SKKN: Gia tri tuyet doi

Chuyen de Gia trị tuyet doi
A- Những kiến thức cơ bản về Giá trị tuyệt đối.
I- các định nghĩa:
1 Định nghĩa 1: Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là a là:



<

=
0anếua-
0a nếua
a
2- Nhận xét : Gía trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ
f: R R
+



<

=
0 a nếu
0a nếu
a
a
aa
Ví dụ : | 1 | =1
|0| = 0
|-1| = -( -1) =1
Mở rộng : Với biểu thức A(x) ta cũng có:

Ví dụ:
3- Định nghĩa 2:
Khoảng cách từ điểm a đến điểm O trên trục số là giá trị tuyệt đối của a
| - a | | a|
Ví dụ 1: | - 3 | | 3 |

* Với a = 3 thì | a| = |3| =3
Với a= -3 thì |a| = |-3|
* Ngợc lại:




==>=
3
3
3 aa
Tổng quát:




==>



>
=
b
b

a
b
ba
0
Rba
b
b
aba




=><== ,
1
13)31(|31| ==
12|12| =



<

=
0A(x) A(x)nếu -
0 A(x) nếu
|
)(
|)(
xA
xA

<

=



<

=
3
5
x nếu
3
5
x nếu5-3x
05- 3x nếu3x-5
05-3xếu
5-3x
x
nx
35
53

Chuyen de Gia trị tuyet doi

Ví dụ 2: | 5 |
Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của O là số O.
* Giá trị tuyệt đối của số nguyên dơng là chính nó.
* Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó (và là một số dơng).
* Trong hai số âm, số nào có Giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.
* Hai số đối nhau có Giá trị tuyệt đối bằng nhau.
Ví dụ 3:
Do đó bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng bởi tập các số của đoạn [- 3, 3] và trên trục
số thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [-3 ; 3]
-3 0 3
Tổng quát:
Ví dụ 4:
Do bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng tập hợp các số của hai khoảng [- ; 3] và [3; +] và
trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai khoảng tơng ứng với các khoảng số đó.
Tổng quát:
II- Các tính chất về gí trị tuyệt đối:
1) | a | 0 a (Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối)
2) |a| = 0 < => a = 0
3) | a | = | -a | ; | a |
2
= a
2
Thật vậy:
* | a | = | -a | (do a và -a là hai số đối nhau nên theo định nghĩa | a | = | -a |)
* | a |
2
= | a | . | a |
- Nếu a> 0 thì |a |
2
= a. a = a

2
- nếu a < 0 thì |a |a
2
|

= (-a). (-a )= a
2
Vậy : | a |
2
= a
2
4) - |a | a |a|
2
0,,
0
||
>



>

bRbabab
b
ba
03
03
303
3

<





<


a
a
aa
0anếu3a -
0anếu
a









<

<


3
333
3
a
aaa
a
0a nếu3 a -
0 a nếu
0a nếu3a-
0 a nếu
2
| |
, 4
0
a b a b
a b R b ac
b a b





>

Chuyen de Gia trị tuyet doi
Thật vậy : theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối ta có:



<

=
0 a a nếu-
0a nếua
a
=> | a | a => -| a | -a
5) | a + b | | a | + | b |
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab 0
Thật vậy: theo (4) -|a| a |a|
- |b| b |b|
=> -( |a| + |b| a+ b |a| + |b | (đccm)
6) |a|- | b | |a| + | b |
Dấu "= " (|a| -|b| = |a b|) xảy ra khi và chỉ khi





ba
ab 0
Thật vậy: |a| =| a-b+b| |a- b | + | b| => |a| - | b| |a-b| (1)
|a b | =| a + ( -b)| |a| + |- b | => |a| + | b|
=> |a b| | a| + | b| (2)
Từ (1) và (2) => |a| - | b| | a-b | |a | + |b | (đccm)

7) ||a| - | b| | | a b|
Đẳng thức | | a| -| b| | = |a b | khi ab 0
Thật vậy :
Theo (6) |a| |b | | a - b| (1)
| b | - | a | | b- a | = | -(b a ) | = | a b |
=> -( |a b |) | a - b| (2)
)3(
)(







=
ba
ba
ba
Từ ( 1) ; (2) ;(3) => | |a| |b | | | a - b| (4)
Mặt khác: | |a| |b | | = | |a| |b | | | a + b| => | |a| |b | | | a + b| (5)
Từ (4) và (5) => | |a| |b | | | a b| (đccm).
8) | a. b| = | a | |b|
Thật vậy xét các khả năng sau:



=

=



=
=
0b
0a
hoặchoặc
0
0
0
0
b
a
b
a
0= b
b
a
b
a
Đều suy ra | ab| = | a | |b| = 0 (1)
Từ (1);(2);(3);(4) và (5) => đ/c c/m.
3
Chuyen de Gia trÞ tuyet doi
4

