Chương ba: Ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số pdf

Chương ba
ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số
Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy
biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý
số.
3.1 biến đổi Fourier của dãy số
3.1.1 Biến đổi Fourier thuận
3.1.1a Định nghĩa : Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện :
∞<
∑
∞
−∞=
n
nx )(
[3.1-1]
thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau :
nj
n
j
enxe
X
.
)()(
ωω
−
∞
−∞=
∑
=
[3.1-2]
Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(e

j
ω
), [3.1-2] là biểu thức biến đổi Fourier
thuận và được ký hiệu như sau :
)()]([
∞
=
j
enxFT
X
[3.1-3]
hay :
)()(
∞
→
j
FT
enx
X
[3.1-4]
(FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform).
Ký hiệu X(e
j
ω
) để phân biệt phép biến đổi Fourier của dãy số x(n)
)()]([
∞
=
j
enxFT

X
với phép biến đổi
Fourier của hàm liên tục x(t) :
∫
∞
∞−
−
•
==
dtetxtxFT
tj
X
ω
ω
).()()]([
.
Biểu thức biến đổi Fourier của dãy số x(n) [3.1-2] là suất phát từ biểu thức biến đổi Fourier của hàm
liên tục x(t), vì khi hàm dưới dấu tích phân là dãy rời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng .
Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ e
j
ω
, nên X(e
j
ω
) là hàm tuần hoàn của biến
ω
với chu kỳ 2π :
)()()()(
.).2.()2.(
ωωωω

ππ
jnj
n
nkj
n
kj
eenxenxe
XX
===
−
∞
−∞=
+−
∞
−∞=
+
∑∑
Điều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số X(e
j
ω
) của các dãy rời rạc x(n) với
ω

∈
(-
π
,
π
) hoặc
ω

∈
( 0 , 2
π
).
Sử dụng biến đổi Fourier cho phép nghiên cứu phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số.
Nếu x(n) là tín hiệu số thì
)()]([
∞
=
j
enxFT
X
là phổ của tín hiệu x(n), còn với h(n) là đặc tính xung của hệ xử lý
số thì
)()]([
∞
=
j
enhFT
H
là đặc tính tần số của hệ xử lý số.
3.1.1b Sự tồn tại của biến đổi Fourier
Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [3.1-2] chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện khả tổng
tuyệt đối [3.1-1]. Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi [3.1-2] sẽ hội tụ về hàm
X(e
j
ω
), nên x(n) tồn tại biến đổi Fourier. Ngược lại, nếu dãy x(n) không thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi
[3.1-2] sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(e

j
ω
) không tồn tại và x(n) không có biến đổi Fourier.
Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn :
∞<=
∑
∞
−∞=
n
x
nxE
2
)(
[3.1-5]
luôn thỏa mãn điều kiện [3.1-1] , do đó luôn tồn tại biến đổi Fourier.
Ví dụ 3.1 : Hãy xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau :
a.
)(nu
b.
)(2 nu
n
c.
)(2 nu
n−
d.
)(n
δ
e.
)( kn −
δ

f.
)(nrect
N
119
Giải : a.
∞==
∑∑
∞
=
∞
−∞=
0
1
)(
nn
nu
Hàm u(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.
b.
∞==
∑∑
∞
=
∞
−∞=
0
22
)(
n
n
n

n
nu
Hàm 2
n
u(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.
c.
2
21
1
22
1
0
)(
=
−
==
−
∞
−=
−
∞
−∞=
−
∑∑
n
n
n
n
nu
Hàm 2

-n
u(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier :
( )
∑∑∑
∞
=
−−
∞
=
−−
∞
−∞=
−−−
===
0
1
0

.).()](
2222[
n
n
j
n
njn
n
njnn
eeenunu
FT
ωωω

Vậy :
ωω
jj
n
ee
nuFT
−−−
−
−
=
−
=
5,01
1
21
1
2[
.
)](
1
[3.1-6]
d.
1
)(
=
∑
∞
−∞=
n
n

