Cách xác định khoảng cách trong không gian

Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
1
Vấn$đề$2.$Xác$định$khoảng$cách$
NỘI$DUNG$PHƯƠNG$PHÁP$
Mấu$chốt$của$nó$là$tính$được$khoảng$cách$từ$chân$đường$cao$của$khối$chóp$đến$mặt$
bên$đối$diện$với$nó.$Khi$đó$khoảng$cách$từ$điểm$bất$kỳ$đến$mặt$phẳng$ta$quy$về$khoảng$
cách$từ$chân$đường$vuông$góc$tới$mặt$phẳng$đó;$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$chéo$
nhau$quy$về$khoảng$cách$từ$điểm$đến$mặt$phẳng$và$như$vậy$vẫn$là$khoảng$cách$từ$chân$
đường$cao$của$khối$chóp$đến$mặt$bên$đối$diện$với$nó.$
Ta$cùng$xét$bài$toán$sau:$
Bài$toán$1.$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$hình$chiếu$vuông$góc$của$S$lên$mặt$đáy$(ABC)$là$H.$Tính$
khoảng$cách$từ$H$đến$mặt$bên$(SBC).$
K
I
A
C
B
H
S
$
Kẻ$HI$vuông$góc$với$BC$tại$I.$
Kẻ$SK$vuông$góc$với$SI$tại$K.$
Ta$có:$

BC ⊥ HI
BC ⊥ SH
⎧
⎨
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⇒ BC ⊥ SHI
( )
⇒ BC ⊥ HK
.$

HK ⊥ SI
HK ⊥ BC
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ HK ⊥ SBC
( )
.$
Tam$giác$vuông$SHI$ta$có:$

1
HK
2
=
1
SH
2
+

1
HI
2
.$
$
HI$có$nhiều$cách$tính$khác$nhau$phụ$thuộc$vào$vị$trí$của$H$tuy$nhiên$tổng$quát$tính$theo$
diện$tích$

HI =
2S
HBC
BC
.$$$$$
Ngoài$ra.$Tính$khoảng$cách$theo$thể$tích$như$sau:$

d H ; SBC
( )
( )
=
3V
SHBC
S
SBC
.$
Nhưng$khi$đã$áp$dụng$thuần$thục$cách$tính$quy$về$chân$đường$vuông$góc$H$các$em$sẽ$
không$cần$phải$sử$dụng$công$thức$khoảng$cách$theo$thể$tích$như$trên.$
Bài$toán$2.$Tính$khoảng$cách$từ$điểm$M$đến$mặt$phẳng$(P).$
Bài$toán$này$tôi$chỉ$đề$cập$đến$ứng$dụng$thực$tế$tức$(P)$là$mặt$bên$khối$chóp$và$gọi$(Q)$là$
mặt$đáy$khối$chóp.$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
2
$
Xác$định$chân$đường$cao$H$hạ$từ$đỉnh$S$
của$khối$chóp$xuống$mặt$đáy$(Q).$
Kéo$dài$MH$cắt$(P)$tại$A.$Khi$đó$ta$có:$$

d M ; P
( )
( )
d H ; P
( )
( )
=
MA
HA
.$
Bài$toán$quy$về$tính$khoảng$cách$từ$H$đến$
mặt$phẳng$(P)$đây$chính$là$bài$toán$1$đã$
trình$bày$ở$trên.Ta$tạm$gọi$đây$là$phương$
pháp$đổi$điểm(đổi%điểm%cần%tính%về%chân%
đường%vuông%góc).$
(P)
(Q)
S
M
A
H
$
Ví$dụ$1.$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$đáy$ABC$là$tam$giác$cân$tại$A,$

AB = AC = 2a, BAC
!
= 120
0
.$
Hình$chiếu$vuông$góc$của$S$lên$mặt$đáy$(ABC)$là$điểm$H$thuộc$cạnh$AB$sao$cho$

HA = 2HB
.$
Biết$góc$giữa$mặt$bên$(SBC)$và$mặt$đáy$bằng$

60
0
.$$$
a) Tính$khoảng$cách$từ$H$đến$mặt$phẳng$(SBC).$
b) Tính$khoảng$cách$từ$A$đến$mặt$phẳng$(SBC).$
Lời$giải:$
a) Gọi$M$là$trung$điểm$của$BC$ta$có$

AM ⊥ BC
.$
Kẻ$HI$song$song$với$AM$cắt$BC$tại$I.$
Ta$có$

BC ⊥ HI
BC ⊥ SH
⎧
⎨
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ BC ⊥ SHI
( )
nên$góc$

SIH
!
= 60
0
chính$
là$góc$giữa$hai$mặt$phẳng$(SBC)$và$(ABC).$
Ta$có:$

AM = AC.cos MAC
!
= 2a.
1
2
= a
.$
$
K
M
A
B
C
S

H
I
$
Theo$định$lý$Talets$ta$có:$

HI
AM
=
BH
BA
=
1
3
⇒ HI =
a
3
.$
Tam$giác$vuông$SHI$có:$

SH = HI .tan 60
0
=
a
3
.$$$$$$
Kẻ$HK$vuông$góc$với$SI$tại$K$ta$có$

HK ⊥ SBC
( )
.$

Tam$giác$vuông$SHI$có:$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
3

1
HK
2
=
1
SH
2
+
1
HI
2
=
1
a
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟

⎟
⎟
2
+
1
a
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
12
a
2
⇒ HK =
a 3
6
.$
Vậy$

