Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán 2009-2010

Sưu tầm : />ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2009 - 2010
(CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)
Biên soạn: Nhóm giáo viên bộ môn Toán - Trường THPT Lang Chánh
CẤU TRÚC ĐỀ THI NGHIỆP THPT NĂM 2009
(Tham khảo)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu Nội dung kiến thức Điểm
I
• Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
• Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều
biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ
thị của hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương
giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);
3,0
II
• Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
• Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
• Bài toán tổng hợp.
3,0
III
Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn
xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn
xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
1,0
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh được chọn phần đề thi phù hợp (phần 1 hoặc phần 2).
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu Nội dung kiến thức Điểm
IV.a

Phương pháp toạ độ trong trong không gian:
− Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
− Mặt cầu.
− Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
− Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
2,0
1
V.a
• Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của
số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm.
• Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
1,0
2. Theo chương trình Naââng cao:
Câu Nội dung kiến thức Điểm
IV.b
Phương pháp toạ độ trong trong không gian:
− Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
− Mặt cầu.
− Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
− Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng
cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và
mặt cầu.
2,0
V.b
• Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của
số phức. Phương trình bậc hai với hệ số phức. Dạng lượng giác của số phức.
• Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng
2
+ +

=
+
ax bx c
y
px q
và một số yếu tố liên
quan.
• Sự tiếp xúc của hai đường cong.
• Hệ phương trình mũ và lôgarit.
• Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
1,0
CHỦ ĐỀ KHẢO SÁT, VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
2
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Dạng 1: Hàm bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (
0a ≠
)
1.1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị.
1.2. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - x
3
+ 3x
2
– 4
3
1. Tập xác định: D = R

2. Sự biến thiên:
* Ta có y
’
= 3ax
2
+ 2bx + c
- Xét dấu y
’
từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
* Tìm cực trị.
- Tìm cực trị tức là tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số (nếu có)
- Cách tìm:
+ Nếu tại x = x
0
mà y
’
đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại tại x
0
và
giá trị cực đại là y
CĐ
= y(x
0
)
+ Nếu tại x = x
0
mà y
’
đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiếu tại x
0

và
giá trị cực tiểu là y
CT
= y(x
0
)
Lưu ý: Nếu qua x
0
mà y
’
đổi dấu thì hàm số đạt cực trị tại x
0
, ngược lại x
0

không là cực trị của hàm số.
* Tìm các giới hạn:
{
}
{
}
3 2 3
2 3
3 2 3
2 3
, 0
lim ( ) lim (1 )
, 0
, 0
lim ( ) lim (1 )

, 0
x x
x x
a
b c d
ax bx cx d ax
a
ax ax ax
a
b c d
ax bx cx d ax
a
ax ax ax
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
+∞ >

+ + + + = + + + =

−∞ <

+∞ <

+ + + + = + + + =

−∞ >


* Lập bảng biến thiên
* Tìm điểm uốn:

- Tính y''; GPT y'' = 0 (Giả sử x là nghiệm của PT y'' = 0)
- Do y'' đổi dấu khi qua x nên đồ thị nhận I(x , y) làm điểm uốn
3. Vẽ đồ thị:
Khi vẽ đồ thị hàm số ngoài các chú ý đã trình bày trong SGK học sinh cần lưu ý thêm
một số điểm sau các bước sau:
- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có), điểm uốn lên hệ trục toạ độ.
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn
chúng lên hệ trục toạ độ.
Đồ thị nhận ĐU I(x , y) làm tâm đối xứng.
1.3. Hướng dẫn
1.4. Bài tập tự giải:
4
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên:
* Ta có y
’
= -3x
2
+ 6x
y
’
= 0
⇔
x = 0, x = 2
Xét dấu y
’
(bảng xét dấu này học sinh làm ngoài giấy nháp)
x -
∞
0 2 +

∞
y - 0 + 0 -
Từ bảng xét dấu y
’
ta có
y' < 0 trên các khoảng (-
∞
; 0) và (2; +
∞
)
y' > 0 trên khoảng (0; 2)
Suy ra: - Hàm số NB trên mỗi khoảng (-
∞
; 0) và (2; +
∞
)
- Hàm số ĐB trên khoảng (0; 2)
* Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= y(0) = -4
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ
= y(2) = 0
* Các giới hạn:
{
}
3 2 3
3
3 4

lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + )
x x
x x→+∞ →+∞
= = −∞
{
}
3 2 3
3
3 4
lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + )
x x
x x→−∞ →−∞
= = +∞
* Bảng biến thiên.
x -
∞
0 2 +
∞
y - 0 + 0 -
y
+
∞

-
∞

* Điểm uốn:
y'' = -6x + 6; y'' = 0 ⇔ x = 1
y'' đổi dấu khi qua x = 1 nên đồ thị nhận I(1; -2)
làm điểm uốn

