Sáng kiến kinh nghiệm về giải toán CASIO FX-500MS

Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
Chuyên đề:
giảI toán trên máy tính CASIO FX-500MS - 570MS
để tìm ớc chunh lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
A- Đặt vấn đề.
Nh chúng ta đã biết, toán học là bộ môn khoa học đặc biệt quan
trọng trong chơng trình giáo dục phổ thông cũng nh trong các chơng
trình giáo dục khác. Đây là môn học đợc coi là nền tảng cho các môn
học tự nhiên giúp cho học sinh có đợc những vốn kiến thức về tự nhiên.
Nhà trờng THCS là cầu nối giữa bậc học tiểu học và trung học phổ
thông, chính vì vậy việc đặt nền móng, trang bị cho học sinh những
kiến thức sơ cấp phải thực sự chuẩn mựcvà vững chắc. Ngời giáo viên
phải biết dạy cái gì, dạy cho ai, dạy nh thế nào? Đặc biệt khi dạy cho
học sinh cách giải toán , rèn luyện kỹ năng giải toán, giáo viên cần phải
biết sáng tạo vận dung linh hoạt, không máy móc để giúp cho các em
có kỹ năng giải toán thật cơ bản, vững vàng , chính xác, khoa học.
Đặc biệt việc dạy và học toán có sự hỗ trợ của máy tính đã trở nên
rất phổ biến trên toàn thế giới. Đặc biệt là trong các tài liệu SGK của
các nớc có nền giáo dục tiên tiến luôn có thêm chuyên mục sử dụng
máy tính để giải toán.
ở nớc ta kể từ năm 2001 Bộ giáo dục và đào tạo ngoài việc đã tổ
chức các kỳ thi học sinh giỏi cấp khu vực "Giải toán trên máy tính
Casio" cho học sinh phổ thông, còn cho phép tất cả các học sinh đợc sử
dụng các loại máy tính: Casio FX -500A ; Casio FX - 500 MS ; Casio
FX - 570 MS trong các kỳ thi cấp quốc gia.
Thực tế đồ dùng dạy học môn toán rất đơn giản, không phức tạp
nh một số môn học khác. Giáo viên có thể tự làm đồ dùng dạy học, kết
hợp với các mô hình, các thiết bị đợc cấp để hỗ trợ cho bài giảng.
Trong quá trình phát triển của cả nớc nói chung và trờng THCS Mỵ
Hoà nói riêng tôi nhận thấy đối với thực trang học tập bộ môn toán nói
chung và việc giảI toán trên máy tính CASIO nói riêng còn nhiều yếu

kém và trên thực tế các em cha đợc làm quen nhiều với máy tính.
Trờng THCS Mị Hòa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
Với thực trạng nh vậy chúng tôI đã quyết định làm chuyên đè tự
chọn giảI toán trên máy tính CASIO FX-570MS cho học sinh lớp
6.Nhằm giúp các em ngay khi bớc vào cấp 2 đợc làm quenvới phơng
pháp mới ,hỗ trợ đắc lực cho quá trình học tập bộ môn toán,nâng cao
chất lợng hoc tập,hoà nhập chung với su thế phát triển của nớc ta và thế
giới.
Trong khuôn khổ thời lợng có hạn ở chuyên đề này.Chúng tôi chỉ
đề cập đến một mảng nhỏ giải toán casio cấp THCS . Đó là : giảI
toán trên máy tính casio-fx570ms để tìm ucln va
bội chung nhỏ nhất .Giúp các em học sinh lớp 6 bớc đầu làm
quen với máy tính và giải toán trên máy tính.
B- Nội dung.
I/ Sơ lợc về cách sử dụng máy tính Casio FX - 500 MS.
1. Tắt, mở máy.
Mở máy: ấn ON
Tắt máy: ấn SHIFT OFF
Xoá màn hình để thực hiện các phép tính khác ấn AC
Xoá ký tự cuối vừa ghi ấn DEL
Máy tự động tắt sau 6 giây không ấn phím.
2. Tính chất giành u tiên của máy.
- Máy thực hiện trớc các phép tính có u tiên.
VD: Phép nhân chia thì u tiên hơn phép cộng, trừ.
3. Mặt phím.
- Các phím chữ trắng và DT ấn trực tiếp.
- Các phím chữ vàng (chữ nhỏ bên trên) ấn sau SHIFT
- Các phím chữ đỏ ấn sau ALPHA hoặc SHIFT STO hay CLR
-Các phím chữ màu xanh dùng trong hệ đếm cơ số N ( BASE )