d H ; SBC
( )
( )
= HK =
a 3
6
.$
b) Ta$có:$

d A; SBC
( )
( )
=
AB
HB
.d H ; SBC
( )
( )
= 3d H ; SBC
( )
( )
= 3.
a 3
6
=
a 3
2
.$
Bài$toán$3.$Tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$chéo$nhau$a$và$b.$
$Tôi$trình$bày$cách$tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$chéo$nhau$bằng$cách$quy$về$

khoảng$cách$từ$điểm$đến$mặt$phẳng.$
Bước$1.$Dựng$mặt$phẳng$(P)$chứa$đường$thẳng$b$và$cắt$đường$thẳng$a$tại$A.$
Bước$2.$Từ$A$kẻ$đường$thẳng$

b '/ /b
,$gọi$(Q)$là$mặt$phẳng$chứa$a$và$b’.$
Bước$3.$Khi$đó$

d b;a
( )
= d b; Q
( )
( )
= d M ; Q
( )
( )
,∀ M ∈ b
.$
Như$vậy$bài$toán$quy$về$tính$khoảng$cách$từ$một$điểm$
bất$kỳ$từ$điểm$M$trên$b$đến$mặt$phẳng$(Q).$Đây$chính$
là$bài$toán$2$đã$trình$bày$ở$trên.$
$
a
b
b'
(Q)
(P)
A
M
$

$
Chú$ý.$Trong$đề$thi$đại$học$thông$thường$yêu$cầu$tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$
chéo$nhau$trong$đó$có$một$đường$thẳng$nằm$trên$mặt$đáy$và$một$đường$thẳng$khác$chống$
lên(thường$là$cạnh$bên).$Khi$đó$(P)$chính$là$mặt$đáy$đáy.$Mục$đích$dựng$mặt$phẳng$(Q)$là$
lấy$chân$đường$vuông$góc$hạ$từ$đỉnh$xuống$mặt$đáy$để$thuận$tiện$cho$bước$tính$khoảng$
cách$từ$điểm$đến$mặt$phẳng$(Q).$Để$thuận$tiện$ta$dựng$một$hình$bình$hành(không$phải$là$
một$đường$thẳng$b’$song$song$với$b).$
Nếu$không$có$đường$thẳng$nào$nằm$trong$mặt$đáy$lúc$này$ta$chọn$một$mặt$phẳng$chứa$một$
trong$hai$đường$thẳng$đó$là$mặt$đáy$và$thực$hiện$tương$tự$cách$trên.$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
4
Ví$dụ$2(TSĐH$Khối$A,A1$2012)$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$đáy$ABC$là$tam$giác$đều$cạnh$a,$
hình$chiếu$vuông$góc$của$S$lên$mặt$đáy$(ABC)$là$điểm$H$thuộc$đoạn$AB$sao$cho$

HA = 2HB
.$
Góc$giữa$SC$và$mặt$phẳng$(ABC)$bằng$

60
0
.$Tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$SA$và$
BC.$
Lời$giải:$
Trong$mặt$phẳng$(ABC)$dựng$hình$bình$hành$
ACBD.$
Ta$có:$

BC / /AD ⇒ BC // SAD
( )

.$

⇒ d BC;SA
( )
= d BC; SAD
( )
( )
= D B; SAD
( )
( )
=
BA
HA
.d H ; SAD
( )
( )
=
3
2
d H ; SAD
( )
( )
$$$
K
F
E
N
D
M
A

B
C
S
H
$
Muốn%tính%khoảng%cách%từ%H(chân%đường%cao)%đến%mặt%đối%diện%ta%cần%kẻ%đường%thẳng%vuông%góc%với%
AD%và%tính%độ%dài%đoạn%thẳng%SH.%
Kẻ$

HF ⊥ AD
tại$F,$kẻ$

HK ⊥ SF
tại$K$ta$có$

HK ⊥ SAD
( )
.$
Gọi$M$là$trung$điểm$của$AB$ta$có$

CM ⊥ AB ⇒ CM = AB sin 60
0
=
a 3
2
.$
Tam$giác$vuông$CMH$có:$

CH = CM
2

+ MH
2
=
a 3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
a
2
−
a
3
⎛
⎝
⎜
⎜

⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
a 7
3
.$
Ta$có:$

SH ⊥ ABC
( )
⇒ SCH
!
= 60
0
$là$góc$giữa$SC$và$mặt$đáy$(ABC).$
Suy$ra:$

SH = CH .tan 60
0
=
a 21
3
.$

Để$ý$HF$là$đường$cao$của$tam$giác$HAD$có:$

HF =
2S
HAD
AD
=
HA.AD sin 60
0
AD
= HA.sin 60
0
=
2a
3
.
3
2
=
a 3
3
.$
Tam$giác$vuông$SHF$có:$

1
HK
2
=
1
SH

2
+
1
HF
2
=
1
a 21
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
1
a 3
3
⎛
⎝

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
24
7a
2
⇒ HK =
a 42
12
.$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
5
Suy$ra$

d BC;SA
( )
=
3

2
HK =
3
2
.
a 42
12
=
a 42
8
.$
Nhận$xét.$Rõ$ràng$việc$dựng$hình$bình$hành$ACBD$cho$phép$ta$tính$độ$dài$HF$theo$công$
thức$diện$tích$hết$sức$đơn$giản.$Đây$chính$là$thuận$lợi$của$phép$dựng$này.$Ngoài$ra$ta$có$thể$
tính$CH$và$HF$theo$cách$khác$sau$đây:$$$
Định$lý$hàm$số$côsin$cho$tam$giác$CHB$có:$

