THUC HANH GIAI TOAN THCS

Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
I - chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
A. Một số gợi ý để đi đến chứng minh đợc hai đoạn thẳng bằng nhau.
1. Hai đoạn thẳng có cùng số đo.
2. Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
3. Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân, của hai đoạn thẳng
bằng nhau đôi một.
4. Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác
đều, tam giác vuông, v.v
5. Hai cạnh tơng ứng của 2 tam giác bằng nhau.
6. Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến của tam giác,
định nghĩa trung trực của đoạn thẳng, định nghĩa phân giác của một góc.
7. Tính chất của một hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình
thang cân
8. Tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc
30
0
trong tam giác vuông.
9. Tính chất giao điểm ba đờng phân giác trong tam giác, tính chất giao điểm ba
đờng trung trực trong tam giác.
10. Định lí đờng trung bình của tam giác, đờng trung bình của hình thang.
11. Các tính chất của dây cung, cung bằng nhau của đờng tròn.
12. Tính chất các tỉ số bằng nhau.
13. Một số định lí nh Talét, Pitago
14. Tính chất hai đoạn thẳng song song chắn giữa hai đờng thẳng song song.
15. Các tính chất của phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay.
B. Một số ví dụ
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC có AP là phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A,
vẽ tai Px sao cho góc CPx bằng góc BAC tia này cắt AC ở E. Chứng minh rằng PB =

PE.
Hớng dẫn giải
Xét 3 trờng hợp: BAC < 90
0
; BAC = 90
0
; BAC > 90
0
Năm học 2007 - 2008
1
B
C
K
x
E
A
H
P
B
H
A
x
E
C
P
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
a. Với BAC < 90
0

Vẽ PH AB và PHAC PH = PK
BAC + BPE = 180
0
BAC = CPE(gt) BPE = HPK
BAC + HPK = 180
0

BHP = EPK BPH = EPK (g.c.g) PB = PE.
Bài toán 2:
Cho (O) và đờng thẳng xy ở ngoài (O) . Kẻ OAxy. Qua A kẻ 1 cát tuyến cắt (O)
tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C cắt xy lần lợt tại D và . Chứng minh rằng A là trung
điểm của đoạn thẳng DE.
GT
xy ở ngoài (O)
OAxy
OBBD tại B
OCEC tại C
KL AE = AD
1. Phân tích tìm tòi cách giải
Năm học 2007 - 2008
2
B
P
C
K
A
H
E
C
0

B
A
D
y
E
A
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
+ Muốn chứng minh A là trung điểm của DE, ta
chứng minh AE = AD.
+ Muốn chứng minh AE = AD, có nhiều cách,
chẳng hạn ta chứng minh OAE = OAD
+ Muốn chứng minh OAE = OAD ta chứng
minh OE = OD.
Muốn chứng minh OE = OD ta chứng minh
OCE = OAD.
+ Muốn chứng minh OAE = OAD ta phải
chứng minh COE = BOD.
+ Muốn chứng minh COE = BOD ta phải chứng
minh COE = CAE và BOD = CAE.
Ta có : DOB = CAE vì 2 góc cùng bù với BAD
do tứ giác ABOD nội tiếp ; COE = CAE vì tứ
giác COAE nội tiếp đpcm.
gt gt
COAE ; ABOD
COE = CAE và BOD = CAE
COE = BOD
OCE = OAD
OE = OD
OAE = OAD

AE = AD
A là trung điểm của DE.
2. Lời giải (tóm tắt)
Tứ giác COAE nội tiếp COE = CAE ( cùng chắn cung CE)
Tứ giác ABOD nội tiếp DOB = CAE ( hai góc cùng bù với BAD)
COE = DOB OCE = ODA OE = OD
OAE = OAD AE = AD
Bài toán 3:
Cho đờng thẳng xy cắt đờng tròn (O) tại hai điểm M và N. Kẻ OA vuông góc với
xy. Qua A kẻ 1 cát tuyến cắt (O) tại B và C . Tiếp tại B và C lần lợt cắt xy tại D và
E . So sánh độ dài hai đoạn thẳng AE và AD.
Gợi ý: Vận dụng phơng pháp giải bài toán 3 ta chứng minh đợc AE = AD.
II - chứng minh hai góc bằng nhau
a. một số gợi ý để đi đến chứng minh đợc hai góc bằng nhau.
1. Sử dụng hai góc có cùng số đo.
2. Sử dụng góc thứ ba làm trung gian ( hai góc cùng bằng một góc ), hai góc cùng
phụ với một góc, hai góc cùng bù với một góc.
3. Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của hai góc tơng ứng bằng nhau.
4. Sử dụng định nghĩa phân giác của một góc.
5. Hai góc đối đỉnh.
Năm học 2007 - 2008
3
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
6. Sử dụng tính chất hai đờng thẳng song song (đồng vị, so le, ).
7. Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tơng ứng song song hoặc vuông góc.
8. Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
9. Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung.
10. Hai góc đáy của một tam giác cân.
11. Các góc của một tam giác đều.

