dang toan boi duong HSG THCS

CÁC DẠNG TOÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS
DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 : Chứng minh số : n = 2004
2
+ 2003
2
+ 2002
2
- 2001
2
không phải là số chính phương.
Bài 2 : Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.
Bài 3 : CMR nếu 1 số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.
Bài 4 : Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương.
Bài 5 : Chứng minh số : n = 4
4
+ 44
44
+ 444
444
+ 4444
4444
+ 15 không là số chính phương.
Bài 6 : CMR : Tổng các bình phương của 4 số tự nhiên liên tiếp ko thể là số chính phương.
Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4.
Bài 7 : CM số có dạng n
6
– n
4
+ 2n

3
+ 2n
2
trong đó n
∈
N và n>1 không phải là số chính phương
Bài 8 : CMR tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.
Bài 9*: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.
CMR trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương.
A. DẠNG 2: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 10 : CM : Với mọi số tự nhiên n thì a
n
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là số chính phương.
Bài 12 : Chứng minh số : là số chính phương.
Bài 13 : Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
A = 11…1 + 44…4 + 1

2n chữ số 1 n chữ số 4

B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8

2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6

C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7

2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8

Bài 14 : Cho a = 11…1 ; b = 100…05

2008 chữ số 1 2007 chữ số 0
Chứng minh
1+ab
là số tự nhiên.

Bài 15: Chứng minh các số sau đây là số chính phương :
{
{
2 9 0
224 99 9 100 0 9
n ch so n ch so
A
−
=
B. DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 16: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n
2
+ 2n + 2004 b. n
2
+ 2n + 12 c/ n ( n+3 )
d. n
2
+ 4n + 97 e/ a
2
+ 81 f/ 13n + 3
D. DẠNG 4: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 17: Tìm các số chính phương có dạng :

a/
22ab
b/
59ab
c/
29abc
d/
32abc
Bài 18: Tìm một số chính phương có 3 chữ số và chia hết cho 56
Bài 19: Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng số đó :
a/ Chia hết cho 41 b/ Chia hết cho 54
c/ Chia hết cho 33 d/ Chia hết cho 147 và có chữ số tận cùng là 9
Bài 20 : Tìm một số tự nhiên sao cho :
a/ Nếu thêm 64 hoặc bớt đi 35 ta đều được một số chính phương.
b/ Nếu thêm 51 hoặc bớt đi 38 ta đều được một số chính phương.
Bài 21: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì
ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Bài 22: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số
chính phương. Tìm số chính phương ban đầu ( Kết quả: 1156 )
Bài 23: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ
số sau 1 đơn vị.
Bài 24*: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống
nhau.
Bài 25: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Bài 26: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai
của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Bài 27: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bởi hai
chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương
Bài 28: Cho a và b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp , chứng minh :
ab – a – b + 1

M
192
DẠNG KHÁC
Bài 29 : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương
Bài 30 : Tìm số dư của phép chia của một số chính phương lẻ cho 8.
Bài 31: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của
nó.
….………………… Hết ………………………….
Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc
Bài 1 : ∀ x, y, z chứng minh rằng :
a) x
2
+ y
2
+ z
2

≥
xy+ yz + zx
b) x
2
+ y
2
+ z
2
≥
2xy – 2xz + 2yz
c) x
2
+ y

2
+ z
2
+3
≥
2 (x + y + z)
Bài 2 : Chứng minh rằng :
a)
2
22
22






+
≥
+
baba
;
b)
2
222
33







++
≥
++
cbacba
Bài 3 : Chứng minh rằng
a)
)1.(21
2244
++−≥+++ zxxyxzyx
∀x , y, z
b)
036245
22
>+−+−+ baabba
với mọi số thực a , b, c
c)
024222
22
≥+−+−+ baabba
với mọi số thực a , b, c
Bài 4 Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q

2
+1≥ m(n+p+q+1)
Bài 5 : Cho abc = 1 và
36
3
>a
. CMR
+
3
2
a
b
2
+c
2
> ab+bc+ac
Bài 6 : Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a)
ab
b
a ≥+
4
2
2

b)
baabba ++≥++ 1
22
c)
( )

edcbaedcba +++≥++++
22222

Bài 7 : cho x.y =1 và x>y . Chứng minh
yx
yx
−
+
22
≥
22
Bài 8 : CMR:
a/ P(x,y)=
2 2 2
9 6 2 2 0x y y xy y+ − − + ≥