CH = HB
2
+ BC
2
− 2HB.BC cos60
0
=
a 7
3
⇒ SH = CH .tan 60
0
=
a 21
3

.$
Gọi$N$là$trung$điểm$của$BC$ta$có$

AN ⊥ BC ,BC //AD ⇒ AN ⊥ AD
.$
Kéo$dài$HF$cắt$BC$tại$E$ta$có$

HF / /AN
.$
Theo$talets$ta$có:$

HE
EF
=
HE
AN
=
BH
BA
=
1
3
⇒ HF = 2HE =
2
3
AN =
2
3
.
a 3

2
=
a 3
3
.$$$
A. CÁC$DẠNG$TOÁN$
DẠNG$1.$KHOẢNG$CÁCH$TỪ$ĐIỂM$ĐẾN$MẶT$PHẲNG$
Ví$dụ$1.$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$đáy$ABC$là$tam$giác$vuông$tại$B,$

AB = a,AC = 2a
.$Gọi$I,H,J$
lần$lượt$là$trung$điểm$của$BC,AI,SC.$Tam$giác$SAI$cân$tại$S$và$nằm$trong$mặt$phẳng$vuông$
góc$với$đáy$(ABC).$Biết$góc$giữa$hai$mặt$phẳng$(SAB)$và$(ABC)$bằng$

60
0
.$Tính$thể$tích$khối$
chóp$S.ABC$và$khoảng$cách$từ$H$đến$mặt$phẳng$(ABJ).$
Lời$giải:$
Gọi$M$là$trung$điểm$của$AB$ta$có$MH$là$đường$
trung$bình$của$tam$giác$ABI$nên:$
$

MH //BC ⇒ MH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SHM )
.$
Do$đó$góc$

SMH
!
= 60

0
là$góc$giữa$mặt$phẳng$(SAB)$
và$(ABC).$
Theo$pitago$ta$có:

BC = AC
2
− AB
2
= a 3
.$
Ta$có:$

MH =
BI
2
=
BC
4
=
a 3
4
.$
F
E
K
M
J
H
I

A
B
S
C
D
$
Tam$giác$vuông$SHM$có:$

SH = HM tan 60
0
=
a 3
4
. 3 =
3a
4
.$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
6
Vì$vậy$

V
S .ABC
=
1
3
SH .S
ABC
=

1
6
.SH .AB.BC =
1
6
.
3a
4
.a.a 3 =
a
3
3
8
.$
Tính$

d H ; ABJ
( )
( )
:$
Nhận$xét.$Xét$khối$chóp$J.ABC$lúc$này$H$không$phải$là$chân$đường$cao$của$khối$chóp$này.$
Ta$tìm$cách$quy$về$chân$đường$vuông$góc$của$khối$chóp$J.ABC.$Vậy$trước$tiên$phải$tìm$chân$
đường$vuông$góc$hạ$từ$đỉnh$J$xuống$mặt$đáy$(ABC).$
Kẻ$JK$song$song$với$SH$cắt$CH$tại$K$ta$có$

JK ⊥ ABC
( )
và$K$là$trung$điểm$của$CH.$
Kéo$dài$CH$cắt$AB$tại$D:$
Ta$có$

d H ; ABJ
( )
( )
=
HD
KD
.d K ; ABJ
( )
( )
.$$
Theo$talets$ta$có:$

DH
DC
=
HM
BC
=
1
4
⇒
HD
KD
=
2
5
⇒ d H ; ABJ
( )
( )

=
2
5
d K ; ABJ
( )
( )
.$
Kẻ$

KE // BC
cắt$AB$tại$E$ta$có$

KE ⊥ AB
.$Kẻ$KF$vuông$góc$với$JE$ta$có$

KF ⊥ ABJ
( )
.$
Theo$talets$ta$có:$

KE
BC
=
DK
DC
=
5
8
⇒ KE =
5

8
BC =
5a 3
8
.$Tam$giác$SHC$có:

JK =
1
2
SH =
3a
8
.$
Tam$giác$vuông$JKE$ta$có:$

1
KF
2
=
1
JK
2
+
1
KE
2
=
1
3a
8

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
1
5a 3
8
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

⎟
2
=
1792
225a
2
⇒ KF =
15a 7
112
.$
Vậy$

d H ; ABJ
( )
( )
=
2
5
.KF =
2
5
.
15a 7
112
=
3a 7
56
.$$$$$$$$
DẠNG$2.$KHOẢNG$CÁCH$GIỮA$HAI$ĐƯỜNG$THẲNG$CHÉO$NHAU$$
*Tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$trong$đó$có$một$đường$thẳng$nằm$trên$mặt$đáy$

Ví$dụ$1.$Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy$ABCD$là$nửa$lục$giác$đều,$

AB = BC = CD = a,SA = a 3
và$vuông$góc$với$mặt$đáy$(ABCD).$Gọi$M,I$lần$lượt$là$các$điểm$
thuộc$đoạn$SB$và$SD$sao$cho$

SM = 3MB,3ID = 4IS
.$Chứng$minh$SD$vuông$góc$với$mặt$
phẳng$(AMI)$và$tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$AD$và$SC.$
Lời$giải:$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
7
Ta$có:$

SI .SD =
3
7
SD
2
= 3a
2
= SA
2
⇒ I
trùng$
với$chân$đường$cao$hạ$từ$A$lên$SD.$
Do$đó$

SD ⊥ AI

.$
Tương$tự:$

SM .SB =
3
4
SB
2
= 3a
2
= SA
2
nên$
M$trùng$với$chân$đường$cao$hạ$từ$A$lên$
SB.$
Ta$có:$
$

BD ⊥ AB
BD ⊥ SA
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ BD ⊥ SAB
( )
⇒ BD ⊥ AM