3. Vẽ đồ thị:
- CĐ (2, 0); CT (0, -4); ĐU (1, -2)
- Giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
Giao với Ox (-1; 0), (2; 0)
Giao với trục Oy (0; -4)
Chọn x = -2, y = 16
x = 3, y = - 4
- Đồ thị nhận ĐU I(1, -2) làm tâm đối xứng
- 4
0
4
2
-2
-4
-6
-5
5
3
-1
2
O
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1. y = x
3
+ 3x
2
- 4
2. y = -x
3
+3x + 1

3. y = x
3
+ x
2
+ 9x
4. y = -2x
3
+ 5
5. y = x
3
+ 4x
2
+ 4x
6. y = x
3
– 3x + 5
7. y = x
3
– 3x
2
8. y = –x
3
+ 3x
2
– 2
9. y = x
3
– 6x
2
+ 9

2. Dạng 2: Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c (
0a
≠
)
2.1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị.
2.2. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
- 2x
2
+ 2
5
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
* Ta có y
’
= 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b)
- Xét dấu y
’
từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
* Tìm cực trị.
Cách tìm cực trị hàm bậc bốn được làm tương tự như hàm bậc ba
* Tìm các giới hạn:

{
}
4 2 4
2 4
,
lim ( ) lim (1 )
,
x x
b c
ax bx c ax
ax ax
→±∞ →±∞
+∞

+ + + = + + =

−∞


* Lập bảng biến thiên.
* Tìm điểm uốn:
- Tính y''; GPT y'' = 0
Nếu y'' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì đồ thị HS không có ĐU
Nếu y'' = 0 có 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị HS có 2 ĐU
(Giả sử x, x là 2 nghiệm của PT y'' = 0)
- Do y'' đổi dấu khi qua x và x nên đồ thị nhận I(x, y) và I(x , y) làm các ĐU
3. Vẽ đồ thị: Khi vẽ đồ thị hàm số bậc bốn học sinh cũng cần lưu ý một số điểm như vẽ
đồ thị hàm bậc ba.
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
nÕu a<0

nÕu a>0
2.3. Hướng dẫn
2.4. Bài tập tự giải:
6
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
* Ta có y' = 4x
3
- 4x = 4x(x
2
- 1)
y' = 0
⇔
x = 0, x = 1, x = -1
Xét dấu y
’
(bảng xét dấu này học sinh làm ngoài giấy nháp)
x -
∞
-1 0 1 +
∞
y
’
- 0 + 0 - 0 +
Từ bảng xét dấu y
’
ta có
y' > 0 trên các khoảng (-1; 0) và (1; +
∞
)

y' < 0 trên các khoảng (-
∞
; -1) và (0; 1)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +
∞
)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-
∞
; -1) và (0; 1)
* Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= y(0) = 2
Hàm đạt cực tiếu tại x =
±
1, y
CT
= y(
±
1) = 1
* Giới hạn:
{
}
{
}
4 2 4
2 4
4 2 4
2 4
2 2

lim ( 2 2) lim (1 )
2 2
lim ( 2 2) lim (1 )
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
→−∞ →−∞
→+∞ →+∞
+ − + = − + =+ ∞
+ − + = − + =+ ∞
* Bảng biến thiên
x -
∞
-1 0 1 +
∞
y
’
- 0 + 0 - 0 +
y
+
∞
+
∞
* Điểm uốn:
y'' = 12x - 4 ; y'' = 0 ⇔ x = ±
Do y'' đổi dấu qua x = ± nên đồ thị nhận
I (- , ) và I ( , ) làm các ĐU

3. Đồ thị
CĐ (0, 2); CT (± 1, 1)
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 2)
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
1
2
1
6
4
2
-2
-4
-5
5
1
1
-1
f
x
( )
=
x
4
-2
⋅
x
2
( )
+2
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

1. y = -x
4
+ 5x
2
- 4
2. y = -x
4
– 2x
2
+ 3
3. y =
4 2
1 3
2 2
x x− −
4. y =
4 2
2 3x x− + +
5. y =
4
2
3
2 2
x
x− − +
6. y =
4 2
1 3
3
2 2

x x− +
7. y = x
4
– 2x
2
8. y = x
4
+ x
2
+ 1
9. y =
4 2
1 1
1
4 2
x x+ +
3. Dạng 3: Hàm phân thức hữu tỷ b1 /b1
( 0)
ax b
y ac
cx d
+
= ≠
+
3.1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị.
3.2. Ví dụ
7
1. Tập xác định: D =
\
d

R
c
 
−
 
 
2. Sự biến thiên
* Ta có
2
( )
ad cb
y
cx d
−
′
=
+
- Nếu ad – cb > 0 thì hàm số đồng biến trên các khoảng (
;
d
c
−∞ −
) và (
;
d
c
− +∞
)
- Nếu ad – cb < 0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng (
;

d
c
−∞ −
)và (
;
d
c
− +∞
)
* Hàm số không có cực trị
Lưu ý: Loại hàm số này không có cực trị
* Tìm các giới hạn:
lim , lim
x x
ax b a ax b a
cx d c cx d c
→−∞ →−∞
+ +
= =
+ +
, do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng y =
a
c
làm
tiệm cận ngang.
lim ; lim
d d
x x
c c
ax b ax b

cx d cx d
− +
→− →−
+ +
= ±∞ = ±∞
+ +
do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng x =
d
c
−
làm
tiệm cận đứng. (Chú ý, trong 2 giới hạn trên, có 1 giới hạn là -∞, giới hạn còn lại là +∞)