để vào ta ấn MODE MODE 1
4. Cách ấn phím.
- Chỉ ấn phím bằng đầu ngón tay một cách nhẹ nhàng mỗi lần một
phím.
Trờng THCS Mị Hòa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
- Nên ấn liên tục đến kết quả cuối cùng tránh việc chép kết quả
trung gian ra giấy rồi lại ghi vào máy vì việc đó có thể dẫn đến sai sót
lớn ở kết quả cuối
- Máy có ghi biểu thức tính ở dòng trên khi ấn ta nên nhìn để phát
hiện chỗ sai. Khi ấn sai thì dùng phím hay đa con trỏ đến chỗ
sai để sửa bằng cách ấn SHIFT IN hoặc DEL =
- Khi đã ấn = mà thấy biểu thức sai ( đa đến kết quả sai ) ta
dùng
hay đa con trỏ lên dùng biểu thức để sửa và ấn = đế tính
lại.
- Gọi kết quả cũ ấn AnS =
- Trớc khi tính toán phải ấn MODE 1 chọn COMP.
- Nếu thấy màn hình hiện các chữ Fix ; SCL thì ấn thêm MODE
MODE MODE MODE 3 và ấn thêm 1 (NORM 1) hoặc 2
(NORM 2)
- Nếu thấy có chữ M hiện lên thì ấn O SHIFT STO M
- Suốt chơng trình các lớp 6 - 7 - 8 - 9 khi tính toán cần để màn
hình hiện chữ D ( ấn MODE MODE MODE 1 )
- Muốn đa ,áy về trạng thái ban đầu của cài đặt MODE và xoá nhớ
thì ấn SHIFT CLR 3 ALL =
* Tính toán cơ bản.
- Phép tính thông thờng.
Vào COMP MODE ấn MODE 1 COMD
- Số âm tong phép tính phải đặt trong ngoặc, nếu số âm là số mũ thì

khỏi đặt trong ngoặc.
VD1: Tính 3 x (5 x 10
-9
) ấn 3 x 5 EXP (-) 9 = 1,5 x 10
-8
VD2: Tính 5 x (9 + 7) ấn 5 x ( 9 + 7 ) = 80
( có thể bỏ qua dấu ) trớc dấu =
* Sử dụng phím nhớ ( phép toán có nhớ)
+ Phím nhớ STO M A B C D E F X Y
* Nhớ kết quả.
Trờng THCS Mị Hòa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
- Mỗi khi ấn = thì giá trị vừa nhập hay kết quả của biểu thức đợc
tự động gán vào phím AnS
- Phím AnS cũngđợc gán kết quả ngay sau khi ấn SHIFT % ;
Mt , SHIFT N hay SHIFT STO và tiếp theo là một chữ cái.
- Gọi kết quả bằng phím AnS
- Phím AnS lu kết quả 12 chữ số chính và 2 chữ số mũ.
- Phím AnS không đợc gán khi phép tính có lỗi.
* Số nhớ độc lập.
- Một số có thể nhập vào số nhớ M, thêm vào số nhớ, bớt ra từ số
nhớ, số nhớ độc lập M trở thành tổng cuối cùng.
- Số nhớ độc lập đợc gán vào M.
- Xoá số nhớ độc lập M ấn O SHIFT STO M
VD: 23 + 9 = 32 ấn 23 + 9 SHIFT STO M
53 - 6 = 47 53 - 6 M
+
- 45 x 2 = 90 45 x 2 SHIFT M-
Tổng - 11 RCL M
* Biến nhớ: có 9 biến nhớ (A,B,C,D,E,F,X,Y) để dùng gán số liệu,

hằng kết quả và các giá trị khác.
VD: Muốn gán số 15 vào A ta ấn 15 SHIFT STO A
Muốn xoá giá trị đã nhớ của A ta ấn O SHIFT STO A
Muốn xoá tất cả các số thì ấn SHIFT CLR 1 =
1. DNG I:Tớnh toỏn c bn trờn dóy cỏc phộp tớnh cng
knh.
Kin thc b sung cn nh:
Cỏch chuyn i s thp phõn vụ hn tun hon sang phõn s.
Nhn xột:
Trờng THCS Mị Hòa
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ Dung

1
0,(1)
9
1
0,(01)
99
1
0,(001)
999
=
=
=
Ta có:
1 3 1
0,(3) 3.0,(1) 3.
9 9 3
= = = =
1 1 7