.$
Do$đó$

AM ⊥ SBD
( )
⇒ AM ⊥ SD
.$
Suy$ra$

SD ⊥ AMI
( )
.$$$$$$$
A
D
B
S
C
M
I
H
K
E
F
$
Tính$

d AD;SC
( )
:$
Ta$có$

AD //BC ⇒ AD / / SBC
( )
⇒ d AD;SC
( )
= d AD; SBC
( )
( )
= d A; SBC
( )
( )
.$
Kẻ$AH$vuông$góc$với$BC$tại$H,$kẻ$AK$vuông$góc$với$SH$tại$K$ta$có$

AK ⊥ SBC
( )
.$
Gọi$E,F$lần$lượt$là$hình$chiếu$vuông$góc$của$B,C$trên$AD$ta$có$

EF = BC = a
và$

AE = DF =
a
2
.$
Suy$ra$

AB = BC = AB
2

+ AE
2
= a
2
+
a
2
4
=
a 5
2
.$
Suy$ra$

AH = BE =
a 5
2
.$
Tam$giác$vuông$SAH$có:$

1
AK
2
=
1
SA
2
+
1
AH

2
=
1
(a 3)
2
+
1
a 5
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
17
15a
2
⇒ AK = a
15

17
.$
Vậy$

d AD;SC
( )
= AK = a
15
17
.$$$$$$$
Ví$dụ$2.$Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy$ABCD$là$hình$thang$vuông$tại$A$và$D,

AD = 2a
,$$

AB = 3a,CD = a
.$Tam$giác$SAD$cân$tại$S$và$nằm$trong$mặt$phẳng$vuông$góc$với$đáy.$Biết$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
8
góc$giữa$mặt$phẳng$(SBC)$và$mặt$đáy$bằng$

60
0
.$Tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$SA$
và$BC$theo$a.$
Lời$giải:$
Gọi$H$là$trung$điểm$của$AD.$Do$tam$giác$
SAD$cân$tại$S$nên$

SH ⊥ AD
.$
Hai$mặt$phẳng$(SAD)$và$(ABCD)$vuông$
góc$và$có$giao$tuyến$HD$nên$

SH ⊥ ABCD
( )
.$
Kẻ$HI$vuông$góc$với$BC$tại$I$khi$đó$

BC ⊥ HI
BC ⊥ SH
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ BC ⊥ SHI
( )
nên$góc$

SIH
!
= 60
0
chính$là$góc$giữa$hai$mặt$phẳng$
(SBC)$và$(ABCD).$
Bài$toán$này$có$một$ý$nữa$đó$là$tính$thể$

tích$của$khối$chóp$S.ABCD$ta$tính$đường$
cao$SH$vì$vậy$cần$tính$được$độ$dài$HI.$
Để%tính%HI%ta%sử%dụng%công%thức%diện%tích:%

HI =
2S
HBC
BC
.$
Diện%tích%tính%gián%tiếp(lấy%diện%tích%cả%hình%
thang%trừ%đi%diện%tích%hai%tam%giác%vuông%nhỏ).%
Độ%dài%BC%tính%thông%qua%tam%giác%vuông.$$$$$%
E
K
M
F
I
H
D
A
B
C
S
T
$
Kẻ$CE$song$song$với$AD$cắt$AB$tại$E.$
Tam$giác$vuông$CEB$có:$

CE = EB = 2a
nên$là$tam$giác$vuông$cân$suy$ra$

BC = 2a 2
.$
Ta$có:$$

S
HBC
= S
ABCD
−S
HAB
−S
HCD
=
AB +CD
2
.AD −
HA.AB
2
−
HD.CD
2
=
3a + a
2
.2a −
a.3a
2
−
a.a

2
= 2a
2
.$
Suy$ra$

HI =
2S
HBC
BC
=
2.2a
2
2a 2
= a 2 ⇒ SH = HI .tan60
0
= a 6
.$
Trong$mặt$phẳng$(ABCD)$dựng$hình$bình$hành$ACBF$
Ta$có$

BC // A F ⇒ BC // SAF
( )
⇒ d BC;SA
( )
= d BC; SAF
( )
( )
.$$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
9
Kéo$dài$HI$cắt$AF$tại$T$khi$đó$

d BC; SAF
( )
( )
= d I ; SAF
( )
( )
=
IT
HT
d H ; SAF
( )
( )
.$
Ta$có:$

HT =
2S
HAF
AF
=
HA.A F sin HAF
!
AF
= HA.sin135
0
=

a 2
2
.$
Suy$ra$

IT = HI + HT =
3a 2
2
⇒
IT
HT
= 3⇒ d BC; SAF
( )
( )
= 3d H ; SAF
( )
( )
.$
Kẻ$HK$vuông$góc$với$ST$tại$K$ta$có$

HK ⊥ SAF
( )
.$
Tam$giác$vuông$SHT$có:$

1
SK
2
=
1

SH
2
+
1
HT
2
=
1
a 6
( )
2
+
1
a 2
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2

=
13
6a
2
⇒ HK = a
6
13
.$
Vậy$

d SA;BC
( )
= 3HK = 3a
6
13
.$$$$$$
Chú$ý.$Ta$có$thể$quy$khoảng$cách$từ$BC$đến$mặt$phẳng$(SAF)$về$H$bằng$cách$kéo$dài$AD$cắt$
BC$tại$M.$$
Khi$đó$

d BC; SAF
( )
( )
= d M ; SAF
( )
( )
=
MA
HA
d H ; SAF

( )
( )
.$
Theo$talets$ta$có:$

MD
MA
=
CD
AB
=
1
3
⇒
MA
HA
= 3⇒ d BC; SAF
( )
( )
= 3d H ; SAF
( )
( )
.$
Ta$có$kết$quả$tương$tự$cách$trên.$
$$
1. $Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy$ABCD$là$hình$thoi$cạnh$a,$

