Công thức xác suất thông kê doc

A. Một số công thức phần xác suất
I. Xác suất của biến cố:
*
n(A)
m(A)
P(A)
=

P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc
* A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) =
P(B)+P(C)-P(B.C) nếu B và C là không xung khắc
P(B).P(C) nếu B và C là độc lập
• A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) =
P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) nếu B và C là không độc lập

*
n21n21
A AA AAA
+++=
*
n21n21
A A.A AAA
=++

* P(A)+
( )
AP
=1
• Công thức Bernoulli:
( ) ( )
xn

xx
nn
p1pCxP
−
−=
, x = 0,1,2,…,n
• Công thức Xác suất đầy đủ:
∑
=
=
n
1i
ii
))P(A/HP(HP(A)
• Công thức Bayes:
n1,2, ,i
/A))P(HP(H
/A))P(HP(H
P(A)
/A))P(HP(H
/A)P(H
n
1i
ii
iiii
i
=∀==
∑
=

II. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất:
1. Các tham số đặc trưng:

∑
=
n
1i
i
p
i
x
nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc
E(X) =

∫
+∞
∞−
xf(x)
nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục

∑
=
n
i
ii
px
1
2
nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc
E(X

2
) =

∫
+∞
∞−
)(
2
xfx
nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục
V(X)=
( )( )
2
XEXE
−
=
( )
( )( )
2
2
XEXE
−
( )
)(XVX
=
σ
Phạm Hương Huyền-TKT
1
2. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng:
♦X∼A(P) ⇒

*
( ) ( )
1;01
1
=−==
−
xppxXP
x
x
* E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ;
( )
)1( ppX
−=
σ
♦ X∼B(n,p) ⇒


( q=1-p )
*
( ) ( )
nxppCxXP
xn
xx
n
, ,1,01
=−==
−
* E(X)=np ; V(X)=npq ;
( )

npqX
=
σ

Nx
∈
0

* Mốt của X∼B(n,p): x
0
=

pnpxpnp
+≤≤−+
0
1
♦ X∼P(λ) ⇒
*
( )
!
1)(
x
e
ppCxXP
x
xn
xx
n
λ
λ

−
−
≈−==
; x=0,1,2,…
( n khá lớn, p khá nhỏ; λ=np )
* E(X)=V(X)=λ;
( )
λσ
=
X
* Mốt của X∼P(λ):
λλ
≤≤−
0
1 x
; x
0
∈N
♦ X∼N(µ,σ
2
)
( )
2
2
2σ
μx
e
2
1
f(x)

−
−
∏
=⇒
( σ > 0 )
* E(X)=µ ; V(X)=σ
2
; σ(X)=σ
*






−
Φ−






−
Φ=<<
σ
µ
σ
µ
ab

bXaP
00
)(
* P(X<b)
5,0
0
+






−
Φ≈
σ
µ
b
* P(X>a)






−
Φ−≈
σ
µ
a

0
5,0
*
( )






Φ=<−
σ
ε
εµ
0
2XP
Phạm Hương Huyền-TKT
X 0 1
P 1-p p
X 0 1 … x … n
P

000
−
n
n
qpC

111
−

n
n
qpC
…
xnxx
n
qpC
−
…
0
qpC
nn
n
2
• Giá trị tới hạn chuẩn:
* Định nghĩa:
( )
α
α
=>
UUP
, U∼N(),1)
* Chú ý:
645,1;96,1;
05,0025,01
==−=
−
UUUU
αα

• Giá trị tới hạn Student:
* Định nghĩa:
( )
( )
α
α
=>
n
TTP
, T∼T(n)
* Chú ý:
αααα
UTTT
nnn
≈−=
−
)()()(
1
;
với
30
≥
n
• Giá trị tới hạn Khi bình phương:
* Định nghĩa:
( )
( )
αχχ
α
=>

n
P
22
, χ
2
∼χ
2
(n)
• Giá trị tới hạn Fisher- Snedecor:
* Định nghĩa:
( )
( )
α
α
=>
21
,nn
FFP
, F ∼ F(n
1
,n
2
)
* Chú ý:
( )
( )
12
21
,
1