2,(3) 2 0,(3) 2 3.0,(1) 2 3. 2
9 3 3
= + = + = + = + =
[ ] [ ]
1 1 1 1 8
2,5(3) 25,(3) 25 0,(3) 25 2
10 10 10 3 15
 
= = + = + =
 
 
[ ] [ ]
53 53
2,(53) 2 0,(53) 2 0,(01).53 2 2
99 99
 
= + = + = + =
 
 
VD1: Tính giá trị của biểu thức. (Tính chính xác đến 0,000001)
a. A =
5
4
:)5,0.2,1(
17
2
2).
4
1
3

9
5
6(
7
4
:)
25
2
08,1(
25
1
64,0
)25,1.
5
4
(:8,0
+
−
−
+
−

(ĐS:
1
2
3
)
b. B =
1 1
7 90

2 3
0,3(4) 1,(62) :14 :
11 0,8(5) 11
+
+ −

(ĐS:
106
315
)
VD2: Tìm x. (Tính chính xác đến 0,0001)
a.
4 6 (2,3 5: 6,25).7 1
5 : :1,3 8,4. . 6 1
7 7 8.0,0125 6,9 14
x
 
+
 
+ − =
 
 
+
 
 
(x = -20,384)
Trêng THCS MÞ Hßa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
b.
1 3 1

4 :0,003 0,3 .1
1
2 20 2
: 62 17,81: 0,0137 1301
1 1 3 1
20
3 2,65 .4: 1,88 2 .
20 5 25 8
x



ữ ữ



+ =


+
ữ ữ




(x= 6)
Dang 1 Phân tích số a ra thừa số nguyên tố.
Phân tích :
Dựa trên định nghĩa của việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố
chúng ta thấy ngay rằng để thực hiện đợc nhanh yêu cầu này cần nắm

vững những kiến thức sau:
* Các số nguyên tố đầu tiên là: 2,3,5,7,11,13
Lu ý: Mọi số nguyên tố khác 2 và 3 đều có dạng 6n + 1 với n N
* Dấu hiệu chia hết cho 2,3,5 và 11, cụ thể:
Chia hết
cho
Dấu hiệu
2 Các số có tận cùng là số chẵn
3 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3
5 Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
11
Các số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng
của các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11

Phơng pháp
Thực hiện phép chia a lần lợt cho các số nguyên tố từ nhỏ tới lớn
cho tới khi thờng số là một số nguyên tố.
Chú ý: - Khi cần thiết chia a cho số nguyên tố k nhiều lần chúng
ta sử dụng liên tiếp dấu =
- Khi a không chia hết cho k xong lỡ ấn = thì ấn tiếp x k =
để nhận lại giá trị của a.
Ví dụ 1: Phân tích số 540 ra thừa số nguyên tố.
Giải : Tính thờng ta ấn MODE 1
Ta lần lợt thực hiện:
540 SHIFT STO M : 2 = 270 => chia tiếp đợc cho 2
Trờng THCS Mị Hòa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
= 135 => chia đợc cho 3
: 3 = 45 => chia tiếp đợc cho 3
= 15 => chia tiếp đợc cho3

= 5 => Đã là số nguyên tố
Vậy, ta đợc 540 = 2
2
x 3
3
x 5
?1 Phân tích số 2310 ra thừa số nguyên tố
Giải:
2310SHIFT STO M : 2 = 1155 =>không chia tiếp đợc cho 2
: 3 = 385 =>không chia hết cho 3
: 5 = 77 =>không chia tiếp đợc cho 5
: 7 = 11=>Đã là số nguyên tố .
Vậy, ta đợc 2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11.
Bài tập luyện tập: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố.
a. 350 b. 202521 c. 104500 d. 1028755
Dạng 2: Ước chung lớn nhất.
Phơng pháp
Chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, từ đó nhận đợc ớc
chung lớn nhất.
Cách 2: Sử dụng thuật toán Ơclit.
Ví dụ 2: Tìm ớc chung lớn nhất của 174 và 18.
Giải:
Ta có hai cách thực hiện sau.
Cách 1: Phân tích các số 174 và 18 ra thừa số nguyên tố nh sau:
18=2.3
2
(1)
174 SHIFT STO M : 2 = 87 =>không chia tiếp đợc cho 2
: 3 = 29 =>đã là số nguyên tố.