ABC
!
= 60

0
.$Hình$chiếu$vuông$
góc$của$S$lên$mặt$đáy$trùng$với$trọng$tâm$G$của$tam$giác$ABC,$đường$thẳng$SA$tạo$với$đáy$
góc$

60
0
.$Tính$thể$tích$khối$chóp$S.ABCD$và$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$AD$và$SB.$
Bài$giải$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
10
Gọi$M$là$trung$điểm$của$BC,$khi$đó$G$là$giao$
điểm$của$AM$và$BD.$
Tam$giác$

AM = AB sin 60
0
=
a 3
2
.$
Góc$

SG ⊥ ABCD
( )
⇒ SAG
!
= 60
0

là$góc$giữa$SA$
và$mặt$phẳng$(ABCD).$
Tam$giác$vuông$SAG$có:$

SG = AG tan 60
0
=
2
3
AM .tan 60
0
=
2
3
.
a 3
2
. 3 = a
.$

S
ABCD
= 2S
ABC
= BA.BC sin 60
0
=
a
2
3

2
.$$$
$$$
G
M
D
C
B
A
S
H
$

V
S .ABCD
=
1
3
SG.S
ABCD
=
1
3
.a.
a
2
3
2
=
a

3
3
6
(đvtt).$
Tính$

d AD;SB
( )
:$
Ta$có:$
$

AD //BC ⇒ AD / / SBC
( )
⇒ d AD;SB
( )
= d AD; SBC
( )
( )
= d A; SBC
( )
( )
=
AM
GM
d G; SBC
( )
( )
= 3d G; SBC
( )

( )
.$
Kẻ$GH$vuông$góc$với$SM$tại$H$ta$có$

GH ⊥ SBC
( )
.$
Tam$giác$vuông$SGM$có:$

1
GH
2
=
1
GM
2
+
1
SG
2
=
1
a 3
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜

⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
1
a
2
=
13
a
2
⇒GH =
a 13
13
.$
Suy$ra$

d AD;SB
( )
= 3GH =
3a 13
13
.$$$
Ví$dụ$6.$Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy$ABCD$là$hình$thang$vuông$tại$A$và$B,$

BC = a,AB = AD = 2a
.$Cạnh$bên$SA$vuông$góc$với$mặt$đáy$(ABCD),$mặt$bên$(SBC)$tạo$với$
mặt$đáy$góc$60
0
.$Gọi$M$là$trung$điểm$cạnh$SB,$mặt$phẳng$(ADM)$cắt$cạnh$SC$tại$N.$Tính$thể$
tích$khối$chóp$S.ABCD$và$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$BN$và$CD.$
Lời$giải:$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
11
Vì$AD//BC$nên$MN//BC$do$đó$N$là$trung$điểm$của$SC.$
Ta$có$

BC ⊥ AB
BC ⊥ SA
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ BC ⊥ (SAB ) ⇒ SBA
!
= 60
0
.$
Vì$vậy$

SA = AB tan 60
0
= 2a 3
.$ $
$
Suy$ra$$

V
S .ABCD
=
1
3
SA.S
ABCD
=
1
3
.SA.
BC + AD
2
.AB =
1
3
.2a 3.
a + 2a
2
.2a = 2a
3
3
(đvtt).$

Gọi$E$là$trung$điểm$của$BC$khi$đó$AE//BC$và$

AE = BC = a
nên$ABCE$là$hình$chữ$nhật.$
Gọi$I$là$giao$điểm$của$AC$và$BE$khi$đó$I$là$trung$điểm$của$AC,$vì$vậy$NI//SA$suy$ra$

NI ⊥ (ABCD )
.$$
Ta$có$

CD //BE ⇒ CD //(NBE ) ⇒ d CD;BN
( )
= d C ;(NBE )
( )
.$
Kẻ$CK$vuông$góc$với$BE$tại$K$ta$có$

NI ⊥ CK
NK ⊥ BE
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ CK ⊥ (NBE )
.$
Tam$giác$vuông$BCE$có$CK$là$đường$cao$vì$vậy$

1
CK
2
=
1
CB
2
+
1
CE
2
=
1
a
2
+
1
4a
2
⇒ CK =
2a 5
5
.$
Vì$vậy$

d CD; BN
( )
= CK =
2a 5
5

.$$
*Tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$chéo$nhau$cùng$chếc$so$với$mặt$đáy$
Bài$toán$này$sẽ$khó$hơn$bài$toán$loại$trên.$
Ví$dụ$1.$Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy$ABCD$là$hình$thoi,$

AB = BC = BD = a
,$mặt$bên$
(SAB)$là$tam$giác$đều$và$nằm$trong$mặt$phẳng$vuông$góc$với$mặt$đáy$(ABCD).$Gọi$M$là$
trung$điểm$cạnh$SD.$Tính$thể$tích$khối$chóp$S.ABCD$và$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$
SB$và$CM.$
Lời$giải:$
Gọi$H$là$trung$điểm$cạnh$AB,$ta$có$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
12
$

SH ⊥ AB
(SAB ) ⊥ (ABCD)
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ SH ⊥ (ABCD)
.$
Tam$giác$ABD$đều$cạnh$a,$

S
ABCD
= 2S
ABD
= 2.
a
2
3
4
=
a
2
3
2
.$

SH = SA
2
−
AB
2
4
= a
2
−
a
2
4
=
a 3

2
.$
Vì$vậy$

V
S .ABCD
=
1
3
SH .S
ABCD
=
1
3
.
a 3
2
.
a
2
3
2
=
a
3
4
(đvtt).$
Tính$khoảng$cách:$
Gọi$O$là$trung$điểm$cạnh$BD,$ta$có$MO//SB$nên$

