chuyên đề khoảng cách trong không gian lớp 11

1
CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG
GIAN LỚP 11
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu 3
Chương I Cơ sở lí luận 7
1.1 Tư duy và đặc trưng cơ bản của tư duy 7
1.1.1 Tư duy là gì 7
1.1.2 Đặc trưng cơ bản của tư duy 7
1.2 Tư duy tích cực, tư duy sáng tạo và mối quan hệ giữa chúng 8
1.2.1 Tư duy tích cực là gì 8
1.2.2 Tư duy sáng tạo là gì 8
1.2.3 Mối quan hệ giữa tư duy tích cực và tư duy sáng tạo 9
1.3 Một số biện pháp bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 10
1.4 Dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động,
sáng tạo cho học sinh 10
2
1.5 Tiềm năng phát huy tính tích cực, sáng tạo thông qua
dạy bài tập khoảng cách 13
CHƯƠNG II PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC TƯ DUY SÁNG
TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP
KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 16
2.1 Đặc điểm của bài tập khoảng cách trong hình học phổ thông 16
2.2 Một số khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải bài tập
khoảng cách trong không gian 17
2.3 Phương pháp chung để giải một bài toán 18
2.4 Xây dựng và sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ
thống để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh 23
2.4.1 Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian 23
2.4.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 26

2.4.3 Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau 56
KẾT LUẬN 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO 62
3
MỞ ĐẦU
I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Sự phát triển của khoa học công nghệ trong thời đại ngày nay và những
thành tựu mới về phát triển kinh tế - xã hội đã đặt ra yêu cầu cần phải tiếp tục
xem xét mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học. Vì vậy hiện nay Bộ GD và
ĐT có quy định: “Phương pháp GD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, tự say mê học tập
và ý chí vươn lên (luật GD năm 1998)”.
Đồng hành cùng sự phát triển của xã hội và thực hiện theo mục tiêu mà Bộ
GD đề ra, ở nhà trường cũng đã nhanh chóng từng bước đổi mới phương pháp
dạy và học hướng tới đào tạo thế hệ học sinh thành những con người lao động
tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu thế phát triển của toàn cầu hóa.
Mục tiêu đó chủ yếu được thực hiện thông qua hoạt động giáo dục và giảng
dạy ở nhà trường phổ thông.
Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là
hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo đồng thời rèn
4
luyện trí tuệ. Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạy học. Chủ đề khoảng
cách trong không gian được trình bày cụ thể và chú trọng, tuy nhiên bài tập về
vấn đề này đã gây ra không ít khó khăn, vướng mắc cho những người học
toán.
Trí tưởng tượng không gian, khả năng vẽ hình biểu diễn, biết liên hệ, xâu
chuỗi kiến thức sẽ góp phần quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài
tập hình học. Nhưng một bài toán về khoảng cách còn đòi hỏi có sự nhạy cảm,
linh hoạt để xác định và đi đến lời giải cụ thể. Đó là tiềm năng lớn để phát

triển trí tuệ cho học sinh khi giải các bài toán về khoảng cách.
Với học sinh việc giải bài tập về khoảng cách đã mất nhiều thời gian thì
với giáo viên việc phát triển tư duy, sáng tạo thông qua các bài tập đó lại càng
mất nhiều thời gian và công sức hơn. Chính những khó khăn đó đã cản trở đến
quá trình truyền thụ kiến thức và phát triển trí tuệ cho hoc sinh trong hoạt
động giảng dạy.
Thiết nghĩ, nếu sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống thì sẽ giúp
học sinh tự tin hơn khi giải bài tập hình học không gian, đồng thời tạo điều
kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em.
Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo
cho học sinh thông qua dạy bài tập khoảng cách trong không gian”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .
5
Xây dựng, sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống, thông qua đó để
phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh .
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
+Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy tích cực, tư duy sáng tạo.
+Xây dựng và định hướng khai thác hệ thống bài tập tìm khoảng cách.
+Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của đề tài.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận
+ Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm
V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
MỞ ĐẦU
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1 Tư duy và đặc trưng cơ bản của tư duy.
1.2 Tư duy tích cực, tư duy sáng tạo và mối quan hệ giữa chúng
1.3 Một số biện pháp bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.4 Dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo cho học