δ
Hàm
δ
(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier :
1.1
0.
).()]([
===
−
∞
−∞=
−
∑
ωω
δδ
j
n
nj
eennFT
[3.1-7]
e) Chuỗi [3.1-1] đối với
δ
(n - k) hội tụ nên nó có biến đổi Fourier :
ωω
δδ
jk
n
nj
eennFT
kk

−
∞
−∞=
−
=−=−
∑
).()]([
[3.1-8]
f.
∞<==
∑∑
−
=
∞
−∞=
N
N
N
nn
nrect
1
0
1
)(
Hàm rect
N
(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier, :

( )
ω

ω
ωω
j
j
n
n
j
n
nj
e
e
eenrectnrectFT
N
N
NN
−
−
−
=
−
∞
−∞=
−
−
−
===
∑∑
1
1
1

0
).()]([
[3.1-9]
Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier, còn các dãy có độ dài vô hạn
sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi [3.1-1] của nó hội tụ.
3.1.1c Các dạng biểu diễn của hàm X(e
j
ω
)
Vì X(e
j
ω
) là hàm phức, nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng, phần thực và phần ảo, mô đun và
argumen, độ lớn và pha.
1. Dạng phần thực và phần ảo

)()()(
ωω
ω
IR
j
XXX
je
+=
[3.1-10]
Theo công thức Euler có :
[ ]
).sin().cos()()()(
.
njnnxenxe

n
nj
n
j
X
ωω
ωω
−==
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
[3.1-11]
Hàm phần thực :
∑
∞
−∞=
==
n
j
R
nnxe
XX
).cos().()](Re[)(
ωω
ω
[3.1-12]
Hàm phần ảo :

∑
∞
−∞=
−==
n
j
I
nnxe
XX
).sin().()](Im[)(
ωω
ω
[3.1-13]
2. Dạng mô đun và argumen
)(
.)()(
ωϕωω
jjj
eee
XX
=
[3.1-14]
Mô đun :
)()()(
22
ωω
ω
IR
j
XXX

e
+=
[3.1-15]
Argumen :
[ ]






==
)(
)(
)()(
ω
ω
ωϕ
ω
R
I
j
X
X
X
arctgeArg
[3.1-16]
X(e
j
ω

) được gọi là hàm biên độ tần số, nó là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung : X(e
j
ω
)=X(e
-
j
ω
)
120
ϕ
(
ω
) được gọi là hàm pha tần số, nó là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc toạ độ :
ϕ
(
ω
) = - ϕ(-
ω
).
3. Dạng độ lớn và pha
)()(
.)().()(
ωϕωωθωω
jjjjj
eeeee
AAX
==
[3.1-17]
Hàm độ lớn A(e
j

ω
) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và :

)()(
ωω
jj
ee
XA
=
[3.1-18]
Còn :
)()()]([
ωϕωθ
ω
=+
j
eArg
A
[3.1-19]
Hàm pha :
)]([)()(
ω
ωϕωθ
j
eArg
A
−=
[3.1-20]
Với
)]([

ω
j
eArg
A
phụ thuộc vào dấu của hàm
)(
ω
j
e
A
như sau :





<
≥
=
0
00
)(
)(
)]([
ω
ω
ω
π
j
j

j
eKhi
eKhi
eArg
A
A
A
Một cách tổng quát, có thể viết :












=











= −− )(
)(
)(
1
2
1
2
)]([
ω
ω
ω
ππ
ω
j
eASign
j
eA
j
eA
j
eArg A
Theo [3.1-20] , có thể biểu diễn hàm pha
θ
(
ω
) dưới dạng như sau :













−−=
)(
)(
)()(
1
2
ω
ω
ωϕωθ
π
j
eA
j
eA
[3.1-21]
Ví dụ 3.2 : Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và pha của hàm tần số
ωω
ω
jj
ee
X

−
=
).cos()(
2
Giải : Theo [3.1-11] có :
)sin().cos()cos().cos()(
22
ωωωω
ω
je
j
X
−=
Hàm phần thực :
)cos().cos()(
2
ωωω
=
R
X
Hàm phần ảo :
)sin().cos()(
2
ωωω
−=
I
X
Mô đun :
)cos()(cos).(cos)(cos).(cos)(
222