)5())(()(;
0
0
)4()(;
0
0
)3()(;
0
0
)2(;
0
0
baabbababaabbbaa
b
a
baabbabaabbbaa
b
a
baabbabaabbbaa
b
a
baabbaabbbaa
b
a
==>=−−=−−===>>−=−==>



<
<

==>=−−=−==><=−==>



>
<
=⇒=−−=−==><−===>



<
>
==>===>>===>



>
>
ab 0 ab vµ
ab 0 ab vµ
ab 0 ab vµ
ab 0ab vµ
Chuyen de Gia trị tuyet doi
9) Thật vậy: xét các khả năng sau:
Từ (1);(2); (3) ;(4) và (5) suy ra điều cần chứng minh.
III- Bài tập áp dụng :
1- Bài tập áp dụng khái niệm :
a- Bài tập trắc nghiệm :
Hãy khoanh tròn vào các chữ a), b), c), d)
nếu đó là câu đúng (Các câu 1,2,3)

Câu 1: Giá trị tuyệt đối của a ký hiệu là | a|
a) | a | = a b) | a | = - a
c) | a | = 0 d) | a | 0
Câu 2 :
Cho a Z tìm kết luận đúng
a) | a | N b) | a | = a
c) | a | N d) | a | = - a
Câu 3 : Cho số nguyên a hãy điền vào chỗ trống các dấu ; ; >; < = để các khẳng định sau
là đúng :
a) | a | a với mọi a
b) | a | 0 với mọi a
c) Nếu a> 0 thì a | a |
d) Nếu a = 0 thì a | a |
e) Nếu a < 0 thì a | a |
Câu 4 : Biết | a | = |b|
a) a= b b) a = -b
c) a = b = 0 d) a = b ; a = - b.
Câu 5: hãy nối một dòng ở cột bên phải với một dòng ở cột bên trái để đợc :
5
)5(
||
||
||
||
;
0
0
)4(
||
||

||
||
;
0
0
)3(
||
||
||
||
;
;
0
0
)2(
||
||
||||
||
;
||
||
;
;
0
0
)1(
||
||
0

||
0
||
||
;000,0
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bbaa
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a

b
a
bbaa
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bbaa
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a

b
a
b
a
bbaa
b
a
b
a
b
a
bb
a
b
a
Taba
==>=


==
>===>



<
<
==>=

==
<==

>
<
==>=

==
<==



<
>
==>===
>==



>
>
==>====>==
và
b
a
dó Khi
0ab và
và
b
a

0abvà thi
b
a
dó Khi
0abvà thi
b
a
dó Khi
0abvà thi
b
a
có
Chuyen de Gia trị tuyet doi
a) | x | < 2 1) x< -3; x >3
b) | 2x | = - 3 2) x [-5 ; 5]
c) 5 |x| 3) 2 < x < 2
d) | x | >3 4)
-2 2
Cho số nguyên a 5) x {- 5 ; - 3; -1 ; 1 ; 3; 5 }
b Các bài toán
Bài 1: Các khẳng định sau có đúng với mọi số nguyên a và b không? Cho ví dụ: Bổ xung
thêm điều kiện để các khẳng định đó đúng .
a) | a | = | b | => a = b
b) a > b =>| a | >| b |
Bài 2: Tìm a biết a Z và a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) | a 1 | = 0
b) | a 1 | = 1
c) | a 1 | = - 1
d) | a | 1
e) | a | - 2

g) 0 < | a | 4
Biểu diễn các số a thoả mãn điều kiện trên trên trục số.
Bài 3: a) Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn | x | < 30
b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y |
( Các cặp số nguyên (1, 2 ) và (2, 1) khác nhau)
c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y | < 5
Bài 4 : Cho | x | = 7 ; | y | = 20 với x, y Z
Tính x y
Bài 5: Cho | x | 3; | y | 5 với x, y Z
Biết x- y = 2 Tìm x và y.
Bài 6: Cho x < y < 0 và | x | - | y | = 100
Tính x y.
2 Bài tập áp dụng tính chất :
a- Bài tập trắc nghiệm :
Câu 1: Điền dấu , , = cho thích hợp
a) | a + b | .| a | +|b|
b) | a - b | .| a | - |b| Với | a | |b|
c) | a b | .| a| |b|
d)
b
a
b
a

Câu 2 Đánh dấu chéo vào câu (trong câu 2 và câu 3)
Ta có a + b = | a | - |b| với
a) a, b trái dấu
b) a, b cùng dấu
c) a>0, b < 0
d) a>0, b < 0 và | a | > |b|