,
1
nn
nn
F
F
α
α
−
=
III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc
X
Y

1
x
2
x
….
i
x
….
n
x
Tổng
1
y
P(x
1
,y

1
) P(x
2
,y
1
) …. P(x
i
,y
1
) …. P(x
n
,y
1
) P(Y=y
1
)
2
y
P(x
1
,y
2
) P(x
2
,y
2
) … P(x
i
,y
2

) … P(x
n
,y
2
) P(Y=y
2
)
… …. …. … … … …. ….
j
y
P(x
1
,y
j
) P(x
2
,y
j
) …. P(x
i
,y
j
) …… P(x
n
,y
j
) P(Y=y
j
)
…. …. …. …. …. …. … ….

m
y
P(x
1
,y
m
) P(x
2
,y
m
) …. P(x
i
,y
m
) … P(x
n
,y
m
) P(Y=y
m
)
Tổng P(X=x
1
) P(X=x
2
) … P(X=x
i
) …. P(X=x
n
) 1

•
( ) ( )
jiji
yYxXPyxP
===
,,
•
( )
( ) ( ) ( )
∑∑
==
====
n
i
jij
m
j
jii
yxPyYPyxPxXP
11
,;,
•
( )
( )( )
( )
( )
j
ji
ji
yYP

yYxXP
yYxXP
=
==
===
,
/
•
( ) ( )( )( )( )
( )
)()(,)(((,
1 1
YEXEyxPyxYEYXEXEYXCov
n
i
m
j
jijiXY
−=−−==
∑∑
= =
µ
•
( ) ( )
YX
XY
XY
σσ
µ
ρ

=
Phạm Hương Huyền-TKT
3
•
( )
),(2)()(
22
YXabCovYVbXVabYaXV
++=+
III. Một số quy luật số lớn:
• Bất đẳng thức Trêbưsép:
X bất kỳ; E(X), V(X) hữu hạn; ε>0

( )
( )
2
)(
1
ε
ε
XV
XEXP
−≥<−
( )
( )
2
)(
ε
ε
XV

XEXP
≤≥−⇔
• Định lý Trêbưsép:
X
1
, X
2
,…, X
n
độc lập từng đôi; E(X
i
), V(X
i
) hữu hạn ∀i=1,2,…,n; ε>0
( )
1
11
11
=








<−
∑∑
==

∞→
ε
n
i
i
n
i
i
n
XE
n
X
n
PLim
• Định lý Bernoulli:
f là tần suất xuất hiện biến cố A trong lược đồ Bernoulli với 2 tham số n, p
ε > 0 , ta có
( )
1
=<−
∞→
ε
pfPLim
n
B. Một số công thức trong phần Thống kê toán
I. Một số công thức trên mẫu:

( )
∑
∑∑

=
==
−=
−
=
−===
k
i
ii
k
i
ii
k
i
ii
xn
n
sMs
n
n
s
xxMsxn
n
xxn
n
x
1
22*
2
2

1
22
1
)(
1
;
1
;
1
;
1
µ

* Tần suất mẫu f là hình ảnh của tham số p trong tổng thể ở trên mẫu.
* Tổng thể : X∼
( )
2
,
σµ
N
⇒
X
∼









n
N
2
,
σ
µ
⇒
( ) ( )
n
XVXE
2
,
σ
µ
==
* Tổng thể X∼A(p) ⇒ f ∼






n
pq
pN ,
⇒
( ) ( )
n
pq

fVpfE
==
,

( khi n đủ lớn).

