Chương 3: Một số phép tính về ma trận doc

Một số phép tính về ma trận
1/ Phép nhân vô hướng và có hướng:
r
M
0
r
M
i
X
0
Z
0
Y
0
r
E
0
E
2. Quỹ đạo
Xét điểm M bất kỳ cố định trên khâu thứ i. Trong quá trình tay máy chuyển
động trong không gian làm việc, tại mỗi thời điểm M sẽ ở một điểm có tọa độ
xác định. Tập hợp tất cả vị trí cuả M theo thời gian sẽ tạo ra một đường dẫn
liên tục, được gọi là quỹ đạo của M.
Có hai dạng bài toán cơ bản liên quan tới quỹ đạo của khâu tác động cuối:
- Bài toán thuận;
- Bài toán ngược.
2.1 Bài toán thuận động học tay máy
Cho trước cơ cấu và quy luật chuyển động của các yếu tố được thể hiện bởi
các toạ độ suy rộng qi, ta phải xác định quy luật chuyển động của điểm trên
khâu tác động cuối nói riêng và của điểm M bất kỳ trên tay máy nói chung
trong hệ trục tọa độ tuyệt đối.

Bài toán thuận luôn có một nghiệm duy nhất.
2.2 Bài toán ngược động học tay máy
Cho trước cơ cấu và quy luật chuyển động của một điểm trên khâu tác
động cuối hoặc quy luật chuyển động và hướng của khâu tác động cuối trong
hệ trục toạ độ tuyệt đối,
phải xác định quy luật chuyển động của các khâu thành viên được thể hiện
bằng các toạ độ suy rộng qi .
Có nhiều ngiệm!
E
O
0
r
E
0
O
1
O
2
O
3
Vị trí cuả điểm O
i
trong hệ trục tuyệt đối được xác định bởi vector:
0
0 0 0
0
0
0
0 0 0
i i i i i

x y z
i
x
i i
y
i
z
O O o o x o y o z
o
o o
o
= = + +
 
 
=
 
 
 
(.)
i
o
là hình chiếu của vector o
i
trên trục tọa độ (.)
O
0
O
i
o
i

2. Ma trận quay hệ trục
2.1 Thiết lập
x
i
y
i
z
i
x
0
y
0
z
0
o
P
Tọa độ P trong hệ trục i:
p
i
=[p
xi
p
yi
p
zi
]
T
Tọa độ P trong hệ trục 0:
p
0

=[p
x0
p
y0
p
z0
]
T
Vì pi và p0 là hai vector cùng thể hiện điểm P nên:
p0 = pxi xi + pyi yi + pzi zi
= [ xi yi zi] pi
= R
0
i . pi
R
0
i được gọi là matrận quay hệ trục, xác định hướng của hệ trục Oixiyizi
trong hệ O0x0y0z0
[ ]










==

i
z
i
z
i
z
i
y
i
y
i
y
i
x
i
x
i
x
iii
i
zyx
zyx
zyx
zyxR
000
000
000
0
0
[ ]











==
i
zj
i
zj
i
zj
i
yj
i
yj
i
yj
i
xj
i
xj
i
xj
j

iiij
i
zyx
zyx
zyx
zyxR
Tổng quát
⊕
X
i
y
i
y
0
Quay quanh OZ
0.

X0
Z
0 ,
Z
i

(chiều từ sau tới)
X
i

⊕
z0
y0

X0 (từ sau tới)
y
i
z
i
- Quay quanh X
0
x
0
z
0
z
i
x
i
⊕
Y
0
(chiều từ sau tới)
3. Phép biến đổi thuần nhất
Sử dụng phép biến đổi thuần nhất sẽ xác định được vị trí tương
đối và hướng giữa các hệ trục. Do đó sẽ xác định được vị trí và
hướng của tất cả các khâu và tay gắp.
3.2 Phép chuyển đổi thuần nhất
Cho điểm P có tọa độ trong hệ địa phương
O
i
P=p

i
(p
xi
, p
yi
, p
zi
)
Ta phải xác định hình chiếu của P trong hệ tọa độ tuyệt đối:
OP=p
0
(p
x0
, p
y0
, p
z0
)=?
p
i
p
0
Nếu biết O
i
(a,b,c): tọa độ của gốc O
i
trong hệ O
0
O
i

p
0
p
i
trong trường hợp tổng quát:
0 0 0 1
xj yj zj
j
xj yj zj
i
xj yj zj
xi xi xi a
yi yi yi b
A
zi zi zi c
 
 
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
 
j
i
R

0 0 0 1
a
b
c
O
i
(a,b,c)
(j)
III. Xác định vị trí và hướng