12. Sử dụng các tính chất về góc của một hình bình hành.
13. Sử dụng kết quả của hai tam giác đồng dạng.
14. Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp một đờng tròn.
15. Sử dụng hàm số lợng giác sin, cos, tg và cotg.
16. Sử dụng tính chất của các phép tịnh tiến, đối xứng, quay.
B. Một số bài toán minh hoạ.
Bài toán 1:
Cho ba điểm ABC không thẳng hàng, ta lấy theo thứ tự các điểm D và E tên các
đoạn thẳng BA và CA sao cho BD = CE. Gọi M, N là trung điểm của BC và DE, đ-
ờng thẳng qua MN lần lợt cắt AB và AC tại P và Q. Chứng minh góc MPB bằng góc
MQC.
GT
xy ở ngoài (O)
OAxy
OBBD tại B
OCEC tại C
KL AE = AD
1. Phân tích, tìm cách giải.
* Sơ đồ:
3. Lời giải tóm tắt.
Bài toán 2:
Cho D là trung điểm của đoạn thẳng Am. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ
nửa đơng tròn đờng kính AM và nửa đờng tròn đờng kính AD. Tiếp tuyến tại D của
đờng tròn nhỏ cắt đờng tròn lớn tại C và các tiếp tuyến tại C và A của đờng tròn lớn
cắt nhau tại B. Nối P bất kì trên cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đờng tròn nhỏ tại
K.
Năm học 2007 - 2008
4
Q
A

P
D
B
M
C
EN
O
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Chứng minh AP là tia phân giác của góc BAK.
GT
DA = DM
CDAD tại D
BAAD tại A
CBCD tại C
P cung AC
KL AP là phân giác
của BAK
1. Phân tích, tìm cách giải
* Cách 1:
- Muốn chứng minh AP là tia phân giác của góc BAK ta chứng minh BAP = KAP.
- Muốn chứng minh BAP = KAP ta chứng minh cung AP = cung PQ.
- Muốn chứng minh cung AP = cung PQ ta chứng minh DPAQ tại K.
+ DPAQ tại K vì AKD chắn nửa đờng tròn đờng kính AD.
Ta có lời giải tóm tắt:
AKD = 90
0

(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn, đờng kính AD).
Vậy DPAQ tại K nên cung AP bằng cung PQ.

Từ đó suy ra BAP = KAP (cùng chắn 2 cung bằng nhau)
* Cách 2:
- Muốn chứng minh AP là tia phân giác của góc BAK ta chứng minh BAP = KAP.
Muốn chứng minh BAP = KAP, ta tạo ra 2 tam giác có hai góc này. Từ P hạ đờng
PNAB và đi chứng minh cho tam giác vuông NAP bằng tam giác vuông KAP.
Muốn chứng minh NAP = KAP, ta chứng minh, chẳng hạn NPA = PAD, và
có AP là cạnh huyền.
Muốn chứng minh NAP = PAD ta chứng minh, chẳng hạn NAP = PAD và PAD =
KPA.
* NPA = PAD ( vì PN//DA - 2 góc so le trong)
PAD = KPA ( vì 2 góc đáy của tam giác cân APD)
Lời giải tóm tắt:
DA = DP ( cùng bán kính) ADP cân PAD = APD
mà PAD = NPA ( vì PN//DA - 2 góc so le trong)
Vậy NPA = KPA.
Năm học 2007 - 2008
5
B
1
P
K
N
C
Q
M
A
D
T
1
2

Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
PNA = PKA vì có AP là cạnh huyền chung và NPA = KPA.
Do đó ta có NAP = KAP.
* Cách 3:
Ta đi chứng minh cho 2 góc NAP và KAP cùng bằng 2 góc bằng nhau.
Nối A với P cắt đờng tròn đờng kính AD tại T. Nối D với T, ta dễ dàng nhận ra :
D
1
= D
2
. Vì DAP là tam giác cân ở D mà DT vuông góc với đáy AP. Đồng thời ta lại
có KAP = D
1
= D
2
.
Ta chỉ cần chứng minh D
1
= D
2
= NAP đpcm.
Ta có lời giải tóm tắt nh sau:
Ta có: ADP cân ở D mà DTAP D
1
= D
2
.
Mà D
1