2222
ωωωωω
ω
=+=
j
e
X
Argumen :
ω
ωω
ωω
ωϕ
−=






−=
)cos().cos(
)sin().cos(
)(
2
2
arctg
Hàm độ lớn :
)cos()(
2
ω

ω
=
j
e
A
Hàm pha :
.
)cos(
)cos(
)(
2
2
1
2








−−−=
ω
ω
ωωθ
π
3.1.1d Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z
Theo biểu thức định nghĩa [2.1-1] của biến đổi Z có :
∑

∞
−∞=
−
==
n
n
znxznxZT
X
)()()]([(
, với
+−
<<
xx
RRX
zzRC ||:)]([
Biểu diễn số phức z theo tọa độ cực : z = r.e
j
ω
với |z|= r và arg [z] =
ω

Vậy :
∑∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
===

n
njn
n
njj
ernxernxerz
XX
.
.).().).(().()(
ωωω
Khi |z|= r = 1 thì z = e
j
ω
, nên nhận được :
∑
∞
−∞=
−
==
=
n
njj
j
enxe
ez
z
XX
.
).()()(
ωω
ω

[3.1-22]
Theo [3.1-22] thì biến đổi Fourier chính là biến đổi Z khi z nằm trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 , nghĩa là
biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z.
121
a.
1
|| =<
−
z
x
R
, tồn tại FT b.
1
|| =≥
−
z
x
R
, không tồn tại FT
Hình 3.1 : Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z
Từ hình 3.1a thấy rằng, nếu hàm X(z) hội tụ trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 thì chắc chắn dãy x(n) tồn tại
biến đổi Fourier, và ngược lại. Từ hình 3.1b, nếu hàm X(z) không hội tụ trên vòng tròn đơn vị |z| = 1, thì dãy
x(n) sẽ không tồn tại biến đổi Fourier, và ngược lại.
Hàm bậc thang đơn vị u(n) là một ví dụ : Hàm
)()]([( znuZT
U
=
có
1
||:)]([ >zzRC

U
, do U(z) không hội
tụ trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 nên u(n) không có biến đổi Fourier, câu a ví dụ 3.1 đã chứng minh điều đó.
3.1.2 Biến đổi Fourier ngược
Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(e
j
ω
). Để tìm biểu thức của phép biến đổi
Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức Fourier thuận [3.1-2] :
nj
n
j
enxe
X
.
)()(
ωω
−
∞
−∞=
∑
=
[3.1-23]
Nhân cả hai vế của [3.1-23] với e
j
ω
.m
rồi lấy tích phân trong khoảng (-
π
,

π
) , nhận được :
∫ ∫ ∫
∑∑
− − −
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−
==
π
π
π
π
π
π
ωωωωω
ωωω
denxdeenxdee
nmj
nn
mjnjmjj
X
).(
.)(.).().(
Vì :




≠
=
=
∫
−
−
nmkhi
nmkhi
de
nmj
0
2
)(
π
ω
π
π
ω
Nên :
)(.).( 2 nxdee
njj
X
π
π
π
ωω
ω
=
∫

−
Từ đó suy ra biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược :
∫
−
=
π
π
ωω
ω
π
deenx
njj
X
.
).()(
2
1
[3.1-24]
Phép biến đổi Fourier ngược được ký hiệu như sau :
)()](
[
nxe
j
XIFT
=
ω
[3.1-25]
Hay :
)()( nxe
IFT

j
X
 →
ω
[3.1-26]
(IFT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Inverse Fourier Transform).
Biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-23] và biểu thức biến đổi Fourier ngược [3.1-24] hợp thành cặp
biến đổi Fourier của dãy số x(n).
Ví dụ 3.3 : Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ là
ωω
ω
2
).cos()(
jj
ee
X
−
=
.
Giải : Theo [3.1-24] có :
∫
−
−
=
π
π
ωω
ωω
π
deenx

njj .2
.).cos()(
2
1
[ ]
∫ ∫
− −
−−−
−
+=
+
=
π
π
π
π
ωωωω
ωω
ω
π
ω
π
deedee
ee
nx
njnjnjj
jj
)3()1(.2
4
1

