Đề+ĐA HSG Toán 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUỲNH LƯU
KIỂM TRA HỌC SINH XẾP LOẠI HỌC LỰC GIỎI
Năm học 2009-2010
Môn: Toán 8 - Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (3,0 điểm)
a, Tìm số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 3. Nếu đổi vị trí chữ số hàng
chục và chữ số hàng đơn vị thì được một sô có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu là
45.
b, Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng n
5
và n có chữ số tận cùng bằng nhau
Câu 2: (2,0 điểm) Cho a + b = x + y; a
2
+ b
2
= x
2
+ y
2
.
Chứng minh rằng: a
2010
+ b
2010
= x
2010
+ y
2010

Câu 3: (2,0 điểm)

a, Giải phương trình:
4 3
2 4 0x x x
+ + − =
b, Giải hệ phương trình:
2 2
2
3
1 0
x xy y
z yz

− + =

+ + =

Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo.
Vẽ góc xOy = 45
0
sao cho Ox cắt BC tại G (G nằm giữa B, C) Oy cắt DC tại H
(H nằm giữa D, C). Gọi M là trung điểm AB.
Chứng minh rằng:
a, ΔHOD đồng dạng ΔOGB.
b, GM // AH.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho ΔABC biết góc A bằng 2 lần góc B và bằng 4 lần góc C.
Chứng minh rằng:
1 1 1
AB BC AC
= +
.

Hết
B
M
A
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUỲNH LƯU
HƯỚNG DẪN CHẤM
Kiểm tra HS học lực giỏi - Năm học 2009-2010
Môn: Toán Lớp 8
Câu Nội dung Điểm
1
a) Gọi số cần tìm là
ab
ta có
45 (10 ) (10 ) 45 5ab ba a b b a a b− = ⇒ + − + = ⇒ − =
(*)
mà
3 3 3;6;9;12;15;18ab a b a b
⇒ + ⇒ + =
M M
(**)
Từ (*) và (**) suy ra a + b = 9; 15
Với
5 7
9 2
a b a
a b b
− = =
 
⇒

 
+ = =
 
Với
5
10 vô lý
15
a b
a
a b
− =

⇒ =

+ =

Vậy số phải tìm là 72
b) Xét n
5
– n = n(n
4
– 1) = n(n
2
+ 1)(n – 1)(n + 1)
= n(n
2
– 4 + 5)(n – 1)(n + 1)
= (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2) – 5n(n – 1)(n + 1)
Vì (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2)
M

10, 5n(n – 1)(n + 1)
M
10
Suy ra điều phải chứng minh
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2
Từ a + b = x + y (*)
⇒
a – x = y – b
Mặt khác a
2
+ b
2
= x
2
+ y
2

⇒
a
2
– x
2
= y
2

– b
2

⇒
(a + x)(a – x) = (y + b)(y – b)
⇒
(a + x)(a – x) = (y + b)(a – x)
⇒
0(**)
(***)
a x
a x b y
− =


+ = +


Với
2010 2010 2010 2010
a b x y
b y a b x y
a x
+ = +

⇒ = ⇒ + = +

=

(1)

Với
2010 2010 2010 2010
a b x y
a y b x a b x y
a x b y
+ = +

⇒ = ⇒ = ⇒ + = +

+ = +

(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
0,5
0,5
0,5
0,5
3 a, x
4
+ x
3
+ 2x -4 =0
⇔
(x - 1)(x + 2)(x
2
+ 2) = 0 => x=1 hoặc x = -2
b,
2 2
2
3

1 0
x xy y
z yz

− + =

+ + =


⇔

2 2 2
2 2
2 3
( ) ( 4) (1)
4
1
( ) (4 ) (2)
2 4
x y
y
y
z y

− =− −




+ =− −




2
4 0
2
4 0 2
2
4 0
y
y y
y

− ≤

⇔ ⇒ − = ⇔ =±


− ≤

+) Với
2 1, 1y x z
= ⇒ = = −
+) Với
2 1, 1y x z
= − ⇒ = − =
1
1
O
G

D
1
4 a,
∠
HOD +
∠
O
1
=135
0

∠
OGB +
∠
O
1
=135
0
nên
∠
HOD =
∠
OGB
->ΔHOD đồng dạng ΔOGB (g.g)
b, từ câu a, suy ra :

HD DO
OB BG
=
đặt BM = a

Thì AD = 2a , OB = OD =
2a
Ta có HD.BG = OB.OD =
2a
.
2a
=2a.a =AD.BM
=>
BG
BM
AD
HD
=
=> ΔAHD đồng dạng với ΔGMB(c.g.c)
=>
∠
AHD =
∠
GMB do đó
∠
HAB =
∠
GMB => MG // AH
1
1
5 Gọi D là giao điểm của AB
với đường trung trực của đoạn BC.
Khi đó ta có:
ΔBCD cân tại D, ΔACD cân tại C
AB AB

DB DC CA
CA DB
⇒ = = ⇒ =
(1)
Do CA là phân giác
AB AD AB AD
BC DC BC DB
⇒ = ⇒ =
(Vì DC
=DB) (2)
Cộng theo vế (1) và (2) ta được:
1 1 1
1
AB AB AB AD
AC BC DB DB AC BC AB
+ = + = ⇔ + =
1
H
C
D
CB
A
2


3
4