Câu 3: Ta có a + b = - |( a | - |b|)
a) a, b trái dấu
6
Chuyen de Gia trị tuyet doi
b) a, b cùng dấu
c ) a, b cùng âm
d) a, b cùng dơng
b Các bài toán :
Bài 1: Chứng minh
| a b | < 5 Biết | a c | < 3 ; | b c | < 2
Bài 2: Có số nguyên x nào để
a) | 2x + 7 | + | x + 5 | = - 12
b) | x | + | x 5 | = 0
c) | - x 3 | + | - 49 | = 27
Bài 3: Một điểm x (điểm biểu diễn bởi số nguyên x ) di chuyển từ điểm 2 đến điểm 1 rồi
từ điểm 1 đến các điểm về bên phải trục số. Dựa vào giá trị của x hãy rút gọn biểu thức sau:
a) | x - 1 | + | x + 2 |
b) | x - 1 | - | x + 2 |
c) | x + 2 | - | x - 1 |
d) - | x - 1 | - | x + 2 |
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) | a | + a
b) | a | - a
c) | a | a
d)
[ [
a
a
e) | x 3 | + 5
f) | x + 2 | + | x 5 |

g) 4x + 5 - | x + 3 | với x 3
H ớng dẫn - Đáp số
1- Bài tập áp dụng khái niệm
Câu 1: (d)
Câu 2: (c)
Câu 3: (d)
Câu 4: a) | a | a
b) | a | 0
c) Nếu a > 0 thì a = |a|
d) Nếu a = 0 thì a = |a|
e) Nếu a < 0 thì a < |a|
Câu 5: Nối a) với 3 c) với 2
d) với 1 a) với 4
Bài 1: a) sai VD: a = 5 ; b = 5
Thì | a| = 5 = | b | nhng a b
điều kiện để khẳng định đúng là a.b >0 ; a = b = 0
b) sai VD: a = 3; b = - 5
điều kiện bổ xung để khẳng định đúng là: a > 0 ; b > 0.
Bài 2:
a) a = 1
b) a = 2 ; a= 0
c) Không có giá trị nào của a
7
Chuyen de Gia trị tuyet doi
d) 1 a 1
e) a - 2 ; a 2
g) a {1; 2 ; 3; 4}
Bài 3: a ) x {1; 2 ; . 29})
=> Có 58 số
b) Do | x | 0 ; | y | 0

Mà | x | + | y | = 3 => | x | ; | y | {0 ; 1; 2; 3}
- Nếu | x | = 0 thì | y | = 3 khi đó có hai cặp
- Nếu | x | = 1 thì | y | = 2 = > có bốn cặp.
| x | = 2 thì | y | = 1 = > có bốn cặp.
| x | = 3 thì | y | = 0 = > có hai cặp.
Tất cả có 2 + 4 + 4 = 2 = 12 cặp
c) Giải: Tơng tự câu b) có 20 cặp
Bài 4:
| x | = 7 => x = 7 ; | y | = 20 => y = 20
Xét bốn trờng hợp
Đáp số 13; 27
Bài 5: |x | 3 < = > - 3 x 3
| y | 5 < => - 5 y 5
Vì x y = 2 ta có bảng sau:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -5 -4 -3 -2 -1 0 1
Bài 6: Vì x < y < 0 nên |x - y| = |x| - |y| = 100
=> x y = 100
Nhng do x < y => x y < 0 => x y = - 100
2- Bài tập áp dụng tính chất :
Câu 1: a) b) c) = d) =
Câu 2: d)
Câu 3: c)
Bài 1: | a b | = | (a c ) + (c - b)| | a c | + | c b | = | a c | + | b c |
< 3 + 2 = 5 => | a b | < 5
Bài 2: a) Không vì theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số là không âm, tổng của hai số
không âm không thể là số âm.
b) Không vì | x | 0 ; | x 5 | 0
và | x | | x 5 |
=> Tổng | x | + | x 5 | không thể bằng 0.

c) Không vì 27 < | - 49|
Bài 3: a) Nếu 2 < x < 1 thì x 1 < 0 và x + 2 > 0
Nên | x 1 | + | x + 2 | = - (x 1 ) + (x + 2 ) = 3
8
Chuyen de Gia trị tuyet doi
Nếu x > 1 thì | x 1 | > 0 và x + 2 > 0
Nên | x 1 | + | x + 2 | = x 1 + x +2 = 2x + 1
b) Đáp số 2x + 3 ; -3
c) 2x + 1; 3
d) - 3; - 2x 1
Bài 4:
a) = 2a với a 0
= 0 với a< 0
b) = 0 với a 0
= - 2a với a< 0
c) = a
2
với a 0
= - a
2
với a<0
d) = 1 với a 0
= -1 với a< 0
e) = x + 2 với x 3
= 8 x với x < 3
f) = - 2x + 3 với x < - 2
= 7 với x 2 x 5
= 2x 3 với x > 5
g) 3x + 2 (với x - 3)
B Các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong ch ơng trình toán trung học cơ sở

I Một số dạng ph ờng trình th ờng gặp
1- Dạng 1:
Ví dụ: Giải các phơng trình sau.
a) | 2x 1 | = 5 (1)
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S = {- 2; 3}
b) | 2x 1| = m 1 với m là tham số
+) Nếu m 1 < 0 = > m < 1 thì phơng trình vô nghiệm
+) Nếu m - 1 = 0 thì | 2x- 1 | = 0 => x = 1/2
+) Nếu m 1 > 0 thì