sinh
6
1.5 Tiềm năng phát huy tính tích cực, sáng tạo cho học sinh thông qua dạy bài
tập khoảng cách.
CHƯƠNG II: PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH.
2.1 Đặc điểm bài tập khoảng cách trong hình học phổ thông .
2.2 Một số khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải bài tập khoảng cách
trong không gian .
2.3 Phương pháp chung để giải một bài toán
2.4 Xây dựng và sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống để phát huy
tính tích cực, sáng tạo cho học sinh.
2.4.1 Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian
2.4.1 Khoảng từ một điểm đến một mặt phẳng .
2.2.4 Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

7
CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1 TƯ DUY VÀ ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA TƯ DUY .
1.1.1 Tư duy là gì?
Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan trong các khả năng, phán đoán, lý luận …Tư duy xuất hiện trong quá
trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách
gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại”.
1.1.2 Đặc trưng cơ bản của tư duy
+Tính có vấn đề của tư duy

+Tính khái quát của tư duy
+Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: ngôn ngữ được
xem là phương tiện của tư duy, trong sự diễn biến của quá trình tư duy nhờ sự
tham gia của hệ thống tín hiệu thứ hai(ngôn ngữ)mà con người tiến hành các
8
thao tác tư duy, cuối cùng sản phẩm của quá trình tư duy là những khái niệm,
phán đoán, suy lý được biểu đạt bằng từ, ngữ, câu…
+Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy và nhận thức
cảm tính thuộc 2 mức độ nhận thức khác nhau nhưng không tách rời nhau, có
quan hệ chặt chẽ bổ sung cho nhau, chi phối lẫn nhau trong hoạt động nhận
thức thống nhất và biện chứng.
Tư duy toán học được hiểu thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện
chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học, toán học hay trong quá
trình áp dụng toán học vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinh tế quốc
dân…Thứ hai tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản
chất của toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các
hiện tượng của thế giới hiện thực cũng như chính các phương thức chung của
tư duy mà nó sử dụng.
1.2 TƯ DUY TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO VÀ MỐI QUAN HỆ
GIỮA CHÚNG .
1.2.1 Tư duy tích cực là gì?
Là loại tư duy dựa vào tính tích cực nhận thức của học sinh trong quá
trình học tập. Tính tích cực là trạng thái hoạt động của học sinh đặc trưng bởi
khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững
kiến thức(theo Kharlanop)
9
Theo Shukina GL tính tích cực có thể phân thành 3 loại: Tính tích cực tái hiện
bắt chước, tính tích cực tìm tòi và tính tích cực sáng tạo.
1.2.2 Tư duy sáng tạo là gì?
Sáng tạo được hiểu theo từ điển Việt Nam là làm ra cái mới chưa ai làm

