Bộ đề toán lớp 8 cực hay

1
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a,(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1) b, x 1 + x
n + 3
x
Câu 2: Thực hiện phép tính:
2 2
2 2 2 2
x y x y
:
y xy x xy x y xy



+
ữ
ữ
+


Câu 3: Rút gọn biểu thức:
x y
A
x y
+
=
+
Câu 4:Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

2
x 3
M
x 2

=

có giá trị nguyên.
Câu 5:Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy
điểm F sao cho AE = CF.
a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân.
b)Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng minh rằng ba
điểm O, C, I thẳng hàng.
3
Câu 1: Giải phơng trình: (3x 1)(x + 1) = 2(9x
2
6x + 1)
Câu 2: Giải bất phơng trình:
x 1 x 4
3
2 2
+

Câu 3: Tính giá trị của biểu thức:
2a b 5b a
A
3a b 3a b

= +
+

Biết 10a
2
3b
2
+ 5ab = 0 và 9a

0.
Câu 4: Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
1
P
2 1
+ + +
=
- + - +
x x x
x x x x
a)Rút gọn P. b)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD.
Biết BC = 12m, AD = 27m, Tính độ dài đờng chéo AC.
Câu 6: Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta kẻ đ
thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G. Chứng minh EF + EG = 2AM.
4
Câu 1:Rút gọn biểu thức:
4 12 9
A
2 6
+
=

2
2
a a +
a a
Câu 2: Rút gọn biểu thức
0,5 2 8 2
B :
1 0,5 2 2
+ +
= +
+ +
2 3
a a a
a a a( a)
Câu 3:1) Giải bất phơng trình: (x 2)(x + 1) < 0.
2) Giải phơng trình:
2 2 2 0+ + =
2
x x x + 1
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD, trên đờng chéo AC lấy một điểm I. Tia DI cắt đờng thẳng
AB tại M, cắt đờng thẳng BC tại N. Chứng minh a)
AM DM CB
AB DN CN
= =
; b) ID
2
= IM.IN.
5
Câu 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác,

Chứng minh rằng: a
2
b + b
2
c + c
2
a +ca
2
+ bc
2
+ ab
2
a
3
b
3
c
3
> 0.
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
2 3
A
2
+ +
=
+
2
2
x x
x

Câu 3: Giải phơng trình:
1 2 3 4 + + = +x x x
Câu 4: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM và BN lần lợt vuông góc với cạnh AD và CD
tại M và N. Tính các góc của hình thoi ABCD biết rằng 2MN = BD.
7 Câu 1:Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng:
Nếu a chia cho 13 d 2 và b chia cho 13 d 3 thì : a
2
+ b
2
chia hết cho 13.
Câu 2: Cho a, b là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng: 10a
2
+ 5b
2
+ 12ab + 4a 6b + 13
Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và ADGH.
Chứng minh:1) AC = FH và AC vuông góc với FH. 2) Tam giác CEG vuông cân.
Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x
4
+ 2x
3
13x
2
14x + 24 (Với x nguyên)
1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử. 2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đờng cao của tam giác ABC. DF và EG là hai đ
cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng:
1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng. 2)Chứng minh: FG//BC.
Câu 6: 1)Chứng minh rằng phơng trình x
4

x
3
x 1 = 0 chỉ có hai nghiệm.
2)Giải và biện luận phơng trình: m
2
x + 1 = x + m (m là tham số)
8
Câu 1: Cho phân thức:
4 2
3
x 2x 1
A
x 3x 2
+
=

a.Rút gọn A. b.Tính x để A < 1.
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức:
2
3
E
x 2x 4
=
+
Câu 3: Giải phơng trình:
1 1
x(x 1) 2
=

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD với đờng chéo AC > BD. Gọi E, F lần lợt là chân đờng

vuông góc kẻ từ C đến các đờng thẳng AB và AD; Gọi G là chân đờng vuông góc kẻ từ B đến
AC, 1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF.
2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC
2
.
Bài tập t ơng tự:
1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng BH.BD + CH.CE = BC
2
.
2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD.
Chứng minh : AD
2
= AB.AC + BD.DC.
3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng
à
à
2 2
A 2B a b bc.= = +
4)Cho tam giác ABC. Biết đờng phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC kéo dài tại E.
Chứng minh rằng: AE
2
= EB.EC + AB.AC.
9
Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x
4
3x
3
+ 5x

2
9x + 6.
1)Trong trờng hợp x là số nguyên dơng. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
2)Giải phơng trình P(x) = 0.
Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác.
Chứng minh: 1) p < AC + BD < 2p; 2) p < MA + MB + MC + MD < 3p.
Câu 3: Cho a + b + c = 1, và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1.
1) Nếu
x y z
a b c
= =
. Chứng minh rằng: xy + yz + xz = 0.
2) Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tìm giá trị của a, b, c.
Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H.
1) So sánh hai góc BAH và CAH.
2) So sánh hai đoạn thẳng BD và CE.
3) Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
Câu 5: Giải phơng trình:

x 1 2 x 1 x+ =
10 Câu 1: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
4x
2
5x 6 = 0
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
2 2 3 3
2 2 2 2
x y xy x y
A :
x y x y 2xy
+ +
=
+
Câu 3: Chứng tỏ rằng bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:
2
4
5 0
x 2x 2

<
+
Câu 4: Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
x 4x 1
A

x
+
=
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > AB), đờng cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH
có chứa điểm C vẽ hình vuông AHKE.
1)Chứng minh rằng
à
0
B 45>
.
2)Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giác ABP vuông cân.
3)Gọi Q là đỉnh thứ t của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh
ba điểm H, I, E thẳng hàng.
4)Chứng minh rằng HE // QK.
11
Câu 1: Chứng minh biểu thức P =
2 2 2
2 2 2
(x a)(1 a) a x 1
(x a)(1 a) a x 1
+ + + +
+ +
không phụ thuộc vào biến x
Câu 2: Giải phơng trình: x
3
+ 12 = 3x
2
+ 4x
Câu 3: Giải phơng trình:
2

2
1 8x 4x 32x
0
4 8x 12x 6
3(4 16x )
+
+ =
+

Câu 4: Cho ba phân thức:
2 2 2
2 2 2
4xy z 4yz x 4xz y
A ; B ; C
xy 2z yz 2x xz 2y

= = =
+ + +
Trong đó x, y, z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: A.B.C = 1.
Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt đ
ờng chéo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đờng thẳng song song với AD cắt cạnh CD ở K.
Qua K kẻ đờng thẳng song song với BD cắt BC ở P. Chứng minh rằng: MP//CD.
Câu 6: Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi M, N, P, Q lần l
trung điểm của các đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB.
1)Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
2)Để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì điểm O nằm trên đờng nào của tam giác ABC?
12 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = 6x
3
+ 13x
2