Vậy, ta đợc 174 = 2 x 3 x 29. (2)
Từ (1) và (2) suy ra ớc chung lớn nhất của 174 và 18 là 6
Cách 2: Sử dụng thuật toán Ơclit.
174 : 18 = 9.6666 =>thơng số nguyên bằng 9
Trờng THCS Mị Hòa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
- 9 = x 18 = 12 =>số d bằng 12
18 : 12 = 1.5 =>thơng số nguyên bằng 1
- 1 = x 12 = 6 =>số d bằng 6
12 : 6 = 0
Vậy, ớc chung lớn nhất của 174 và 18 là 6
?2 Tìm UCLN của 2340 và 135 .
GiảI : sử dụng thuật toán Ơclit .
2340 : 135 = 17,3333=>thơng số nguyên bằng 17
- 17 = x 135 = 45 =>số d bằng 45
135 : 45 = 3=>thơng số nguyên bằng 0
Vậy, ớc chung lớn nhất của 2340 và 135 là 45
Bài tập luyện tập: Tìm ớc chung lớn nhất của.
a. 124 và 16 c. 234 và 135
b. 275 và 85 d. 212 và 64
Dạng 3: Bội chung nhỏ nhất.
Phơng pháp
Chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, từ đó nhận đợc bội
chung nhỏ nhất.
Cách 2: Sử dụng kết quả ƯCLN (a,b). BCNN (a,b) = a.b.
Ví dụ 3: Tìm bội chung nhỏ nhất của 198 và 84.
Giải
Phân tích các số 198 và 84 ra thừa số nguyên tố nh sau:
198 SHIFT STO M : 2 = 99 =>không chia tiếp đợc cho 2

: 3 = 33
: 3 = 99 =>đã là số nguyên tố
Vậy ta đợc : 184=2.3
2
.11 (1)
84 SHIFT STO M : 2 = 42
= 21 =>không chia tiếp đợc cho 2
: 3 = 7 =>đã là số nguyên tố
vậy ta đợc: 84=2
2
.3.7 (2)
Trờng THCS Mị Hòa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
Khi đó, ta có hai cách:
Cách 1: Từ (1) và (2) suy ra bội chung nhỏ nhất của 198 và b4 là
2
3
x 3
2
x 7 x 11 = 2772
bằng cách ấn:
2 x 2 x 3 x 3 x 7 x 11 = 2772
Cách 2: Từ (1) và (2) suy ra ớc chung lớn nhất của 198 và 84 là 2
x 3
Từ đó, để nhận đợc bội chung nhỏ nhất của 198 và 84 ta ấn:
198 x 84 : 2 : 3 = 2772
?3 Tìm BCNN của 252 và 264
252 SHIFT STO M : 2 = 126 => chia tiếp đợc cho 2
= 63 =>không chia tiếp đợc cho 2
: 3 = 21 =>chia tiếp đợc cho 3

= 7 =>đã là số nguyên tố
Vậy ta đợc : 252=2
2
x 3
2
x 7 (1)
264 SHIFT STO M : 2 = 132 => chia tiếp đợc cho 2
= 66 =>chia tiếp đợc cho 2
= 33 => không chia tiếp đợc cho 2
: 3 = 11 =>Đã là số nguyên tố
vậy ta đợc: 264=2
2
x3x11 (2)
Cách 2: Từ (1) và (2) suy ra ớc chung lớn nhất của 252và 264 là
2
2
x 3=12
Vậy BCNN ( 252;264)=(252x264):12=5544
Dạy học giải bài toán chia hết
Lí thuyết liên quan đến chuyên đề:
Các tính chất chia hết
1) 0 chia hết b b 0
2) a chia hết a a 0
3) Nếu a chia hết cho b; b chia hết cho c thì a chia hết cho c
4) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho m thì a b chia hết cho m
Trờng THCS Mị Hòa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
5) Nếu a chia hết cho m; b không chia hết cho m thì a b không chia
hết cho m
6) Nếu a b chia hết cho m; a chia hết cho m thì b chia hết cho m

7) Cho tích a
1
.a
2
. . . a
n
.
Nếu a
i
chia hết cho ; i = 1; n thì a
1
.a
2
. . . a
n
chia hết cho m
8) Nếu a chia hết cho m thì a
n
chia hết cho m (n N*)
9) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn
=> a chia hết cho b thì a
n
chia hết cho b
n
.
10) Nếu a chia hết cho b; a chia hết cho c; (b; c) = 1 thì a chia hết cho
bc
11) Nếu ab chia hết cho m; (b; m) = 1 thì a chia hết cho m
12) Nếu ab chia hết cho p, p là số nguyên tố thì a chia hết cho p
b chia hết cho p