hoặc là tìm tòi làm tốt hơn một việc gì đó mà không bị gò bó.
Tư duy sáng tạo là quá trình tìm cách nhận thức, phát hiện ra quy luật của sự
vật, có ý thức luôn tìm ra cái mới để hiểu hơn bản chất của sự vật hiện tượng
cũng như tìm ra nguyên nhân, ngăn chặn, loại bỏ những cái xấu và phát triển
cái tốt.
Như vậy tư duy sáng tạo là thuộc tính bản chất của con người để tồn tại và
phát triển những điều tốt đẹp, trong các loại hình tư duy nhằm phản ánh hiện
thực thì tư duy sáng tạo là loại hình tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo
và hiệu quả, phát hiện ra nội dung mới, tìm ra hướng đi mới và tạo ra kết quả
mới.
1.2.3 Mối quan hệ giữa tư duy tích cực và tư duy sáng tạo
Bàn về mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy sáng tạo
thì VAKrutexki cho rằng có thể biểu diễn dưới dạng những đường tròn đồng
tâm. Đó là các mức độ tư duy khác nhau mà tư duy tích cực có vai trò là tiền
đề. Quá trình từ tư duy tích cực đến tư duy sáng tạo thông qua tư duy độc lập.
Như vậy trong tư duy sáng tạo luôn có tư duy tích cực và tư duy độc lập.
10
Ví dụ như khi 1 học sinh chăm chú theo dõi việc giải bài tập và cố gắng
hiểu được các bước giải thì ta nói đây là tư duy tích cực, tư duy độc lập thể
hiện ở việc học sinh tự mình phát hiện ra vấn đề tự mình xác định phương
hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt
được. Trên các kết quả đó học sinh tự khám phá tìm ra cách chứng minh, lời
giải mà nó chưa biết thì đây là tư duy sáng tạo.
1.3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH .
Theo các tác giả Isen và Barron việc bồi dưỡng trí sáng tạo cần:
1. Phát triển một cái nền phong phú rộng rải
2. Bồi dưỡng tính độc lập
3. Khuyến khích sự tò mò ham hiểu biết.
Theo tác giả Trần Thúc Trình, trong cuốn “tư duy và hoạt động toán” đã

nêu ra các biện pháp sau để phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh:
1. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp hữu cơ với các hoạt
động trí tuệ khác.
2. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc bồi
dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới.
11
3. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo và trang bị cho
học sinh phương tiện, thủ pháp các hoạt động nhận thức.
4. Qúa trình bồi dưỡng tư duy sáng tạo là quá trình lâu dài, cần tiến hành qua
các lớp trong tất cả các khâu của quá trình dạy học.
5. Vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các giờ lên
lớp.
1.4 DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, CHỦ
ĐỘNG, SÁNG TẠO CHO HỌC SINH .
Trong thời đại khoa học bùng nổ thông tin như hiện nay, khi một đĩa
CDROM có thể lưu giữ thông tin của 100 đến 500 cuốn sách giá chưa đầy 10
ngàn đồng; khi các đĩa vi tính đang thay thế cho hàng nghìn hàng vạn hàng
triệu cuốn sách một cách gọn gàng và thuận lợi vô cùng; khi công nghệ thông
tin cho phép người học có thể học ở mọi nơi, mọi lứa tuổi thì ở nhà trường
cũng phải sớm phấn đấu thực sự có phương pháp dạy học thích hợp, phát huy
được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học.
Sự phát triển của khoa học công nghệ trong thời đại ngày nay và những
thành tựu mới về phát triển kinh tế-xã hội đã đạt ra yêu cầu cần phải tiếp tục
xem xét mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học.
Lâu nay các phương pháp dạy học dường như vẫn chủ yếu tập trung vào
giáo viên, các phương pháp dạy học tích cực tập trung vào học sinh mang tính
12
hình thức, thiếu đồng bộ và mang tính hiệu quả. Vì lẽ đó trong những xu
hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT hiện nay, vấn đề đổi mới
phương pháp dạy học theo hướng phát huy cao độ tính tích cực, chủ động,