=

=




=
=
2
2
2
112
)1(12
m

x
m
x
mx
mx
2- Dạng 2:
( )



=
=






=
)()(
)()(
0
)()(
xBxA
xBxA
xB
xBxA
Ví dụ: Giải phơng trình
9

=
=





=
bxA
bxA
b
bxA
)(
)(
0
)(|



=
=




=
=

3
2
512
512
)1(
x
x
x
x




=
=




<=
=

3
4
x
loại) này(nghiệm3)xvới
3xvới1)-2x (-3-x
3)xvới
(2
(123

)2(
x
xx
Chuyen de Gia trÞ tuyet doi
| x – 3 | = 2x – 1 (2)
VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lµ S= {4/3}
D¹ng 3: A











<
=−



≥
=
<=>=
0
)(
0
)(

)(
x
bxA
x
bxA
bx
VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh | x| - 1 =5 (3)
+) NÕu x ≥ 0 (3)  x – 1= 5<= > x = 6
+) NÕu x < 0 (3)  - x- 1= 5<= > x =-6
VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3) lµ S = {- 6 ; 6}
D¹ng 4: A











<
=−



≥
=
<=>=

0
)()(
0
)()(
)()(
x
xBxA
x
xBxA
xBx
VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh | x | - 1 = 2x + 5 (4)
+) NÕu x ≥ 0 (4) <= > x – 1 = 2x + 5 <= > x = - 6 (lo¹i) v× - 6 < 0
+) NÕu x < 0 (4) – x- 1 = 2x+ 5 <= > x = - 2
VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (4) lµ S= {-2}
10
Chuyen de Gia trị tuyet doi
Dạng 5:



=
=
<=>=
)()(
)()(
)()(
xBxA
xBxA
xBxA
Ví dụ: Giải phơng trình | x + 3 | = | 2x 1 | (5)

Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình (5) là
Dạng 6: Phơng trình có chứa một số biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối
|A
1
(x) | + | A
2
(x) | + + | A
n
(x)| = B(x)
+) Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu ta phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Giải phơng trình.
a) | x + 1 | + | x 2 | + | x 3| = 5 (6)
+) Lập bảng xét dấu
x
- -1 2 3 +
x+ 1 - + + +
x+ 2 - - 0 + +
x+ 3 - - - 0 +
+) Bảng tính giá trị tuyết đối
x -1 2 3
|x + 1| - x- 1 0 x + 1 x + 1 x + 1
|x 2| 2 x 2 x 0 x - 2 x- 2
| x 3)
3 x 3 x 3 x 0 x
3
Vế trái (6)
- 3x 4 6 x x + 2 3x -
4
Nếu x < -1
(6) <= > - 3x + 4 = 5 < => x = 1/3 (loại)

Nêú 1 x 2
(6) <= > 6 x = 5 <= > x = 1
+) Nếu 2 < x 3
(6) <= > x + 2 = 5 < => x = 3
+) Nếu x > 3
(6) < => 3x 4 = 5 <= > x = 3 (loại)
Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình (6) là S = { 1; 3 }
b) | 2x + 1 | + 2x 5 | = 4 (6
'
)
Cách 1: Lập bảng xét dấu giải nh ví dụ a
Cách 2: Ta nhận thấy
VT = | 2x 1 | + | 2x 5 | = | 2x 1 | + | 5 2x |
| ( 2x 1) + ( 5 2x ) | = 4 = VP
Nh vậy | 2x 1 | + | 5 2x = | ( 2x 1) + ( 5 2x ) |
Điều này chỉ xảy ra khi ( 2x 1) ( 5 2x ) 0
Giải bất phơng trình này (xét dấu ) ta đợc
2
5
2
1

x
Đây chính là tập hợp các nghiệm của phơng trình (6')
11

=
=




+=+
+=+

4
3
2
123
)12(3
)5(
x
x
xx
xx
}



= 4;
3
2
S
Chuyen de Gia trị tuyet doi
Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải các phơng trình sau:

a) | x 3 | + x = 7
b) | x + 3 | = | 5 x |
e) | x 3 | = x 3
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a) x - | x + 1 | + 2| x 1| = 0
b) | x| + | 1 x | = x + | x 3 |
c) | | x| - 3 | = x +1
Bài 3 : Giải các phơng trình
a) | x 4 | - x = 2a ( a là hằng số)
b) | x 3 | + | 5 x | = 2a ( a là hằng số)
Đáp số :
Bài 1: a) 5 b) 1 c) Vô nghiệm d) Vô nghiệm e) x 3
Bài 2:
Bài 3: a) Nếu a > -2 thì x = 2 a
Nếu a = - 2 thì Vô số nghiệm x 4
Nếu a < - 2 thì Vô nghiệm
b) Nếu a = 1 thì 3 x 5
Nếu a > 1 thì x
1
= 4 a ; x
2
= 4 + a
Nếu a < 1 thì phơng trình vô nghiệm.
II- Một số dạng bất ph ơng trình th ờng gặp :
Dạng 1:
bxAbI
b
bxA
<=>