= KAP ( chắn cung TK)
D
2
= NAP (hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc)
Vậy KAP = NAP ( bài toán đợc chứng minh)
Bài toán 3:
Cho tam giác ABC vuông ở A có AB < AC nội tiếp đờng tròn tâm O vẽ đờng cao
AH và bán kính OA.
Chứng minh rằng OAH = B - C.
GT
BAC = 90
0
A, B, C (O)
AHBC
KL
OAH = B - C.
1. Phân tích, tìm cách giải.
Với gt đã cho, có nhiều cách chứng minh. Sau đây tôi chỉ xin nêu 1 cách:
Ta dễ dàng nhận ra ngay B = OAB ( Vì OA = OB cùng bán kính).
Do vậy muốn chứng minh OAH = B - C, ta phải chứng minh OAH = OAB - C.
+ Muốn chứng minh OAH = OAB - C ta chứng minh BAH = C.
+ Ta có BAH = C ( Vì 2 góc cùng phụ với B) đpcm.
Bạn đọc tự giải.
* Nhận xét:
Với giả thiết BAC = 90
0
ta đã chứng minh đợc OAH = OAB - C.
Vậy trong trờng hợp nếu BAC

90

0
ta có chứng minh đợc OAH = OAB - C
không ?
Năm học 2007 - 2008
6
B
C
O
H
A
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Thiết lập bài toán tơng tự ta đợc bài toán sau:
Bài toán 4:
Cho tam giác ABC có A < 90
0
, có AB < AC nội tiếp đờng tròn tâm O. Vẽ đờng
cao AH và bán kính OA.
Chứng minh rằng OAH = B - C.
GT
BAC < 90
0
A, B, C (O)
AHBC
KL
OAH = B - C.
Phân tích, tìm cách giải
Cách 1:
Theo gt ta có B > C, ta tạo ra trên hình vẽ B - C bằng cách lấy B làm đỉnh và BC
làm cạnh, vẽ góc CBx bằng góc C. Ta chỉ cần chứng minh ABx = OAH.

Ta thấy :
- Tia Bx cắt (O) tại E.
- AH kéo dài cắt (O) tại D.
- Ba điểm EOD thẳng hàng vì CBE = C + CAE ( ở vị trí so le) nêm EA//BC
EAAH.
Muốn chứng minh ABE = OAH. Ta tìm cách chứng minh 2 góc này bằng góc thứ
3, chẳng hạn cùng bằng góc ADO.
Ta có: ABE = ADE ( cùng chắn cung AE)
OAD = ADO ( góc đáy của tam giác cân AOD)
Do đó bài toán đợc chứng minh (HS tự giải)
Cách 2:
ở cách 1 ta lấy B làm đỉnh và BC làm cạnh để tạo ra góc CB bằng góc C. ở cách 2
ta thử lấy BA làm cạnh để tạo ra góc ABy bằng góc C.
Ta chỉ cần chứng minh
EBC = OAH.
Ta thấy:
Năm học 2007 - 2008
7
B
C
O
H
A
E
x
B
C
O
H
A

E
y
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Vì ABy = ABE = ACB
A là điểm chính giữa
của cung BE OABE.
Từ đó ta dễ dàng chứng minh đợc EBC = OAH.
Cách 3:
Cách 4:
Ta có thể vẽ thêm đờng phụ.
Chẳng hạn vẽ đờng kính AA,
rồi nối B với A. Ta đợc
tam giác ABA vuông tại B.
Ta có: OAH = 90
0
- ( A
1
+ A)
Mà 90
0
- A
1
= B
vì AHB là tam giác vuông và A = C ( 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung AB)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bạn đọc tự trình bày lời giải
Cách 5:
Tiếp tuyến tại A và đờng thẳng BC cắt nhau tại N. Tam giác ABN có:
ABC = B là góc ngoài của tam giác.

NAB = C ( hai góc cùng chắn 1 cung).
NAB = OAH ( hai góc cùng phụ với góc NAH)
Năm học 2007 - 2008
8
O
B
C
H
A
E
D
Trong cách 3 ta lấy C làm đỉnh và
BC làm cạnh để tạo ra hiệu B - C
trong nửa mặt phảng bờ BC chứa đỉnh
A.
Ta có BCE = CBA.
Bài toán quy về cách chứng minh
ACE = OAH.
Để chứng minh ACE = OAH ta có
thể dùng kết quả chứng minh ở bài
toán 1: Ta đợc E, O, D thẳng hàng
suy ra ACE = OAH.
.
B
C
H
A
A
O
1