sáng tạo của học sinh rất có ý nghĩa cả về mặt lí luận lẫn thực tiễn.
Tính tích cực của học sinh trong quá trình học tập là yếu tố cơ bản, có
tính quyết định đến chất lượng và hiệu quả học tập. Mục tiêu của mọi sự đổi
mới phương pháp dạy học, xét đến cùng phải hướng tới việc phát huy tính tích
cực nhận thức của học sinh. Vấn đề cốt lõi là đặt học sinh vào vị trí trung tâm
của quá trình dạy học. Trong quá trình dạy học người thầy biết sử dụng phối
hợp các phương pháp dạy học một cách hiệu quả nhằm phát huy cao độ vai trò
nội lực của học sinh. Phương pháp dạy học nêu vấn đề, phương pháp thực
hành, phương pháp làm việc theo nhóm, phương pháp tình huống nếu được
chuẩn bị tốt sẽ thực sự kích thích tính chủ động tích cực của học sinh.
Ngày nay trong quá trình dạy học, người ta nhấn mạnh vai trò của học
sinh trong nỗ lực tạo ra sự chuyển biến từ học tập thụ động sang học tập tích
cực, chủ động và sáng tạo. Nếu học sinh chủ động học tập thì sẽ khơi dậy
được tiềm năng vốn có của nó, làm cho kết quả học tập được nâng cao không
ngừng, đồng thời giúp học sinh sớm thích ứng với đời sống cộng đồng. Theo
hướng đó cần phải thiết kế hoạt động dạy có tính đến những quy luật của hoạt
động học trên quan điểm dạy và học là hai mặt thống nhất biện chứng trong
quá trình dạy học. Hoạt động dạy và học đan xen, thâm nhập vào nhau, quy
13
định lẫn nhau. Sự tác động qua lại giữa hoạt động dạy và hoạt động học chính
là hoạt động cùng nhau, hoạt động hợp tác giữa người dạy và người học.
Muốn đổi mới phương pháp dạy học để phát huy tính tích cực chủ động
sáng tạo của học sinh cần phải:
- Tạo ra môi trường tâm lí thuận lợi, thoải mái nhất cho học sinh trong quá
trình học. Sự căng thẳng, gò bó sẽ làm hạn chế khả năng tiếp nhận và chuyển
hoá thông tin. Muốn vậy giờ học cần có một sự khởi đầu tốt, tạo tâm thế cho
học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Sự phong phú về phương pháp, phương
tiện và hình thức dạy học sẽ tránh mệt mỏi, nhàm chán ở học sinh.
- Giúp học sinh hiểu và có thủ thuật ghi nhớ chắc chắn những kiến thức,
khái niệm khoa học Trực quan hóa tài liệu học tập, sử dụng mô hình, biểu

bảng cùng với việc gắn nội dung dạy học với thực tiễn sinh động sẽ làm cho
học sinh dễ hiểu hơn, dễ nhớ và nhớ lâu hơn.
- Giúp học sinh phát triển khả năng tư duy độc lập, chủ động tìm tòi và sáng
tạo. Muốn vậy phải biết dẫn dắt học sinh vào các tình huống có vấn đề. Tính
có vấn đề trong dạy học được thực hiện có hiệu quả bằng phương pháp dạy
học nêu vấn đề.
Lẽ thường nghệ thuật khai thác hợp lí hệ thống câu hỏi phát vấn của giáo
viên sẽ góp phần tạo nên những giờ giảng hấp dẫn, sinh động. Hệ thống câu
hỏi trong từng bài giảng phải luôn luôn thay đổi, biến hoá, tránh lặp lại, đơn
14
điệu. Những câu hỏi rập khuôn, sáo mòn sẽ kìm hãm sự phát triển trí tuệ,
những câu hỏi gợi mở thông minh, sáng tạo sẽ kích thích được khả năng và độ
sâu tư duy của học sinh. Vấn đề là phải biết dẫn dắt người học vào những tình
huống có vấn đề trong day học, biết đánh thức những tiềm năng sáng tạo, kích
thích nhu cầu, hứng thú học tập của học sinh, là phải biết truyền đạt có kết quả
cái mà học sinh cần lĩnh hội, vừa biết dạy học sinh cách học và cao hơn là tự
học.
1.5 TIỀM NĂNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN .
Hình học phổ thông đã trình bày “khoảng cách” trong hình học phẳng
và hình học không gian, giữa chúng có mối quan hệ mật thiết với nhau. Hình
học không gian ngoài hai đối tượng cơ bản là điểm và đường thẳng (như hình
học phẳng) còn có mặt phẳng. Do đó hình học không gian có thêm nhiều mối
quan hệ giữa điểm đường thẳng, điểm với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt
phẳng. Vì vậy muốn giải quyết các bài tập khoảng cách đòi hỏi học sinh phải
có khả năng tưởng tượng không gian, khả năng vẽ hình biểu diễn và biết xâu
chuỗi liên hệ các kiến thức lại với nhau. Quan trọng không kém nữa là khả
năng biết vẽ thêm các đường, chọn điểm đặc biệt sao cho phù hợp, thuận lợi
trong từng bài tập. Đó là lí do vì sao bài tập “khoảng cách” chứa đựng tiềm