+ 4x 3.
Câu 2: Giải phơng trình: (4x + 3)
3
+ (5 7x)
3
+ (3x 8)
3
= 0.
Câu 3: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)
2
= 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam giác đều
Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đờng thẳng vuông góc
với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F. Chứng minh AM = FE.
Câu 5: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao cho AM = 3AK.
Gọi N là giao điểm của BK và AC.
1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.
2)Một đờng thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lợt tại I và J.
Chứng minh rằng:
AB AC
6
AI AJ
+ =
.
13
Câu 1: Giải phơng trình:
2 3
2 1 2x 1
x 1
x x 1 x 1

= +
+
+ +
Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a

b, c

d. Chứng minh: ac + bd

bc + ad.
Câu 3: Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC.
Biết
ã
FAE
= 45
0
. Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông ABCD.
14
Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mãn
( )
1 1 1
a b c 1
a b c

+ + + + =
ữ

Tính giá trị của biểu thức: (a
23

+ b
23
)(b
5
+ c
5
)(a
1995
+ c
1995
)
Câu 2:Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho các nhị thức lần lợt là: (x 1);
(x 2); (x 3) đều có số d là 6 và tại x = 1 thì đa thức nhận giá trị là ( 18).
Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lợt lấy các
điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính số đo của góc MCN?
15
Câu 1: Cho biểu thức:
2a 1 5 a
A
3a 1 3a 1

= +
+
1)Tính giá trị của A khi
1
a
2

=
. 2)Tính giá trị của A khi 10a

2
+ 5a = 3.
Câu 2: Giải phơng trình : x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x 12 = 0.
Câu 3: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By
vuông góc với AB. Lấy C trên tia Ax, D trên tia By sao cho góc COD = 90
0
.
1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng.
2) Chứng minh : CD = AC + BD.
3) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng MN//AC.
16
Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức:
5n 11
A
4n 13

=

là số tự nhiên.
Câu 2:Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng B = n
3
+ 6n
2

19n 24 chia hết cho 6.
Câu 3: Tính tổng
1 1 1
S(n) (n N)
2.5 5.8 (3n 1)(3n 2)
= + + +
+
Câu 4:Giải phơng trình :
x 1 x 2 x 3 14 + + + =
Câu 5: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x
3
+ xy = 7.
Câu 6: Cho tam giác ABC có BC = a và đờng cao AH = h. Từ một điểm M trên đờng cao AH vẽ
đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lợt tại P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc
với BC. 1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x).
2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất.
17 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
7x 6
Câu 2:Một trờng tổ chức lần lợt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng đợc 18 cây và thêm
1/11 số cây còn lại. Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Tiếp theo lớp
thứ ba trồng 54 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Cứ nh thế các lớp trồng hết số cây và số cây
trồng đợc của mỗi lớp bằng nhau. Hỏi trờng đó đã tồng đợc bao nhiêu cây?
Câu 3: Cho biểu thức:
3
3
x 1 x 1
x 1 x 1
A
x

1
1 x
+

+
=
+

.Hãy viết A dới dạng tổng của một biểu thức nguyên
và một phân thức với bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu.
Câu 4: Chứng minh rằng Tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác thì lớn hơn
3
4
và nhỏ hơn chu vi của chính tam giác ấy.
Câu 5:Gọi O là một điểm nằm trong tứ giác lồi MNPQ. Giả sử bốn tam giác MON, NOP,
POQ, QOM có diện tích bằng nhau.
1) MP cắt NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP.
2) Chứng minh O nằm trên đờng cheo NQ hoặc đờng chéo MP của tứ giác MNPQ.
18 Câu 1: Rút gọn biểu thức: A = 75(4
1993
+ + 4
2
+ 5) + 25.
Câu 2: Tìm các số nguyên dơng n để: n
1988
+ n
1987
+ 1 là số nguyên tố.
Câu 3:Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC, O là giao điểm của hai tia phân giác trong của tam giác ABC. C/M: GO//AC.

Câu 4:Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM, trên tia đối của tia
CD lấy điểm N sao cho AD = 2CN. Gọi I là giao điểm của AM và BN.
Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, I, C, D cùng cách đều một điểm.
19 Câu 1: Chứng minh rằng: 21
30
+ 39
21
chia hết cho 45.
Câu 2: Cho a, b, c là ba số dơng. Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b 2
+ +
+ +
+ + +
Câu 3: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì: 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đờng thẳng d song song
với DM. Đờng thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P.

Chứng minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C.
Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Ngời ta lần lợt lấy các điểm M,
N, P sao cho
AM BN CP
k (k 0)
MB NC PA
= = = >
Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k.
Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
20 Câu 1: Biết m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức:
m n n p p m p m n
S
p m n m n n p p m


= + + + +
ữ ữ


Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 1985
1986
. Hỏi tổng của haio số đó có phải là bội của
1986 hay không?
Câu 3: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200 km. Cùng lúc đó có một ngời đi xe
gắn máy khác từ B đến A. Sau 5 giờ hai xe gặp nhau. Nếu sau khi đi đợc 1giờ 15 phút mà ng
đi từ A dừng lại 40 phút rồi mới đi tiếp thì phải sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai ng
mới gặp nhau. Tính vận tốc cua mỗi ngời?
Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng nếu các tam giác
AOB, BOC, COD và DOA có chu vi bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dờng chéo cắt nhau tại O. Kí hiệu S là diện tích.