.
O
C
HB
A
N
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Do đó: ABC = B = NAB + ANB = C + OAH.
Bài toán đã có cánh giải. Bạn đọc tự giải
III- chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau
a. một số gợi ý để đi đến chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau.
1. Xét vị trí các cặp góc tạo bởi 2 đờng thăng định chứng minh song song với một
đờng thẳng thứ ba ( ở các vị trí đồng vị, so le, ).
2. Sử dụng các tính chất của hình bình hành.
3. Hai đờng thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba.
4. Sử dụng tính chất đờng trung bình của một tam giác, một hình thang, hình bình
hành.
5. Sử dụng định nghĩa hai đờng thẳng song song.
6. Sử dụng kết quả các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ để suy ra các đờng thẳng tơng
ứng song song. ( Định lí Talét ).
7. Sử dụng tính chất đờng thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh bên hoặc trung
điểm hai đờng chéo của hình thang.
B. Một số bài toán minh hoạ
Bài toán 1:
Cho hình thang cân ABCD, có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB. Theo thứ tự từ A và B vẽ
các đờng thẳng song song với BC và AD cắt hai đờng chéo BD và AC tại E và F.
Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân.
GT
AB//CD

ADC = BCD
AE//BC ; BF//AD
KL
EF//DC
EDC = FCD.
1. Phân tích, tìm cách giải
Có nhiều cách để chứng minh DEFC là hình thang cân. Ta có thể chứng minh
nh sau:
Muốn chứng minh tứ giác DEFC là hình thang cân, ta đi chứng minh:
a. EF//DC.
Năm học 2007 - 2008
9
A
B
C
D
E
F
O
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
b. EDC = FCD
* Muốn chứng minh EF//DC ta chứng minh chẳng hạn
OC
OF
OD
OE
=
Ta tìm cách liên hệ các tỉ số
OD

OE
và
OC
OF
với những dữ kiện giả thiết đã có. Từ gt ta
có:
OC
OA
OB
OE
=
( vì AE//BC) (1)
OA
OF
OD
OB
=
(vì BF//AD) (2)
* Muốn chứng minh EDC = FCD, ta dễ dàng nhận ra từ điều kiện giả thiết đã cho
ABCD là hình thang cân có hai góc ở đáy bằng nhau đpcm.
Nhận xét: Nếu ta thay đổi một số dữ kiện đề bài (giả thiết) ta có một số bài toán
tơng tự nh sau:
Bài toán 1.1: Cho hình thang ABCD, có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB. Theo thứ tự từ
A và B vẽ các đờng thẳng song song với BC và AD cắt hai đờng chéo BD và AC tại E
và F. Tứ giác DEFC là hình gì?(Việc giải bài toán này tơng tự bài toán . Ta chứng
minh đợc tứ giác DEFC là hình thang.
Bài toán 1.2: Cho tứ giác ABCD lồi, theo thứ tự từ A và B vẽ các đờng thẳng song
song với BC và AD cắt hai đờng chéo BD và AC tại E và F. Tứ giác DEFC là hình
gì?
Bài toán 2:

GT
xAm = yAm
AnAm tại A
AC = AB
Năm học 2007 - 2008
10
OC
OF
OD
OE
=
bằng cách nhân
(1) với (2)
đpcm.

Gọi Am là tia phân giác của góc
xAy. Vẽ tai phân giác AnAm tại A.
Trên tia Ax và tia đối của tia Ax lần
lợt lấy 2 điểm C và B sao cho AC =
AB. Lấy điểm M bất kỳ trên tia Ay.
Nối NC và MB lần lợt cắt Am và An
tại P và Q. Chứng minh rằng PQ//BC.
C
x
m
y
n
Q
Q
P

P
M
M
B
A
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
KL PQ//BC
1. Phân tích, tìm tòi cách giải.
Có nhiều cách để chứng minh PQ//BC, sau đây chỉ là một cách trong nhiều cách
đó.
Muốn chứng minh PQ//BC ta phải chứng minh đợc
QM
QM
PM
PC
=
.
Mà
AM
AC
PM
PC
=
(AP là tia phân giác CAM)
AM
AC
QM
QB
=

(AQ là tia phân giác BAM)

QM
QM
PM
PC
=
( AC = AB)
2. Lời giải (tóm tắt)
Vì Am là tia phân giác của góc xAy mà AnAm An cúng là tia phân giác của
góc ABM.
Ta có:
AM
AC
PM
PC
=
(AP là tia phân giác CAM)
AM
AC
QM
QB
=
(AQ là tia phân giác BAM)
Mà AC = AB (gt)