SB // AMC
( )
.$
Vì$vậy$

d SB;CM
( )
= d B; AMC
( )
( )
=
3V
M .ABC
S
AMC
.$
Ta$có$

V
M .ABC
=
1
3
d M ; ABCD
( )
( )
.S
ABD
=
1

3
.
1
2
d H ;(ABCD)
( )
.
1
2
S
ABCD
=
1
4
V
S .ABCD
=
a
3
16
.$
Tam$giác$AMC$có$
$

OM =
SB
2
=
a
2

;SD = SH
2
+ HD
2
=
3a
2
4
+
3a
2
4
=
a 6
2
;
AM = SA
2
−
SD
2
4
= a
2
−
6a
2
16
=
a 10

4
.$$
$$
2. Cho$hình$lăng$trụ$đứng$ABC.A’B’C’$có$đáy$ABC$là$tam$giác$vuông$tại$A,$

AB = a,BC = 2a
.$
Mặt$bên$ACC’A’$là$hình$vuông.$Gọi$M,N,P$lần$lượt$là$trung$điểm$của$AC,CC’,A’B’$và$H$là$
hình$chiếu$của$A$lên$BC.$Tính$thể$tích$khối$chóp$A’.HMN$và$khoảng$cách$giữa$hai$đường$
thẳng$MP$và$HN.$
Bài$giải$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
13
Nhận$xét.$Rất$khó$tính$thể$tích$khối$chóp$
A’.HMN$nếu$ta$không$xác$định$được$đáy.$
Coi$mặt$đáy$khối$chóp$này$là$(A’MN).$
Ta$có:$
$

S
A' MN
= S
ACC ' A '
−S
A' AM
−S
CMN
−S
A'C ' N

= a
2
−
a
2
4
−
a
2
8
−
a
2
4
=
3a
2
8
.$

d H ; A' MN
( )
( )
=
HC
BC
d B; A'MN
( )
( )
=

HC
BC
.AB
$
Tam$giác$vuông$ABC$có$AH$là$đường$cao$
nên:$

CH .BC = CA
2
⇒
CH
BC
=
CA
2
BC
2
=
3a
2
4a
2
=
3
4
.$
Vậy$

d H ; A' MN
( )

( )
=
3
4
AB =
3a
4
.$
Suy$ra:$
$

V
H .A 'MN
=
1
3
d H ; A 'MN
( )
( )
.S
A' MN
=
1
3
.
3a
4
.
3a
2

8
=
3a
3
32
$$$$$$
K
E
H
P
N
M
B'
C'
A
B
C
A'
$
Gọi$E$là$trung$điểm$của$B’C’$ta$có$

EP //A'C '//CM ,EP = CM =
a
2
⇒ CMPE
là$hình$bình$hành$
suy$ra$

MP / /CE ⇒ MP / / BCC ' B '
( )

.$
Do$đó$

d MP;HN
( )
= d MP ; BCC ' B '
( )
( )
= d M ; BCC ' B '
( )
( )
.$
Kẻ$MK$vuông$góc$với$BC$tại$K$ta$có$

MK ⊥ BCC ' B '
( )
.$
Ta$có$

MK =
1
2
AH =
AB.AC
2 AB
2
+ AC
2
=
a.a 3

2.2a
=
a 3
4
.$
Vậy$

d MP;HN
( )
=
a 3
4
.$
Nhận$xét.$Nếu$khối$chóp$có$mặt$đáy$không$là$mặt$đáy$của$khối$lăng$trụ$hoặc$khối$chóp$ban$
đầu$ta$lựa$chọn$một$đáy$hợp$lý$sao$cho$việc$tính$diện$tích$đáy$và$khoảng$cách$từ$đỉnh$còn$lại$
đến$đáy$đó$đơn$giản$để$tính$thể$tích.$Tương$tự$nếu$hai$đường$thẳng$chéo$nhau$không$có$
đường$thẳng$nào$nằm$trên$mặt$đáy$ta$phải$xác$định$mặt$phẳng$đáy$mới(chứa$một$đường$
thẳng$và$song$song$với$đường$thẳng$còn$lại)$để$quy$về$tính$khoảng$cách$như$các$bài$toán$có$
một$đường$thẳng$thuộc$mặt$đáy$quen$thuộc.$$$$$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
14
DẠNG$3.$$KHỐI$ĐA$DIỆN$CHO$TRƯỚC$KHOẢNG$CÁCH$
Khi$cho$trước$khoảng$cách$ta$phải$định$chính$xác$công$thức$khoảng$cách$đó.$Sau$đó$tìm$ra$
các$yếu$tố$của$khối$đa$diện$để$hoàn$thiện$bước$tính$thể$tích,$góc$hoặc$khoảng$cách$tùy$thuộc$
vào$yêu$cầu$đề$bài.$
3. $Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy$ABC$là$hình$bình$hành$và$

