Đề HSG Toán 10 THPT-DTNT Con Cuông

Sở GD&ĐT Nghệ An
Trường THPT.DTNT Con Cuông
Đề thi học sinh giỏi môn Toán - Khối 10
Thời gian làm bài: 180 phút
Năm học 2009-2010
Câu 1: (2 điểm)
Chứng minh với hai số dương x, y thoả mãn xy ≤ 1
Thì:
1 1 2
1 1
1
x y
xy
+ ≤
+ +
+
. Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào?
Câu 2: (4 điểm)
Cho
4 4
sin os 1
b
c
a a b
α α
+ =
+
Chứng minh rằng:
8 8
3 3 3
sin os 1

b ( )
c
a a b
α α
+ =
+
Câu 3: (2 điểm)
Cho tam giác ABC. Biết trung tuyến BM =
3
2
m
, trung tuyến BN =
3
2
n
,
trung tuyến CP =
3
2
t
(với m, n, t>0). Tìm diện tích tam giác ABC theo m, n, t.
Câu 4: (2 điểm)
Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức
4 4 4
a b c= +
. Chứng
minh tam giác ABC có 3 góc nhọn.
Câu 5: (2 điểm)
Cho đường tròn (C) có phương trình:
2 2

3 3 6 12 12 0x y x y+ − − − =
. Một đường
thẳng ∆ đi qua A(2,3) cắt đường tròn (C) tại M và N. Hãy viết phương trình đường thẳng
∆ sao cho đoạn MN ngắn nhất.
Câu 6: (2 điểm)
Giải bất phương trình sau:
3 2
2
3 3 3 9
0
(2 8 )(3 2 5)
x x x
x x x
+ + −
≥
− − −
Câu 7: (6 điểm)
Giải các phương trình sau:
1)
4 4 4
8 1 3 9 1x x x− = − +
2) xy -
2 2
( 1)x y− − +
= (x+1)(y+1)
Hết
Ghi chú:
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
- Thang điểm: 20 điểm