QM
QM
PM
PC

=
PQ//BC đpcm.
Nhận xét:
Giả sử ta lấy thêm điểm MAy ta dễ dàng chứng minh đợc PQ//BC, PQ//PQ.
Do đó ta có bài toán nh sau:
Bài toán 2.1:
Bài toán 3.
Năm học 2007 - 2008
11
Gọi Am là tia phân giác của góc xAy. Vẽ tai phân giác AnAm tại A. Trên tia
Ax và tia đối của tia Ax lần lợt lấy 2 điểm C và B sao cho AC = AB. Lấy điểm
M,M bất kỳ trên tia Ay. Nối NC và MB lần lợt cắt Am và An tại P và Q. Nối MC,
MB lần lợt cắt Am,An tại PQ. Tứ giác PQQP là hình gì?
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Cho tam giác ABN cân tại A. Trên cạnh AN lấy điểm E, trên AN kéo dài lấy điểm
C sao cho EC = AN. Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của BC và AE. Chứng
minh PQ song song với đờng phân giác trong của góc BAN.
GT
AB = AN
EC = AN
BAI = NAI
QA = QE ; PB = PC
KL
PQ//AI
1. Phân tích tìm tòi lời giải.
Muốn chứng minh PQ//AI ta chứng
minh tứ giiác AQPI là hình bình hành.
Muốn chứng minh cho tứ giác AQPI
là hình bình hành cũng có nhièu cách khác nhau, chẳng hạn nh ta tìm cách chứng

minh cho AI // và bằng P hoặc AQ song song và bằng PI. Ta loại hớng chứng minh
AI song song và bằng PQ vì nó mâu thuẫn với ván đề đặt ra. Với mục đích chứng
minh PQ//AI. Do đó ta đi chứng minh theo hớng: AQ// và bằng PI.
Theo tính chất của tam giác cân, ta thấy ngay I là trung điểm của BBN. Từ đó
thấy ngay PI // và bằng 1/2 NC có nghĩa là PI cũng // và bằng 1/2 AE (vì AE = NC đ-
ợc suy ra từ EC= AN). Nhng 1/2 AE chính là AQ(theo gt).
Nh vậy bài toán đã có cách giải .
2. Lời giải (tóm tắt)
Ta có: BAI = NAI (tg)
AB = AN (gt)
Suy ra: IB = IN.
Mặt khác PB = PC (gt) IP//=
2
1
NC.
Nhng vì EC = AN (gt) NC = AE IP//=
2
1
AE =AQ
Vậy PI//=AQ tứ giác AQPI là hình bình hành AI//PQ.
Nhận xét: Nếu tam giác ABN không phải là tam giác cân và với giả thiết tơng tự
nh trên thì AI có song song với QP không? Câu trả lời dành cho bạn đọc.
Bài toán 4:
Cho (O) và (O) tiếp xúc ngoài với nhau tại E. Qua E vẽ cát tuyến cắt (O) và (O)
tại B và D. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.
Năm học 2007 - 2008
12
.
E
A

I
Q
N
B
P
C
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
GT
AB = AN
EC = AN
BAI = NAI
QA = QE ; PB = PC
KL
PQ//AI
1. Phân tích, tìm tòi lời giải.
Vì (O) và (O) tiếp xúc ngoài với nhau tại E nên tồn tại một tiếp tuyến chung của
(O) và (O) đi qua E, ta gọi tiếp tuyến này là MEN.
Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thang ta phải chứng minh AB // CD. Có
nhiều cách để chứng minh AB // CD, chẳng hạn ta chứng minh cho một cặp góc tạo
bởi AB, CD và AC là cặp góc so le trong và bằng nhau để suy ra AB // CD.
Muốn chứng minh AB // CD ta đi chứng minh BAE = DAE.
Ta thấy ngay: ABE = BEN (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cung
cùng chắn một cung).
DCE = DEM (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cung cùng chắn một
cung).
Mà BEN = DEM (hai góc đối đỉnh) .
Do đó ta dễ dàng suy ra đpcm.
2. Lời giải.
Qua E kẻ tiếp tuyến chung của (O) và (O).

BAE =
2
1
BE ( góc nội tiếp) (1)
BEN =
2
1
BE (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) (2)
Từ (1) và (2) BAE = BEN (a)
Hoàn toàn tơng tự ta suy ra:
DCE = DEM (b)
Mặt khác ta có DEM = BEN (c)
Do đó: BAE = DCE (từ (a), (b), (c) )
Hay BAC = DCA ( Vì A, B, C thẳng hàng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong AB // CD
Vậy tứ giác ABCD là hình thang
Nhận xét:
Năm học 2007 - 2008
13
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Nếu ABDC là hình thang, gọi E là giao điểm của 2 đờng chéo AC và BD thì đờng
tròn ngoại tiếp tam giác ABE và DEC có tiếp xúc ngoài nhau hay không? Ta có bài
toán tơng tự.
Bài toán 4.1
Cho hình thang ABCD có hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Chứng minh
rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABE và đờng tròn ngoại tiếp tam giác DCE tiếp
xúc ngoài với nhau tại E.
GT
ABCD là hình thang