22
1

)(
)(






−
+
−
=
−
−
−
−
π
π
ω
π
π
ω
π
|
)(
1
|

)(
1
)(
)3()1(
314
1
njnj
e
nj
e
nj
nx






−
−
+
−
−
=
−−−−−−
)()(
)(
314
1
)3()3()1()1(

nj
ee
nj
ee
nx
njnjnjnj
ππππ
π
122
232
1
212
1
][
.
)(
][
.
)(
)(
)3()3()1()1(
j
ee
nj
ee
n
nx
njnjnjnj
ππππ
ππ

−−−−−−
−
−
+
−
−
=
π
π
π
π
)(
])sin[(
)(
])sin[(
)(
3
3
2
1
1
1
2
1
−
−
+
−
−
=

n
n
n
n
nx
Vì :
)(
)(
])sin[(
)(
])sin[(
0
1
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
nkhi
nkhi
n
n
−=
−
−

⇒



≠
=
=
−
−
δ
π
π
π
π
Nên :
)()()(
3
2
1
1
2
1
−+−= nnnx
δδ
Vì
ω
ω
j
j
ez

ze
XX
=
=
)()(
, nên để lập bảng biến đổi Fourier chỉ cần sử dụng bảng biến đổi z khi thay z =
e
j
ω
, và để tìm biến đổi Fourier ngược, ngoài cách tính trực tiếp tích phân [3.1-24], cũng có thể sử dụng các
phương pháp giống như tìm biến đổi Z ngược.
3.1.3 Các tính chất của biến đổi Fourier
Do biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z nên, biến đổi Fourier cũng có các tính chất
giống như biến đổi Z. Dưới đây trình bầy các tính chất thường được sử dụng khi phân tích phổ tín hiệu số và
đặc tính tần số của hệ xử lý số.
3.1.3a Tính chất tuyến tính : Hàm tần số của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm tần số
thành phần.
Nếu :
)()]([
ω
j
ii
enxFT X=
Thì :
)(.)(.)()(
ωω
j
i
i
i

i
ii
j
eAnxAnyFTe XY
∑∑
=






==
[3.1-27]
Trong đó các hệ số A
i
là các hằng số.
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
∑∑∑ ∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
==







=
n
nj
i
i
i
n i
nj
ii
i
ii
j
enxAenxAnxAFTeY

).().(.)(.)(
ωωω
Vì
)()]([).(
.
ωω
j
ii
n
nj
i
enxFTenx X==
∑
∞

−∞=
−
, nên nhận được [3.1-27].
Ví dụ 3.4 : Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số
)()()(
3
2
1
1
2
1
−+−= nnnx
δδ
Giải : Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có :
ωωωωω
δδ
3
2
1
2
1
3
2
1
1
2
1
).().()(
jj
n

nj
n
njj
eeeneneX
−−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
+=−+−=
∑∑

ωω
ωω
ω
ω
22
).cos(.
)(
)(
2
jj
jj
j
ee
ee
eX
−−

−
=
+
=
Các ví dụ 3.3 và 3.4 là hai bài toán ngược nhau, với kết quả là đồng nhất.
3.1.3b Tính chất trễ : Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm biên độ tần sốX(e
j
ω
) không thay đổi, chỉ có
hàm pha tần số ϕ(
ω
) bị dịch đi lượng k
ω
.
Nếu :
)(
.)()()]([
ωϕωω
jjj
eeenxFT XX ==
Thì :
[ ]
])([
.)()()(
ωωϕωωω
kjjjjk
eeeenxFT
XXk
−−
==−

[3.1-28]
Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) được đẩy sớm k mẫu.
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
[ ]
)().().()(
.).(
ωωωωω
jkj
n
knjkj
n
nj
eeeknxeeknxknxFT X
−
∞
−∞=
−−−
∞
−∞=
−
=−=−=−
∑∑
Ví dụ 3.5 : Hãy tìm :
)]([)( 2 nrectFTe
N
nj
X
−
=
ω