SA = SB = AB = 2BC = 2a
,$góc$

ABC
!
= 120
0
.$Gọi$M$là$trung$điểm$của$AB.$Biết$hình$chiếu$vuông$góc$H$của$S$lên$mặt$đáy$
(ABCD)$nằm$trong$tứ$giác$ABCD$và$khoảng$cách$từ$M$đến$mặt$phẳng$(SCD)$bằng$

a
3
5
.$
Tính$thể$tích$khối$chóp$S.ABCD.$
Bài$giải$
Tam$giác$SAB$đều$nên$

AB ⊥ SM
.$
Mặt$khác$

SH ⊥ ABCD
( )
⇒ SH ⊥ AB
.$Do$đó$

AB ⊥ SHM
( )
⇒ AB ⊥ HM
.$
Kéo$dài$HM$cắt$CD$tại$I$ta$có$

CD ⊥ SMI
( )
.$
Kẻ$

MK ⊥ SI
tại$K$ta$có$

MK ⊥ SCD
( )
.$
Ta$có$

SM = SB sin 60
0
= a 3
.$

MI = d C; AB
( )
=
2S
ABC
AB
=
AB.BC sin120
0
AB
=

a 3
2
Xét$
tam$giác$SMI$ta$có:$$$
$$$$$$$
K
I
M
C
B
A
D
S
H
$

SH
2
= SM
2
− HM
2
= 3a
2
− HM
2
(1)
SI =
SH .MI
MK

=
a 3
2
.SH
a
3
5
=
5
2
SH
SH
2
= SI
2
− HI
2
= SI
2
− MI −HM
( )
2
=
5
4
SH
2
−
a 3
2

− HM
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
(2)
.$
So$sánh$(1)$và$(2)$ta$có:$

3a
2
− HM
2
= a 3 − 2HM
( )
2
⇔
HM = 0
HM =

4a 3
5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.$
Do$H$nằm$trong$tứ$giác$ABCD$nên$

HM = 0 ⇒ H ≡ M
.$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
15
Suy$ra$

SH = SM = a 3 ⇒V
S .ABCD
=
1
3
SH .S
ABCD
=
2
3
.SH .S
ABC

=
2
3
.a 3.
1
2
2a.a.
3
2
= a
3
(đvtt).$$$$$$$$
B. BÀI$TẬP$RÈN$LUYỆN$
1. Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy%ABCD$là$hình$thoi.$Biết$S.ABD$là$tứ$diện$đều$cạnh$a.$Tính$
thể$tích$khối$chóp$S.ABCD$và$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$BD$và$SC.$
Bài$giải$
Goi$M$là$trung$điểm$của$AB$và$gọi$O$là$
giao$điểm$của$hai$đường$chéo$AC$và$BD.$
Gọi$H$là$giao$điểm$của$AC$và$DM$khi$đó$
H$là$tâm$đường$tròn$ngoại$tiếp$tam$giác$
ABD.$
Suy$ra$

SH ⊥ ABCD
( )
.$
Ta$có:$

S
ABCD

= 2S
ABD
= AB.AD sin 60
0
=
a
2
3
2
.$

DH =
2
3
DM =
2
3
AD sin60
0
=
a 3
3
.$
Tam$giác$vuông$SHD$có:$

SH = SD
2
− DH
2
= a

2
−
a 3
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
a 6
3
.$$$$$
I
K
O
E
H
M
C

B
A
D
S
$

V
S .ABCD
=
1
3
SH .S
ABCD
=
1
3
.
a 6
3
.
a
2
3
2
=
a
3
2
6
(đvtt).$

Tính$

d BD;SC
( )
:$
Kẻ$

OK ⊥ SC
tại$K$ta$có:$

BD ⊥ SH
BD ⊥ AC
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ BD ⊥ SHC
( )
⇒ BD ⊥ OK
.$
Vậy$OK$là$đoạn$vuông$góc$chung$của$BD$và$SC.$
Ta$có:$

CH = CO +OH = AO +OH =
4
3
AO =

4
3
DM =
2a 3
3
.$
Suy$ra$

SC = SH
2
+CH
2
=
a 6
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2

+
2a 3
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
= a 2
.$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
16
Suy$ra$

sinSCH
!
=
SH
SC

=
a 6
3
a 2
=
3
3
⇒ OK = CO.sinSCH
!
=
a 3
2
.
3
3
=
a
2
.$
Vậy$

d BD;SC
( )
= OK =
a
2
.$$$$$
Cách$2:$Nhiều$học$sinh$không$nhận$ra$OK$là$đoạn$vuông$góc$chung$của$BD$và$SC$vậy$áp$
dụng$cách$tính$khoảng$cách$tổng$quát$ta$thực$hiện$như$sau:$
Trong$mặt$phẳng$(ABCD)$dựng$hình$bình$hành$BDCE.$

Ta$có$

BD //CE ⇒ BD / / SCE
( )
⇒ d BD;CE
( )
= d BD; SCE
( )
( )
= d O; SCE
( )
( )
.$
Để$ý$

OC ⊥ BD ⇒ OC ⊥ CE
do$vậy$chỉ$cần$kẻ$OK$vuông$góc$với$SC$tại$K$thì$OK$chính$là$
khoảng$cách$cần$tìm.$Đây$chính$là$lời$giải$đã$trình$bày$trong$cách$1.$$
Nhận$xét.$Ta$có$thể$quy$về$chân$đường$vuông$góc$H$để$thuận$tiện$tính$toán$như$sau:$

d O; SCE
( )
( )
=
OC
HC
.d H ; SCE
( )
( )
=

3
4
d H ; SCE
( )
( )
.$
Kẻ$HI$vuông$góc$với$SC$tại$I$ta$có$

HI ⊥ SCE
( )
.$
Tam$giác$vuông$SHC$có:$

1
HI
2
=
1
SH
2
+
1
CH
2
=
1
a 6
3
⎛
⎝

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
1
2a 3
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

⎟
2
=
9
4a
2
⇒ HI =
2
3
a
.$
Vậy$

d BD;SC
( )
=
3
4
HI =
3
4
.
2a
3
=
a
2
.$
Ta$có$kết$quả$tương$tự$cách$trên.$$$$$
2. Cho$hình$lăng$trụ$đứng$ABC.A’B’C’$có$đáy$ABC$là$tam$giác$vuông,$