AB // CD
A, B, E (O)
C, D, E (O)
KL
(O) tiếp xúc ngoài với (O)
Lời giải ( tóm tắt):
Vẽ EN là tiếp tuyến của (O) và EM là tiếp tuyến của (O).
BAE = BEN ( góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và 1 dây cùng chắn BC )
DCE = DEM ( góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và 1 dây cùng chắn DE )
Nhng BAE DCE ( vì AB // CD) BEN = DEM. Mà B, E, D thẳng hàng M, E,
N thẳng hàng.
M, E, N thẳng hàng mà OEN = 90
0
, OEM = 90
0
O, E, D thẳng hàng.
Vậy (O) tiếp xúc ngoài với (O) (đpcm).
IV - chứng minh đờng thẳng vuông góc với nhau
a. một số gợi ý dùng để chứng minh hai đờng vuông góc với nhau
1. Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bbù.
2. Hai đờng thẳng cắt nhau tạo thành một góc 90
0
.
3. Dựa vào tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180
0
, đi chứng minh
cho hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bbằng 90
0
.
4. Đờng thẳng vuông góc với một trong hai đờng thẳng song song thì vuông góc

với đờng thẳng kia.
5. Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn.
Năm học 2007 - 2008
14
A
B
N
C
D
M
0
0
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
6. Định nghĩa ba đờng cao của tam giác, định nghĩa đờng trung trực của đoạn
thẳng.
7. Tính chất tam giác can, tam giác đều
8. Tính chất ba đờng cao của tam giác.
9. Định lý Pitago.
10. Tính chất đờng kính của đờng tròn đi qua trung điểm của một dây cung hoặc
đi qua điểm chính giữa của một cung.
11. Định lý nhận biết một tam giác vuông khi biết tam giác này có trung tuyến
thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
12. Tính chất: Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông
góc với bán kính tại tiếp điểm.
13. Tính chất hai tiếp tuyến cùng xzuất phát từ một điểm ở ngoài một đờng tròn
thì đờng thẳng đi qua điểm đó và tâm đờng tròn phải vuông góc với dây cung nối hai
tiếp điểm.
14. Hệ thức lợng trong tam giác vuông:
Tam giác ABC vuông tại

V - Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
A. Một số gợi ý để đi đến chứng minh ba điểm thẳng hàng
1. Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cùng nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.
ta có BAx + xAC = 180
0

B, A, C thẳng hàng
2. Ba điểm cùng thuộc một tai hoặc thuộc một đờng thẳng.
3. Trong ba điểm nối hai trong 3 điểm có một đoạn thửng bằng tổng hai đoạn
thẳng kia.
AC = AB + BC
4. Hai đờng thẳng đi qua hai trong 3 điểm ấy cùng song song với đờng thẳng thứ
ba.
Năm học 2007 - 2008
15
b
2
= ab'
c
2
= ac'
x
AB C
A

B

C

Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -

ĐT: 0982.470.268
AB, Ac song song với a
hoặc BA, BC song song với a A, B, C thẳng hàng.
hoặc CA, CB song song với a
a
B
a 1
A
2
5. Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh C
Đờng thẳng a đi qua A, nếu ta chứng minh đợc A
1
= A
2
thì B, A, C thẳng hàng.
6. Hai đờng thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đờng thẳng thứ
ba.
AB, AC vuông góc với a
hoặc BA, BC vuông góc với a A, B, C thẳng hàng.
hoặc CA, CB vuông góc với a
7. Đờng thẳng đi qua hai trong ba điểm có chứa điểm thứ 3.
8. Sử dụng tính chất đờng phân giác của một góc, tính chất đờng trung trực của
đoạn thẳng, tính chất ba đờng cao trong tam giác.
9. Sử dụng tính chất hình bình hành.
10. Sử dụng trung điểm các cạnh bên, trung điểm đờng chéo của hình thang thẳng
hàng.
11. Sử dụng tính chất góc vuông nội tiếp đờng tròn.
12. Sử dụng tính chất các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ khi đã có 3 điểm tơng ứng
thẳng hàng :
Ta có B, D, N thẳng hàng

Nếu
E, G, F thẳng hàng , K G N
B. Một số bài toán minh hoạ:
Năm học 2007 - 2008
16
A
.
B
.
.
C
.
.
.
KN
KG
KD
KF
KB
KE
==
F
B
E
D
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
VI - Chứng minh các đờng thẳng đồng quy, các đờng tròn đồng
quy.
A. Một số gợi ý để chứng minh 3 đờng thẳng đồng quy, các đờng tròn

