Đáp án đề kiểm tra 2 tiết Toán 10 - hk2

ĐỀ KIỂM TRA 2 TIẾT TOÁN 10 – HK2
1/ (2điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau :
a)
14
2 5
3
x
x
> −
+
⇔
14
2 5 0
3
x
x
− + >
+
(2 5)( 3) 14
0
3
x x
x
− + +
⇔ >
+
⇔
2
2 1
0
3

x x
x
+ −
>
+
⇔
( 1)(2 1)
0
3
x x
x
+ −
>
+

Bảng xét dấu :
x
−∞
-3 -1
1
2
+∞
2
2 1x x+ −
+

+ 0
−
0 +
3x +

−
0 +

+

+
VT
− 
+ 0
−
0 +
Vậy bất phương trình có nghiệm là :
1
3 1
2
x x− < ≤ − ∨ ≥
(0.5đ)
b)
2
5 4 4x x x− + = +
⇔
2
2
4 0
5 4 4
5 4 4
x
x x x
x x x
+ ≥




− + = +



− + = − −


⇔
2
2
4
6 0
4 8 0
x
x x
x x
≥ −



− =



− + =



⇔
0 6x x
= ∨ =
(0.5đ)
c)
2
2 3 2 3x x x− − = +

2 2
2 3 0
2 3 (2 3)
x
x x x
+ ≥

⇔

− − = +

⇔
2
3
2
3 14 12 0
x
x x

≥ −




+ + =


⇔
3
2
7 13 7 13
3 3
x
x x

≥ −



− − − +

= ∨ =


⇔
7 13
3
x
− +
=
(0.5đ)
d)
2 2

4 5 2 8x x x x− + ≥ −
⇔
2 2
4 5 2( 4 )x x x x− + ≥ −
(*)
Đặt t =
2
4 5x x− +
≥ 0 ⇒ t
2
= x
2
– 4x + 5 ⇔ t
2
– 5 = x
2
– 4x
(*) ⇔ t ≥ 2(t
2
– 5) ⇔ 2t
2
– t – 10 ≤ 0 ⇔
5
2
2
t− ≤ ≤
So điều kiện t ≥ 0 nên : 0 ≤ t ≤
5
2
Do đó : t

2
≤
25
4
⇔ x
2
– 4x + 5 ≤
25
4
⇔ x
2
– 4x –
5
4
≤ 0
⇔
21 21
2 2
2 2
x− ≤ ≤ +
(0.5đ)
−
−
2/ (2đ)
Cho f(x) = (m – 2)x
2
– 2mx + 2m + 3
a) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu (1đ)
yêu cầu đề bài ⇔ (m – 2)(2m + 3) < 0 ⇔
3

2
2
m− < <
b) Tìm m để bất phương trình f(x) ≤ 0 vô nghiệm (1đ)
Ta có : f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0, ∀x∈
TH1 : nếu m – 2 = 0 hay m = 2 : f(x) = – 4x + 7 > 0 (không thỏa với mọi x)
Nên loại m = 2
TH2 : nếu m ≠ 2
f(x) > 0, ∀x∈ ⇔
2
2 0
' ( 2)(2 3) 0
m
m m m
− >


∆ = − − + <

⇔
2
2
6 0
m
m m
>


− + + <


⇔
2
2 3
m
m
>


− < <

⇔ 2 < m < 3
Vậy 2 < m < 3 thì bất phương trình f(x) ≤ 0 vô nghiệm
3a) Biết sina =
4
5
và
4 2
a
π π
< <
. Tính cos2a và tan2a (không dùng máy tính)( 1điểm)
Ta có cos2a = 1 – 2sin
2
a = 1 – 2.
2
4
5
 
 ÷
 

=
7
25
−
(0.5đ)
Và
2
2
1
1 tan 2
cos 2
a
a
= +
⇒
2
2
1
tan 2 1
cos 2
a
a
= −
=
576
49
Do
4 2
a
π π