Cho S
AOB
= a
2
(cm
2
) và S
COD
= b
2
(cm
2
) với a, b là hai số cho trớc.
1)Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S
ABCD
?
2) Giả sử S
ABCD
bé nhất. Hãy tìm trên đờng chéo BD một điểm M sao cho đờng thẳng qua M
song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đờng chéo AC, BD chia thành ba phần bằng nhau
21 Câu 1: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là một số chính phơng.
Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a x)y
3
(a y)x
3
+ (x y)a
3

.
Câu 3: Giải phơng trình:
2 2
1 1 1
6
x 4x 3 x 8x 15
+ =
+ + + +
Câu 4: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
+ 8x
2
+ 10x + 15 = 0.
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn); CD là đờng phân giác của góc ACB (D thuộc
cạnh AB). Qua D kẻ đờng vuông góc với CD; đờng này cắt đờng thẳng BC tại E. Chứng minh:
EC = 2BD.
Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đỉnh bằng 20
0
; cạnh đáy là a, cạnh bên là b.
Chứng minh: a
3

+ b
3
= 3ab
2
.
22

Câu 1:Giải phơng trình:
2 2x 5 3 7 =
Câu 2: Giải phơng trình:
315 x 313 x 311 x
3
105 103 101

+ + =
Câu 3:: Tìm giá trị nhỏ nhất của
4 3
4 3 2
x x x 1
A
x x 2x x 1
+ + +
=
+ +
Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của cạnh
AB, BC. Các đờng thẳng DN, CM cắt nhau tại I. Chứng minh:
1) Tam giác CIN vuông.
2) Tính diện tích tam giác CIN theo a.
3) Tam giác AID cân.
23
Câu 1:Rút gọn:
5 4 3 2
2
x 2x 2x 4x 3x 6
M
x 2x 8
+ +

=
+
Câu 2: Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất:
2
2
x 2x 1995
A (x 0)
x
+
= >
Câu 3: chứng minh rằng:
( ) ( )
n *
10 9n 1 27 n N M
Câu 4: Cho tứ giác ABCD có: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD, và BD vuông góc với BC.
1). Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
2). Tính các góc trong của tứ giác ABCD.
2). So sánh diện tích của tam giác ABD với diện tích của tứ giác ABCD.
24
Câu 1: Rút gọn rồi tính giá tị của biểu thức:
3 2
2a 12a 17a 2
A
a 2
+
=

Biết rằng a là nghiệm của phơng tình:
2
a 3a 1 1 + =

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
2
B 3x 1 4 3x 1 5= +
Câu 3: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đờng thẳng. Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH.
1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE và OBC đồng
dạng.
2). Chứng minh rằng các đờng thẳng CE và DF cùng đi qua O.
Câu 4: Cho các điểm E, F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao cho :
AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE. C/M: ID là phân giác của góc AIC.
25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phơng của nó bằng lập phơng của tổng các chữ số
của nó.
Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của tam giác để biểu
thức sau :
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ + +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: Cho ba số , y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức: S = (x 1)
1995
+ y
1996
+ (z + 1)
1997
.
Câu 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Điểm M di động trên cạnh AB; Điểm N di động trên

cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi và bằng 2a. Xác định vị trí của MN để diện
tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Câu 5: Cho tam giác ABC có
à
à
0
3A 2B 180+ =
. Tính số đo các cạnh của tam giác ABC biết các
số đo ấy là ba số tự nhiên liên tiếp.
26
Câu 1: a) Giải phơng trình:
3 x 3 2 x 2 x 1 4 + =
.
b) Giải phơng trình: x
4
+ 7x
2
12x + 5 = 0.
Câu 2: Hai đội bóng bàn của hai trờng A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đối thủ của đội A
phải lần lợt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai
đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
27
Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a
2
b + 4ab
2
a
2
c + ac
2

4b
2
c + 2bc
2
4abc.
Câu 2: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau, chứng minh rằng:
b c c a a b 2 2 2
(a b)(a c) (b a)(b c) (c b)(c a) a b b c c a

+ + = + +

Câu 3: Giải phơng trình: m
2
x + 2m = 4x + m
2
. (với x là ẩn).
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC. Kẻ tia Ax vuông
góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm đối xứng với C qua H. Kẻ Ky
vuông góc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky với AB. Tính góc AIM?
28 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a).x
4
+ 1997x
2
+ 1996x + 1997. b).bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc.
Câu 2: Tính giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz.
Biết:
a b c
x ; y ; z
b c a c a b

= = =
+ + +
Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là: 57120.
Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN =
BM. Các đờng thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Chứng minh:
1). Tứ giác ANFM là hình vuông.
2). Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 90
0
.
3). Ba diểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang(O là trung điểm FA).
Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a. Dựng một hình vuông PABC sao cho P là đỉnh và Q là trung
điểm của cạnh AB.
29 Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dơng thoả mãn điều kiện: a
2
b
2
= c
2
d
2
.
Chứng minh rằng S = a + b + c + d là hợp số.
Câu 2: chứng minh rằng nếu a, b là hai số dơng thoả mãn điều kiện a + b = 1 thì:
3 3 2
a b 2(b a)
b 1 a 1 (ab) 3

=
+
Câu 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia phân giác của

các góc BAM và DAM lần lợt cắt cạnh BC,CD tại E,F. C/M: AM vuông góc với FE.
30
Câu 1: Rút gọn biểu thức:
4 3 2
x 10
B
x 9x 9x 9x 10
+
=
+ +
Câu 2: Chứng minh rằng: A = n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4
chia hết cho 16, với mọi n là số nguyên.
Câu 3: 1). Giải phơng trình:
3 3 3
4x 3 1 3x (3 4x)(3x 1)

+ =

2). Giải bất phơng trình:
x 1 4 x
2

2 2
+

Câu 4: Giải và biện luận phơng trình sau:
x a 1 x b 1 a
x a x b (x a)(x b)
+ +
=

.
Câu 5: Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = 9 cm; đáy AB = 4 cm, cạnh xiên BC = 13
cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = AB. Đờng vuông góc với BC tại M cắt AD tại N.
1). Chứng minh rằng điểm N nằm trên tia phân giác của góc ABM.
2). Chứng minh rằng: BC
2
= BN
2
+ ND
2
+ DC
2
.
3). Tính diện tích hình thang ABCD.
31 Câu 1: Giải phơng trình:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2x x 1998 4 x 3x 950 4 2x x 1998 x 3x 950+ + = +
Câu 2: Tính giá trị của đa thức: f(x) = 6x
4

7x
3
22x
2
+ 7x + 2004,
với x là nghiệm của phơng trình 6x
2
+ 5x = 6.
Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)+ + + + + + +
Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm. Các đờng phân giác trong AD
và BE cắt nhau tại I.
1). Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD.
2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. C/M: IG//BC và suy ra độ dài của đoạn thẳng IG.
Câu 5:1). Cho tam giác ABC có góc A = 30
0
. Dựng ra bên ngoài tam giác đều BCD.
Chứng minh rằng: AD
2
= AB
2
+ AC
2
.
2). Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của một đa giác có số đo là 47058,5
Tính số cạnh của đa giác?.
32
Câu 1: C/M rằng với mọi a, b, c ta đều có:
2 2 2

19
a 9b c 2a 12b 4c
2
+ + + > + +
Câu 2: Cho x, y, z là ba số thoả mãn điều kiện:
2 2 2
3 3 3
x y z 1
x y z 1
x y z 1
+ + =


