phương pháp chứng minh vuông góc

IV. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Dùng định nghĩa :
·
( , )
90
o
a b a b= ⇔ ⊥
2. Dùng tích vô hướng
Với
u, v
r r
là vectơ chỉ phương của a
và b thì a ⊥ b ⇔
u v.
r r
= 0
3. Chứng minh đường thẳng a
vuông góc đường thẳng c song
song với b
//b c
a b
a c

⇒ ⊥

⊥

4. Chứng minh đường thẳng a
vuông góc với mặt phẳng (α)
chứa đường thẳng b.
( )

( )
a
a b
b
α
α
⊥

⇒ ⊥

⊂

5. Chứng minh a và b đồng phẳng rồi áp dụng tính chất trong hình học
phẳng như : Pytago đảo, trung tuyến tam giác cân, tính chất đường
cao, …
6. Chứng minh a nằm trong mp
(α) và a vuông góc với hình chiếu
b’ của b trên mặt phẳng (α) (định
lí 3 đvg)
( )
( )
'
a
a b
a b b
ch
α
α
⊂


⇒ ⊥

⊥ =

7. Chứng minh đường thẳng a
vuông góc với một mp (P) và (P)
song song với đường thẳng b
( )
//( )
a P
a b
b P
⊥

⇒ ⊥


V. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG.
1. Chứng minh đường thẳng a
vuông góc với 2 đường thẳng b và
c cắt nhau nằm trong mặt phẳng
(α) .
( ), ( ), c
( )
,
b c b
a
a b a c
α α
α

⊂ ⊂

⇒ ⊥

⊥ ⊥

caét
2. Chứng minh đường thẳng a
song song với b và b vuông góc
với mặt phẳng (α).
//
( )
( )
a b
a
b
α
α

⇒ ⊥

⊥

3. Chứng minh đường thẳng a
vuông góc với mp(β) và (β) song
song (α)
( )//( )
( )
( )
a

a
α β
α
β

⇒ ⊥

⊥

4. Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⊂ (α)
5. Chứng minh đường thẳng a
nằm trong (α) và vuông góc với
giao tuyến b của hai mặt phẳng
(α) và (β) vuông góc nhau.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
a
b a
a b
β α
α β α
⊂ ⊥


∩ = ⇒ ⊥


⊥

6. Chứng minh đường thẳng a là

giao tuyến của hai mặt phẳng (β)
và(γ) cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba (α).
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a
a
γ β
β α α
γ α
= ∩


⊥ ⇒ ⊥


⊥

VI. CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1.Dùng định nghĩa chứng minh
góc giữa hai mp bằng 90
o
·
(( );( )) ( ) ( )
90
o
α β α β
= ⇔ ⊥
2.Chứng minh mặt phẳng này

chứa đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng kia
( )
( ) ( )
( )
a
a
α
α β
β
⊂

⇒ ⊥

⊥

Bài tập
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc
với đáy.
a) Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông và (SBD) ⊥ (SAC).
b) Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’.
Chứng minh B’D’ // BD và AB’ ⊥ SB, AD’ ⊥ (SCD).
c) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc nhau.
d) Gọi M là 1 điểm di động trên đoạn BC, K là hình chiếu của S trên DM. Tìm quỹ tích
các điểm K khi M di động.
e) Đặt BM = x. Tính độ dài SK theo a và x. Tìm giá trị nhỏ nhất của SK.
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA vuông góc với
(ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC.
a) Chứng minh : (SAB) ⊥ (SBC) ; (AHK) ⊥ (SBC).
b) Chứng minh rằng tứ giác BCHK nội tiếp được.

c) Tìm hình chiếu J của S lên mp(AKC).
d) Chứng minh ∆JAC vuông.
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a,
·
0
60
BAD =
. Đường thẳng
SO vuông góc với đáy và SO =
4
a3
. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
a. Chứng minh : (SOF) ⊥ (SBC).
b. Kẻ OH ⊥ (SBC) tại H. Tính độ dài OH.
c. Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với (SBC). Xác định thiết diện của
hình chóp và (α) . Tính diện tích của thiết diện này.
4. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều ; hai mp (SAC) và (SAB) cùng vuông
góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của BC , O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác
ABC và SBC. Chứng minh rằng :
a. SA ⊥ (ABC) b. (SAD) ⊥ (SBC)
c. SB ⊥ (COH) d. OH ⊥ (SBC)