năng lớn trong việc phát huy tính tích cực tư duy sáng tạo cho học sinh.
15
Dạy bài tập “khoảng cách trong không gian” giúp học sinh:
+ Rèn luyện các thao tác vẽ hình biểu diễn, trí tưởng tượng không gian, mở
đầu cho các ý tưởng vẽ thêm các đường, chọn điểm - một yếu tố quyết định
tạo ra lời giải độc đáo cho bài toán.
+ Có khả năng sáng tạo các bài toán tương tự và giải quyết các bài toán đó
nhanh chóng.
+ Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy.
+ Có khả năng vẽ hình tốt hơn tạo nên hứng thú học không gian từ đó tích cực
hoạt động giải bài tập. Đó là tiền đề cho sự phát triển tư duy sáng tạo của học
sinh.
+ Có khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa…các yếu tố trên hình vẽ,
giả thiết bài toán.
16
CHƯƠNG II
PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC
SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH TRONG
KHÔNG GIAN.
2.1 ĐẶC ĐIỂM CỦA BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG
GIAN .
Đặc điểm của hình học không gian là môn học trừu tượng, là bộ môn
toán học nghiên cứu các tính chất của các hình trong không gian. Chủ đề quan
trọng được đề cập một cách chi tiết là khoảng cách. Cụ thể là khoảng cách từ
một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm dến một mặt phẳng,
khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Vì vậy bài tập khoảng cách trong không gian rất đa dạng và phong phú
Khoảng cách trong hình học không gian cũng mang tính trừu tượng
nhưng khi nói đến một khái niệm nào đó về khoảng cách thì ta đều có những

hình ảnh cụ thể của nó trong thực tế. Ví dụ như khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng ta có thể hình dung rằng độ dài đoạn tính từ điểm thả viên
phấn rơi đến điểm nó chạm sàn nhà là khoảng cách từ điểm (thả viên phấn)
đến một mặt phẳng (sàn nhà).
17
Từ đặc điểm này ta thấy rằng các kiến thức về khoảng cách mặc dù trừu
tượng nhưng không xa lạ mà ngược lại rất gần gủi với thực tế. Thông qua việc
liên tưởng các hình ảnh cụ thể trong thực tế học sinh sẽ phát huy được trí
tưởng tượng không gian, tức là ta đưa học sinh đi từ trực quan sinh động đến
tư duy trừu tượng. Đó là cơ sở để xác định, giải quyết các bài toán về tìm
khoảng cách.
2.2 MỘT SỐ KHÓ KHĂN HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI
TẬP KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN .
Hình học không gian là sự nối tiếp của hình học phẳng, khoảng cách trong
không gian cũng nằm trong cái chung đó. Do vậy, trước khi học khoảng cách
trong không gian ta phải nắm vững các khái niệm, định lí liên quan với nó
trong hình học phẳng. Đối với những học sinh yếu về hình học phẳng thì sẽ
gặp khó khăn khi giải các bài tập về khoảng cách trong không gian.
Một vấn đề hết sức quan trọng trong việc giải bài tập khoảng cách là học
sinh phải biết vẽ các hình biểu diễn, xác định hình chiếu của một điểm lên một
đường thẳng, hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng…Đây là vấn đề gây
ra nhiều khó khăn cho hoc sinh.
Khoảng cách trong không gian và trong hình học phẳng có mối liên hệ
khăng khít nhau. Ví dụ như khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,
khoảng cách giữa hai đường thẳng song song vẫn được giữ nguyên khi chuyển
sang hình học không gian. Tuy nhiên có nhiều tính chất, khái niệm mở rộng
18
trong không gian như khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo
nhau làm học sinh rất khó hình dung và gặp khó khăn trong việc xác định và