>

)()(
0
)(
Ví dụ: Giải các phơng trình sau:
a) | x 1 | 5 (1)
Cách 1: (1) <= > - 5 x 1 5 < => - 4 x 6
Vậy nghiệm của bất phơng trình là : - 4 x 6
Cách 2: +) Nếu x 1 (1) <= > x 1 5 = x 6
+) Nếu x< 1 (1) < => 1- x 5 <=> x 4
Kết hợp lại ta đợc 4 x 6
b) | x 1 | 5 m + 5 (1' )
+) Nếu m + 5 0 (1' ) Vô nghiệm
+) Nếu m + 5 > 0 < => m > - 5
(1') < => | x 1 | m + 5 < => - m 5 x 1 m + 5
< => - 4 - m x m + 6
Kết luận : m - 5 bất phơng trình vô nghiệm
m > - 5 bất phơng trình có nghiệm m 5 x 1 m + 5
Dạng 2: | A (x) | b (II)
12
123)
1212)
=+
=+
xd
xxc
1)1)

2
3
;
2
1
) cba

Chuyen de Gia trị tuyet doi
Cách giải :
+) Nếu b < 0 => bất phơng trình (II) có nghiệm với x R
Ví dụ: Giải các bất phơng trình sau:
a) | x 3 | 9 (2)
Vậy (2) có nghiệm là x 6 ; x 12
-6 12
b) | x 3 | 1 m (2')
+) Nếu 1 m < 0 < => (2') có nghiệm với x R
Kết luận : * m > 1 (2' ) có nghiệm với x R
* m 1 (2' ) có nghiệm x m + 2 ; x 4 - m
Dạng 3:
Ví dụ: Giải bất phơng trình
| 1 2x | x + 5 (3)
Vậy bất phơng trình có nghiệm là x






6;
3

4
Dạng 4:











=><





0)(
)()(
)()(
0)(
)()(
xB
xBxA
xBxA
xB
xBxA
13

+
bA(x)
b -A(x)
(II) 0bếuN)












12
6
93
93
)2(
x
x
x
x

+






+
mx
mx
4
2
)
m -13- x
1 -m3-x
)(2' 0 m - 1 Nếu

0)(
)()(
)(
0)(
)()(
xB
xBxA
xB
xB
xBxA

+
+





+
+

5
6
3
4
3
4
6
05
215
521
05
5215
)3(
x
xx
x
x
xx
xx
x

xxx
Chuyen de Gia trị tuyet doi
Ví dụ: Giải bất phơng trình : | x + 1 | 2x - 1 (4)
Vậy nghiệm của bất phơng trình (4) là






2;
2
1
2
2
1
xhayx
Dạng 5:
[ ] [ ]
22
)()()()( xBxAxBxA
<=>
Ví dụ : Giải bất phơng trình
| x + 1 | > | x - 2 | (5)
< => ( x + 1 )
2
> ( x - 2 )
2

<= > x

2
+ 2x + 1 > x
2
- 4x + 4
<= > 2x > - 4x + 3
< => 6x > 3 < => x > 3 / 6 < => x > 1/2
Vậy nghiệm của bất phơng trình là x > 1/2
Dạng 6: Bất phơng trình chứa nhiều biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
| A
1
(x)| + | A
2
(x)| + + | A
n
(x)| = B(x)
Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu phá bỏ dấu giải trị tuyệt đối (Đặc biệt có thể dùng
tính chất | a | + | b | | a + b |)
Ví dụ: Giải bất phơng trình
| x - 1 | + | x - 2 | > x + 3
+) Lập bảng xét dấu
x 1 2
x-1 - 0 + +
x-2 - - +
+ Nếu x < 1
(6) <= > 1 - x + 2 - x > x + 3
< => 3x < 0 => x < 0
Trong khoảng này x< 0 (*)
+ Nếu 1 x 2
(6) <= > x - 1 + 2 - x > x + 3
< => x < - 2 (loại )

+ Nếu x > 2
(6) < => x - 1 + x - 2 > x + 3
< => x > 6 (**)
14

+
+

2
2
1
2
1
2
2
1
0
2
1
2
0
012
121
211
)4(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xcủa trị giá có Không
Chuyen de Gia trị tuyet doi

