Thi học kì II Toán 10-Đề 2(Đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK KÌ THI HẾT HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008-2009
TRƯỜNG THPT TRẦN QUANG KHẢI
MÔN THI : TOÁN KHỐI 10
THỜI GIAN : 90 phút ( không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1: (2 đ) Giải các bất phương trình sau:
a.
1 3
0
2 1x x
− ≥
− −
b.
2
( 3 1) 3x x+ − −
0
≤
Câu 2: (1,5 đ) Cho 100 học sinh làm bài kiểm tra môn Toán. Kết quả được cho trong bảng sau:
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tần số 2 1 1 3 5 8 13 20 27 20
Tìm số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn
Câu 3: (1,5 đ)
a) Tính A = tan(
α
+
4
π
), biết sin
α
=
1

2
với
0
2
π
α
< <
b) Rút gọn biểu thức
2
1 2sin
cosx sinx
x
A
−
=
−
Câu 4: (2 đ) Cho
ABC∆
có góc A = 60
0
, AC = 5cm, AB = 8cm. Tính?
a. Độ dài cạnh BC
b. Diện tích của
ABC
∆
c. Độ dài đường trung tuyến
b
m
d. Khoảng cách từ điểm A đến BC
Câu 5: (2 đ) Cho đường thẳng

d
: 2x – y +10 = 0 và điểm M(1; – 3)
a. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
d
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng
d
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C):
( ) ( )
2 2
2 3 9x y− + − =
biết rằng tiếp tuyến đó
song song với đường thẳng
d
Câu 6: (1 đ) Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
os os os 1 4.sin .sin .sin
2 2 2
A B C
c A c B c C+ + − =
HẾT
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên: Số báo danh
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM TOÁN 10 (BUỔI CHIỀU)
Câu Nội dung Điểm
1a
1 3
0
2 1x x
− ≥
− −
(1)

(1)
2 5
0
( 2)( 1)
x
x x
− +
⇔ ≥
− −
; Đặt f(x) =
2 5
( 2)( 1)
x
x x
− +
− −
Bảng xét dấu f(x)
x
−∞
1 2
5
2

+∞
–2x + 5 + | + | + 0 –
x – 2 – | – 0 + | +
x – 1 – 0 + | + | +
f(x) + || – || + 0 –
Vậy nghiệm của (1) là
5

( – ; 1) (2; ]
2
S = ∞ ∪
0,25
0,25
×
2
0,25
1b
2
( 3 1) 3x x+ − −
0≤
(2)
Đặt f(x) =
2
( 3 1) 3x x+ − −
; f(x) = 0
1
3
x
x
=

⇔

= −

Bảng xét dấu f(x)
x

−∞
1
3−

+∞
f(x) + 0 – 0 +
Vậy nghiệm của (2) là:
[1; 3]S = −
0,25
0,25
×
2
0,25
2
Số trung bình:
0.2 1.1 2.1 3.3 4.5 5.8 6.13 7.20 8.27 9.20
100
x
+ + + + + + + + +
=
= 6,86
Số trung vị: Vì số phần tử của dãy là số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của 2 số đứng
ở vị trí giữa dãy (vị trí
100
2
và
100
2
+1)
7 7

7
2
e
M
+
⇒ = =
Mốt: Điểm 8 có tần số lớn nhất là 27
0
8M⇒ =
Phương sai:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2.(0 6,86) 1.(1 6,86) 1.(2 6,86) 3(3 6,86) 5(4 6,86) 8(5 6,86) 13(6 6,86) 20(7 6,86) 27(8 6,86) 20(9 6,86)
100
x
S
− + − + − + − + − + − + − + − + − + −
=
2
x
S ≈
4,02
Độ lệch chuẩn
2
x x
S S=
≈
2
0,25
0,25

0,25
0,25
×
2
0,25
3a
Ta có:
2 2
os 1 sinc
α α
= −
=
1 3
1
4 4
− =
3
os
2
c
α
⇒ = ±
, vì
0
2
π
α
< <
nên
cos 0