AB = BC = a
.$Gọi$M$là$
trung$điểm$BC,$biết$góc$giữa$mặt$phẳng$(A’BC)$và$mặt$đáy$(ABC)$bằng$

60
0
.$Tính$thể$tích$
lăng$trụ$khối$chóp$A’.BCC’B’$và$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$B’C$và$AM.$
Bài$giải$
$$$
$
$
$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
17
3. Cho$hình$lăng$trụ$ABC.A’B’C’$có%A’.ABC$là$hình$chóp$đều,$

AB = a
.$Gọi$

ϕ
là$góc$giữa$mặt$
phẳng$(A’BC)%và$mặt$phẳng$(ABC)$với$

cosϕ =
3
3
.$Tính$thể$tích$khối$chóp$A’.BCC’B’$và$

khoảng$cách$từ$A’$đến$mặt$phẳng$(BCC’B’).$
Bài$giải$
Gọi$M,$N$lần$lượt$là$trung$điểm$của$BC$và$
AB.$Gọi$H$là$giao$điểm$của$AM$và$CN$khi$
đó$H$là$tâm$đường$tròn$ngoại$tiếp$tam$
giác$ABC.$
Suy$ra$

A' H ⊥ ABC
( )
.$
Ta$có:$

BC ⊥ AM
BC ⊥ A ' H
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ BC ⊥ A' HM
( )
nên$góc$

A' MH
!
= ϕ
chính$là$góc$giữa$hai$mặt$

phẳng$(A’BC)$và$(ABC).$$$$
Ta$có:$

AM = AB sin 60
0
=
a 3
2
.$
Suy$ra$

HM =
AM
3
=
a 3
6
.$$$
F
K
E
P
I
B'
C'
H
M
N
B
A

C
A'
$
Tam$giác$vuông$A’HM$có:$

A' H = HM .tanϕ = HM
1
cos
2
ϕ
−1 =
a 3
6
.
1
1
3
−1 =
a 6
6
.$

S
ABC
= AB.AC sin 60
0
=
a
2
3

4
⇒V
A'.ABC
=
1
3
A' H .S
ABC
=
1
3
.
a 6
6
.
a
2
3
4
=
a
3
2
24
.$
Ta$có:$

V
A'.BCC ' B '
=V

ABC .A' B 'C '
−V
A'.ABC
= 3V
A'.ABC
−V
A'.ABC
= 2V
A'.ABC
= 2.
a
3
2
24
=
a
3
2
12
(đvtt).$$$$
Tính$

d A'; BCC ' B '
( )
( )
:$
Ta$có$

AA'// BCC 'B'
( )

⇒ d A'; BCC ' B '
( )
( )
= d AA'; BCC ' B '
( )
( )
= d A; BCC ' B '
( )
( )
.$
Ta$có:$

BC ⊥ A' HM
( )
⇒ A' HM
( )
⊥ BCC ' B '
( )
.$
Gọi$P$là$trung$điểm$của$B’C’$khi$đó$MP$là$giao$tuyến$của$hai$mặt$phẳng$(A’HM)$và$(BCC’B’).$
Kẻ$

AK ⊥ MP
tại$K$ta$có$

AK ⊥ BCC ' B '
( )
.$
Do$

MP //BB '//AA' ⇒ d A; BCC ' B '
( )
( )
= d A;MP
( )
= d M ; AA'
( )
.$
Kẻ$MI$vuông$góc$với$AA’$tại$I$khi$đó$MI$là$đường$cao$của$tam$giác$A’AM.$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
18
Ta$có:$

AK = MI =
2S
A' AM
AA'
=
A' H .AM
AA'
=
a 6
6
.
a 3
2
a 6
6
⎛

⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
a 3
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

⎟
2
=
a
2
.$
Vậy$

d A'; BCC 'B'
( )
( )
= AK =
a
2
.$
Nhận$xét.$Ta$có$thể$quy$khoảng$cách$từ$A$đến$mặt$phẳng$(BCC’B’)$về$khoảng$cách$từ$H$đến$
mặt$phẳng$(BCC’B’)$như$sau:$
Ta$có:$

d A; BCC 'B'
( )
( )
=
AM
HM
.d H ; BCC 'B'
( )
( )
= 3d H ; BCC ' B '
( )

( )
.$
Kẻ$PE$song$song$với$A’H$cắt$HM$tại$E$khi$đó$

PE ⊥ ABC
( )
.$
Ta$có$

ME = HE − HM = A' P − HM = AM − HM = AH = 2HM
.$
Suy$ra$

d H ; BCC ' B '
( )
( )
=
HM
EM
.d E; BCC ' B '
( )
( )
=
1
2
d E; BCC ' B '
( )
( )
.$
Kẻ$EF$vuông$góc$với$MP$tại$F$ta$có$

EF ⊥ BCC ' B '
( )
.$
Tam$giác$vuông$MPE$có:$

1
EF
2
=
1
EP
2
+
1
EM
2
=
1
A' H
2
+
1
AH
2
=
1
a 6
6
⎛

⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
1
a 3
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟

⎟
⎟
2
=
9
a
2
⇒ EF =
a
3
.$
Vậy$

d A; BCC ' B '
( )
( )
= 3d H ; BCC ' B '
( )
( )
=
3
2
.d E; BCC ' B '
( )
( )
=
3
2
.
a

3
=
a
2
.$
Ta$có$kết$quả$tương$tự$cách$trên.$$$$$$$$$$$$$$
$$$
$
$$$$
$$$
$
$$$
$$
$$$$
$
Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202
Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia
19
$$$$
$$$
$
$$