,
lim
,
,
lim
,
d
x
c
d
x
c
ax b
cx d
ax b
cx d
−

+
 
→ −
 ÷
 
 
→ −
 ÷
 
−∞

+
=

+∞
+

−∞

+
=

+∞
+

* Lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị:
Khi vẽ đồ thị hàm số b1 /b1, ngoài các lưu ý trong SGK học sinh cần lưu thêm một số
điểm sau:
- Vẽ các đường tiệm cận lên hệ trục toạ độ

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn
chúng lên hệ trục tọa độ.
- Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng.
nếu ab – cd > 0
nếu ad – cb < 0
nếu ad – cb > 0
nếu ab – cd < 0
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2
2 1
x
y
x
− +
=
+
3.3. Hướng dẫn
8
1. Tập xác định D =
2. Sự biến thiên
* Ta có
Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và ()
* Hàm số không có cực trị
* Giới hạn
Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = làm tiệm cận đứng và đường thẳng y
= làm tiệm cận ngang.
* Bảng biến thiên
x- - + -
-y
-3. Đồ thị

TCĐ: x = ; TCN: y =
Giao điểm của đồ thị với trục Ox: (2; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 2)
Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm
tâm đối xứng
-
-
+
6
4
2
-2
-4
-5
5
O
-
1
2
-
1
2
f
x
( )
=
-x+2
2
⋅
x+1

3.4. Bài tập tự giải
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1. y =
4 1
2 3
x
x
+
−
2. y =
2
2 1
x
x
−
+
3. y =
1
1
x
x
−
+
4. y =
3
1
x
x
+
−

5. y =
1 2
2 4
x
x
−
−
6. y =
5
1
x
x
−
−
7. y =
2 3
2
x
x
+
−
8. y =
3
1
x
x
+
+
9. y =
1

x
x −
II. Một số dạng toán liên quan đến bài toán khảo sát hàm số
4. Dạng 4: Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình F (x;m) =0 (1).
4.1. Cách giải:
4.2. Ví dụ: Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
– 4
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa và đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: -x
3
+ 3x
2
- 4 - m
= 0 (1)
4.3. Hướng dẫn:
4.4. Bài tập tự giải:
9
Bài toán này thường đi kèm theo sau bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) vì
thế để sử dụng được đồ thị hàm số vừa vẽ trước hết ta biến đổi phương trình (1) tương
đương: f(x) = g(m).
Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và
đường thẳng y = g(m).
Dựa vào đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình (1).
a/ Việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã được trình bày (xem bài 1.2).
b/ Phương trình (1) tương đương: -x
3
+ 3x

2
- 4 = m(2).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x
3
+ 3x
2
- 4 và đường thẳng y = m (luôn song song hoặc trùng với trục Ox).
Dựa vào đồ thị (hình 4.3) ta có:
* Khi m<-4 hoặc m >0: Phương trình (1) vô nghiệm
* Khi m = 0 hoặc m = -4: Phương trình (1) có hai nghiệm
* Khi -4<m<0: Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
4
2
-2
-4
-6
-5
5
y = m
y = m
y = m
f x
( )
= -x
3
+3
⋅
x
2
( )

-4
H×nh 4.3
1. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x
3
+ 3x
2
+ m =
0 (1)
2. Cho hàm số y = y = x
3
– 3x + 5
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x
3
– 3x + 5 +
3
m
= 0 (1)
3. Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
+ 1
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x
4
– 2x
2
= m
(1)
4. Cho hàm số y =
4 2
1 3
3
2 2
x x− +
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
4 2
1 3
3
2 2
x x− +
+
m = 0(1)
5. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x
3
– 3x
2

– 3 + m =
0(1)
5. Dạng 5: Bài tương giao giữa đường thẳng y = px + q và đồ thị hàm số y = f(x).
5.1. Cách giải:
10
Số giao điểm của đường thẳng y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x) là số nghiệm
của phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = px + q(1)
Như vậy để xét sự tương giao của đường thẳng và đồ thị hàm số ta giải và biện
luận phương trình (1).
Dựa và số nghiệm của phương trình (1) ta kết luận về sự tương giao của đường
thẳng y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x).
5.2. Ví dụ Cho hàm số y =
3
1
x
x
+
+
(C). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường
thẳng (d): y = 2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
5.3. Hướng dẫn
5.4. Bài tập tự giải.
1. Cho hàm số y =
1
1
x
x
+
−
(C). CMR đường thẳng 2x-y+m=0 luôn cắt đồ thị (C) tại hai

điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C.)
2. Tìm m để đường thẳng y = x +m cắt đồ thị (C): y =
3
1
x
x
+
−
tại hai diểm phân biệt.
3. Cho hàm số y =
3 2
1
x
x
−
−
.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y =
mx+2 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
6. Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm M(x
0
, y
0
) thuộc đồ thị y = f(x).
6.1. Cách giải
6.2. Ví dụ Cho hàm số y = x
3
– 3x + 5. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M (1; 3).
6.3. Hướng dẫn:
11
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