Kết hợp (*) và (**) nghiệm cuả bất phơng trình là x < 0 ; x > 6.
Bài tập đề nghị :
Bài 4: Giải các bất phơng trình sau:
a) | 2x + 3 | < 7
b) | 3 - 2x | < x + 1
c) | 3x - 1 | 5
d)
2
1
3
+
>
x
x
Bài 5: Giải các bất phơng trình sau:
a) | x
3
+ 1 | x + 1
b) | x - 3 | < | x + 1 |
c) | x - 1| > | x + 2 | - 3
d) | x - 1 | + | x - 5 | > 8
e) | x - 3 | + | x + 1 | < 8
Bài 6:
Hớng dẫn đáp số :
15
xxxd
xxxc
x
x
b

x
x
a
+<
<+++



<
+

5|573|)
5331)
1
1
23
)
2
3
1
)
2
2
2
3
264
2
0
2
26

)
2
53
2
53
)
81.;
3;
3
1
)
2;
3
4
)
4
+
<<
<<
+


+><
<<
><
<
>

><

<<
<<
x
x
c
xb
x
xxd
xxc
x
-4
d)
nghiệmVô
8-1xa):6 Bài
5 x-e)
7x ;1-xd)
1xc)
1 x b)
1x;0x a) :5 Bài
3
2
b)
2 x 5 - a) :4 Bài
3
Chuyen de Gia trị tuyet doi
* Trớc hết ta quan tâm đến khái niệm điểm đối xứng với một điểm qua một đờng thẳng.
Điểm A' đợc gọi là đối xứng với điểm A qua đờng thẳng a là đờng trung trực của đoạn thẳng
AA'
- Cách vẽ điểm đối xứng với điểm A qua đờng thẳng a
+ Vẽ đờng thẳng AM a (M a)

+ Trên tia đôí của tia MA xác định điểm A' sao
cho A'M = MA
Điểm A' là điểm cần tìm
1- Đồ thị hàm số y = f (|x|)
a) Nhận xét :
Nh vậy đồ thị của hàm số có trục đối xứng là trục oy
b) Cách vẽ :
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (Chỉ lấy phần bên phải trục oy bỏ phàn bên trái )
+) Lấy đối xứng với phần bên phải trục oy qua trục oy.
c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | x | - 2 y
Vẽ đồ thị hàm số y = x -2
(Lấy phần nằm bên phải trục oy )
x 0 2
y -2 0
+) Lấy đối xứng với phần đờng thẳng trên ta đợc đồ thị hàm số y = | x | - 2 là hai tia chung
gốc có hình chữ V nh hình vẽ.
2- Đồ thị hàm số y = | f (x) |
a) Nhận xét.
b ) Cách vẽ :
+) Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) ( C )
Lấy phần đồ thị (C) trên trục ox)
+) Lấy đối xứng qua ox phần đồ thị (C) phia dới trục ox,sau đó bỏ phần phía dới trục ox.
c) Ví dụ: Vẽ đồ thi hàm số y = | x - 1 |
+) Vẽ đồ thị y = x - 1
(Lấy phần nằm phía trên ox )
x 0 1
y -1 0
+) Lấy đôi xứng qua ox phần nằm dới ox ta
đợc đồ thị y = | x - 1 | nh hình vẽ
3- Đồ thị hàm số y = | | f ( x)| |

16





==
0x nếu
0x nếu
xf( y thấyTa
)(
)(
)
xf
xf



<

==
0x nếu
x nếu2-x
2 - | x | y thấyTa
2
0
x

<

==
0 (x)f nếuf(x)-
0(x)f nếu)(
)(
xf
xfy



<

==
1x nếux-1
1x nếu1-x
| 1 - x | y thấyTa
Chuyen de Gia trị tuyet doi
a) Nhận xét :
b) Cách vẽ
+) Vẽ đồ thị (C) phía trên ox (C
1
)
+) Lấy đối xứng với (C
1
) qua oy (C
2
)
+)Lấy đối xứng qua ox phần bên dới trục hoành của (C
1

) và (C
2
) là (C
3
)
+) Đồ thị cần vẽ là (C
1
) (C
2
) (C
3
) y
c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | 3 - 2|x| |
- 3
0 x
+) Vẽ đồ thị y = 3 -2 x
x 0 3/2
y 3 0
+) Lấy phần bên trên trục ox, bên phải trục oy (C
1
)
+) Lấy đối xứng với (C
1
) qua oy ta đợc (C
2
)
+) Lấy đối xứng với phần dới ox của (C
1
) và (C
2

) qua ox ta đợc (C
3
)
Đồ thị hàm số cần vẽ là (C
1
) (C
2
) (C
3
)nh hình vẽ.
4- Đồ thị hàm số | y| = f (x)
a) Khái niệm : Tập hợp các điểm M(x, y) trên mặt phẳng Oxy có toạ độ thoả mãn |y| =f(x)
là đồ thị hàm số |y| = f(x).
Đồ thị hàm số có trục đối xứng là ox
c) Cách vẽ :
+) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
+) Lấy phía trên trục ox (C
1
)
17





<
<

==
0))(

0)(
0))(
)(
x( f nếu
x nếu
x(f,0x nếu
xf
xf
xf
xfy









><
<<+

==
2
3
;23
023
23
xx
xx

x
2
3
x nếu
2
3
- nếu
2
3
x0 nếu
x2-3 y thấyTa



<=
=
=
0y nếu
0y nếu
)(
)(
)()
xfy
xfy
xfyb
Chuyen de Gia trị tuyet doi
+) Lấy đối xứng với (C
1
) qua ox ta đợc (C
2