< <
nên
2
2
a
π
π
< <
suy ra tan2a < 0
Vậy tan2a =
24
7
−
(0.5đ)
Chọn 1 trong 2 câu sau :
3b1) Cho tam giác ABC có góc
·
BAC
= 120
o
. Chứng minh :
sin sin sin
2
sin sin .sin
2 2 2
A B C
A B C
+ +
=
+

(1 điểm)
Ta có : A + B + C = π ⇒
2 2 2
A B C
π
+
 
= −
 ÷
 
nên
sin
2
B C+
=
cos
2
A
Và
sin
2
A
=
cos
2
B C+
Do đó : VT =
2sin cos 2sin .cos
2 2 2 2
1

sin cos cos
2 2 2 2
A A B C B C
A B C B C
+ −
+
+ −
 
− −
 ÷
 
=
2cos sin cos
2 2 2
1
sin sin cos
2 2 2 2
A A B C
A A B C
−
 
+
 ÷
 
−
 
− −
 ÷
 
=

2cos sin cos
2 2 2
1
sin cos
2 2 2
A A B C
A B C
−
 
+
 ÷
 
−
 
+
 ÷
 
0
2.cos60
2
1
2
= =
với A, B, C là các góc của tam giác nên
sin cos cos cos
2 2 2 2
A B C B C B C− + −
≠ ⇔ ≠

3b2) Cho

34
a
π
=
. Tính giá trị biểu thức : P =
cos15 cos13
sin 4 sin 2
a a
a a
+
+
(không dùng máy tính)
(1 điểm)
Ta có : P =
2cos14 .cos cos14
2sin 3 .cos sin 3
a a a
a a a
=
=
cos14.
34
sin 3.
34
π
π

3
cos
2 34

3
sin
34
π π
π
 
−
 ÷
 
=
=
3
sin
34
1
3
sin
34
π
π
=
4a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1), đường cao AH có
phương trình : 2x – 3y + 12 = 0 và trung tuyến AM có phương trình : 2x + 3y = 0
Ta có : AH ⊥ BC nên đường thẳng BC nhận (3 ; 2) làm vtpt và đi qua điểm C(4 ; -1)
Phương trình đường thẳng BC : 3(x – 4) + 2(y + 1) = 0 hay 3x + 2y – 10 = 0 (0.5đ)
Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ pt :
2 3 12 0
2 3 0
x y
x y

− + =


− =

⇔
3
2
x
y
= −


=

Vậy A (-3 ; 2)
Vectơ
(7; 3)AC = −
uuur
là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC
Suy ra (3 ; 7) là vectơ pháp tuyến ⇒ pt AC là :
3(x + 3) + 7(y – 2) = 0 hay 3x + 7y – 5 = 0 (0.25đ)
Tọa độ trung điểm M của BC là nghiệm của hệ :
3 2 10 0
2 3 0
x y
x y
+ − =



+ =

⇔
6
4
x
y
=


= −

Suy ra tọa độ điểm B(2.6 – 4; 2.(-4) + 1) = (8 ; - 7)
Do đó :
(11; 9)AB = −
uuur
PT tham số của AB là :
3 11
2 9
x t
y t
= − +


= −

(t tham số thực) hay 9x + 11y + 5 = 0 (0.25đ)
b) Cho đường tròn (C) : x
2
+ y

2
– 8x – 2y + 12 = 0
1/ Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (C) (1đ)
Ta có : I (4 ; 1) và R =
2 2
4 1 12 5+ − =
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại N(5 ; 3) (1đ)
Ta có :
(1;2)IN =
uur
là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến ⇒ PTTT có dạng x + 2y + c = 0
Tiếp tuyến đi qua N(5 ; 3) nên : 5 + 2.3 + c = 0 ⇔ c = -11
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là : x + 2y – 11 = 0
c) Viết p.trình chính tắc của elip (E) biết 1 tiêu điểm là F(-6 ; 0) và tâm sai e =
2
3
(1đ)
Ta có : c = 6 và
2
3
c
a
=
⇒ a = 9
Suy ra b
2
= a
2
– c
2

= 81 – 36 = 45. Vậy phương trình của (E) là :
2 2
1
81 45
x y
+ =