+ + =


+ + =

Hãy tính giá trị của biểu thức:
17 9 1997
P (x 1) (y 1) (z 1)= + +
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc
của H trên cạnh AC và O là trung điểm của IH. C/M: AO vuông góc với IB.
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, lấy các điểm E và K lần lợt trêncác tia AB và AC sao cho
AE + AK = AB + AC. Chứng minh rằng: EK > BC.
33
Câu 1: Với giá trị nào của a thì bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
(x a)(x 5) 0
Câu 2: Giải phơng trình:
2

x 1 a(x 1) 0
+ =
Câu 3: Cho hình vuông ABCD trên BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM. Trên tia đối của tia CD
lấy điểm N sao cho BC = 2CN. Cạnh AM cắt BN tại I và CI cắt AB tại K. Gọi H là hình chiếu
của M trên AC. Chứng minh K, M, H thẳng hàng.
Câu 4: Cho hình thang can ABCD (AB//CD) có AC = 6 cm, góc BDC = 45
0
. Gọi O là giao
điểm hai đờng chéo. Tính diện tích hình thang ABCD bằng hai cách.
34 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). x
8
+ 3x
4
+ 4 . 2). x
6
x
4
2x
3
+ 2x
2
Câu 2: Rút gọn biểut thức:
2
2
2x 3y 6 xy x 9
A
xy 2x 3y 6 xy 2x 3y 6
x 9
+ +

=
+ + + +

Câu 3: Cho 3 số a, b, c thoả mãn:
3 2 3 2 3 2
1
a b b b c c c a a
3
= = =
. C/M: a = b = c.
Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Qua trung điểm K của đờng chéo BD dựng đờng thẳng song
song với đờng chéo AC, đờng thẳng này cắt AD tại E. Chứng minh rằng CE chia tứ giác thành
hai phần có diện tích bằng nhau.
Câu 5: Dựng hình bình hành biết trung điểm ba cạnh của nó.
35
Câu 1:1). Chứng minh rằng: 8351
634
+ 8241
142
chia hết cho 26.
2). Chứng minh rằng A là số chính phơng, biết rằng A có dạng:

{


999 so 6
1998 so 1 1000 so 1
A 11 1 11 1 66 6 8

= + + +
1442443 1442443
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
4
4 2
x 1
B
x 2x 1
+
=
+ +
Câu 3:Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn đẳng thức:
a b c a c b b c a
c b a
+ + +
= =
Tính giá trị của biểu thức:
(a b)(b c)(a c)
P
abc
+ + +
=
.
Câu 4: Các đờng chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau. Qua trung điểm các cạnh AB
và AD kẻ những đờng vuông góc theo thứ tự với các cạnh CD và CB. Chứng minh rằng hai đ
ờng thẳng vuông góc này và đờng thẳng AC đồng quy.
Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB = 2a và CD =a. Hãy xác định vị trí của điểm M
trên đờng thẳng CD sao cho:
1). Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau.
2). Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D có diện tích bằng

(n 1) lần diện tích phần kia(n là số tự nhiên lớn hơn 2).
36
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2
1 1 1 1
A 1 1 1 1
2 3 4 1998

=
ữ ữ ữ ữ

Câu 2: Chứng minh rằng:
(x 1)(x 3)(x 4)(x 6) 10 1 +
Câu 3: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
4x
2
5x 6 = 0.
Câu 4:Cho tam giác ABC (BC < AB). Từ C vẽ đờng vuông góc với đờng phân giác BE tại F và
cắt AB tại K; Vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G.
C/M: DF đi qua trung điểm của đoạn thẳng GE.
37
Câu 1: Cho biểu thức:
2 2
2 2 3
2 x 4x 2 x x 3x
A :
2 x 2 x

x 4 2x x

+
=
ữ ữ
+


a). Tìm giá trị của x đê A dơng. b). Tìm giá trị của A trong trờng hợp
x 7 4 =

Câu 2: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.
1). Tính độ dài đờng cao CH của tam giác ABC.
2). Gọi CD là đờng phân giác của tam giác ACH. Chứng minh tam giác ACD cân.
3). Chứng minh rằng: BC
2
+ CD
2
+ BD
2
= 3CH
2
+ 2BH
2
+ DH
2
Câu 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm nằm trên cạnh BC. Gọi E và F lần
lợt là hình chiếu của B và C xuống đờng thẳng AM.
Xác định M trên BC để tổng BE + CF lớn nhất.
38 Câu 1:1). Xác định giá trị của m để bất phơng trình sau vô nghiệm:

2
(m 3m 2)x 3 2m +
2). Giải và biện luận phơng trình ẩn x sau:
x 2 x 1
x m x 2

=


Câu 2: Cho
a b c 0 >
. Chứng minh rằng:
a b c b a c
b c a a c b
+ + + +
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh BC kẻ DE, DF vuông
góc với AB, AC tại E và F. Chứng minh: EA. EB + FA.FC = DB.DC.
Câu 4: Giải phơng trình:
2 2
2 2
12x 12x 11 5y 10y 9
4x 4x 3 y 2y 2
+ + +
=
+ + +
Câu 5: Cho hình thoi ABCD có góc A = 60
0
. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Đờng thẳng
CM cắt đờng thẳng AB tại N. a). C/M: AB

2
= DM.BN. b). BM cắt DN tại P. Tính góc BPD.
Câu 6:Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 và
0 a 2;0 b 2;0 c 2
.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2


5.
39
Câu 1: 1). Rút gọn biểu thức:
2 4 8 16
1 1 2 4 8 16
A
1 x 1 x
1 x 1 x 1 x 1 x
= + + + + +
+
+ + + +
2). Rút gọc biểu thức:
2
2 2
2
2 2
1 1

x 9
x 9 x 9
B
1 1
x
x 9 x 9

+
+
=
+
+
39
Câu 2: Giải phơng trình:1). x
3
+ 3x
2
+ 2x + 6 = 0. 2).
2
x 1 a(x 1) 0
+ =
Câu 3: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
a b c
2
b c a c a b
+ + <
+ + +
Câu 4: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA. Trên BC lấy điểm E sao
cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng: FD = FC.
Câu 5: Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC. C/M: BC < MC.AB + MB.AC.

