Phuong phap chung minh ti le thuc

Chuyên đề 1: Phơng pháp chứng minh tỉ lệ thức.
Có nhiều phơng pháp cứng minh tỉ lệ thức. Ta hãy bắt đầu bằng một ví dụ đơn
giản sau:
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức
a c
b d
=
với
, , , 0a b c d
. Chứng minh rằng:
a b c d
b d
+ +
=
.
Bài giải:
Cách 1: Đặt
,
a c
k a kb c kd
b d
= = = =
. Ta có:
( )
1
1
b k
a b kb b
k
b b b
+

+ +
= = = +
( )
1
1
d k
c d kd d
k
d d d
+
+ +
= = = +
Suy ra:
a b c d
b d
+ +
=
.
Cách 2: Từ:
( ) ( )
a c
ad bc ac bc ac ad a b c a c d
b d
= = + = + + = +
Hay:
a b c d
b d
+ +
=
.

Cách 3: Từ
a c a b a b
b d c d c d
+
= = =
+
. Hay
b a b a b c d
d c d b d
+ + +
= =
+
.
Cách 4: Từ
1 1
a c a c a b c d
b d b d b d
+ +
= + = + =
.
Cách 5: Ta có:
1
a b a b c c d
b b b d d
+ +
= + = + =
. Hay
a b c d
b d
+ +

=
.
Ví dụ 2: Từ
a c
a b c d
=

với
, , , 0; ;a b c d a b c d
. Hãy chứng tỏ:
a c
b d
=
.
Bài giải:
Cách 1: Đặt
( ) ( ) ( )
1 ;
a c
k k a k a b c k c d
a b c d
= = = =

Từ
( ) ( )
1
1
a k
a k a b kb a k
b k

= = =

.
Tơng tự, có:
1
c k
d k
=

.
Suy ra:
a c
b d
=
.
Cách 2: Từ
( ) ( )
a c a c
a c d c a b ac ad ac bc ad bc
a b c d b d
= = = = =

.
Cách 3: Từ
( )
( )
a a b
a c a a b b a b a c
a b c d c c d c c d d c d b d

= = = = = =

.
Cách 4: Từ
1 1 ...
a c a c
a b c d a b c d
= =

Cách 5: Từ
1 1 ...
a c a b c d b d
a b c d a c a c

= = =

Bài tập rèn kĩ năng:
Bài 1: Tìm x; y; z thoả mãn: 2x = 3y = 5z và x + y z = 95.
Bài 2: Tìm x; y; z thoả mãn:
;
2 3 5 7
x y y z
= =
và x + y + z = 92.
Bài 3: Tìm một phân số có giá trị không đổi khi cộng tử với 6 và cộng mẫu với 9.
Bài 4: Tìm x; y; z thoả mãn:
1 1 2
x y z
x y z

y z x z x y
= = = + +
+ + + + +
.
Bài 5: Tìm một số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ
với ba số 1, 2, 3.
Bài 6: Cho
a c
b d
=
, chứng minh rằng:
a)
2 2
2 2
;
ac a c
bd b d
+
=
+
b)
( )
( )
2
2
;
a b
ab
cd
c d

+
=
+
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 .a c b d a c b d+ + = + +
Bài 7: Cho
a c
b d
=
, chứng minh rằng:
a)
pa qb pc qd
ma nb mc nd
+ +
=
+ +
b)
k k k k
k k k k
pa qb pc qd
ma nb mc nd
+ +
=
+ +
.
Bài 8: Chứng minh rằng nếu: (a+b+c+d)(a-b-c+d) = (a-b+c-d)(a+b-c-d) thì
a c
b d
=

.
Bài 9: a) Cho
( )
3 2 2 4 4 3
*
4 3 2
x y z x y z
= =
. CMR:
2 3 4
x y z
= =
.
b) Cho
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
. CMR: x, y, z tỉ lệ với a, b, c.
Bài 10: Cho
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
. CMR:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =

+ + + +
.