đồng quy.
1. Tìm giao của hai đờng thẳng, sau đó chứng minh đờng thẳng thứ
ba đi qua giao của hai đờng thẳng trên.
2. Chứng minh một điểm thuộc hai đờng thẳng.
3. Sử dụng tinhd chất đồng quy trong tam giác- Ba đ ờng thẳng
chứa các đờng trung tuyến, các đờng phan giác, các đờng trung trực,
các đờng cao của tam giác.
4. Sử dụng tính chất các đờng thẳng định trên hai đờng thẳng song
song những đoạn thẳng tỷ lệ.
5. Chứng minh cho đờng tròn cùng đi qua một điểm.
6. Tìm giaop điểm của hai đờng tròn, sau đó chứng minh cho các đ-
ờng tròn sau đi qua giao điểm đó.
VII- Chứng minh các tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đờng tròn.
A. Một số gợi ý để chứng minh tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đờng
tròn.
1. Chứng minh cho 4 đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.
Năm học 2007 - 2008
17
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
2. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
3. Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lạidới hai góc bằng nhau.
4. Chứng minh tứ giác có tổng các góc đói bằng nhau.
5. Sử dụng định lý đảo về hệ thức lợng trong đờng tròn.
6. Trờng hợp phỉ chứng minh 5 điểm trở nên cùng nằm trên một đừng tròn, ta
chon ba đỉêm nào đó có định, chọn điểm thứ 4 rồi chứng minh 4 điểm này cùng năm
tên một đờng tròn. Sau đó lại chứng minh 3 điểm cố định trên cùng với điểm thứ 5
nằm trên một đờng tròn và cứ nh thế cho đến điểm cuối cùng. Nh vậy tất cả các
điểm đó, kể từ điểm thứ 4 trở đi đều nằm trên một đờng tròn đia qua 3 điểm đã chọ

cố định, từ đó suy ra tất cả các điểm đó đều nằm trên một đờng tròn.
7. Sử dụng định lý: Tổng hai cạnh đối của một tứ giác bằng nhau thì tứ giác đó
ngoại tiếp một đờng tròn.
8. Trờng hợp chứng minh đa giác ngoại tiếp một đờng tròn ta phải chứng minh các
đờng phân giác trong của đa giác đó đồng quy tại một điểm.
9. Dựa vào định nghĩa: Phải chứng minh đợc các cạnh của đa giác tiếp xúc với một
đờng tròn.
VIII- Chứng minh các hệ thức trong hình học
A. Một số vấn đề lu ý khi chứng minh các hệ thứ.
1. Tính chất các đoạn thẳng tỷ lệ:
D'C'
B'A'
AC
AB
=

AB.CD= AB.CD
D'C'
D'C'B'A'
CD
CDAB =
=
=
D'C'CD
B'A'AB
D'C"
B'A'
CD
AB
=

=
==
2.Định lí Talet (thuận, đảo) và hệ quả của nó.
3. Tính chất đờng phân giác của tam giác. A
ABC có phân giác trong AD
và phân giác ngoài AE

EC
EB
DC
DB
AC
AB
==
E B D C
4. Các tỉ số đợc suy ra từ hai tam giác đồng dạng và lu ý hệ thức
2
S
S'
k=
(Với k là tỉ
số đòng dạng)
5. Tính chất của đờng cao, đờng phân giác và đờng trung tuyến của hai tam giác
đồng dạng.
Năm học 2007 - 2008
18
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Nếu ABC ~ ABC thì:
k

m
m'
d
d'
h
h'
===
( với h, d, m và h, d m là đờng cao tơng ứng của hai tam giác
đồng dạng).
6. Vận dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông

ABC
b
2
= ab ; c
2
ac A
a
2
= b
2
+ c
2

bc = ah
h
2
= bc
222
h

1
c
1
b
1
=+
B H C
7. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông
Nếu ABC vuông ở A thì:
b = a sinB
b = acosC
b =c tgB
b = c cotgC
8. Hệ thức lợng trong tam giác thờng.
9. Hệ thức lợng trong đờng tròn.
B. Một số bài toán minh hoạ.
Bài toán 1: (Bài 2/53 HH9)
Cho đờng tròn với đờng kính AB. Từ A và B lần lợt kẻ 2 tiếp tuyến của đờng tròn
đó. Gọi M là 1 điểm trên đờng tròn, các đờng thẳng AM và BM cắt các tiếp tuyến
trên lần lợt ở B và A.
a) Chứng minh AA.BB = AB
2

b) Qua M kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O), tiếp tuyến này cắt AA và BB lần lợt ở
C và D. Chứng minh:
)BB'(AA'
2
1
CD +=
GT