3
1
x
x
+
+
= 2x+m (1).
Đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m khi và chỉ khi phương
trình (1) luôn có hai nghiệm phâm biệt với mọi m.
Thật vậy
3
1
x
x
+
+
= 2x+m
3 (2 )( 1)
1
x x m x
x
+ = + +

⇔

≠−


2
( ) 2 ( 1) 3 0(2)

1
g x x m x m
x

= + + + − =
⇔

≠−

Xét phương trình (2), ta có:

2
6 25 0
( 1) 2 0
m m
m
g

∆ = − + >
∀

− = − ≠

. Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm khác -1. Do
đó đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x
0
, y
0
) thuộc đồ thị có dạng:

y-y
0
= f
’
(x
0
)(x-x
0
) (1)
* Tìm f
’
(x
0
) thay vào (1) ta được tiếp tuyến cần tìm.
* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(1, 3) thuộc đồ thị có dạng:
y-y
0
= f
’
(x
0
)(x-x
0
) (1)
* Ta có y
’
= f
’
(x) = 3x -3
⇒

f
’
(1) = 0 thay vào (1) ta được PTTT cần tìm là: y = 3
6.4. Bài tập tự giải:
1. Cho hàm số y =
4 2
2 3x x− + +
. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M (2, 3)
2. Cho hàm số y =
4
2
3
2 2
x
x− − +
Viết PTTT của đồ thị tại điểm M (1, 0)
3. Cho hàm số y =
4 2
1 3
3
2 2
x x− +
. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M (1, -2)
4. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
Viết PTTT của đồ thị tại các giao điểm của nó với trục Ox.
5. Cho hàm số y = –x
3

+ 3x
2
– 2. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M (2, 2)
6. Cho hàm số y =
1 2
2 4
x
x
−
−
Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox.
7. Cho hàm số y =
5
1
x
x
−
−
Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox
7. Dạng 7: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các
đường thẳng x = a, x = b, trục Ox.
7.1. Cách gi¶i:
7.2 Ví dụ: Cho hàm số y = x
3
- 4x.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số với các đường x = -1, x = 2
7.3 Hướng dẫn.
a/ Bạn đọc tự giải, đồ thị (hình 7.3)

12
* Ta có diện tích
( )
b
a
S f x dx=
∫
.
Để tính S ta phải phá dấu trị tuyệt đối của biểu thức dưới dấu tích phân, muốn vậy ta
làm như sau:
Cách 1: Lập bảng xét dấu f (x), từ đó ta có thể phá dấu trị tuyệt đối.
Cách 2: Nếu trên khoảng (a; b) đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì
( ) ( )f x f x=
Ngược lại, nếu đồ thị nămg phía dưới trục hoành thì
( ) ( )f x f x=−
.
Sau khi phá dấu trị tuyệt đối ta tính tích phân bình thường, kết quả đó chính là diện tích
cần tìm.
6
4
2
-2
-4
-5
5
10
O
1
-1
f

x
( )
=
x
3
-4
⋅
x
H×nh 7.3
7.4. Bài tập tự giải
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1. y = x
3
– 3x
2
và các đường thẳng x = -1, x = 2, trục Ox.
2. y = –x
3
+ 3x
2
– 2 và các đường thẳng x = -1, x = 2, trục Ox
3. y = x
3
– 6x
2
+ 9 và các đường thẳng x = -2, x = 1, trục Ox
4. y =
4 2
2 3x x− + +
và các đường thẳng x = 0, x = 1, trục Ox

5. y =
4
2
3
2 2
x
x− − +
và các đường thẳng x = -1, x = 1, trục Ox
6. y =
4 2
1 3
3
2 2
x x− +
và các đường thẳng x = -2, x = 1, trục Ox
13
b. Cách 1
* Ta có diện tích cần tìm
2
3
1
4S x x dx
−
= −
∫
.
* Phá dấu trị tuyệt đối: Đặt f (x) = x
3
- 4x = x(x
2

- 4)
Trên khoảng (-1; 2), ta có x
3
- 4x = 0
⇔
x = 0, x = 2.
* Lập bảng xét dấu f (x).
x -1 0 2
x - 0 +
x
2
-4 - -4 -
f(x) + 0 -
Từ bảng xét dấu, ta có
2 0 2 0 2
3 3 3 3 3
1 1 0 1 0
0 2
3 3
1 0
4 4 4 ( 4 ) ( 4 )
( 4 ) ( 4 )
S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx
− − −
−
= − = − + − = − − −
= − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫

Tính kết quả trên ta suy ra diện tích cần tìm.
Cách 2: Từ đồ thị của hàm số (hình 7.3), ta có:
Trên khoảng (-1; 0) đồ thị nằm phía trên trục hoành và trên khoảng (0; 2) đồ thị nằm
phía dưới trục hoành, nên ta có:
2 0 2 0 2
3 3 3 3 3
1 1 0 1 0
0 2
3 3
1 0
4 4 4 ( 4 ) ( 4 )
( 4 ) ( 4 )
S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx
− − −
−
= − = − + − = − − −
= − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Tính kết quả trên ta suy ra diện tích cần tìm.
8. Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
a/ Có cực trị.
b/ Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên R.
8.1. Cách giải:
14

a/ * Tìm tập xác định D = R
* Tính y
’
= 3ax
2
+ 2bx + c
Hàm số có cực trị (cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi phương trình y
’
= 0 có hai
nghiệm phân biệt.
0
y
m
′
⇔ ∆ > ⇒
cần tìm
b/ * Tìm tập xác định D = R
* Tính y
’
= 3ax
2
+ 2bx + c
Hàm số luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi

0,y x R
′
≥ ∀ ∈

0
0

y
y
m
a
′
′
∆ ≤


⇔ ⇒

>


cần tìm
Hàm số luôn nghịch biến trên R khi và chỉ khi
0,y x R
′
≥ ∀ ∈

0
0
y
y
m
a
′
′
∆ ≤



⇔ ⇒

<


cần tìm
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT
A. Phương trình mũ
Kiến thức cơ bản
1 – Các tính chất của luỹ thừa.
2 – Các tính chất của hàm số mũ.
3 – Phương pháp giải phương trình mũ.
3.1- Phương trình mũ đơn giản nhất.
*
( )
= ⇔ = < ≠
x b
a a x b 0 a 1
*
( )
= ⇔ = < ≠ >
x
a
a b x log b 0 a 1, b 0
Ví dụ 3
x
= 5
⇔

x = log
3
5
3.2 Phương trình mũ thường gặp
a. Phương pháp đưa về cùng một cơ số.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
= ⇔ = < ≠
f x g x
a a f x g x 0 a 1
Ví dụ:
3
2 8 2 2 3
x x
x= ⇔ = ⇔ =
Bài tập: Giải các phương trình sau
1)
 
=
 
 
x
1
5
5
2) 5.5
x
– 5
x
= 2

x+1
+ 2
x+3
3)
−
=
x 1
x
x
5 .8 500
15
1.1
( )
−
= = = ≠
0 1 n
n
1
a 1, a a, a a 0
a
1.2
+ −
= =
m
m n m n m n
n
a
a .a a , a
a
1.3

( ) ( )
= =
m n
n m m.n
a a a
1.4
( )
 
= =
 
 
n
n
n
n n
n
a a
a b a.b ,
b b
1.5
=
m
m
n
n
a a
Cho hàm số
=
x
y a

( )
< ≠0 a 1
2.1 Tập xác đònh D = R.
2.2 Tập giá trò : T = (0; +∞).
2.3 Hàm số
=
x
y a
đồng biến khi a > 1 và nghòch biến khi 0 < a < 1.
2.4
= ⇔ =
x t
a a x t
2.5
> < <
 
⇒ > ⇒ <
 
> >
 
x t x t
a 1 0 a 1
x t ; x t
a a a a
4) 16
-x
= 8
2(1-x)
5) 5

2x
= 625
b. Phương pháp đặt ẩn số phụ
Đặt
=
x
t a
(t > 0) {chọn cơ số a thích hợp}
Ví dụ: Giải pt :
4 3.2 2 0
x x
− + =

Giải .
Biến đổi pt
4 3.2 2 0
x x
− + =

2 2
(2 ) 3.2 2 0 (2 ) 3.2 2 0
x x x x
⇔ − + = ⇔ − + =
(1) .
• Đặt t=2
x
, đk t>0 .
• Pt (1)
2
1

3 2 0
2
t
t t
t
=

⇔ − + = ⇔

=

.
• Với t=1
0
2 1 2 2 0
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =
.
• Với t=2
1
2 2 2 2 1
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =

Đáp số : Nghiệm của phương trình l x=0 , x=1 .
Bài tập: Giải các phương trình
1)
−
=
3x 2

(0,3) 1
2)
− −
+
 
=
 ÷
 
2
x 2x 3
x 1
1
7
7
3)
+ =
x x x
5 12 13
4)
− + −
− =
2 2
x x 2 x x
2 2 3
5)
2.16 17.4 8 0
x x
− + =
6)
− =

x
x
2
2 3 1
c) Phương pháp lấy lôragit (cơ số thích hợp) hai vế.
( ) ( )
( )
= < ≠ < ≠
f x g x
a b 0 a 1,0 b 1
Lấy lôgarit cơ số a ta được:
( ) ( )
=
a
f x g x log b
Ví dụ: Giải pt
2
3 .2 1
x x
=
.
Giải
Lấy Lôgarit cơ số 3 hai vế , ta được :
2 2 2
2
3 3 3
2
3 3 3 3
2 2
3 3

3
3 .2 1 log (3 .2 ) log 1 log (3 .2 ) 0
log 3 log 2 0 log 2 0 (1 log 2) 0
0
0 0
1 1
log 3 log
1 log 2 0 log 2 1
log 2 3
x x x x x x
x x
PT
x x x x
x
x x
x
x x
= ⇔ = ⇔ =
⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
=