Câu 6: Trong tất cả các hình chữ nhật có độ dài đờng chéo không đổi là d.
Hãy tìm diện tích hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?
40 Câu 1: Cho a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn: a + b + c + d = 0.
Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)(ab cd).
Câu 2: Chứng minh rằng với ba số thực a, b, c tuỳ ý thì:
a
2
+ 4b
2
+ 3c
2
> 2a + 12b + 6c 14.
Câu 3: Cho góc xOy = 60
0
. Trên hai tia Ox, Oy lần lợt lấy các điểm tuỳ ý B và C.
Chứng minh rằng:
OB OC 2BC.+
Câu 4: Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD). Gọi M, N lần lợt là trung điểm của
cạnh AB và CD. Chứng minh rằng nếu: BC + AD = 2MN thì ABCD là hình thang.
41
Câu 1: Giải phơng trình:1).
2 2

2 2
x x x x 2
1
x x 1 x x 2
+
=
+
, 2).
2 2
x 5x 5 10x 2x 11
+ =
Câu 2: Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau.
1). Tính:
ab bc ac
S
(b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c)
= + +

2). Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
a b c
2
(b c) (c a) (a b)
+ +

.
Câu 3: Cho ba số dơng có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của 2 số bất kỳ trong ba số đó
không bé hơn tích của ba số đó.
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A (Â < 90

0
). Từ B kẻ BM vuông góc với AC.
Chứng minh rằng:
2
AM AB
2 1.
MC BC

=
ữ

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, có O là giao điểm hai đờng chéo. Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của BO, AO. Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt
cạnh AD tại K. Chứng minh rằng:
AB BC
1). 4 2). BE AK BC
BF BE
+ = +
42
Câu 1: Rút gọn biểu thức:
2 2 2
x yz y xz z xy
A
(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)

= + +
+ + + + + +
Câu 2: Cho
a 1; a c 1999; b 1 1999.< < <
Chứng minh:

ab c 3998 <
.
Câu 3: Tìm x, y, z thoả mãn phơng trình: 9x
2
+ y
2
+ 2z
2
18x + 4z 6y + 20 = 0.
Câu 4: Cho tam giác ABC (BA = BC). Trên cạnh AC chọn một điểm K nằm giữa A và C. Trên
tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho: CE = AK.
Chứng minh rằng BK + BE > BA + BC.
Câu 5: Cho tam giác đều ABC. Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác.
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác không phụ thuộc vị trí
của điểm M.
43
Câu 1: Cho biểu thức:
( )
2
2
3 3
2
1 x
1 x 1 x
B : x x
1 x 1 x
1 x

+
= +

ữ ữ
+
+


Chứng minh B luôn dơng với mọi x thoả mãn điều kiện xác định của B.
Câu 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, và E là một điểm bất kỳ trên BC (E khác B và
C). Hai đờng thẳng AE và CD cắt nhau tại F. Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD
tại I. 1). Chứng minh dóc AEI = 45
0
.
2). Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
AB AE AF
= +
3). Chứng minh diện tích tam giác AEI không nhỏ hơn
2
a
2
44
Câu 1:Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab với 2a > b > 0. Tính giá trị của biểu thức:
2 2

ab
P
4a b
=

44 Câu 2:Giải và biện luận phơng trình (ẩn x): (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x.
Câu 3: Trong một cuộc đua ôtô có 3 xe khởi hành cùng một lúc. Xe thứ hai trong một giờ chạy
chậm hơn xe thứ nhất 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km nên đến đích chậm hơn xe thứ nhất
12 phút và đến sớm hơn xe thứ ba 3 phút. Tính vận tốc mỗi xe, quãng đờng đua va thời gian
chạy của mỗi xe.
Câu 4 Cho góc nhọn xAy. Tìm tập hợp các điểm M có tổng các khoảng cách đến hai cạnh Ax
và Ay bằng một số cho trớc.
45
Câu 1: Giải phơng trình:1). (x + 2)(x + 3)
2
(x + 4) = 12. 2).
2x 1 3 x 1 2x 6 + = +
Câu 2:1). Cho đa thức : P(x) = ax
2
+ bx + c.Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000.
2).Cho ba số a, b, c thoả mãn :
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
Tính
( ) ( ) ( )
25 25 3 3 2000 2000
a b b c c a+ +
Câu 3: Cho tam giác ABC (Â < 90

0
). Dựng ra bên ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE
và ACFG. Dựng hình bình hành AEIG. Chứng minh:
1)
ABC GIA =
và CI = BF.
2) Ba đờng thẳng AI, BF, CD đồng qui.
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 5x
2
+ 2y
2
+ 4xy 2x + 4y + 2005
46
Câu 3: Giải phơng trình: 1). x
2
+ 8x 20. 2).
x 2 x 1 3 x 2 4 + =

47 Câu 1: Giải phơng trình: x
3
+ x
2
+ 4 = 0
Câu 2:
5 5 4 4
Cho x,y 0 và x y 0. Chứng minh: x y x y xy + + +
Câu 3: Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE =
2EC. Gọi O là giao điểm của CD và BE. Chứng minh rằng:
1). Hai tam giác BOC và AOC có diện tích bằng nhau.
2). BO = 3.EO.

48
Câu 1: Giải phơng trình:
2
x 3x 2 x 1 0 + + =
Câu 2: Xác định các giá trị của x, y để có đẳng thức: 5x
2
+ 5y
2
+ 8xy + 2y 2x + 2 = 0.
Câu 3: Trên cạnh AB của hình vuông ABCD ngời ta lấy một điểm tuỳ ý E. Tia phân giác của
góc CDE cắt BC tại K. Chứng minh: AE + KC = DE.
49
Câu 1: Giải phơng trình:
2
2 2 6
x 1 x 1 2(x 2)
x x 1 x x 1 x 1
+ +
=
+ + +
Câu 2: Tìm giá trị của x để biểu thức
2
x
A(x)
(x 1999)
=
+
(với x > 0) đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:

1 1 1 1 1 1
a b c b c a a c b a b c
+ + + +
+ + +
Câu 4: Cho tam giác ABC (Â = 90
0
) đờng cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt nhau tại
một điểm.
1). Chứng minh:
BH CM AD
. . 1
HC AM BD
=
. 2). Chứng minh: BH = AC.
50 Câu 1: Trong một cái hộp đựng một số táo. Đầu tiên ngời ta lấy ra một nửa số táo và bỏ lại 5
quả, sau đó lấy ra thêm 1/3 số táo còn lại và lấy thêm 4 quả. Cuối cùng trong hộp còn lại 12
quả. Hỏi trong hộp lúc đầu có bao nhiêu quả táo.
Câu 2: Cho a > 0, b > 0 và c > 0. Chứng minh:
1 1 1 3
b c a c a b a b c
+ + >
+ + + + +
Câu 3:Cho tam giác ABC vuông tại A đờng cao AH. Biết AB = 5 cm, BH = 3 cm. Tính BC ?
Câu 4: Cho tam giác ABC. Một đờng thẳng song song với BC cắt AC tại E và cắt đờng thẳng
song song với AB kẻ từ C ở F. Gọi S là giao điểm của AC và BF.
Chứng minh rằng: SC
2
= SE.SA
51
Câu 1: Giải phơng trình:

