de thi hsg lop 8 bach lieu(09-10) vong 2

®Ò thi häc sinh giái Trêng THCS B¹ch Liªu
n¨m häc 2009-2010
M«n: To¸n 8 – vßng 2 - Thêi gian 120 phót
C©u 1: Giải các phương trình:
a. x
3
- 2x
2
– x + 2 = 0
b. (x
2
+ x + 2)(x
2
+ x + 1) = 12
c.
6 18 2
1
5 ( 5)(8 ) 8
x
x x x x
+
+ = −
− − − −
Câu 2: Hai vòi nước chảy vào bể thì bể sẽ đầy trong 3 giờ 20 phút . Người ta cho
vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được
4
5
bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2
a. So sánh a, b, c với 1
b. Chứng minh rằng : a

2
+ b
2
+ c
2
< 2 - 2abc
Câu 4: Cho các số dương a và b thoả mãn
2 2
1 1 1
2a b
+ =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a. M = ab b. N = a + b
Câu5: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo . Lấy điểm E
thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh CD sao cho
ˆ
45
o
EOF =
. Gọi I là trung điểm của
AB. Chứng minh rằng:
a.
FOD OEB∆ ∆:
b. FD.BE=2BI
2
c. IE song song với AF
®Ò thi häc sinh giái Trêng THCS B¹ch Liªu
n¨m häc 2009-2010
M«n: To¸n 8 – vßng 2 - Thêi gian 120 phót
C©u 1: Giải các phương trình:

a. x
3
- 2x
2
– x + 2 = 0
b. (x
2
+ x + 2)(x
2
+ x + 1) = 12
c.
6 18 2
1
5 ( 5)(8 ) 8
x
x x x x
+
+ = −
− − − −
Câu 2: Hai vòi nước chảy vào bể thì bể sẽ đầy trong 3 giờ 20 phút . Người ta cho
vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được
4
5
bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2
a. So sánh a, b, c với 1
b. Chứng minh rằng : a
2
+ b
2

+ c
2
< 2 - 2abc
Câu 4: Cho các số dương a và b thoả mãn
2 2
1 1 1
2a b
+ =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a. M = ab b. N = a + b
Câu5: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo . Lấy điểm E
thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh CD sao cho
ˆ
45
o
EOF =
. Gọi I là trung điểm của
AB. Chứng minh rằng:
a.
FOD OEB∆ ∆:
b. FD.BE=2BI
2
c. IE song song với AF
Hướng dẫn và biểu điểm chấm toán 8- vòng 2
C©u Néi dung
§iÓm
A
B
D
C

I
O
E
F
C©u
1
(2.0®
a
1® Kết quả: x=1; x=-1; x=2 1.0
b
0.
5®
Đặt x
2
+x+1= y.Ta có: y(y+1)=12
⇔
y
2
+y -12 =0
⇔
(y+4)(y-3) = 0
⇔
3
4
y
y
=


= −


0.25
Với y=3 ta được
1 2
1; 2x x= = −
Với y= -4 ,vô nghiệm
0.25
C
05
®
ĐK:
5; 8x x≠ ≠
0.25
Kết quả: x=0
x = 5 (loại)
0.25
C©u2
(2.0®)
3giờ 20 phút =
10
3
h
Gọi lượng nước vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ là x (dung tích bể)
(x>0) .
Trong một giờ vòi hai chảy được
3
10
-x (bể)
PT: 3x+2(
3

10
-x) =
4
5
1,0
Giải được x =
1
5
. Khi đó vòi thứ nhất chảy một mình trong 5 giờ
thì đầy bể , vòi thứ hai : 10 giờ
1,0
C©u
3
(1.5®
a
1®
Giả sử a
b c
≥ ≥
. Ta có: a<b+c
⇒
2a <a+b+c=2 0.5
⇒
a<1
⇒
b< 1 , c<1 0.5
b
05
®
Từ câu a,suy ra: (1-a)(1-b)(1-c)>0

⇒
ab+bc+ca>1+abc(1) 0.5
Mà (a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ca)
⇒
4= a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ca) (2)
T ừ (1) v à (2)
⇒
4> a
2
+b
2
+c
2
+2(1+abc)
⇒
a

2
+b
2
+c
2
+2abc<2
Hay a
2
+b
2
+c
2
< 2-2abc
0.5
C©u
4
1.5
®
a
Ta cã:
2 2
1 1 1 2
4 ( 0; 0)
2
ab a b
a b ab
= + ≥ ⇒ ≥ > >
⇒
Min M=4khi a = b =2
1.0

b
Ta cã(a+b)
2

≥
4ab
≥
16 (áp dụng câu a)
Do a+b>0 nên ta có min N=4 khi a = b = 2
0.5
C©u
5
3.0
®
a
1®
0
0 0
0 0
ˆ ˆ
( 45 ) (1)
ˆ ˆ ˆ
135 ( 45 )
ˆ
ˆ ˆ
135 ( 45 )
ˆ
ˆ
(2)
ODF OBE

DOF BOE vi EOF
OEB BOE vi OBE
DOF OEB
= =
+ = =
+ = =
⇒ =
T ừ (1) và (2) suy ra
( )FOD OEB gg∆ ∆:
1.0
b
1®
T ừ
( )FOD OEB gg∆ ∆:
⇒
FD OD
OB BE
=
⇒
FD.BE=OB.OD=OB
2
=OI
2
+IB
2
=2BI
2
1.0
c
1®

1.0
FD.BE = 2BI.BI=AD.BI
⇒
F ( )
ˆ
ˆ ˆ ˆ
F
FD BI
A D EIB cgc
AD BE
A D EIB ma AFD IAF
= ⇒ ∆ ∆
⇒ = =
:
ˆ
ˆ
/ /EIB IAF IE AF⇒ = ⇒
(Mäi c¸ch gi¶i kh¸c ®óng ®Òu cho ®iÓm tèi ®a)