= =
 

⇔ ⇔ ⇔
−
 

= = − =
+ = = −

 


Bài tập: Giải các phương trình
4) log
x+1
(x
2
+ 3x - 1) = 1 5)
4
10
ln
1
x
x
x =
16
B. Phương trình logarit
Kiến thức cơ bản
Cho
0, 1a a> ≠
;
1 2
0, 0, 0x x x> > >
.
1) Định nghĩa
log
b
a
x b x a= ⇔ =

Chú ý:
( ) ( )
( ) ( )
a
log x
x
a
1 x a x 0
2 x log a x R
= ∀ >
= ∀ ∈
2) Tính chất
( )
( )
1 2 1 2
1
1 2
2
1) log 1, log 1 0
2) log . log log
3) log log log
4) log log ,
log
5) log 0 1
log
α
α α
= =
= +
= −

= ∀ ∈
= < ≠
a a
a a a
a a a
a a
b
a
b
a
x x x x
x
x x
x
x x R
x
x b
a
Chú ý:
1 1
log ; log log , 0
log
α
α
α
= = ≠
a a
a
b
b x x

a
3) Phương pháp giải
a) Đưa về cùng một cơ số
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
b
a
a a
log f x b f x a
f x 0 hoaëc g x 0
log f x log g x
f x g x
+ = ⇔ =

> >

+ = ⇔

=



Áp dụng:
Giải pt :
0)12(log)3(log
2
12

=+++ xx
Giải
ĐK: x >
2
1
−
0)12(log)3(log
2
12
=+++ xx

⇔

0)12(log)3(log
22
=+−+ xx

⇔

)12(log)3(log
22
+=+ xx

⇔
x + 3 = 2x + 1

⇔
x = 2
17
Chú ý: Khi không sử dụng công thức tương đương nhớ đặt điều kiện để hàm số lôgarit

có nghĩa (cơ số phải lớn hơn 0 và khác 1, biểu thức lấy lôgarit phải dương).
Bài tập Giải các phương trình

( )
2
3
1) log x 2x 1+ =
( )
3 3
2) log x log x 2 1+ + =
( )
( )
2
3) lg x 2x 3 lg x 3+ − = −
( )
+ =
2
5
4)log 5x 3 2
( ) ( )
− + + =
2 2
5) log x 5 log x 2 3
2 2
x
6) log 2 log 4x 3+ =
b) Đặt ẩn số phụ
Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình đại số.
Áp dụng:
Giải pt :

13log2)12(log
123
+=+
+x
x
Giải
ĐK:
1
2
1
≠<− x
13log2)12(log
123
+=+
+x
x

⇔

01
)12(log
2
)12(log
3
3
=−
+
−+
x
x

Đặt t = log
3
(2x - 1)
Ta được
01
2
=−−
t
t
⇔
t
2
- t - 2 = 0
⇒
t = -1, t = 2
Với t = -1
⇒
log
3
(2x - 1) = -1
⇔
2x + 1 = 3
-1
=
3
1
⇔
x =
3
1

−
t = 2
⇒
log
3
(2x - 1) = 2
⇔
2x + 1 3
2
= 9
⇔
x = 4
Bài tập: Giải các phương trình sau
1.
3
log log 9 3
x
x + =
. 2.
2
2
2
log 3.log 2 0x x
− + =
.
3. Lg
4
(x - 1)
2
+ lg

2
(x - 1)
3
= 25 4. log
3
(2x + 1) = 2log
2x+1
+ 1
5. 2log
4
(3x - 2) + 2log
3x-2
= 5
18
C. Bất phương trình mũ
1. Sử dụng tính đơn điệu
1. 2
x
< 3
x/2
+ 1 x<2 (chia cho2
x
)
2. 2.2
x
+ 3.3
x
> 6
x
-1 (chuyển 1 sang tri v chia hai vế cho 6

x
)
3) 8
x
+ 18
x
≤ 2.27
X
→ x ≥ 0
2. Đưa về cng cơ số
1) 2.14
x
+ 3.49
x
– 4
x
≥ 0 → x ≥ log
2/7
3 (chia hai vế cho 49
x
và đặt t = (2/7)
x
)
2) 2
x
+ 2
x + 1
≤ 3
x
+ 3

x – 1
→ x ≥ 2
3) 96]
12
3
1
3
3
1
1
12
>






+






+
xx
→ -1<x < 0
4)
1

2
3
1
3
2
−−
−






≥
xx
xx
→ x ≥ 2
5) 3
x + 1
– 2
2x + 1
- 12
x/2
< 0 → x > 0(chia cho 3
x
và đặt ẩn phụ t = (
3/4
)
x
)

6)
1
23
23.2
2
≤
−
−
+
xx
xx
→0<x≤ log
3/
23 (chia cả tử v mẫu cho 2x)
7)
( ) ( )
1
1
1
2525
+
−
−
−≥+
x
x
x
→x ≥1,-2≤ x<-1
19
CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