2 3
1 9x 1
x 3
x 3x 9 x 27
=
+
+ +
Câu 2: Chứng minh đẳng thức sau:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
a 3ab 2a 5ab 3b a an bn ab
a 9b 6ab a 9b 3bn a an 3ab
+ + + +
+ =
+
Câu 3: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB và CD lần lợt lấy các điểm M và K sao cho
AM = CK. Trên đoạn AD lấy điểm P tuỳ ý. Đoạn thẳng MK lần lợt cắt PB và PC tại E và F.
Chứng minh rằng:
P FE BME CKF
S S S= +
52 Câu 1:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + xy x
2
y
2
.
Câu 2: 1). Giải phơng trình: 3x
3
+ 4x
2
+ 5x 6 = 0.

2). Giải bất phơng trình:
x 3
2
x 2

>
+
.
Câu 3: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (B

A, B

C). Vẽ tia Bx
vuông góc với AC, trên tia Bx lần lợt lấy các điểm D và E sao cho BD = AB và BE = BC.
1). Chứng minh rằng: CD = AE và CD vuông góc với AE.
2). Gọi M là trung điểm của AE, N là trung điểm của CD, I là trung điểm của MN. Chứng
minh rằng khoảng cách từ I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC.
3). Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng điện tích hai tam giác ABE và BCD có giá
trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất này theo m.
Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ CH vuông góc với CM. Vẽ HN
vuông góc với DH (N thuộc BC).
1). Chứng minh rằng hai tam giác DHC và NHB đồng dạng với nhau.
2). Chứng minh rằng: AM.NB = NC.MB.
53 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức:
2
2 2
3 2 2
x 25 y 2
A : Biết: x 9y 4xy 2xy x 3
x 10x 25x y y 2

= + =
+
Câu 2: Giải phơng trình: 2x
3
+ 3x
2
+ 2x 2 = 0.
Câu 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BC và AD. K là một
điểm bất kỳ nằm giữa C và D. Gọi P và Q là các điểm đối xứng của K qua tâm M và N.
1). Chứng minh rằng Q, A, B, P thẳng hàng.
2). Gọi G là giao điểm của PN và QM. Chứng minh GK luôn đi qua điểm I cố định khi K thay
đổi tên đoạn CD.
Câu 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
C/M: 1). Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC.
2). H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác FED.
54 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). x
3
5x
2
+ 8x 4 2).
2 2
1 2 1
3x y y
3 3 3
+
Câu 2: Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: x
2
+ 4y

2
+ z
2
= 2x + 12y 4z - 14
Câu 3: Cho biểu thức:
2
2 2 3 3
x 1 2 3 x 2 6x 3x
A : 2 x
x 1 x
x 1 x 1 x 2x
+ +

= + + +
ữ
+
+

Tìm các giá trị của x để A có giá trị âm.
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài của tam giác ta vẽ các hình vuông ABDE
và ACGH.
1). Chứng minh rằng tứ giác BCHE là hình thang cân.
2). Kẻ đờng cao AH
1
của tam giác ABC. C/M các đờng thẳng AH
1
, DE và GH đồng quy.
Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M và K lần lợt là trung
điểm của AH và CD. Chứng minh rằng BM vuông góc với MK.
55 Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng cao AH. Cho biết AH = 3 cm, CH = 4 cm.

1). Tính AC và AB.
2). Vẽ đờng phân giác trong AD của góc A của tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABD.
Câu 2: Cho hình thang ABCD có AD//BC và BC = 10 cm, AD = 6 cm, AB = 4 cm và CD = 6
cm. Các đờng phân giác của góc A và B (trong hình thang) cắt nhau tại M. Các đờng phân giác
của góc C và D (trong hình thang) cắt nhau tại N. Tính MN?
56 Câu 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức A với x + y = 2005.
x(x 5) y(y 5) 2(xy 3)
A
x(x 6) y(y 6) 2xy
+ + + +
=
+ + + +
Câu 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Điểm M bất kỳ nằm trong hình thang, vẽ các hình
bình hành MDPA, MCQB. Chứng minh rằng: PQ//CD.
57
Câu 1:Cho a, b, c là 3 số khác 0 thoả mãn a + b + c = 2002 và
1 1 1 1
a b c 2002
+ + =
.
Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau.
Câu 2:Cho x, y, z là 3 số thoả mãn điều kiện: x + y + z = 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 14.
Hãy tính giá trị của biểu thức: A = 1 + x
4

+ y
4
+ z
4
.
Câu 3: Tìm 3 số x, y, z sao cho:
2 2
x 5y 4xy 10x 22y x y z 26 0+ + + + + + =
Câu 4: Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 1 1 1 1 1
a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b
+ + + +
+ + + + + + + + +
,với a,b,c > 0.
Câu 5: Cho hình thoi ABCD biết  = 120
0
. Vẽ tia Ax tạo với tia AB một góc BAx = 15
cạnh BC tại M, cắt đờng thẳng CD tại N. Chứng minh rằng:
2 2 2
3 3 4
AM AN AB
+ =
.
58
Câu 1:1). Giải phơng trình:
x 2 1 2
0
x 2 x x(x 2)
+

=

2). Giải bất phơng trình:
4x 7
2
2x 1
+
<

.
Câu 2:1). Chứng minh rằng: a
4
+ a
3
b + ab
3
+ b
4


0, với
a,b Q
.
2). Cho : 7x
2
+ 8xy + 7y
2
= 10. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A = x
2
+ y

2
.
Câu 3: Cho tứ giác ABCD. Đờng thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại P, đờng thẳng qua
B và song song với AD cắt AC tại Q. Chứng minh rằng: PQ//CD.
59
Câu 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
2 2
2 2
xy (x y) x y(x y) 1
A với x 2;y
3
2y 2x
+ + +
= = =

Câu 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
3 3 2 2
2 2
(27x y )(16y x ) 1
A với x 1; y .
2
(x 4y)(9x 3xy y )

= = =
+ + +
Câu 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, AD.
Đờng thẳng AN lần lợt cắt DM, BP tại I và J. Đờng thẳng CQ lần lợt cắt BP, DM tại H, K. Hỏi
tứ giác IJHK là hình gì?
60
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: x