tính toán.
Khoảng cách là một chủ đề gây ra nhiều khó khăn cho việc tiếp thu của
học sinh cũng như truyền thụ của giáo viên. Tuy nhiên nếu ta biết sắp xếp, xâu
chuỗi các kiến thức để phát huy tính tích cực của học sinh, tạo được hứng thú
cho học sinh khi giải quyết các bài toán về khoảng cách thì tình trạng trên sẽ
được khắc phục một cách đáng kể.
2.3 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT BÀI TẬP TOÁN.
Ta đã biết dạy toán là dạy hoạt động toán học, trong đó giải toán là hoạt động
chủ yếu. Giải toán giúp học sinh nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng kỹ
xảo, phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo.
Nghiên cứu hoạt động của sự phát triển trí tuệ con người, người ta đã rút ra
nhận xét : “Có hai phạm trù khác nhau của ý nghĩ:
Phạm trù thứ nhất bao gồm những cái do chúng ta sản sinh ra một cách tích
cực bằng hành vi, tư duy, bằng sự suy ngẫm.
Phạm trù thứ hai gồm những cái tự phát lóe lên trong ý thức của chúng ta”.
Vì vậy việc giải toán nói chung, dạy bài tập tìm khoảng cách nói riêng đều
phải cung cấp hệ thống tri thức, những kỹ năng giải bài tập từ đó kích thích
19
hoạt động tích cực của học sinh. Đồng thời thông qua hoạt động hướng dẫn
làm lóe lên những ý tưởng mới khi giải toán, đó là cơ sở để học sinh có được
những phát kiến mới, nói cách khác tư duy sáng tạo của học sinh có điều kiện
phát triển lên cao.
Theo “sáng tạo toán học” của PÔLIA(1975) phương pháp chung để giải
một bài tập toán gồm 4 bước như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Bước 2: Tìm cách giải
Bước 3: Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
Ta có thể xét ví dụ cụ thể sau:
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong một tam

giác đều tới 3 cạnh của tam giác đó là một hằng số.
Ta sẽ giải quyết bài toán theo từng bước cụ thể
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
K
I
H
I'
A
B
C
M
20
Để hiểu được nội dung đề bài ta sẽ phát biểu bài toán một cách cụ thể: “Cho
tam giác đều ABC, gọi M là 1 điểm nằm trong tam giác đó. Hình chiếu vuông
góc của M lên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là H, I, K. Chứng minh rằng
MH + MI + MK không đổi khi M di chuyển trong tam giác ABC”.
Bước 2: Tìm cách giải
Việc giải bài toán sẽ dễ hơn nếu ta xác định được hằng số MH + MI + MK.
Muốn vậy, ta có thể đặc biệt hóa bằng cách lấy M trùng điểm A, I tới vị trí I’.
Khi đó:
MH + MI + MK = 0 + AI’ + 0 = AI’
Như vậy hằng số cần tìm là độ dài đường cao h của tam giác đều ABC. Ta
đưa về bài toán chứng minh : MH + MI + MK = h.
Để chứng minh tổng MH + MI + MK = h ta nghĩ tới sắp đặt 3 đoạn thẳng này
liên tiếp trên 1 đường thẳng nào đó để tạo thành 1 đoạn thẳng có độ dài h,
nhưng điều này khó thực hiện khi M di chuyển trong tam giác ABC. Hướng
khác có thể biểu thị h qua những đại lượng không đổi khác như S(diện tích),
cạnh của tam giác đều,…Ta nghĩ đến biểu thức:
ABCMCAMBCMAB
SSSS