A. NGUYÊN HÀM
I. Kiến thức cơ bản
3, Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (u=u(x))
dx x C= +
∫
1
( 1)
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
ln ( 0)
dx
x C x
x
= + ≠
∫
x x
e dx e C= +
∫
(0 1)
ln

x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
cos sinxdx x C= +
∫
sin cosxdx x C= − +
∫
2
cos
dx
tgx C
x
= +
∫
2
cot
sin
dx
gx C
x
= − +
∫
du u C= +
∫
1
( 1)

1
u
u dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
ln ( 0)
du
u C x
u
= + ≠
∫
u u
e du e C= +
∫
(0 1)
ln
u
u
a
a du C a
a
= + < ≠
∫
cos sinudu u C= +

∫
sin cosudu u C= − +
∫
2
cos
du
tgu C
u
= +
∫
2
cot
sin
du
gu C
u
= − +
∫
20
1, Định nghĩa nguyên hàm:
F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng (a;b)
nếu: F'(x)=f(x),
( )
;x a b∀ ∈
2, Tính chất của nguyên hàm:
1.
( )
'
( ) ( )f x dx f x=
∫

2.
( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a= ≠
∫ ∫
3.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
4.
( ) ( ) ( ( )) '( ) ( ( ))f t dt F t C f u x u x dx F u x C= + ⇒ = +
∫ ∫
.
II. Các dạng toán cơ bản
1. Dạng 1. Áp dụng công thức biến đổi
1.1 Ví dụ
a)
( )
∫
+− dxxx 532
2
=
∫
dxx
2
2
-
∫
xdx3
+
∫
dx5

=
∫
dxx
2
2
-
∫
xdx3
+
∫
dx5
=
Cx
xx
++− 5
2
3
3
2
23
b)
∫






− dx
x

x
2
cos
2
sin3
=
∫∫
− dx
x
dxx
2
cos
1
2sin3
= –3cosx – 2tgx + C
c)
dx
x
xxx
∫
++
2
1
3
1
4
3
32
=
∫ ∫ ∫

−
−
−
++ dxxdxxdxx
2
1
3
2
4
1
32
=
C
xxx
+
+−
+
+−
+
+−
+−
+−
+−
1
2
1
3
1
3
1

2
1
4
1
1
2
1
1
3
2
1
4
1
=
Cxxx +++
2
1
3
1
4
3
66
3
4
1.2 Bài tập tự giải
Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a, f(x)=
3
1
cosx x

x
+ −
b, f(x)=
4
2
1
5 2
cos
x x
x
− +
c, f(x)=
4
3 2
5sin x
x x
− + +
d, f(x)=
4 3
2
3 2 5x x
x
− +
(x
≠
0),
2. Dạng 2. Áp dụng nguyên hàm đổi biến số dạng 1
2.1. Dạng : I =
∫
+ dxbax

n
)(
a) Cách giải tổng quát
Đặt u =
bax +
b) Ví dụ : Tìm I =
( )
∫
+ dxx
5
35
Ta có
)35()35(
5
1
)35()35(
5
1
)35(
555
++=++=+ xdxdxxxdxx
Đặt u = 5x + 3 ta được:
( ) ( ) ( )
∫ ∫
++=+ 3535
5
1
35
55
xdxdxx

=
∫
+= C
u
duu
6
.
5
1
5
1
6
5
21
1.
( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a= ≠
∫ ∫
2.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
=
( ) ( )
C
x
C
x
+
+
=+

+
30
35
6
35
.
5
1
66
c) Bài tập tự giải:
Tìm các nguyên hàm sau
a,
( )
∫
+ dxx
4
23
b,
( )
∫
− dxx
3
34
e,
( )
3
1 2x dx+
∫
c,
( )

∫
− dxx
6
16
d,
( )
∫
− dxx
5
52
2.2. Dạng : I =
∫
+ dxbax
n
a) Cách giải:
Đặt u = ax+b
b) Ví dụ : Tìm I =
∫
+ dxx
3
32
Ta có :
dxx
3
32 +
=
)32()32(
2
1
)32()32(

2
1
3
1
3
1
++=
′
++ xdxdxxx
Đặt: u = 2x + 3 ta được:
∫
+ dxx
3
32
=
CxCuduuxdx ++=+==++
∫∫
3
4
3
4
3
1
3
1
)32(
8
3
4
3

.
2
1
2
1
)32()32(
2
1
c) Bài tập tự giải:
Tìm các nguyên hàm sau
a,
∫
− dxx
3
5
b,
∫
+ dxx
5
43
c,
∫
− dxx
4
32
d,
∫
− dxx
3
53

2.3. Dạng : I =
∫
+
dxe
bax
a) Cách giải :
Đặt u = ax + b
b) Ví dụ : Tìm :
∫
+
dxe
x 52
Ta có :
dxe
x 52 +
=
)52()52(
5252
+=
′
+
++
xdedxxe
xx
Đặt u = 2x + 5 ta được
∫
+
dxe
x 52
=