3
3x
2
9x 5.
Câu 2: Chứng minh rằng phơng trình: x
4
3x
3
+ 8x 24 = 0 có đúng hai nghiệm.
Câu 3: Rút gọn biểu thức
3 3
2 2
x x x x 1 x 1 x
A :
1 x 1 x
1 x 1 x

+ +

=
ữ
ữ
+
+


Câu 4:Cho hình bình hành ABCD. Vẽ phân giác AM của góc A (M thuộc cạnh CD), vẽ phân
giác CN của góc C (N thuộc cạnh AB). Các phân giác của góc A và C cắt BD lần lợt tại E và F.
Chứng minh diện tích hai tứ giác AEFN và CFEM bằng nhau.
61

Câu 1: Tìm x thoả mãn đẳng thức:
3 2
2
6x 7x 5x 2
x 5
2x x 1
+ + +
=
+ +
Câu 2:Rút gọn biểu thức:
2
2 2
2 3x x x
A 1
3 x
x x 2xy 2y xy 2y


+
= +
ữ
ữ
+
+



62
Câu 1: Tìm giá trị nguyên của x để
3 2

2x 5x 5x 5
A
2x 1
+ +
=

có giá trị là số nguyên.
Câu 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và hai đờng cao AM và BN cắt nhau tại H. Gọi D là
điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.
1). C/M tứ giác BHCD la hình bình hành. 2). C/M hai góc BDC và BAC bù nhau.
63
Câu 1:). Rút gọn biểu thức:
2
2
3x 9 9 x
A :
5x 5
x 2x 1
+
=
+
+ +
.
63
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
( )
x y z x x y
B : : x y, y z, x z
y z y z z x

=

Câu 3:Tính giá trị của biểu thức:
3
2 2
x x
C khi x 12, y 99.
(1 xy) (x y)

= = =
+ +
Câu 4: Cho hình thang cân có hai đay dài 3 cm và 11 cm, góc của cạnh bên và đáy lớn bằng
45
0
. Tính diện tích hình thang đã cho.
Câu 5: Một hình vuông và một hình thoi có cùng chu vi. Hỏi diện tích hình nào lớn hơn? Giải
thích vì sao?
64
Câu 1: Giải và biện luận phơng trình (ẩn x):
a x a
5
10 2

= +
.
Câu 2: Giải và biện luận phơng trình (ẩn x):
x a b x b a
b a a b
+
= +

65
Câu 1: 1). Cho x, y thoả mãn x > y > 0 và x
2
+ 3y
2
= 4xy. Tính:
2x 5y
A
x 2y
+
=

2). Cho a, b, c, d thoả mãn: a + b = c + d và a
2
+ b
2
= c
2
+ d
2
.
Chứng minh rằng: a
2002
+ b
2002
= c
2002
+ d
2002
Câu 2: Cho

x 0

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2002x 2x 1
B
x
+
=
Câu 3: Cho tam giác ABC (Â = 90
0
), D là một điểm di động trên BC. Gọi E, F lần lợt là hình
chiếu vuông góc của điểm D trên AB và AC.
1). Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
2). Xác định vị trí của điểm D để tổng 3.AD + 4.FE đạt giá trị nhỏ nhất.
66 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). a
3
b
3
+ c
3
+ 3abc. 2). (a + 2)(a + 3)(a
2
+ a + 6) + 4a
2
.
Câu 2: Giải phơng trình: 1). x
8

2x
4


+ x
2
2x + 2 = 0.
2).
2 2 2
1 2 3 6
0
5
x 5x 6 x 8x 15 x 13x 40
+ + + =
+ + + +
Câu 3: 1). Chứng minh bất đẳng thức: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2


ab + ac + ad + ae.
2). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2

2
3x 4x
B
x 1
+
=
+
Câu 4:Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ đờng phân giác AA
1
của góc A và đờng trung tuyền CC
của tam giác ABC. Biết AA
1
= 2CC
1
. Tính số đo góc ACB?.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD có AC = 10 cm, BD = 12 cm. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại
O. Biết số đo góc AOB = 30
0
. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Câu 6: Trên hai cạnh AB và BC của hình vuông ABCD lấy hai điểm P và Q theo thứ tự sao cho
BP = BQ. Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ B xuống CP. C/M: số đo góc DHQ = 90
67
Câu 1:Giải phơng trình:
2
3
2x x 4
2x 1
+ =

.

Câu 2:Cho các biểu thức:
2 2
2 3 2
x 2x 1 2x 8x 10
A và B
x 4x 5 x x 5x 3
+ + +
= =
+
a). Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tơng ứng của x.
b). Tìm giá trị của x để A.B < 0.
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng cao AH và đờng phân giác BD cắt nhau tại I.
Chứng minh rằng:
1). Tam giác ADI cân.
2). AD.BD = BI.DC.
3). Từ D kẻ DK vuông góc với BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? chứng minh?
Câu 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AD là đờng phân giác.C/M rằng: AD
2
< AB.AC.
68
Câu 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
3 3
4x 6x 8x
A
2x 1
+
=

có giá trị nguyên.
Câu 2: Tìm giá trị của a, b để biểu thức B = a

2
4ab + 5b
2
2b + 5 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: Giải phơng trình:
2
3x 1 2x 5 4
2
x 1 x 3
x 2x 3
+
+ =
+
+
Câu 4: Trên quãng đờng AB dài 72 km, hai ngời khởi hành cùng một lúc đi từ A để đến B. Vận
tốc của ngời thứ nhất là 12 km/h, vận tốc của ngời thứ hai là 15 km/h. Hỏi sau lúc khởi hành
bao lâu thì ngời thứ nhất còn cách B một quãng đờng gấp đôi quãng đờng từ ngời thứ hai đến
B.
Câu 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC.
1). Tính diện tích của tứ giác AMND theo a.
2). Phân giác của góc CDM cắt BC tại P, chứng minh DM = AM + CP.
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là một điểm nằm giữa A và C, qua C dựng CE vuông
góc với đờng thẳng BD tại E. Chứng minh:
1). Tam giác ADE đồng dạng với tam giác BDC.
2). AB.CE + AE.BC = AC.BE.
69
Câu 1: Cho
x y 0, y 0+
và x
2

2y
2

= xy. Tính giá trị của biểu thức:
x y
A
x y

=
+
.
Câu 2:Giải phơng trình:
2
2x 2x 1 m x =
, với m là tham số.
Câu 3: Cho a, b là hai số thoả mãn:
2
2
2
1 b
2a 4
4
a
+ + =
. Chứng minh:
ab 2 0+
.
Câu 4: Cho các số
[ ]
a,b,c 0;1 .