) y
Đồ thị hàm số cần vẽ là (C) =(C
1
) (C
2
)nh hình vẽ.
d) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số |y| = x -1
+) Vẽ y = x -1
+) Lấy phía trên trục ox (C
1
) 1
+) Lấy đối xứng với (C
1
) qua ox ta đợc (C
2
)
Đồ thị hàm số cần vẽ là (C) =(C
1
) (C
2
) nh hình vẽ.
5- Dùng đồ thị để giải phơng trình :
Ví dụ: Cho hàm số y = | x - 1 | + | x + 3 |
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Biện luận số nghiệm của phơng trình
|x - 1 | + | x + | = m (*) theo m
Giải :

b) Xét đồ thị hàm số y = | x - 1 | + | x + 3 | và đồ thị y = m
RT (*) có nghiệm khi hai đồ thị của hàm số này giao nhau do đó

* Căn cứ vào đồ thị ở cây a ta thấy
+ Nếu m < 4 thì phơng trình đã cho vô nghiệm
+ Nếu m = 4 thì phơng trình có vô số nghiệm
+ Nếu m > 4 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập đề nghị :
Bài 7: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2 | x | + 1
b) y = 2 | x | -x
c) y = 1/2 (x - | x | )
d) y = x
2
+ | x | - 1
e) y =
)0(
2
x
x
f) y =

x
x
Bài 8: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = | x+ 1|
b) y = |x
2
-4|
18

>+

<
=
)122
)14
)22
)
3
2
1
(Cx với
(Cx3- với
(C3-x với
x
x
ya
2
69) xxyc +=
Chuyen de Gia trị tuyet doi
Bài 9: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) |y| = | x
2
+ 2 |x| |
Bài 10: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) |y| = 2x
2
+3

b)|y+1| = x-2
Bài 11: Biện luận số nghiệm của các phơng trình sau:
a) |x
2
- 3x + 2| = m
2
b) | x + 1 | + |x -2 | = m
2
- m
IV- cực trị của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
1- Các kiến thức cần lu ý :
10) | A(x) | 0 x. Đẳng thức sảy ra < => A(x) = 0
11) | A(x) +B(x) | | A(x) | +| B(x) | Đẳng thức sảy ra < => A(x). B(x) 0
12) | A(x) - B(x) | | A(x) + B(x) | Đẳng thức sảy ra < => A(x). B(x) 0
2- Các bài tập điển hình
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = |2x - 1 | - 5
Giải : Ta thâý |2x - 1 | 0 x (Theo tính chất 10)
=> |2x - 1 | - 5 -5
Dấu " =" xảy ra <= > |2x - 1 | = 0< => 2x - 1 = 0 < => x = 1/2
Vậy min A =- 5 <= > x = 1/2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B= | x - 2 |+ | x - 3 |
Cách 1:
+) Lập bảng xét dấu
x 2 3
x-2 - 0 + +
x-3 - - 0 +
+) Nếu x< 2
Thì B = 2- x + 3 - x = 5 -2x
Do x < 2 => 2x < 4 => 5 - 2x > 1 (1)

+) Nếu 2 x 3
Thì B = x - 2 + 3 - x = 1 (2)
+) Nếu x > 3
Thì B = x - 2 + x - 3 = 2x - 5
19
x
yb
1
1) +=
i)giả tự dọc ạnB(2)
11)
)1()
2
xye
xyd
xyc
=
+=
=
0)15
0)14
)13
=><
=><+





=><+

(x)B (x).A ra yxảthức Đẳng | B(x) - A(x) || B(x) | -| A(x) |
(x)B (x).A ra yxả thức Đẳng | B(x) | | A(x) | | B(x) - A(x) |
| (x)B | | A(x) |
0B(x) A(x).
ra yxả thức Đẳng | B(x) | | A(x) | | B(x) - A(x) |
Chuyen de Gia trị tuyet doi
Do x > 3 => 2x > 6 => B > 6 - 5 = 1 (3)
Từ (1) ; (2) và (3) =>Min B = 1 < => 2 x 3
Cách 2: Ta có B = | x -2 |+ | x - 3 | = | x - 2 | + | 3 - x | | x - 2 + 3 - x | = 1
Dấu " = " xảy ra < => ( x - 2 ) ( 3 - x ) 0
< => 2 x 3
Vậy Min B = 1 < => 2 x 3
Bài3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
* Xét |x| > 2 => B> 0 với |x| >2
* Xét |x|<2 => B < 0
C' đạt giá trị nhỏ nhất < => | x | - 2 là số nguyên âm lớn nhất
< => |x| - 2 = - 1
< => | x | = 1 < => x = 1
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
D = 5 - | x + 1 |
Nhận thấy | x + 1 | 0 x=> D 5 x
Dấu"=" xảy ra <=> | x + 1 | = 0 < => x + 1 = 0 < => x = - 1
Vậy max D = 5 < => x = - 1
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
D = | |x- 2| - | x - 7 | |
Giải :
Cách 1: D= | |x- 2| - | x - 7 | | | ( x - 2 ) - ( x - 7) | = | x - 2 - x + 7 | = 5
Dấu " =" xảy ra < => ( x - 2 ) ( x + 7 ) 0 < => x 2 ; x 7
Cách 2: D = | |x- 2| - | x - 7 | | = | |x- 2| - | 7- x | | | ( x - 2 ) + ( 7 + x )| = 5
Dấu " =" xảy ra < => ( x - 2 ) ( 7- x ) 0 < => x 2 ; x 7