II. Một số công thức về ước lượng:
1. Ước lượng giá trị tham số
µ
trong quy luật
( )
2
,
σµ
N
Phạm Hương Huyền-TKT
4

Công
thức
Trường hợp đã biết
2
σ
(ít gặp)
Trường hợp chưa biết
2
σ
(thường gặp)
n
≤

30 n>30
KTC
đối
xứng
22
αα
σ
µ
σ
U
n
xU
n
x
+<<−
)1(
2
)1(
2
−−
+<<−
nn
T
n
s
xT
n
s
x
αα

µ
22
αα
µ
U
n
s
xU
n
s
x
+<<−
KTC
ước
lượng
max
µ
α
σ
µ
U
n
x
+<
<
µ

( )
1
−

+
n
T
n
s
x
α
<
µ

α
U
n
s
x
+
KTC
ước
lượng
min
µ
α
σ
µ
U
n
x
−>
>
µ

( )
1
−
−
n
T
n
s
x
α
>
µ

α
U
n
s
x
−
Công
thức
xác
định
kích thước
mẫu mới
(n
*
) sao
cho: Giữ

nguyên độ
tin cậy
(1-
α
) và
muốn độ
dài
khoảng
tin cậy đối
xứng I
≤

I
0

2
2/
2
0
2
*
4
α
σ
U
I
n
≥
2)1(
2/

2
0
2
*
)(
4
−
≥
n
T
I
s
n
α
2
2/
2
0
2
*
4
α
U
I
s
n
≥
Chú ý :
2
I

=
ε
2. Ước lượng giá trị tham số p trong quy luật A(p)

KTC đối xứng

22
)1()1(
αα
U
n
ff
fpU
n
ff
f
−
+<<
−
−
KTC ước lượng
max
p

α
U
n
ff
fp
)1(

−
+<
KTC ước lượng
min
p

α
U
n
ff
fp
)1(
−
−>
Công thức xác định kích
thước mẫu mới (n
*
) sao cho:
Giữ nguyên độ tin cậy (1-α) và
muốn độ dài khoảng tin cậy
đối xứng I
≤
I
0

( )
2
2/
2
0

*
14
α
U
I
ff
n
−
≥

Chú ý :
2
I
=
ε
Phạm Hương Huyền-TKT
5
Chú ý:
Nếu P=
N
M
thì có thể ước lượng M qua P và N (quan hệ M và P là thuận chiều), có thể ước
lượng N qua P là M (quan hệ N và P là ngược chiều).
3. Ước lượng giá trị tham số
2
σ
trong quy luật
( )
2
σ,μN

Công thức Trường hợp đã biết
µ
(ít gặp)
Trường hợp chưa biết
µ
(thường gặp)
KTC hai phía
( )
nn
snsn
2
2
1
2*
2
)(2
2/
2*
αα
χ
σ
χ
−
<<
( )
12
2
1
2
2

)1(2
2/
2
)1()1(
−
−
−
−
<<
−
nn
snsn
αα
χ
σ
χ
KTC ước
lượng
max
2
σ

( )
n
ns
2
1
2*
2
α

χ
σ
−
<
( )
12
1
2
2
)1(
−
−
−
<
n
sn
α
χ
σ
KTC ước
lượng
min
2
σ

( )
n
ns
2
2*

2
α
χ
σ
>
( )
12
2
2
)1(
−
−
>
n
sn
α
χ
σ
III. Một số công thức về kiểm định giả thuyết thống kê
♦Kiểm định về tham số của quy luật phân phối gốc
1. Bài toán kiểm định về tham số
µ
trong quy luật
( )
2
,
σµ
N
:
a. Bài toán so sánh

µ
với giá trị thực cho trước
0
µ
Trường hợp
2
σ
đã biết (ít gặp)
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
0
µµ
=

H
1
:
0
µµ
>


( )











>
−
==
αα
σ
µ
UU
nx
UW ;
0
H
0
:
0
µµ
=

H
1
:
0
µµ

<


( )










−<
−
==
αα
σ
µ
UU
nx
UW ;
0
H
0
:
0
µµ
=

H
1
:
0
µµ
≠


( )










>
−
==
2/
0
;
αα
σ
µ
UU

nx
UW
Trường hợp
2
σ
chưa biết (thường gặp)
Cặp giả thuyết
cần
kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
Trường hợp n
≤
30 Trường hợp n>30
H
0
:
0
µµ
=
H
1
:
0
µµ
>

( )
( )