Giải : Có
)()()( 222 Nnununrect
nnn
N
−−=
−−−
Nên :
)](.[)]([)(
)(
222 NX nuFTnuFTe
NN nnj
−−=
−−−−
ω
Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất dịch của biến đổi Fourier nhận được :
123
NN j
jj
j
e
ee
eX
.
2
5,01
1
5,01
1
.)(
ω

ωω
ω
−−
−−
−
−
−
=
Vậy :
ω
ω
ω
j
j
nj
e
e
nrectFTe
N
N
X
−
−
−
−
−
==
5,01
.5,01
2

)(
)]([)(
[3.1-29]
3.1.3c Tính chất trễ của hàm tần số : Khi nhân dãy x(n) với
nj
e
0
ω
, trong đó
ω
0
là hằng số, thì hàm tần số
X(e
j
ω
) không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng
ω
0
,

theo chiều ngược với dấu của
ω
0
.
Nếu :
)()]([
ω
j
enxFT X=
Thì :

[ ]
)(
)(
00
)(
ωωω
−
=
jnj
enxeFT X
[3.1-30]
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
[ ]
)(
)().(
.
0000
).(.).()(
ωωωω
ω
ωω
−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
∑∑
===

j
n
nj
n
nj
njnj
eenxeenxnxeFT X
Ví dụ 3.6 : Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là
)]([)( nxFTe
j
X =
ω
, hãy tìm phổ tần số của tín hiệu điều biên
)cos().()(
0
nnxny
ω
=
Giải : Có :
2
00
)cos(
0
njnj
ee
n
ωω
ω
−
+

=
Do đó :






+






=
− njnj
enxFTenxFTnnxFT
00
).().()]cos().([
2
1
2
1
0
ωω
ω
Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận được :
)()(
)()(

0
00
2
1
2
1
)]cos().([
ωωωω
ω
+−
+=
jj
eennxFT XX
[3.1-31]
Biểu thức [3.1-31] chính là nội dung của định lý điều biên.
3.1.3d Tính chất biến đảo : Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo x(n) và x(-n) là hai hàm liên hợp
phức.
Nếu :
)(
.)()()]([
ωϕωω
jjj
eeenxFT XX ==
Thì :
[ ]
)(*
.)()()()(
ωϕωωω
jjjj
eeeenxFT XXX

−−
===−
[3.1-32]
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
[ ]
)(
)).((.
).().()(
ωωω
j
n
nj
n
nj
eenxenxnxFT
X
−
∞
−∞=
−−−
∞
−∞=
−
∑∑
=−=−=−
Vì x(-n) là dãy thực nên
)()(
*
ωω
jj

ee XX =
−
, do đó nhận được [3.1-32].
Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên độ tần số giống nhau, còn
hàm pha tần số ngược dấu.
Ví dụ 3.7 : Hãy tìm
)]()(
2[
nue
nj
FTX
−
=
ω
Giải : Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất biến đảo có :
ω
j
n
e
nuFT
.
)](
5,01
1
2[
−
=−
3.1.3e Hàm tần số của tích chập hai dãy : Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số
thành phần.
Nếu :

)()]([
11
ω
j
enxFT X=
và
)()]([
22
ω
j
enxFT X=
Thì :
[ ]
)().()(*)()(
2121
ωωω
jjj
eenxnxFTe XXY ==
[3.1-33]
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
[ ]
nj
n k
j
eknxkxnxnxFTe
Y
.
2121
.)().()(*)()(
ωω

−
∞
−∞=
∞
−∞=
∑ ∑






−==
∑ ∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
−=
n
kjkj
k
njj
eeeknxkxe
Y

21
)().()(

ωωωω
Hay :
)().()().()(
21
).(
2
.
1
ωωωωω
jj
k n
knjkjj
eeeknxekxe XXY =−=
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−−−
124
Ví dụ 3.8 : Hãy tìm
)](*)()(
12[
−
−
=
nnue
nj
FTX
δ