Vậy max D = 5 < => x 2 ; x 7
Bài tập đề nghị
20
nhất nhỏtrịgía dạt C' nhất nhỏtrị giádạt
x
C thấyTa
2x;Z x với
2
2
2
2
1
2
2
2

=

+=

=


=
x
C
xx
x
x
C

1121
===+=
x
2-1
2
1 C min Vậy
Chuyen de Gia trị tuyet doi
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài3: Cho M =3x
2
- 2x + 3x
2
- 2x + 6 |x| + 1
Tính giá trị của M biết x, y là số thực thoả mãn xy = 1 và |x +y | đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho a< b < c < d là 4 số thực tuỳ ý
Tìm x để f(x) = |x - a |+ |x - b | + | x - c | + | x - d | đạt giá trị nhỏ nhất
Hãy tổng quát bài toán trên với n số thực
Hớng dẫn đáp số
Bài 1: a) max A= 9 < => x = 1
b) max B= 1/2 < => x = 1
c)max C = 2 < => x = 1
Bài 2: a) min A = - 2 < => x = 1/2
b) min B = - 3 < => x = 0 ; x = 3
c) min C = 9 < => - 4 x 5
d) min D = 1 < => 2004 x 2005
e) min E = 2 < => - 1 x 0
Bài 3: ta có ( x + y )
2
4xy = 4 => | x + y | 2
=> min | x + y | = 2 khi x = y

Khi đó xy = 1 và | x + y | = 2
=> x = y = 1 hoặc x = y = - 1
* x = y = 1 => M = 9
* x = y= - 1 => M = 17
Bài 4: Ta có f (x) = (| x - a | + | x - d |) + ( | x- b | + | x - c | )
Mà | x - a | + | x - d | == | x - a | + | d - x | | x - a + d - x |
=> | x - a | + | x - d | d - a
Dấu " = " xảy ra khi (x - a ) ( d - x ) 0 < => a x d
Tơng tự | x - b | + | x - c | c - b
Dấu " = " xảy ra khi (x - b ) ( c - x ) 0 < => b x c
Vậy f(x) d + c - b - a.=> min f(x) = d + c - b - a< => b x c
Tổng quát : Cho n số thực a
1
< a
2
< < a
n
Xét hai trờng hợp
* Trờng hợp 1: n = 2k (k N
*
)
Ta có | x - a
1
| + | x - a
2k
| a
2k
- 1
| x - a
2

| + | x - a
2k- 1
| a
2k - 1
- 1
21
)11(2)11(2)
)2005()2004()
54)
332)
2
1
)
12
1
)
91)
22
2
2
++++++=
+=
++
+=
=

+
=
+
=

+=
xxxxEe
xxDd
xxCc
xxBb
Tim
Zx
x
x
Cc
x
Bb
xAa
1-2x5Aa)
thức biểucủa nhất lớn trị giá :2 Bài
Chuyen de Gia trÞ tuyet doi
| x - a
k
| + | x - a
k+1
| ≥ a
k+1
- a
k

Do c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn cã 2 vÕ ®Òu d¬ng nªn céng tõng vÕ cña chóng l¹i ta ®îc )
f(x) ≥ ( a
2k
+ a
2k+1

+ + a
k+1
) - ( a
1
+ a
2
+ + a
k
)
=> min f(x)= ( a
2k
+ a
2k+1
+ + a
k+1
) - ( a
1
+ a
2
+ + a
k
)
<=> a
k
≤ x ≤ ak
+1

Trêng hîp 2: n = 2k - 1( k ∈ N
*
)

| x - a
1
| + | x - a
2k-1
| ≥ a
2k-1
- a
1
| x - a
k- 1
| + | x - a
k+1
| ≥ a
k+1
- a
k- 1
| x - a
k
| ≥ 0
=> f(x) ≥ ( a
2k-1
+ a
2k-2
+ + a
k+1
) - ( a
1
+ a
2
+ + a

k-1
)
=> min f(x) = ( a
2k-1
+ a
2k-2
+ + a
k+1
) - ( a
1
+ a
2
+ + a
k-1
)< => x = a
k

22