Đề thi HSG lớp 8 09-10 toán

Phòng GD&ĐT Lâm Thao Đề THI chọn hs năng khiếu cấp huyện
Môn Toán lớp 8 - Năm học 2009 - 2010
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2 điểm) - Chọn một trong 3 câu sau:
a/ Tìm các chữ số x, y sao cho
22
yyxxxxyy +=

b/ Chứng minh rằng nếu p và p
2
+2 là hai số nguyên tố thì p
3
+ 2 cũng là số
nguyên tố.
c/ Tìm các cặp số nguyên dơng (x, y) thỏa mãn phơng trình:

7456
22
=+
yx

Câu 2: (3 điểm).
a/ Cho biểu thức: A =

+
+
+
3
1
2
3
2
xx
x
:
x
xx
x
x
3
13
1
42
2

+
+

Rút gọn biểu thức A rồi tìm giá trị của x để A < 0.
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =
32
1063
2
2

++
++
xx
xx
Câu 3: ( 3 điểm).
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của B, D
lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD.
1) Tứ giác DFBE là hình gì ? Vì sao ?
2) Chứng minh:
AKADAHABAC
2
+=
Câu 4: ( 1 điểm).
Cho một góc nhọn xOy và một điểm M ở trong góc ấy. Hãy dựng qua M một đ-
ờng thẳng cắt hai cạnh của góc đó ở A và B sao cho tổng
MBMA
11
+
là lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm).
Cho ba số x, y, z thỏa mãn đồng thời:
121212
222
++=++=++ xzzyyx
= 0
Tính giá trị của biểu thức:
2010430
zyxA ++=

Phòng GD&ĐT Lâm Thao Hớng dẫn chấm Môn Toán lớp 8

Năm học 2009 - 2010 Kỳ thi chọn HSNK cấp huyện
Ngày thi 22/4/2010 - Thời gian làm bài: 120 phút

Câu Nội dung chấm (Tóm tắt) Điểm
Đề chính thức
1
(2 đ)
2
(3 đ)
a/ Tìm các chữ số x, y sao cho
22
yyxxxxyy +=

HD: Ta có:
22
yyxxxxyy +=
)(11)99(11
222
yxyxx
+=++
suy ra
yx
+
chia hết cho 11,
tức là
yx
+
= 11.
Suy ra:
22

9 yxx +=
và chỉ có một cặp duy nhất thỏa mãn, đó
là: x = 8; y = 3.
Thử lại: 8833 =
22
3388 +
(đúng).
b/ Chứng minh rằng nếu p và p
2
+2 là hai số nguyên tố thì p
3
+ 2
cũng là số nguyên tố.
HD: Nhận xét rằng:
Mọi số nguyên tố khác 3 đều có dạng p = 3k
1
, trong đó k là
số nguyên dơng nào đó.
Nếu p = 3k +1 thì
3692
22
++=+
kkp
chia hết cho 3.
Nếu p = 3k - 1 thì
3692
22
+=+ kkp
cũng chia hết cho 3.
Do

2p
nên cả hai trờng hợp
2
2
+p
đều là hợp số. Thành thử
2
2
+p
là nguyên tố khi p = 3 khi đó
292
3
=+
p
là số nguyên tố.
(đpcm).

c/ HD:
Từ phơng trình đã cho suy ra:

2
y
chẵn và 0 <
2
y


14
Suy ra
2

y
= 4


2
x
= 9
Do x, y nguyên dơng, nên x = 3, y = 2 thỏa mãn.
a/ (2 điểm).
Cho biểu thức: A =







+
+
+
3
1
2
3
2
xx
x
:
x
xx

x
x
3
13
1
42
2

+
+

Rút gọn biểu thức A rồi tìm giá trị của x để A < 0.

ĐK: x

0, x

-1, x

2
1
,
Ta có

+
+
+
3
1
2
3
2
xx
x
=
( )( )
( )
13
21212
)1(3
)41(2
)1(3
28
)1(3
99623
2222
+
+
=
+

=
+
+

=
+
+++
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
xxxxx
do đó:
x
xx
x
x
xx
xx
A
3
13
1
)21.(2
:
)1(3
)21)(21(2
2

+
+

+
+
=
=
x
xx
x
x
xx
xx
3
13
)21(2
1
.
)1(3
)21)(21(2
2

+

+
+
+

3
1
3
)1.(

33
13
3
21
22

=

=

=

+
+
=
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
x

Ta có: A < 0

0
3
1

<
x


x-1< 0

x < 1.
Kết hợp với điều kiện ban đầu thì A< 0 khi và chỉ khi:
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
3
(3 đ)
4
(1 đ)
x < 1; x

0; x

-1, x

2
1
b/ ( 1 điểm):
Ta có B =
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
=
2)1(
1
3
32
1
3
22
++
+=
++
+
xxx

5,3
2
1
3 =+
Dấu bằng xẩy ra khi x = -1. Vậy B max = 3,5, khi x = -1.

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lợt là hình
chiếu của B, D lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB
và AD.
a/ (1,5 đ). Tứ giác DFBE là hình gì ? Vì sao ?
b/ (1,5). Chứng minh rằng
AKADAHABAC
2
+=
HD:
B
C
D
A
H
K
E
F
a) Ta có
BE AC
DF AC

=> BE //DF (1)


ABE =

CDF (ch, gn) , suy ra BE = DF (2)
Từ (1) và (2) => Tứ giác BEDF là hình bình hành.
b/ Ta có :
Tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACH (g, g) suy ra:

AEACAHAB
AH
AE
AC
AB
==
(1)
Tam giác ADF đồng dạng với tam giác ACK (g, g) suy ra:

AFACAKAD
AK
AF
AC
AD
==
(2)
Cộng vế của (1) và (2), ta đợc:
AB. AH +AD. AK = AC. AE + AC. AF= AC.( AE + AF )= AC. AC= AC

2

(do AE = FC). ( đpcm)
Cho một góc nhọn xOy và một điểm M ở trong góc ấy. Hãy
dựng qua M một đờng thẳng d cắt hai cạnh của góc đó ở A và B
sao cho tổng
MBMA
11
+
là lớn nhất.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
x
A
PN
5
(1 đ)

HD tóm tắt:
Vẽ MN // Oy, ON // AB. Từ giao điểm P của MN với OA kẻ PQ //
AB. Dễ dàng chứng minh đợc:
PQONMA
111
=+
; ON = MB.

Vế trái đạt giá trị lớn nhất khi PQ nhỏ nhất. Vì OM cố định, P cố
định nên PQ nhỏ nhất khi PQ vuông góc với OM, tức AB vuông góc
với OM.
Hay, đờng thẳng d vuông góc với OM tại M
Cho ba số x, y, z thỏa mãn đồng thời:
121212
222
++=++=++ xzzyyx
Tính giá trị của biểu thức:
2010430
zyxA ++=
HD:
Từ giả thiết ta có :
2
2
2
2 1 0
2 1 0
2 1 0
x y
y z
z x

+ + =

+ + =


+ + =

Cộng từng vế các đẳng thức ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + =

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 0x y z + + + + + =
(*)
Do ( x+1)
2


0 ; ( y+1)
2


0 ; ( z+1)
2


0 nên:
(*) xảy ra
1 0
1 0
1 0
x
y
z

+ =


+ =


+ =

1x y z
= = =

3)1()1()1(
20104302010430
=++=++= zyxA
Vậy A = 3.

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
B
O
M
y
Q
d