Ryx ∈∀ ,

b/
cbacba ++≤++
222
với mọi số thực a , b, c
Bài 9 Cho x > y và xy =1 .CMR
( )
( )
8
2
2
22
≥

−
+
yx
yx
Bài 10 : Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a)
≥
8abc
Bài 11 : Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR:
9
111
≥++
cba

Bài 12 : Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
10
2222
≥+++++++++ acddcbcbadcba
Bài 13 : Cho a>0 , b>0, c>0. CMR:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac

b
cb
a

Bài 14 : Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1
CMR
3
1
222
≥++ cba
Bài 15 : Cho a,b,c là các số dương
CMR
( )
9
111
.
≥






++++
cba
cba

Bài 16 : Với mọi số tự nhiên n > 1 , CMR
1 1 1 1

2 1 2n n n n
< + + +
+ + +
Bài 17 : Với n là số nguyên CMR:
a/
( )
112
1

3
1
2
1
1 −+>++++ n
n

b/
1 1 1 1

1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2n n
+ + + <
− +
Bài 18 : CMR
2
1
1
2
<
∑
=

n
k
k

Zn ∈∀
Bài 19 : Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của một tam giác, CMR :
a/ a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ac)
b/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
c/
)(2
222
cabcabcbacabcab ++<++<++
Bài 20 : Cho a,b,c > 0 CMR
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b

cb
a
Bài 21 : Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR:
8
1625
>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a

Bài 22 : Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. CMR
9
2
1
2
1
2
1
222
≥
+
+
+

+
+ abcacbbca
(1)
Bài 23 : Cho x
0≥
, y
0≥
thỏa mãn
12 =− yx
CMR
5
1
≥+ yx
Bài 24 : CMR
nn
1
2
1

2
1
1
1
222
−<+++

1; >∈∀ nNn
(1)
Bài 25 : Cho
Nn ∈

và a+b> 0. CMR
n
ba






+
2
≤

2
nn
ba +
(1)
ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 26 : Tìm GTLN của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
Bài 27 Giải pt :
a/ ( x
2
+ 4)(y
2
+ 9) = 24xy với x, y > 0
b/ (x
2
+ 1)(y
2
+ 9)(z

2
+ 16) = 96xyz với x, y, z > 0
Bài 28 Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn :
2 2 2
3 2 4x y z xy y z+ + ≤ + + −
Bài 29 : Giải hệ pt:

4 4 4
1x y z
x y z xyz
+ + =


+ + =


&&&
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
CAM LÂM NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN THI : TOÁN HỌC
Ngày thi : 20.9.2008
Thời gian : 120 phút
A. PHẦN SỐ HỌC:
Bài 1 : ( 1,5 điểm)
Tìm số chính phương có dạng
22ab
Bài 2 : (1,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n , ta có :
10
n

+ 18n – 28
M
27
B. PHẦN ĐẠI SỐ :
Bài 1 : (2 điểm)
Giải phương trình :
2 2 2
1 1 4
1
3 2 6 2 3x x x x x x
− + = −
+ + − − − −
Bài 2 : ( 2 điểm)
a/ Chứng minh :
2
2 2
2 2
x y x y+ +
 
≥
 ÷
 
b/ Cho a, b > 0 và a + b = 1 . Chứng minh rằng :
2 2
1 1 25
2
a b
a b
   
+ + + ≥

 ÷  ÷
   
C. HÌNH HỌC :
Bài 1 : (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm M, vẽ MN song song với BC (N thuộc cạnh
AC ). Lấy điểm E thuộc đoạn thẳng NC ( E khác N, C ). Qua C vẽ đường thẳng song song với
ME , cắt AB tại K. Chứng minh rằng :
AB.AN= AE. AK
Từ đó suy ra BE // KN
Bài 2: ( 2 điểm )
Cho tam giác ABC vông tại A . Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Kẻ DE
vuông góc với BC. Chứng minh rằng :
a/ EC
2
= EB
2
+ 4 DK
2
b/ Cho EC = 5 EB. So sánh
&
DEK ABC
S S
∆ ∆