13) Cho a, b Z; n N; n 1 thì:
(a
n
- b
n
) chia hết cho a - b nếu a b.
(a
2n + 1
+ b
2n +1
) chia hết cho (a + b) nếu a - b.
Các dấu hiệu chia hết
1) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 <=> chữ số tận cùng
của nó là chữ số chẵn.
2) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): một số chia hết cho 3 (hoặc 9) <=>
tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).
* Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số
của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu.
3) Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 <=> chữ số tận cùng
của nó là 0 hoặc 5.
4) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25)
<=> số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25.
5) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) <=> số tạo bởi 3 chữ số tận cùng
của nó chia hết cho 8 hoặc 125.
6) Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 <=> hiệu giữa tổng
các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải
chia hết cho 11.
Các Phơng pháp giải bài toán chia hết:
(I). Để chứng minh A(n): k có thể sét mọi trờng hợp về số dự khi chia n
cho k.

VD: Chứng minh:
a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2
b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3
c) Tổng quát: tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n

Giải
a) A(n) = n (n+1)
Trờng THCS Mị Hòa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
+ Nếu n không chia hết cho 2 thì (n+1) chia hết cho 2 và ngợc lại. Trong mọi
trờng hợp
+ A(n) luôn chứa 1 thừa số chia hết cho 2. Vậy A(n) chia hết cho 2 (đpcm).
b) A(n) = n(n+1)(n+2)
Xét mọi trờng hợp : n chia hết cho 3; n=3q+1; n = 3q+2
+ Nếu n chia hết cho 3, hiển nhiên A(n) chia hết cho 3
+ Nếu n = 3q+1 => n+2 = 3q+3 chia hết cho 3
+ Nếu n= 3q+2 => n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 chia hết cho 3
Trong mọi trờng hợp A(n) luôn chứa một thừa số chia hết cho 3.
Vậy A(n) chia hết cho 3 (đpcm)
c) Giả sử dãy số đó là: a; a+1; a+2; . . . ; a+(n-1)
Giả sử trong dãy số không tại số nào chia hết cho n => Khi chia n số của dãy
cho n sẽ có n-1 số d là 1; 2; 3; . . .; n-1
Dãy có n số mà khi chia cho n lại chỉ có n-1 số d. Vậy tồn tại ít nhất 2 số khi
chia cho n có cùng số d. Giả sử 2 số đó là: a+i; a+k (0 i < k)
=> (a+k) - (a+i) chia hết cho n <=> (k-i) chia hết cho n
mà 0 < k-i < n => (k-i) không chia hết cho n (k-i) chia hết cho
n là vô lí.
Vậy trong dãy phải tồn tại một số chia hết cho n
=> tích của cả dãy số chia hết cho n (đpcm)
(II) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích k ra thừa số k =

p . q
+ Nếu (p ; q) =1 ta tìm cách chứng minh
A(n) chia hết cho p và A(n) chia hết cho q
+ Nếu (p, q) khác 1 ta phân tích A(n)= B(n). C(n) rồi chứng minh B(n) chia
hết cho p; C(n) chia hết cho q
VD1: chứng minh rằng A(n) = n . ( n+1 ).(n+2) chia hết cho 6
Giải
Ta có : 6 = 2.3 ; (2;3) = 1
Theo ví dụ ở phần (I) ta có A(n) chia hết cho 2; A(n) chia hết cho 3
Vậy A(n) chia hết cho 6 (đpcm)
VD2: chứng minh rằng: tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải: A(n) = 2n( 2n + 2 ) = 4n( n+1 )
8 = 2.4; ( 2; 4) 1
Nhận xét : 4 chia hết cho 4 => 4.n(n+1) chia hết cho 4.2
n(n+1) chia hết cho 2 =>A(n) chia hết cho 8 (đpcm)
(III) Để chứng minh A(n) chia hết k có thể viết A(n) dới dạng tổng của
nhiều hạng tử và chứng minh các hạng tử này đều chia hết cho k
Để chứng minh A(n) không chia hết cho k ta có thể viết A(n) dới dạng
tổng của nhiều hạng tử trong đó có duy nhất một hạng tử không chia hết cho
k
VD: Chứng minh rằng:
a) A(n) = n
3
- 13n chia hết cho 6
b) B(n) = n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8 (với mọi n lẻ)
Giải
Trờng THCS Mị Hòa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung

a) A(n) = (n
3
- n) - 12n = (n-1).n(n+1) - 12n
(n-1).n(n+1) chia hết cho 6 (theo ví dụ phần I)
12n chia hết cho 6
Vậy A(n) chia hết cho 6 (đpcm)
b) B(n) = n
2
+ 4n + 5
với n = 2k + 1 ta có: B(n) = (2k + 1)
2
+ 4(2k +1) + 5
B(n) = 4k(k +1) + 8(k + 1) + 2
Nhận xét: 4k(k +1) chia hết cho 8
8(k + 1) chia hết cho 8 => B(n) = 4k(k +1) + 8(k+1) + 2 chia
hết cho 8
2 không chia hết cho 8
(IV) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích A(n)
thành nhân tử trong đó có một nhân tử bằng k.
A(n) = k . B(n).
Trờng hợp này thờng sử dụng các kết quả:
* (a
n
- b
n
) chia hết cho (a - b) với (a b)
* (a
n
- b
n

) chia hết cho (a - b) với (a b; n chẵn)
(a
n
- b
n
) chia hết cho (a - b) với (a - b; n lẻ)
VD: Chứng minh rằng: 2
7
+ 3
7
+ 5
7
chia hết cho 5
Giải
Vì 7 là số lẻ nên (2
7
+ 3
7
) chia hết cho (2 + 3)
hay 2
7
+ 3
7
chia hết cho 5
=> 2
7
+ 3
7
+ 5
7

chia hết cho 5 (đpcm)
mà 5
7
chia hết cho 5
(V) Dùng nguyên tắc Đirichlet:
Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng ( k > m ) thì phải nhốt ít nhất 2 chú thỏ
vào chung 1 chuồng.
VD: Chứng minh rằng : Trong m+1 số nguyên bất kì bao giờ cũng tồn tại 2
số có hiệu chia hết cho m .
Giải
Khi chia 1 số nguyên bất kì cho m thì số d là 1 trong m số: 0; 1; 2; . . .; m -
1.
Theo nguyên lí Đirichlet khi chia m + 1 số nguyên cho m thì phải có ít nhất
2 số có cùng số d. Hiệu của 2 số này chia hết cho m (đpcm).
(VI) Dùng qui nạp toán học:
VD: Chứng minh rằng: 16
n
- 15n - 1 chia hết cho 225
Giải
Đặt A(n) = 16
n
- 15n - 1.
+ Với n = 1 => A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 chia hết cho 225 (đúng)
+ Giả sử A(n) với n = k. Tức là:
16
k
- 15k - 1 chia hết cho 225
Trờng THCS Mị Hòa
Giáo viên : Nguyễn Thị Dung
Ta cần chứng minh A(n) đúng với n = k + 1

Tức là: A(k +1) chia hết cho 225 là đúng.
Xét A(k +1) = 16
k + 1
- 15(k + 1) - 1
= 16.16
k
- 15k - 15 -1
= (16
k
- 15k -1) + (15.16
k
- 15)
= A(k) + 15(16
k
- 1).
Do A(k) chia hết cho 225
16
k
- 1 chia hết cho 16 - 1 (= 15) => 15(16
k
- 1) chia hết cho 225
=> A(k + 1) chia hết cho 225
Một số bài tập áp dụng
* Sử dụng phơng pháp (I)
Bài tập 1: Chứng minh rằng(CMR): Trong k số nguyên liên tiếp có một và
chỉ một số chia hết cho k
Bài tập 2: CMR: Trong m số nguyên bất kì bao giờ cũng có 1 số chia hết
cho m hoặc ít nhất 2 số có tổng chia hết cho m.
* Sử dụng phơng pháp (II)
Bài tập 3: CMR: Tích của 1 số chính phơng với số tự nhiên đứng liền trớc

nó là số chia hết cho 12.
Bài tập 4: CMR: A(n) = (n - 1)(n + 1).n
2
(n
2
+ 1) chia hết cho 60 n Z
Bài tập 5: CMR:
a) n
2
+ 4n + 3 chia hết cho 8 ( n lẻ)
b) n
3
+ 4n
2
- n - 3 chia hết cho 48 ( n lẻ)
Bài tập 6: CMR: A(n) = n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n chia hết cho 24 ( n N)
Bài tập luyện tập:
Bài 1. Tìm bội chung nhỏ nhất của:
a. 252 và 264 c. 405 và 196
b. 88 và 693 d. 12103 và 5225
Bài 2. Cho a = 35 ; b = 124 ' c = 225
a. Tìm ƯCLN (a,b,c)
b. Tìm BCNN (a,b,c).
Trờng THCS Mị Hòa