Chứng minh rằng:
2 3
a b c ab bc ca 1+ +
.
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1.
Câu 6: Cho tam giác ABC, gọi D là điểm thuộc cạnh BC.
Chứng minh rằng: AB
2
.CD + AC
2
.BD AD
2
.BC = CD.BD.BC (Hệ thức Stewart).
(+) Nếu D là trung điểm của BC, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa trung tuyến AD và các cạnh của
tam giác.
(+) Nếu AD là phân giác, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa phân giác AD và các cạnh của tam giác.
70
Câu 1:Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
2
10x 7x 5
A
2x 3

=

có giá trị nguyên.
Câu 2: Giải bất phơng trình: m
2
x

+ 1 < m x.
Câu 3:1). Tìm GTNN của:
2
2
5x 4x 4
B (x 0)
x
+
=
2). Tìm GTLNt của :
2
4x 1
C
x 5
+
=
+
71
Câu 1: Cho
1 1 1
0
x y z
+ + =
. Tính

2 2 2
yz xz xy
x y z
+ +

Câu 2: Cho a,b,c là 3 số dơng. Chứng minh:
a b c 1 1 1
bc ac ab a b c
+ + + +
72 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). 4x
2
9y
2
+ 4x 6y. 2). x
2
x 2001.2002.
Câu 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. C/M: a
3
+ a
2
c abc + b
2
c + b
3
= 0.
Câu 3: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
2
3 2
x 4x 4

A
x 2x 4x 8
+ +
=
+
với x = 2002.
Câu 4:Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F là trung điểm của AD và BC.
1). Tìm điều kiện của tứ giác để 2EF = AB + CD.
2). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DF, EB, FA và EC.
Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
73 Câu 1: 1). Chứng minh rằng: (a
3
+ 11a 6a
2
6) chia hết cho 6, với mọi a nguyên.
2). Chứng minh rằng tổng các lập phơng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
Câu 2: 1). Cho a > 0, b > 0. Chứng minh:
12ab
a b
9 ab
+
+
.
2). Cho a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác.
Chứng minh: (a + b c)(b + c a)(a + c b)

abc.
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ phân giác AH. Gọi I là trung điểm của AB, đờng vuông
góc với AB tại I cắt AH tại O. Dựng M là điểm sao cho O là trung điểm của AM.
1). Chứng minh tứ giác IOMB là hình thang vuông.

2). Gọi K là trung điểm của OM. Chứng minh tam giác IKB cân.
Chứng minh tứ giác AIKC có tổng các góc đối bằng 180
0
.
Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ ba đờng cao AD, BE và CF.
1). Chứng minh: Góc FEA = góc ABC. 2). Chứng minh EB là phân giác của góc FED.
74
Câu 1: Giải phơng trình:
x 1 x 5 4 + =
Câu 2: Giải bất phơng trình:
2
(x 1)(x 3)
1
x 2x 3


+ +
.
Câu 3: Chứng minh rằng: x
2
+ 4y
2
+ z
2
+ 14

2x + 12y + 4z, với mọi x,y,z.
Câu 4: Cho a, b, c là 3 số dơng. Chứng minh rằng:
bc ac ab
a b c

a b c
+ + + +
Câu 5:1).Tìm GTNN của : M = x
2
+ x + 3. 2). Tìm GTLN của :
N 5 x 1=
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài cạnh huyền bằng 2 (đơn vị). Gọi AM, BN và
CP là các trung tuyến của tam giác.
1). Tính: AM
2
+ BN
2
+ CP
2
. 2). Chứng minh: 4 < AM + BN + CP < 5.
Câu 7: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA và CA lấy hai điểm di động M và N sao cho
BM = CN. Gọi I là trung điểm của MN. Hỏi điểm I di động trên đờng nào?.
75
Bài 1:Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ thoả mãn: abc = 1 và
2 2 2
2 2 2
a b c b c a
a b c
b c a
+ + = + +
.
Chứng minh rằng một trong ba số a, b, c là bình phơng của một số hữu tỉ.
Bài 2: Cho hai số x, y thoả mãn c:
2
2

2
1 y
2x 4
4
x
+ + =
. Xác định x, y để tích xy đạt GTNN.
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và a + b + c =2.
Chứng minh:
2 2 2
52
a b c 2abc 2
27
+ + + <
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi I là giao điểm của các đ
ờng phân giác trong, M là trung điểm của BC. Tính số đo góc BIM.
Bài 7: Cho BE và CF là hai đờng phân giác trong của tam giác ABC. Gọi O là giao điểm của
BE và CF.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi 2OB.OC = BE.CF.
Bài 8: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là 5cm, 6cm, 7cm. Tính khoảng cách giữa giao
điểm các đờng phân giác và trọng tâm của tam giác.
Bài 9: Cho tam giác ABC, hai điểm M, N theo thứ tự di động trên hai cạnh AB và AC sao cho
BN = CM. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng đờng phân giác trong của góc
BIC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 10: Trên hai cạnh góc vuông AC, BC của tam giác vuông ABC dựng ra bên ngoài tam giác
lần lợt các hình vuông ACKL và BCMN. Gọi R, P lần lợt là giao điểm của BL với AN và AC.
Gọi Q là giao điểm của BC và AN.
Chứng minh rằng diện tích tứ giác CPRQ và diện tích tam giác ABR bằng nhau.
Bài 11: Cho tam giác đều ABC, Gọi O là trọng tâm của tam giác và M là điểm bất kỳ thuộc
cạnh BC (M không trùng với trung điểm của BC). Kẻ MP và MQ lần lợt vuông góc với AB và
AC, các đờng vuông góc này lần lợt cắt OB, OC tại I và K.

1). Chứng minh rằng tứ giác MIOK là hình bình hành.
2). Gọi R là giao điểm của PQ và OM. Chứng minh R là trung điểm của PQ.
Bài 12: Tứ giác ABCD có trung điểm hai đơng chéo M, N không trùng nhau. Đờng thẳng MN
cắt AD tại P và cắt BC ở Q. Chứng minh rằng: PA.QB = PD.QC.
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc ABC = 20
0
. Kẻ phân giác trong BI và vẽ góc
ACH = 30
0
về phía trong tam giác. Tính số đo góc CIH.
Bài 14: Gọi AA
1
, BB
1
, CC
1
là các đờng phân giác trong của tam giác ABC. L là giao điểm của
AA
1
, và B
1
C
1
; K là giao điểm của CC
1
và A
1
B
1
. C/M rằng: BB

1
là phân giác của góc LBK.