ω
Giải : Sử dụng các biểu thức [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-33] , tìm được :
ω
j
n
e
nuFT
−
−
−
=
5,01
1
2[ )](

và
ω
δ
j
enFT
−
=− )]( 1[
Vậy :
ω
ω
ω
ω
ω
j
j

j
j
j
e
e
e
e
eX
−
−
−
−
−
=
−
=
5,015,01
1
.)(
3.1.3f Hàm tần số của tích hai dãy : Hàm tần số của tích hai dãy bằng tích chập của hai hàm tần số thành
phần chia cho 2
π
.
Nếu :
)()]([
11
ω
j
enxFT X=
và

)()]([
22
ω
j
enxFT X=
Thì :
[ ]
∫
−
′
−
′
′
=
π
π
ω
ωωω
π
deenxnxFT
jj
XX )().()().(
)(
2121
2
1
[3.1-34]
Hay :
[ ]
)(*)()().(

2121
2
1
ωω
π
jj
eenxnxFT XX=
[3.1-35]
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
[ ] [ ]
∑
∞
−∞=
−
=
n
nj
enxnxnxnxFT
.
2121
.)().()().(
ω
Khi thay x
1
(n) bằng biểu thức biến đổi Fourier ngược của nó :

∫
−
′′
′

=
π
π
ωω
ω
π
deenx
njj
X
.
11
).()(
2
1
Thì :
[ ]
∑
∫
∞
−∞=
−
−









=
n
njnjj
enxdeenxnxFT X
.
2
'.'
121
).(.').()().(
2
1
ω
π
π
ωω
ω
π
[3.1-36]
[ ]
[ ]
∫
∑
−
∞
−∞=
−−
=
π
π
ωωω

ω
π
'.).().()().(
).'(
2
'
121
2
1
denxenxnxFT
n
njj
X
[ ]
)(*)().().()().(
21
)(
2121
2
1
2
1
ωωωωω
ππ
π
π
ω
jjjj
eedeenxnxFT XXXX ==
′

=
∫
−
′
−
′
3.1.3g Công thức Parseval tính năng lượng của tín hiệu theo hàm phổ.
∫
∑
−
∞
−∞=
==
π
π
ω
ω
π
denxE
j
n
x
X
2
2
)()(
2
1
[3.1-37]
Chứng minh : Viết lại biểu thức [3.1-36] dưới dạng :

∑
∫
∑
∞
−∞=
−
−
∞
−∞=
−








=
n
njnjj
n
nj
edeenxenxnx X
.'.'
21
.
21
.').().().().(
2

1
ω
π
π
ωωω
ω
π
Chia cả hai vế của biểu thức trên cho
nj
e
.
ω
−
, nhận được :
[ ]
∫
∑∑
−
∞
−∞=
∞
−∞=
=
π
π
ωω
ω
π
').(.).()().(
'

2
'.
121
2
1
deenxnxnx
j
n
nj
n
X
Hay :
∫
∑
−
−
∞
−∞=
=
π
π
ωω
ω
π
').().()().(
'
2
'
121
2

1
deenxnx
jj
n
XX
Khi cho x
1
(n) = x
2
(n) = x(n) thì theo [1.3-5], vế trái của biểu thức trên chính là năng lượng
x
E
của tín hiệu số
x(n) :
∫∫
∑
−−
−
∞
−∞=
===
π
π
ω
π
π
ωω
ωω
ππ
dedeenxE

jjj
n
x
XXX
2
2
)().().()(
2
1
2
1
Hay :
∫
∑
−
∞
−∞=
==
π
π
ωω
π
dnxE
x
n
x
S
).()(
2
1