∆∆∆∆
=++
Hay
haMKaMIaMHa .
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
=++
21
⇔
haMKMIMHa .
2
1
).(
2
1
=++

Do đó MH + MI + MK = h (*)
Để kiểm tra lời giải trước hết ta thử M ở vị trí khác chẳng hạn M là giao điểm
của 3 đường cao thì đẳng thức (*) có đúng không?
Do MH = MI = MK =

h
3
1
nên ta có (*) đúng.
Bước 3: Trình bày lời giải
Gọi M là điểm bất kì trong tam giác đều ABC, hình chiếu của M lên AB, BC,
CA lần lượt là H, I, K. Cạnh và đường cao của tam giác đó lần lượt là a và h.
Ta có:
ABCMCAMBCMAB
SSSS
∆∆∆∆
=++
Hay
haMKaMIaMHa .
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
=++

⇔
haMKMIMHa .
2

1
).(
2
1
=++

Do đó MH + MI + MK = h
Đẳng thức này chứng tỏ tổng MH + MI + MK không đổi khi M di chuyển
trong tam giác ABC.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
22
Từ bài toán này ta có thể phát biểu và giải những bài toán khái quát hoặc mở
rộng sau đây:
1. Mở rộng bài toán ra trường hợp đa giác đều: “ Chứng minh rằng tổng các
khoảng cách từ 1 điểm bất kì trong 1 đa giác đều tới các cạnh của đa giác đó
là hằng số”.
2. Mở rộng bài toán cho trường hợp tứ diện đều: “Chứng minh rằng tổng các
khoảng cách từ 1 điểm bất kì nằm trong tứ diện đều tới các mặt của tứ diện đó
là 1 hằng số”.
Như vậy quá trình học sinh học phương pháp chung để giải toán là một
quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải
toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt các bài toán cụ thể. Từ
phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể, áp dụng vào
từng trường hợp nhất định là cả một chặng đường đòi hỏi phải có lao động
tích cực của người học sinh trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo. Theo PÔLIA
thì “tìm được cách giải một bài toán là một phát minh”.
Chủ đề “khoảng cách không gian” chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn
trong việc phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh giúp
các em giải quyết các bài toán cơ bản về khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, hai

mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì người
giáo viên cần xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở những bài tập cơ bản,
23
tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình. Phục vụ mục
đích đó, khóa luận đưa ra một số bài tập về tính khoảng cách nhằm phát triển
tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh.
2.4 XÂY DỰNG VÀ SẮP XẾP CÁC BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH CÓ
TÍNH HỆ THỐNG ĐỂ PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO
CHO HOC SINH.
2.4.1 Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian.
+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng(α). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt
phẳng (α). Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm O và H được gọi là khoảng cách
từ điểm O đến mp(α).
+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
α
O
H
a
α
A'
O
H
A
24
Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α), khoảng cách
giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a
đến mp(α).
+ Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa
Đường vuông góc chung : Đường thẳng ∆ cắt 2
đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗi
đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung
của 2 đường thẳng a và b.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
a
b
∆
M
N
β
α
A
A '
a
b
β
α
M
N
25
Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt 2 đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt
tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa 2 đường thẳng
chéo nhau a và b.
Nhận xét.
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo

nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai
đường thẳng đó và mặt phẳng song song
với nó chứa đường thẳng còn lại.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Qua các định nghĩa và nhận xét vừa nêu ta rút ra kết luận: Bài toán tìm
khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song
song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đều đưa về bài toán tìm
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Nếu muốn làm tốt các bài tập
về khoảng cách khác thì trước tiên và trọng điểm là giúp học sinh giải quyết
các bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trên ý tưởng
này khoá luận đi sâu vào xây dựng hệ thống các bài toán tìm khoảng cách từ
a'
b
a
α
N
M