Các bài tập về Talét và tam giác đồng dạng( thêm)

N
M
C
B
A
Bài 1. Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. Từ H vẽ HI ⊥ AB tại I và HJ ⊥ AC tại
J. Gọi AM là trung tuyến của ∆ABC.
a. Biết AB = 30cm, AC = 40cm. Tính BC, AH, BI.
b. Chứng minh: IJ = AH và AM ⊥ IJ.
c. Chứng minh: AB . AI = AC . AJ; ∆AIJ và ∆ ACB đồng dạng.
Chứng minh: ∆ABJ và ∆ ACI đồng dạng; ∆BIJ và ∆IHC đồng dạng
Bài 2.Cho ∆ABC đều. Trung tuyến AM. Vẽ đường cao MH của ∆AMC.
a. Chứng minh: ∆ABM và ∆AMH đồng dạng.
b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BM, MH. Chứng minh: AB . AF = AM .
AE.
c. Chứng minh: BH ⊥ AF.
d. Chứng minh: AE . EM = BH . HC.
Bài 3.Cho ∆ABC. Kẻ DE // BC sao cho DC
2
= BC . DE.
a. Chứng minh: ∆DEC và ∆CDB đồng dạng. Suy ra cách dựng DE.
Chứng minh: AD
2
= AC . AE và AC
2
= AB . AD
Bài 4.Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20cm, CD = 25cm, DA = 8cm, đường chéo BD
= 10cm.
a. Nêu cách vẽ tứ giác ABCD.
b. Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?
c. Chứng minh: AB // CD

Bài 5.Cho hình bình hành ABCD. Hình chiếu của A trên CD là H, trên BC là K.
a. Chứng minh: ∆AHD và ∆AKB đồng dạng.
b. Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để các ∆AHC và ∆AKC đồng
dạng ?
Bài 6.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABÂD = ACÂD. Gọi E là
giao điểm của của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh:
a. ∆AOB và ∆DOC đồng dạng.
b. ∆AOD và ∆BOC đồng dạng.
c. EA . ED = EB . EC.
Bài 7.Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE.
a. Chứng minh: ∆ABD đồng dạng với ∆ACE.
b. Chứng minh: ∆ADE đồng dạng với ∆ABC.
Tính AÊD biết ACÂB = 48
0
Bài 8 (1 iđ ểm): Cho ABC, AD là tia phân giác của góc
·
BAC
, AB = 3cm, AC = 5cm. Tính tỉ
số
DB
DC
.
Bài 9 (2 iđ ểm) . Tính BC trong hình vẽ sau:
Biết MN // BC và
AM
AB
=
1
2
; MN = 3cm.

N
M
C
B
A
Bài 10 (4 iđ ểm): Cho tam giác ABC, trong đó AB = 15cm, AC = 20cm. Trên cạnh AB lấy điểm
E sao cho AE = 6cm.
a) Chứng minh ABC đồng dạng AED.
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác AED và ABC.
c) Tính diện tích tam giác AED, biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 140cm
2
.
Bài 11 (4 iđ ểm): Cho tam giác DEF, trong đó DE = 10cm, DF = 15cm. Trên cạnh DE lấy điểm I
sao cho DI = 4cm, DF lấy điểm K sao cho DK=6cm.
a) Chứng minh DEF đồng dạng DIK.
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác DIK và DEF.
c) Tính diện tích tam giác DEF, biết rằng diện tích tam giác DIK bằng 100cm
2
.
Bài 12 (1 iđ ểm): Cho ABC, AM là tia phân giác của góc BAC, AB = 4cm, AC = 6cm. Tính tỉ
số
MC
MB
.
Bài 13. (2 iđ ểm) . Tính MN trong hình vẽ sau:
Biết MN // BC và AB = 6cm , AM = 4cm ; BC = 9cm.
Bài 14 (4 iđ ểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường
cao AH ( AH ⊥BC)
a) Hãy các cặp tam giác vuông đồng dạng? Vì sao? ( 2.0 điểm )
b) Tính BC, AH ( 1 điểm)

c) Tính diện tích các tam giác vuông. ( 1 điểm )
Bài 15.(1 iđ ểm ). Cho tam giác ABC, biết BD là tia phân giác của góc
·
ABC
, BA = 2cm, BC =
3cm. Tính tỉ số
DA
DC
.
Bài 16.(2 iđ ểm): Ở hình vẽ bên đoạn thẳng DB // AC và cắt
hai cạnh AK, CK tại B và D. Tính DB
Bài 17.(4 iđ ểm): Cho tam giác ABC biết cạnh AB = 12 cm, AC = 15 cm. Trên cạnh AB lấy
điểm M sao cho AM = 10cm, trên AC lấy điểm N sao cho AN = 8 cm.
a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác NAM.
b) Tính tỉ số đồng dạng k.
Cho biết diện tích tam giác ABC bằng 36 cm
2
. Tính diện tích của tam giác ANM
Bài18: Cho
∆
ABC biết AB = 2 cm, AC = 4 cm. Vẽ một đường thẳng qua B cắt AC tại D sao
cho
·
ABD
=
·
BCD
. Tính độ dài AD, DC.
Bài 19. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ®Ønh A. Cã AB = 9 cm. AC = 12 cm. Tia ph©n gi¸c cña gãc A
c¾t c¹nh BC t¹i D. Tõ D kÎ DE vu«ng gãc víi AC (E thuéc AC).

