++
++
=
xx
x
xx
x

xx
xxxx
A
MinA =
3
1
khi và chỉ khi x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất giả trị nhỏ nhất của hàm số
Y = x +
2
4 x
(Đề thi Đại học khối B năm 2003)
Giải
TXĐ: -2
2 x
Giả sử x

TXĐ ; biểu thức x +
2
4 x
nhận giá trị y
0


Phơng trình y
0
= x +
2
4 x
hay y

0
x
=
2
4 x
có nghiệm
=> (y
0
x)
2
= 4 x
2

2x
2
2y
0
x +y
0
2
4 = 0 có nghiệm



'
= 8 - y
0
2

0

-2
222 x
Vì x

- 2 => y

-2 Do đó - 2

y
0

2
2
Vậy Min Y= - 2

x = -2
MaxY = 2
2


x =
2

VI.Phơng pháp điểm rơi
Nhiều khi gặp những bài mà sử dụng một trong các phơng pháp trên đều không thể giải quyết đ-
ợc, đòi hỏi trong quá trình giải phải biết tách một số hạng nào đó rồi mới áp dụng các phơng
pháp trên thực hiện tiếp đợc. Sau đây tôi sẽ trình bày một số ví dụ chỉ rõ cách tách đó.
Ví dụ 1:
Cho a

3. Tìm MinS =
a
a
1
+
.
Phân tích tìm cách giải: ở đây a và
a
1
đều dơng nên có thể áp dụng bất đẳng thức Cô - si với hai
số ta có: a +

a
1
2 . Dấu = xảy ra

a =
a
1

a = 1. Điều này không thoả mãn vì a

3.Vậy
phải tách một số hạng chẳng hạn tách a,có thể viết a =

a + (1-

) a Việc tìm

nh sau: áp
dụng bất đẳng thức Cô - si
a
1
+

a

2
.Dấu = xảy ra

a =3 thay vào bất đẳng thức trên
ta đợc

=
9
1
. Từ đó có cách giải nh sau
Giải
3
10
9
3.81
.
9
2
9
81
9
1

=+++=+=
a
aa
a
a
a
aS
Với a = 3 thì minS =
3
10
Ví dụ 2: Cho



+
>
1
0;
ba
ba
.Tìm min của S = ab +
ab
1
Trang 25