AB là đờng kính
AxAB tại A
AyAB tại B
OMCD tại M
KL
a) AA.BB = AB
2

b)
)BB'(AA'
2
1
CD +=
Năm học 2007 - 2008
19
c
c b
b
h
M
0
x
B
D
A
C
A
y
B
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -

ĐT: 0982.470.268
Với bài toán này có nhiều cách giải khác nhau sau đây tôi chỉ xin nêu ra 1 cách:
a) Muốn chứng minh AA.BB = AB
2
ta cần (phải) chứng minh đợc
B'A'
AB
AB
AA'
=
.
Muốn chứng minh đợc
B'A'
AB
AB
AA'
=
ta chứng minh cho
AAB ~ BAB.
Muốn chứng minh AAB ~ BAB ta phải chứng minh, chẳng hạn Â
1
= Â
1
.
Ta dễ dàng nhận ra Â
1
= Â
1
( cùng phụ với Â
2

). Từ đó ta chứng minh đợc câu a.
b) Muốn chứng minh
)BB'(AA'
2
1
CD +=
ta phải chứng minh đợc MC =
2
1
BB và MD
=
2
1
BB.
Muốn chứng minh MC =
2
1
BB ta phải chứng minh
CM = CA = CA.
Muốn chứng minh MD =
2
1
BB ta phải chứng minh
DM = DB = DB. Nhng CM = CA và DM = DB (theo gt). ta chỉ còn phải chứng minh
CM = CA và DM = DB.
Muốn chứng minh CM = CA ta phải chứng minh A
1
= M
1

Nhng M
1
= M
2
= A
1
đpcm.
Tơng tự ta chứng minh đợc DM = DB.
Lời giải tóm tắt
a) Ta có : Â
1
= Â
1
( cùng phụ với Â
2
)
AAB ~ BAB

B'A'
AB
AB
AA'
=
AA.BB = AB
2
b) Ta có: CM = CA (tg)
M
1
= M
2

(đối đỉnh)
M
2
= A
1
(cùng chắn cung MB)
Mà A
1
= A
1
(chứng minh trên) A
1
= M
1
CAM cân tại C
CM = CA. Vậy CM = CA = CA CM =
2
1
AA.
Chứng minh tơng tự MD =
2
1
BB.
Năm học 2007 - 2008
20
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Vậy CM + MD =
2
1

(AA + BB) = CD đpcm.
Bài toán 2.
Ba đờng trung tuyến AA
1
, BB
1
và CC
1
của tam giác ABC cắt nhau tại G. Chứng
minh rằng;
1
1
1
1
1
1
CC
GC
BB
GB
AA
GA
++
= 1
Phân tích tìm cách giải:
A
C
1
B
1

B C
Dựa vào tính chất 3 đờng trung tuyến trong tam giác ta thấy ngay:
1
1
1
1
1
1
CC
GC
BB
GB
AA
GA
==
=
3
1
đpcm.
Lời giải tóm tắt
1
1
1
1
1
1
CC
GC
BB
GB

AA
GA
==
=
3
1

1
1
1
1
1
1
CC
GC
BB
GB
AA
GA
++
=
3
1
+
3
1
+
3
1
= 1.

Bài toán 3.
Gọi AA là đờng cao của tam giác ABC (có 3 góc nhọn) nội tiếp đờng tròn đờng
kính CE = 2R. Chứng minh rằng:
AB.AC = CE.AA
Phân tích tìm cách giải.

Phân tích, tìm tòi cách giải
Muốn chứng minh AB.CA = CE.AA ta chứng minh
AC
AA'
CE
AB
=
Năm học 2007 - 2008
21
A
1
G
GT
C
1
A = C
1
B
B
1
A = B
1
C
A

1
C = A
1
B
KL
1
1
1
1
1
1
CC
GC
BB
GB
AA
GA
++
= 1
GT
AABC
Đờng kính CE =2R
KL AB.CA = CE.AA
B
E
A
C
0
A
I

Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Muốn chứng minh
AC
AA'
CE
AB
=
ta chứng minh
ABA ~ CEA ( vì EAC = 90
0
(chắn 1/2 đờng tròn)
Muốn chứng minh ABA ~ CEA ta phải chứng minh AEC = ABA.
Nhng EAC = ABC ( cùng chắn cung AC) đpcm.
Lời giải tóm tắt
EAC = 90
0
(chắn 1/2 đờng tròn)
AEC = ABA (chắn cung AC)
ABA ~ CEA
AB.CA = CE.AA đpcm
Bài toán 4: Cho hình vẽ
Hãy tự đặt ra đề toán
để chứng minh:
a) Chứng minh rằng
ABE ~ ACD ; ABC ~ AED.
b) Từ đó chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD
Năm học 2007 - 2008
22
B

C
A
D
E
0