a. Chứng minh CA.CD = CB.CE
2
5
2,5
k
D
C
B
A
b. Tính CD, DB, DE.
c. TÝnh diƯn tÝch cđa tam gi¸c ABD vµ ACD.
Bài 20: (2đ)
Cho MN // BC. Tìm x trong hình vẽ sau:
Bài 21: (3đ)
Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 8cm; AC = 6cm.
a. Tính độ dài cạnh BC
b. Vẽ tia phân giác của
µ
A
cắt BC tại D. Tính độ dài cạnh DB; DC.
Bài 22: (5đ)
Trên một cạnh của góc xOy (xOy ≠ 180
0
) đặt các đoạn thẳng OA = 8cm ; OB =
20cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 10cm ; OD =
16cm.
c. Chứng minh ∆OAD và ∆OCB đồng dạng.
d. Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh IA. ID = IB. IC
e. Cho biết tổng chu vi của ∆OAD và ∆OCB là 81cm. Tính chu vi của mỗi
tam giác.

BÀI 23: Cho
∆
ABC vu«ng t¹i A. §êng cao AH c¾t ®êng ph©n gi¸c BD t¹i I. Chøng minh:
a) IA.BH = IH.BA
b) AB
2
= BH.BC
c)
DC
AD
IA
HI
=
BÀI 24: Cho khác 180 có đỉnh 0 , trên cạnh OX lấy các iđ ểm A và B sao cho OA = 4cm
Và OB = 5cm . Trên cạnh OY iđ ểm C và D sao cho OC = 2,5cm và OD = 8cm .
Chứng minh rằng : Tam giác DAO đồng dạng Tam giác BCO .
BÀI 25: Cho tam giác ABC , có cạnh AB = AC = 10cm và cạnh BC = 12cm ,
các đường cao AD và CE cắt nhau tại H .
a, Tính độdài AD ?
b, Chứng minh rằng : Tam giác ABD đồng dạng với tam giác CBE .
c, Tính độ dài BE và HD ?
BÀI 26:Cho hçnh chỉỵ nháût ABCD cọ AB = 8cm; BC = 6cm.V âỉåìng cao AH ca
ABD∆
.
Chỉïng minh ràòng :
a/
ADH∆
~
BDA∆
b/ AD

2
= DH.BD
c/ Tênh DH , AH.
Bài 27 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) .Kẻ phân giác góc B cắt AC tại E .
Kẻ CD vuông góc với BE.
a/ C/m: Tam giác ABE đồng dạng với tam giác CDE.
b/ Góc EBC bằng góc ECD
c/ Cho AB = 3cm, AC = 4 cm. Tính : EC ?
Bài28 : Cho tam giác ABC có : AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Kẻ AD
⊥
BC , CE
⊥
AB.
AD cắt CE tại H.
a/ Tính : AD
b/ C/m : Tam giác ABD đồng dạng với tam giác CBE .
c/ Tính BE, HD ?
BÀI 29. Cho tam gi¸c ABC cã AD lµ ph©n gi¸c. §êng th¼ng a song song víi BC c¾t AB AD
vµ AC lÇn lỵt t¹i M, I, N. Chøng minh:
MI
NI
=
BD
CD

BÀI 30. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ®Ønh A. Cã AB = 9 cm. AC = 12 cm. Tia ph©n gi¸c cđa gãc
A c¾t c¹nh BC t¹i D. Tõ D kỴ DE vu«ng gãc víi AC (E thc AC).
a, TÝnh ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng BD, CD, DE.
b, TÝnh diƯn tÝch cđa tam gi¸c ABD vµ ACD.
BÀI 31:Cho ∆ABC vng tại A (AC > AB). Kẻ tia phân giác của góc B cắt AC tại E. Từ C hạ

đoạn thẳng CD vng góc với tia phân giác BE (D thuộc tia BE).
a) Chứng minh ∆BAE ∽ ∆CDE
b) Chứng minh
·
·
EBC ECD=
c) Cho AB = 3 cm, AC = 4 cm. tính EC.
BÀI 32: (4 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, BC=6cm. Vẽ đường cao AH của
∆
ADB.
a)Chứng minh
∆
AHB
∆
BCD
b)Chứng minh AD
2
=DH.DB
c)Tính độ dài các đoạn thẳng DH và AH?
.