CeCeduexde
xuux
+=+==+
++
∫∫
5252
2
1
2
1
2
1
)52(
2
1
c) Bài tập tự giải:
Tìm các nguyên hàm sau
a,
∫
−
dxe
x 32
b,
∫
+
dxe
x 73
c,
∫
−

dxe
x35
d,
∫
+
dxe
x 65
, e,
2 3 2
( 5)
x x
e e dx+
∫
22
2.4. Dạng : I =
∫
+
dx
bax
n
)(
1
a) Cách giải
Đặt u = ax + b
b) Ví dụ : Tìm I =
∫
+
dx
x
5

)23(
1
Ta có:
)23(
)23(
1
3
1
)23(
)23(
1
3
1
)23(
1
555
+
+
=
′
+
+
=
+
xd
x
dxx
x
dx
x

Đặt u = 3x + 2 ta được :
C
x
C
u
C
u
du
u
xd
x
+
+
−=+−=+
−
==+
+
−
∫∫
44
4
55
)23(12
1
12
1
4
.
3
11

3
1
)23(
)23(
1
3
1
c) Bài tập tự giải:
Tìm các nguyên hàm sau
a,
∫
−
dx
x
5
)24(
1
b,
∫
+
dx
x
3
)37(
1
e,
1
3 1
dx
x +

∫
c,
∫
−
dx
x
5
)23(
1
d,
∫
+
dx
x
7
)25(
1
g,
2
4
dx
x −
∫
3. Dạng 3: Áp dụng nguyên hàm từng phần
Công thức nguyên hàm từng phần
∫ ∫
−= vduuvudv
3.1 Dạng 1: I =
∫
+ dxebax

x
)(
.
Phương pháp: Đặt u = ax + b, dv =
dxe
x
3.2 Dạng 2: I =
∫
+ xdxbax cos)(
Phương pháp: Đặt u = ax + b, dv =
xdxcos
3.3 Dạng 3: I =
∫
+ sixdxbax )(
Phương pháp: Đặt u = ax + b, dv =
xdxsin
3.4 Dạng 4: I =
∫
+ xdxbax ln)(
Phương pháp: Đặt u = ax + b, dv =
xdxln
3.5 Dạng 5: I =
∫
xdxx
n
ln
Phương pháp: Đặt u =
n
x
, dv =

xdxln
3.6 Ví dụ Tìm: I =
∫
+ dxex
x
)12(
23
Giải
Đặt



=
+=
dvdxe
xu
x
12

⇒



=
=
x
ev
dxdu 2
⇒
I =

∫
+ dxex
x
)12(
= (2x + 1) -
∫
dxe
x
2
=2x + 1 – 2
x
e
+ C
3.7 Bài tập tự giải
Tìm các nguyên hàm sau
a,
( )
∫
− xdxx sin2
; b,
2 3
(1 2 )
x
x x e dx+ −
∫
; g,
( )
1 osxdxx c−
∫
c,

dxxx
∫
+ ln)53(
; d,
∫
− dxex
x
)53(
; e,
dxxx
∫
ln
3
B. TÍCH PHÂN
I. Kiến thức cơ bản
1. Công thức tính tích phân:
2. Tính chất của tích phân:
24
1.
( ) 0
a
a
f x dx =
∫
2.
( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx= −
∫ ∫

3.
( ) ( )
b b
a a
af x dx a f x dx=
∫ ∫
;
a R
∈
4.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
5.
( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫

trong đó F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) trên [a; b]
II. Phương pháp tích phân:
1. Phương pháp đổi biến số
Qui tắc:
1.1. Ví dụ tính tích phân sau: 1)
4
0
I tgxdx
π
=
∫
1.2. Hướng dẫn
Ta có
∫∫
==
4
0
4
0
cos
sin
ππ
dx
x
x
tgxdxI
Đặt t = cosx
⇒
dt = - sinxdx
⇒

sinxdx = - dt
Cận đổi: x = 0
⇒
t = 1; x =
4
π

⇒
t =
2
2
Khi đó I =
2
2
ln
1
2
2
ln
1
2
2
1
−=−=−
∫
tdt
t
1.3. Bài tập tập tự giải
Tính các tích phân sau
1)

∫
+
=
2
0
cos31
sin
π
dx
x
x
I
2)
dx
x
x
I
e
∫
+
=
1
ln1
3)
∫
=
2
0
3
cossin

π
xdxxI
;
4)
∫
=
2
0
sin
cos
π
xdxeI
x
; 5)
1
1
2
( 2)( 3)
I dx
x x
−
=
− +
∫
6/ I =
2
1
2x dx+
∫
2. Tích phân từng phần

2.1 Công thức tích phân từng phần
.
b
b b
a a
a
udv u v vdu
= −
∫ ∫
25
1. Đặt t =v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục
2. Biểu thị f (x) dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx=g(t)dt
3. Tìm một nguyên hàm G (t) của g (t)
4. Tính
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
v b
v b
v a
v a
g t dt G t=
∫
5. KÕt luËn
( )
( )
( ) ( )
v b

b
a
v a
f x dx G t=
∫
.