α
>
. Vậy
3
os
2
c
α
=
⇒
sin 3
tan
os 3c
α
α
α
= =
tan 1
tan( )
4 1 tan
A
π α
α
α
+
= + =
−
thay
3
tan

3
α
=
ta được:
3
1
3

3
1
3
A
+
=
−
=
3 3
3 3
+
−
0,25
0,25
0,25
×
2
3b
2
1 2sin

cosx sinx

x
A
−
=
−
=
2 2 2
sin os 2sin
cosx sinx
x c x x+ −
−
=
2 2
os sin
cosx sinx
c x x−
−
=
( os sin )( osx + sinx)
cosx sin x
c x x c−
−
=
osx + sinxc
0,25
0,25
4a
2 2 2 0
2 . os60a b c bc c= + −
=

2 2
1
5 8 2.5.8.
2
+ −
= 49
49 7BC a⇒ = = =
(cm)
0,25
0,25
4b
1
. . .sin
2
ABC
S b c A
∆
=
=
1 3
.5.8.
2 2
=
10 3
(cm
2
)
0,25
×
2

4c
2 2 2
2
2( )
4
b
a c b
m
+ −
=
=
2 2 2
2(7 8 ) 5
4
+ −
= 50,25
50,25 7,09
b
m⇒ = ≈
(cm)
0,25
×
2
4d
Khoảng cách từ A đến BC bằng
a
h
2
2.10 3
7

ABC
a
S
h
a
∆
= = ≈
4,95 (cm)
0,25
0,25
5a
( )
2 2
2.( 1) 3 10
,
2 ( 1)
d M d
− − +
=
+ −
=
5
0,25
×
2
5b Gọi
∆
là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d.
Ta có
d

: 2x – y +10 = 0
(2; 1)
d
n⇒ = −
uur
Vì
d∆ ⊥
nên
∆
có VTCP
u
∆
uur
=
(2; 1)
d
n = −
uur
Phương trình tham số của
∆
:
1 2
3
x t
y t
= +


= − −


0,25
0,25
5c
Ta có (C):
( ) ( )
2 2
2 3 9x y− + − =
⇒
tâm I (2; 3); bán kính R = 3
Gọi
l
là tiếp tuyến của đường tròn, vì
//l d
nên
l
có dạng: 2x – y + m = 0
l
tiếp xúc với (C)
(I, )d l R⇒ =

⇔
2 2
2.2 3
3
2 ( 1)
m− +
=
+ −
1 3 5m⇔ + =

3 5 1
3 5 1
m
m

= −
⇔

= − −


Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài:
1
2
: 2 3 5 1 0
: 2 3 5 1 0
l x y
l x y
− + − =
− − − =
0,25
0,25
0,25
0,25
6
Trong tam giác ABC ta có:
A B C
π
+ + =
2 2 2

A B C
π
+
⇒ = −

⇒

cos sin
2 2
A B C+
 
=
 ÷
 

VT =
os os os 1c A c B c C
+ + −
=
2cos . os
2 2
A B A B
c
+ −
   
 ÷  ÷
   

2
2sin

2
C
−
=
2sin os cos
2 2 2
C A B A B
c
 − + 
   
−
 ÷  ÷
 
   
 
=
2sin ( 2)sin .sin
2 2 2
C A B 
 
− −
 ÷
 
 
 
=
4.sin .sin .sin
2 2 2
A B C
= VP (đpcm)

0,25
0,25
×
2
0,25
HƯỚNG DẪN CHẤM
1/ Nếu học sinh có cách giải khác đáp án mà vẫn đúng và phù hợp với nội dung chương trình thì giám
khảo vẫn cho đủ điểm từng phần quy định.
2/ Điểm của bài kiểm tra là tổng điểm của toàn bài và làm tròn đến 0,5. (Ví dụ: 6,25 làm tròn thành 6,5;
6,75 làm tròn thành 7,0)