Đáp án đề thi HKII Toán 10 - Nâng cao

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN : TOÁN - KHỐI 10 (NÂNG CAO)
Thời gian: 90 phút
ĐỀ BÀI
Bài 1: (4 điểm)
1. Giải phương trình sau:
2 1 3x x x+ − − =
2. Giải bất phương trình sau:
2
2 3 1 1x x x− + ≥ +
Bài 2: (1điểm)
Tính các giá trị lượng giác: sin
8
π
, cos
8
π
, tan
8
π
, cot
8
π
Bài 3: (4 điểm)
1. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết C(4; -1), đường cao và trung
tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt có phương trình là: 2x – 3y + 12 = 0; 2x + 3y = 0.
2. Lập phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F
1
(-2;0) và tâm sai
2
3

e =
.
Bài 4: (1điểm)
Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn
4 2 4
3 6 2 6
x y z
x y z
+ + =


+ − =

Chứng minh rằng:
3 6
5 6 7
7 7
x y z≤ − + ≤
Hết
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 2 - KHỐI 10 –KHTN
Câu Nội dung Điểm
1.1
Giải phương trình:
2 1 3x x x+ − − =
(1)
ĐK:
1
2 1 0
2
3 0 3

0 0
x
x
x x
x x

≥ −

+ ≥



− ≥ ⇔ ≥ ⇔
 
 
≥ ≥




3x
≥
(2)
Với ĐK (2) thì phương trình (1) tương đương với phương trình
( )
( )
2
2 1 3
2 1 2 3 2 3
3 2

1
3 4 0
4
x x x
x x x x
x x
x
x x
x
+ = − +
⇔ + = − + −
⇔ − =
= −

⇔ − − = ⇔

=

Đối chiếu với ĐK (2) ta suy ra: x = 4 là nghiệm.
0,5
1,0
0,5
1.2
Giải bất phương trình sau:
2
2 3 1 1x x x− + ≥ +
(1)
Ta có:
( )
( )

2
2
2
1 0
2 3 1 0
1
1 0
2 3 1 1
x
x x
x
x x x

+ ≤



− + ≥


⇔

+ <





− + ≥ +




2
1
1
1
2
1
5 0
x
x
x
x
x x
 ≤ −



 ≥







≤
⇔







> −



− ≥



1
1
1
0
1 0
5 5
5
0
x
x
x
x
x
x x
x
x
≤ −


≤ −


> −
 ≤



⇔ ⇔ − < ≤ ⇔




≥ ≥




≥




≤




1,0
1,0

2
Tính các giá trị lượng giác: sin
8
π
, cos
8
π
, tan
8
π
, cot
8
π
Vì
0;
8 2
π π
 
∈
 ÷
 
nên sin
8
π
, cos
8
π
, tan
8
π

, cot
8
π
đều dương
Áp dụng công thức: cos2a = 1 – 2sin
2
a = 1 + 2cos
2
a
Ta có:
• sin
1 2 1
1 os 1
8 4
2 2
c
π π
−
= − = − =
•
1 2 1
os 1 os 1
8 4
2 2
c c
π π
+
= + = + =
0,25
0,25

0,25
•
2 1
sin
2 1
2
8
tan
8
2 1
2 1
os
8
2
c
π
π
π
−
−
= = =
+
+
•
1 1 2 1
cot
8
2 1
2 1
tan

8
2 1
π
π
+
= = =
−
−
+
0,25
3.1 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết C(4; -1), đường cao và
trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt có phương trình là: 2x – 3y + 12 = 0;
2x + 3y = 0.
Giả sử đường cao BK: 2x – 3y + 12 = 0
Trung tuyến BM : 2x + 3y = 0.
Toạ độ điểm B là nghiêm của hệ:
( )
2 3 12 0 3
3;2
2 3 0 2
x y x
B
x y y
− + = = −
 
⇔ ⇒ −
 
+ = =
 
* Đường thẳng BC đi qua B, véc tơ chỉ

phương
( )
7; 3BC −
uuur
có phương trình:
3 2
3 7 5 0
7 3
x y
x y
+ −
= ⇔ + − =
−
* Đường thẳng AC đi qua C vuông góc với BK có phương trình:
4 1
3 2 10 0
2 3
x y
x y
− +
= ⇔ + − =
−
Ta có:
M AC BM= ∩
nên toạ độ M là nghiệm của hệ:
( )
3 2 10 0 6
6; 4
2 3 0 4
x y x

M
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒ −
 
+ = = −
 
Vì M là trung điểm của AC nên toạ độ điểm A là: A(8; -7)
* Đường thẳng AB có véc tơ chỉ phương là
( )
11;9AB −
uuur
nên phương trình đường thẳng AB là:
3 2
9 11 5 0
11 9
x y
x y
+ −
= ⇔ + + =
−
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
3.2
Lập phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F

1
(-2;0) và tâm sai
2
3
e =
.
Giả sử Elip có phương trình chính tắc là:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
* Tiêu điểm F
1
(-2;0) nên c = 2
* Tâm sai
2 2
3
3 3
c
e a
a
= ⇒ = ⇒ =
*
2 2 2
9 4 5b a c= − = − =
. Nên phương trình chính tắc của Elip là:

2 2

1
9 5
x y
+ =
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn
4 2 4
3 6 2 6
x y z
x y z
+ + =


+ − =

B
A K M C
Chứng minh rằng:
3 6
5 6 7
7 7
x y z≤ − + ≤
Ta có:
( )
( )
4 2 4 1

3 6 2 6 2
x y z
x y z
+ + =


+ − =


Cộng (1) và (2) ta được: 7x +7y = 10
10
7
y x⇒ = −
thay vào (1) được:
18 6
3 2 0
7 7
x z x+ = ⇒ ≤ ≤
(3)
Nhân (1) với 6 rồi trừ cho (2) ta được: 21x + 14 z =18
18 21
14
x
z
−
⇒ =
Khi đó:
10 18 21 6 7
5 6 7 5 7
7 14 14

x x
x y z x x
− +
   
− + = − − + =
 ÷  ÷
   
. Kết hợp với (3) ta suy ra:
6
6 7.
6 3 6
7
5 6 7 5 6 7
14 14 7 7
x y z x y z
+
≤ − + ≤ ⇔ ≤ − + ≤
(đfcm)
0,25
0,25
0,25
0,25