Khoảng cách trong không gian (Hình 11)

KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
d(A,
∆
)=AH với AH
⊥
∆
tại H
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
d(A,(P))=AH với H là hình chiếu của A lên (P)
3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song
Cho đường thẳng
∆
và mp(P):
∆
//(P). Khi đó,
d(
∆
,(P))=d(A,(P)) trong đó A là điểm bất kỳ trên (P)
4. Khoảng cách giữa hai mp song song
Cho hai mặt phẳng (P), (Q): (P)//(Q). Khi đó.
d((P),(Q))=d(A,(Q))=d((P),B) trong đó A là điểm bất kỳ trên (P) và B là điểm bất kỳ trên (Q)
5. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau
a/Định lý: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Khi đó, tồn tại và duy nhất đường thẳng c cắt cả a, b
đồng thời vuông góc với a, b
+) c: gọi là đường vuông góc chung của a, b
+) Giả sử M, N lần lượt là giao điểm của c với a và b thì MN gọi là đoạn vuông góc chung của a, b
b/Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung
c/Phương pháp xác định đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a, b
PP1: d(a,b)=d((P),(Q)) trong đó,






⊂
⊂
(P)//(Q)
(Q)b
(P) a
Cụ thể, ta thực hiện theo các bước sau
B1: Qua a dựng một mp(P)//b
B2: Trên b lấy điểm K, dựng KH vuông góc (P) tại H
B3: Từ H kẻ đường thẳng //b và đường thẳng này cắt a tại I
Từ I kẻ IJ//kh cắt b tại J
⇒
IJ là đường vuông góc chung của a, b
PP2: (Áp dụng với hai đường thẳng vừa chéo nhau, vừa vuông góc nhau)
B1: Qua a dựng mp (P) vuông góc b
B2: Xác định giao điểm J giữa b và (P)
B3: Trong (P) từ J kẻ JI vuông góc a tại I
⇒
IJ là đường vuông góc chung của a, b
DẠNG I: Xác định và tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng , mp
Bản chất: Xác định và tính khoảng cách từ A đến mp(P)
Tìm mp(Q) đi qua A và vuông góc (P)
1
Xác định giao tuyến a giữa (P), (Q)
Trong (Q) kẻ đường thẳng qua A và vuông góc a tại A
⇒
d(A,(P))=AH

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc (BCD): BC=3a, CD=4a, AB=5a, tam giác BCD vuông
tại C
Tính:
1/d(A,(BCD)) 2/d(B,(ACD)) 3/d(A,CD)
Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'với ba kích thước a, b, c. Tính d(B, (ACC'A')
Bài 3.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Chứng minh khoảng cách từ B,C,D,A',B',D' tới
AC' bằng nhau. Tính khoảng cách đó?
Bài 3. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là nửa lục giác đều mội tiếp đường tròn đường kính
CD=2a. SA vuông góc đáy và SA=a
6
. Xác định và tính
1/ d(A,(BCD)) 2/d(B,(BCD))
Dạng II: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mp//, giữa hai mp //
Bài 1. Cho tứ diện ABCD: AB vuông góc (BCD), AB=5a. BC=3a, CD=4a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm AC, AD
1/ Tính d(MN, (BCD))
2/Gọi P là mp chứa MN và đi qua trung điểm K của AB. Tính d(MN,(BCD))
Bài 2. Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A'B'C'D'. Đáy lớn ABCD có cạnh bằng a, đáy nhỏ
A'B'C'D' có cạnh bằng b, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60
o
. Tính khoảng cách giữa hai mặt của hình
chóp cụt
Dạng III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD
1/ Chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung AB, CD
2/ Tính d(AB,CD)
Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính d(BC',CD')
Bài 3. Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a. Gọi I là trung
điểm BC
1/ Xác định và tính đọ dài đoạn vuông góc chung OA, BC

2/Tính d(IA,OC)
2