2
[3.1-38]
Trong đó :
2
)()(
ω
ω
j
x
e
XS
=
[3.1-39]
125
)(
ω
x
S
được gọi là hàm mật độ phổ năng lượng của tín hiệu số x(n), nó là hàm chẵn và đối xứng qua trục
tung. Về bản chất vật lý, hàm mật độ phổ năng lượng
)(
ω
x
S
chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên
trục tần số.
Ví dụ 3.9 : Hãy xác định năng lượng của tín hiệu số
)()(
2
nunx

n
−
=
theo cả hàm thời gian và hàm phổ, so sánh
hai kết quả nhận được.
Giải : Theo hàm thời gian có :
∑∑∑
∞
=
−
−
∞
=
−
∞
−∞=
−
=
−
====
0
1
2
0
2
3
4
41
1
42(2

)(
))(
n
n
n
n
n
n
x
nuE
Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm :
ωω
ω
ωω
sin.cos
).()(
5,05,01
1
5,01
1
2
j
e
enue
j
n
njnj
X
+−
=

−
==
−
∞
−∞=
−−
∑
Vậy :
ω
ωω
ω
cos
)sin()cos(
)(
25,1
1
5,05,01
1
22
−
−
=
+
=
j
e
X
Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval [3.1-38] :
π
π

ππ
ω
π
π
ω
ω
−










+
=
−
=
−−
∫
−
|
125,1
125,1
125,1
2
2

1
25,1
1
2
1
2
2
2
)().(

cos
tg
arctgdE
x

3
4
75,0
0
75,0
1
22
.3
75,0
1
)(
===













−
−=
π
π
π
ππ
π
arctgtgtgarctgE
x
Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau. [ ở đây, nếu lấy
00
)(
=
artg
thì
0
=
x
E
, nên phải
lấy

π
=
)(
0
artg
].
3.1.3h Đạo hàm của hàm tần số
Nếu :
)()]([
ω
j
enxFT X=

Thì :
[ ]
ω
ω
d
ed
jnxnFT
j
X
)(
)(. =
[3.1-40]
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
[ ]
∑∑
∞
−∞=

−
∞
−∞=
−
−=⇒==
n
nj
j
n
njj
enxnj
d
ed
enxnxFTe
X
X

).(
)(
).()()(
ω
ω
ωω
ω
Nhân cả hai vế của biểu thức trên với j , nhận được biểu thức [3.1-40].
Ví dụ 3.10 : Hãy tìm biến đổi Fourier của dãy
)(.)(
2
nunnx
n

−
=

Giải : a. Có :
ω
j
n
e
nuFT
−
−
−
=
5,01
1
2[ )](
Theo [3.1-40] có :
2
5,01
5,0
5,01
1
2
.
)](.[







−
=
−
=
−
−
−
−








ω
ω
ω
ω
ω
j
j
j
n
e
e
e
d

d
j
nunFT
3.1.3i Phổ tần số của hàm tương quan r
xy
(m)
Nếu :
)()]([
ω
j
enxFT X=
và
)()]([
ω
j
enyFT Y=
Thì :
[ ]
)().()()(
ωωω
jj
xy
j
xy
eemrFTe YXR
−
==
[3.1-41]
Chứng minh : Hàm tương quan
)(mr

xy
được xác định theo [1.8-1] ở chương một :
∑
∞
−∞=
−=
n
xy
mnynxmr )().()(

Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
[ ]
∑ ∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−






−==
m
mj

nm
mj
xyxy
emnynxemrmrFT

.)().().()(
ωω
[ ]
∑ ∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=






−=
m
njnjmj
n
xy
eeemnynxmrFT

)().()(
ωωω
126

[ ]
)().().().()(
)).((.
ωωωω
jj
m
mnj
n
nj
xy
eeemnyenxmrFT YX
−
∞
−∞=
−−−
∞
−∞=
−
=−=
∑∑
Ví dụ 3.11 : Cho các tín hiệu số
)()(
2
nunx
n
−
=
và
)()(
1

−
=
nny
δ
, hãy tìm hàm phổ
[ ]
)()( mrFTe
xy
j
xy
R =
ω
.
Giải : Sử dụng [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-41], tìm được :
ω
ω
ω
ω
ωωω
j
j
j
j
jjj
xy
e
e
e
e
eee

YXR
−−
−
−
=
−
=
=
5,015,01
1
.)().()(
127