>
−
==
−
1
0
;
n
TT
s
nx
TW
αα
µ

Phạm Hương Huyền-TKT
6
( )











>
−
==
αα
µ
UU
s
nx
UW ;
0
H
0
:
0
µµ
=

H
1
:
0
µµ
<

( )
( )










−<
−
==
−
1
0
;
n
TT
s
nx
TW
αα
µ
( )











−<
−
==
αα
µ
UU
s
nx
UW ;
0
H
0
:
0
µµ
=

H
1
:
0
µµ

≠

( )
( )










>
−
==
−
1
2/
0
;
n
TT
s
nx
TW
αα
µ
( )











>
−
==
2/
0
;
αα
µ
UU
s
nx
UW
b. Bài toán so sánh hai tham số
1
µ
với
2
µ
của 2 quy luật phân phối chuẩn
Trường hợp

2
2
2
1
,
σσ
đã biết (ít gặp)
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
21
µµ
=

H
1
:
21
µµ
>

















>
+
−
==
αα
σσ
UU
nn
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
H
0
:

21
µµ
=

H
1
:
21
µµ
<
















−<
+
−
==

αα
σσ
UU
nn
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
H
0
:
21
µµ
=

H
1
:
21
µµ
≠

















>
+
−
==
2/
2
2
2
1
2
1
21
;
αα
σσ
UU
nn
xx

UW
Trường hợp
2
2
2
1
,
σσ
chưa biết; n
1

30≥
, n
2

30≥
(thường gặp)
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
21
µµ
=

H
1

:
21
µµ
>
















>
+
−
==
αα
UU
n
s
n
s

xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
H
0
:
21
µµ
=

H
1
:
21
µµ
<

















−<
+
−
==
αα
UU
n
s
n
s
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
Phạm Hương Huyền-TKT
7
H

0
:
21
µµ
=

H
1
:
21
µµ
≠
















>
+

−
==
2/
2
2
2
1
2
1
21
;
αα
UU
n
s
n
s
xx
UW
Trường hợp
2
2
2
1
,
σσ
chưa biết
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H

0
H
0
:
21
µµ
=

H
1
:
21
µµ
>

( )















>
+
−
==
k
TT
n
s
n
s
xx
TW
αα
;
2
2
2
1
2
1
21
H
0
:
21
µµ
=

H
1

:
21
µµ
<

( )














−<
+
−
==
k
TT
n
s
n
s

xx
TW
αα
;
2
2
2
1
2
1
21
H
0
:
21
µµ
=

H
1
:
21
µµ
≠

( )















>
+
−
==
k
TT
n
s
n
s
xx
TW
2/
2
2
2
1
2
1
21

;
αα

( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
21
2
1
1
2
1
2
1
2
2
21
//
/
;
111
11
nsns
ns
c
cncn
nn
k

+
=
−−+−
−−
=
2. Bài toán kiểm định về tham số
2
σ
trong quy luật
( )
2
,
σµ
N
:
a. Bài toán so sánh
2
σ
với giá trị thực cho trước
2
0
σ
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
2

0
2
σσ
=

H
1
:
2
0
2
σσ
>


( )






>
−
==
−
)1(22
2
0
2

2
;
1
n
sn
W
αα
χχ
σ
χ
Phạm Hương Huyền-TKT
8
H
0
:
2
0
2
σσ
=

H
1
:
2
0
2
σσ
<

( )






<
−
==
−
−
)1(2
1
2
2
0
2
2
;
1
n
sn
W
αα
χχ
σ
χ

H
0
:
2
0
2
σσ
=

H
1
:
2
0
2
σσ
≠

( )






<>
−
==
−
−

−
)1(2
2/1
2)1(2
2/
2
2
0
2
2
;
1
nn
hay
sn
W
ααα
χχχχ
σ
χ
b. Bài toán so sánh hai tham số
2
1
σ
với
2
2
σ
của 2 quy luật phân phối chuẩn
Cặp giả thuyết cần

kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
2
2
2
1
σσ
=

H
1
:
2
2
2
1
σσ
>







>==

−−
)1,1(
2
2
2
1
21
;
nn
FF
s
s
FW
αα
H
0
:
2
2
2
1
σσ
=

H
1
:
2
2
2

1
σσ
<







<==
−−
−
)1,1(
1
2
2
2
1
21
;
nn
FF
s
s
FW
αα
H
0
:

2
2
2
1
σσ
=

H
1
:
2
2
2
1
σσ
≠







<>==
−−
−
−−
)1,1(
2/1
)1,1(

2/
2
2
2
1
2121
;
nnnn
FFhayFF
s
s
FW
ααα
3. Bài toán kiểm định về tham số p trong quy luật A(p):
a. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p
0
cho trước:
Cặp giả thuyết cần
kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
0
pp
=

H
1

:
0
pp
>


( )
( )










>
−
−
==
αα
UU
pp
npf
UW ;
1
00
0

H
0
:
0
pp =

H
1
:
0
pp <


( )
( )










−<
−
−
==
αα

UU
pp
npf
UW ;
1
00
0
H
0
:
0
pp =

H
1
:
0
pp ≠

( )
( )











>
−
−
==
2/
00
0
;
1
αα
UU
pp
npf
UW
Phạm Hương Huyền-TKT
9
b. Bài toán so sánh hai tham số
1
p
với
2
p
của 2 quy luật Không-Một

Trong đó:
21
2211
nn
fnfn

f
+
+
=
♦
Kiểm địnhphi tham số
• Kiểm định về dạng quy luật phân phối gốc:
* Cặp giả thuyết cần kiểm định:
H
0
: X ∼ Quy luật A
H
1
: X ∼ Quy luật A
(Xét quy luật A là rời rạc)
* Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
:
( )
( )











>
′
′
−
==
−−
=
∑
122
1
2
2
;
rk
k
i
i
ii
n
nn
W
αα
χχχ

Trong đó:
Mẫu ngẫu nhiên 1 chiều về X là X(n); x
i
xuất hiện n
i
lần ;

nn
k
i
i
=
∑
=
1
;
ii
npn
=
′
;
( )
ii
xXPp
==
; r là số tham số trong quy luật A cần ước lượng, tham số của quy luật A được ước
lượng bằng phương pháp ước lượng hợp lý tối đa;
• Kiểm định về tính độc lập hay phụ thuộc của 2 dấu hiệu định tính:
* Cặp giả thuyết cần kiểm định:

H
0
: X , Y là độc lập
H
1
: X , Y là phụ thuộc
* Miền bác bỏ của giả thuyết H

0
:
Phạm Hương Huyền-TKT
Cặp giả thuyết cần
kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0

H
0
:
21
pp =
H
1
:
21
pp >
( )















>








+−
−
==
αα
UU
nn
ff
ff
UW ;
11
1
21
21

H
0
:
21

pp =
H
1
:
21
pp <

( )














−<









+−
−
==
αα
UU
nn
ff
ff
UW ;
11
1
21
21

H
0
:
21
pp =
H
1
:
21
pp ≠

( )















>








+−
−
==
2/
21
21
;
11
1
αα

UU
nn
ff
ff
UW

10
( )( )( )










>








−==
−−
= =

∑∑
1122
1 1
2
2
;1
kh
h
i
k
j
ji
ij
mn
n
nW
αα
χχχ
Trong đó:
Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X,Y là X(n); giá trị (x
i
,y
j
)xuất hiện n
ij
lần;
nmnnnnmn
k
j
j

h
i
i
h
i
k
j
iji
k
j
ijj
h
i
ij
=====
∑∑∑∑∑∑
=== ===
111 111
,,
.
• Kiểm định Jarque-Bera về dạng phân phối chuẩn:
H
0
: X tuân theo quy luật phân phối chuẩn
+> H
1
: X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn
→ MBB của H
0
:







>






−
+==
2(2)
α
2
4
2
3
α
χJB;
24
3)(a
6
a
nJBW
( a
3

là hệ số bất đối xứng, a
4
là hệ số nhọn)

Phạm Hương Huyền-TKT
11