ôn Toán 12 phần 1 (giải tích)

TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010

Chủ đề I : ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ.
I/ Bài toán 1: Xét tính đơn điệu
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ D = ?
+ Tính : y / = , tìm nghiệm của phương trình y / = 0
+ Lập bảng biến thiên.
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ...
Định lý :
a) f /(x) ≥ 0 ,∀ x ∈ (a;b) (bằng không tại hữu hạn điểm∈ (a;b) ) thi f(x) đồng biến trong
khoảng (a;b).
b) f /(x) ≤ 0 ,∀ x ∈ (a;b) (bằng không tại hữu hạn điểm∈ (a;b) ) thi f(x) nghịch biến trong
khoảng (a;b).
II/ Bài toán 2: Cực trị của hàm số
1. Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x0 thì f /(x0) = 0.
2. Dấu hiệu đủ: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi f ’(x0) = 0 và f ‘(x) đổi dấu khi x qua x0.
3. Tìm cực trị bằng dấu hiệu I :
+ MXĐ D = ?
+ Tính : y / = , tìm nghiệm của phương trình y / = 0. Tính yCĐ ; yCT
+ Lập bảng biến thiên.
+ Kết luận : điểm cực trị của hàm số.
4. Tìm cực trị bằng dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y / = ? .. y // = ? ..
Giải phương trình y / = 0 => các nghiệm x1 , x2 ….. .( nếu có )
+ Tính y //(x1); y //(x2)……. Dựa vào dấu của nó để kết luận cực trị với :
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT = ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ = ?
5.Chú ý :
u′(x 0 )

u(x)
a) Cực trị của hàm y =
: Nếu h/s đạt cực trị tại x0 giá trị cực trị y(x0) =
v′(x 0 )
v(x)
b) Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu):
a ≠ 0
y ’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 
∆ > 0
c) Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
d) Phương trình đường thẳng qua hai cực trị của hàm bậc ba : y = α x + β trong đó là phần
dư trong phép chia đa thức f(x) cho f’(x).
Bài tập:
x 2 + mx + 1
đạt cực đại tại x = 2.
x+m
x2 + 2x + m
Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y=
ln ln có một cực đại và một cực tiểu.
x2 + 2
3
2
2
Bài 3: Định m để hàm số y= x − 3mx + 3 ( m − m ) x + 1 có cực đại, cực tiểu.
Bài 1: Xác định m để hàm số: y =

Bài 4: Định m để y = x 3 − 3mx 2 + 3( m 2 − 1) x − ( m 2 − 1) đạt cực đại tại x = 1.
Bài 5: Cho hàm số y =

x4

− ax 2 + b . Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại x = 1
2
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 1


TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010
x2 − x + m
. Định m để hàm số có cực trị và 2 giá trị cực trị cùng dấu.
x +1
Bài 7: Cho hàm số y = x 3 + ( m − 1) x 2 − ( m + 3) x − 1 .CMR đồ thị hàm số ln có cực đại và cực
tiểu.Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số .
Bài 6: Cho hàm số y =

III/ Bài tốn 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Phương pháp giải:
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định hay một khoảng :
-Tìm tập xác định .
-Tính y’, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đó hàm số
liên tục , tính giá trị của hàm số tại các điểm đó.
-Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên ⇒ GTLN, GTNN.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:
-Tính y’, tìm các điểm thuộc [a;b] tại đó đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại
đó hàm số liên tục. Giả sử các điểm đó là x1, x2,…, xn
- Tính các giá trị f(x1), f(x2),…., f(xn) và f(a), f(b). GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa
tìm được, GTNN là giá trị nhỏ nhất trong các số vừa tìm được.
Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
 1 1 

3
2
a) y = x − 3x − 4 / -1;  ;  ;3 ; [ 3;5 )
 2 2 
2
b) y = f (x) = − x + 4x +1 / [ -1;3] ; [ −1; 2]
c) y = x 3 − 3 x + 2 trên [ −10,10]
d) y= x4- 4x2 + 2 trên đoạn [-2;2]
Bài 2:
Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
a) y= x2 + (x > 0)
x
2
1
x + x +1
b) y =
trên [ ;2 ]
2
x

c) y = 5 − 4x trên đoạn [ −1,1]
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) y = 2x − x 2 .
2
b) y = f (x) = x − 5x + 6 / [ -5;5] .

c) y = f (x) = x 2 +

2

x

d) y = x + 2 − x 2
e) y = 2 + x + 4 − x

Chủ đề II: KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/ Khảo sát hàm đa thức:
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 2


TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010
1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức:
Phần1: Tập xác định: D = R.
Phần2: Sự biến thiên :
1) Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trị của hàm số tại các
nghiệm vừa tìm được. ( y’ = ? ; y’ = 0 ⇔ xi = …. (y = ….) )
lim y =
2) Tìm
x →±∞
3) Lập bảng biến thiên
x
Ghi tập xác định và nghiệm của phương trình y/=0
f’(x)
Xét dấu y/
f(x)
Ghi mũi tên biểu thị chiều biến thiên của hàm số
Kết luận các khỏang đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số
Phần 3:

1) Tính đối xứng :
• Hàm bậc ba – Tâm đối xứng là điểm uốn. (Hòanh độ điểm uốn là nghiệm của pt y’’ = 0.
Nếu y’ = 0 có một nghiệm kép thì nghiệm đó là hịanh độ điểm uốn; Nếu y’ = 0 có hai
nghiệm thì trung bình cộng của hai nghiệm đó là hịanh độ điểm uốn .)
• Hàm bậc bốn trùng phương là hàm số chẵn, có trục đối xứng là trục Oy.
2) Cho điểm trên đồ thị . (cho giá trị x tìm y hoặc ngược lại)
3) Vẽ đồ thị. ( Phác họa theo chiều mũi tên trong bảng biến thiên sẽ được dạng đồ thị.)
Phân lọai đồ thị hàm bậc 3: Có hai lọai : Lọai có hai cực trị ; Loại khơng có cực trị
Lọai có hai cực trị
Loại khơng có cực trị

Nhận biết :
 y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

a > 0

 y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

a < 0

 y ' ≥ 0 ∀x

a > 0

 y ' ≤ 0 ∀x

a < 0

Phân lọai đồ thị hàm trùng phương: Có hai lọai : Lọai có ba cực trị ; Loại có một cực trị
Lọai có ba cực trị

Loại có một cực trị

Nhận biết :
 y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

a > 0

 y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

a < 0

Bài tập:
Bài 1: Khảo sát các hàm số sau:
a/ y = x3 – 3x2
b/ y= - x3 + 3x – 2

 y ' = 0 coù 1 nghiệm đơn

a > 0

 y ' = 0 có 1 nghiệm đơn

a < 0

c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 3

TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010
d/ y = x3+3x2– 4

e/ y = x 3 − 3 x + 1

f/ y = f (x) =

1 3
x − 3x.
4

g/ y = f (x) = x 3 + 3x 2 + 1.
Bài 2: Khảo sát các hàm số sau:
1
9
a/ y = x4 – 6x2 + 5
b/ y = - x4 + 2x2 +
c/ y = x4 + 2x2
4
4
4
2
4
d/ y = 2x – x
e/ y = x − 2 x 2 + 4
f/ y = f (x) = − x 4 + 2x 2 − 1.
1
1
1
g/ y = f (x) = x 4 − x 2 − .

4
2
2
Bài 3:
a/Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 . Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
b/Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m -11 . Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=4.
II/ Khảo sát hàm nhất biến:
Sơ đồ khảo sát hàm y =

ax + b
cx + d

 −d 
Phần1: Tập xác định: D = R\  
 c 
Phần2: Sự biến thiên :
a.d − b.c
1) Tính đạo hàm y’=
2 ⇒ tính đơn điệu của hàm số. (Chú ý rằng y’ hoặc luôn
( cx + d )
dương hoặc luôn âm trên D, đồ thị chỉ có duy nhất một chiều biến thiên.)
Hàm số khơng có cực trị.
2) Tìm giới hạn và tiệm cận :
−d
a
lim y = ∞
lim y = a ⇒
⇒ Tiệm cận đứng là : x =
Tiệm cận ngang là: y = . x →− d
.

c
x →±∞ c
c
c
3) Lập bảng biến thiên.
x
f’(x)
f(x)

-d/c

Phần3: Đồ thị
1) Tính đối xứng: Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
2) Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ. (Có thể lấy thêm một số điểm khác)
3) Vẽ đồ thị
Dạng đồ thị hàm nhất biến :

Nhận biết :
ad – bc < 0 ∀x ∈ D
Bài tập:

ad – bc > 0 ∀x ∈ D

Bài 1: Khảo sát các hàm số sau:
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 4


TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010

−x + 2
2x + 1
3− x
f/ y =
3x − 1
Bài 2:
a/ y =

Cho hàm số y=

x −1
.
x +1
x −3
.
g/ y =
2−x
b/ y =

4
x−4
2x − 3
.
h/ y =
x−2
c/y =

2x − 2
.
x +1

x
.
i/ y =
1− x
d/ y =

mx − m + 1
khảo sát hàm số khi m = 2.
x−m

Chủ đề III: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/ Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đường
Cho hàm số : y= f(x) có đồ thị (C), y= g(x) có đồ thị (C’). Tìm giao điểm của (C) và (C’).
(Biện luận số giao điểm của (C) và (C’))
 Phương pháp giải:
B1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x) (1)
B2: Giải pt (1) giả sử (1) có nghiệm là x0,x1,x2 . . . thì các giao điểm của (C) và (C’) là :
M0(x0;f(x0) ); M1(x1;f(x1) ); M2(x2;f(x2)) . . .
Hoặc biện luận số nghiệm của pt (1) để suy ra số giao điểm của (C) và (C’).
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và (C’).
Bài tập:
Bài 1.1:
Cho đường cong (C): y= x3 - 3x + 1 . Tìm giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : y = x + 1.
Bài 1.2:
Cho đường cong (C): y= x4 - 3x2 + 2 . Xác định giao điểm của (C) với trục hòanh.
Bài 2.1:
Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k. biện luận
số giao điểm của (C) và d.
Bài 2.2:
3 − 2x

Cho hàm số y =
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ
x −1
thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 2.3:
x2 + x − 2
Cho đường cong (C): y=
và đường thẳng d qua gốc toạ độ có hệ số góc k. biện
x +1
luận theo k số giao điểm của d và (C).
Bài 2.4:
4
Cho đường cong (C): y=
. Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng y = k.
x −2
II/ Bài toán 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
 Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f(x)= ϕ (m) .
 Phương pháp giải:
B1: Vẽ đồ thị (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài tốn khảo sát hàm số )
B2: Phương trình f(x)= ϕ (m) (*) là phương trình hịanh độ giao điểm của (C) và đường thẳng
(d) : y= ϕ (m) . Tùy theo m dựa vào số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) để kết luận số
nghiệmcủa pt (*).
Bài tập:
Bài 1:

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 5

TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010
Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x (C). Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m, số nghiệm của
phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0
Bài 2:
a/ Khảo sát hàm số y = x4 – 4 x2 + 5.
b/ Dùng đồ thị (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương
trình: x4 – 4 x2 + 5 = m.
Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3x – 2 có đồ thị (C)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Dùng đồ thị (C), định m để phương trình: x3 - 3x – 2 = m có 3 nghiệm phân biệt.
III/ Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Ta phân lọai ra ba bài tóan viết phương trình tiếp tuyến với đồ
thị (C) như sau:
1/ Biết tiếp điểm : (Trọng tâm)
Dạng câu hỏi : viết pt tiếp tuyến với (C) TẠI điểm trên đồ thị (C) có hồnh độ x0, .. TẠI
điểm trên đồ thị (C) có tung độ y0, …TẠI điểm (x0, y0) thuộc đồ thị.
B1: Thế x0 vào hàm số (đề bài) tìm y0. ( hoặc ngược lại thế y0 vào hàm số tìm x0 )
B2: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0)
/
B3: Thế x0 , y0 , f ’(x0) vào pt : y = f (x 0 ) (x–x0) + y0 ta được phương trình tiếp tuyến.
2/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
Dạng câu hỏi : viết pt tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc k = …, .. biết tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng …, .. biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng …
B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm . Giải phương trình f ′(x) = k tìm x0.
B2: Thế x0 vào hàm số (đề bài) tìm y0.
B3: Thế x0 , y0 , k vào pt : y = k(x – x0) + y0 ta được phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì có k = a.
 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b thì có k.a = -1.
3/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1) : (Nâng cao)

B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x – x1) + y1
B2: d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm :
(2)
f (x) = k(x − x1) + y1
giải tìm k.

(3)
f ′(x) = k

(1)

B3:Thế k vào (1) ⇒ phương trình tiếp tuyến.
Bài tập :
Bài 1:
Cho đường cong (C) y = x3. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1)
b.Tại điểm có hồnh độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độ bằng –8
d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)
Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
b/ Tại điểm có hồnh độ = 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3.
d/ Biết nó song song với đường thẳng y= 9x - 2008.
1
e/ Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y= x + 2009.
f/ Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2).
3

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 6


TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010
−x2 + x
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
x +1
a/ Tại các giao điểm với trục hoành.
b/ Tại điểm có hồnh độ bằng 2.
3
c/ Tại điểm có tung độ y = - .
d/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = - 1.
2
e/ Biết tiếp tuyến đi qua A(2;0).
Bài 3: Cho hàm số y=

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
Bài tập tổng hợp chủ đề I + II + III
I. HÀM BẬC BA : y = ax3 + bx2 + cx + d. (a ≠ 0)
1.

a. Khảo sát hàm số : y = x3 − 6x2 + 9x + 1
b. Khảo sát hàm số y = − x3 + 3x2.
c. Khảo sát hàm số : y = x3 − 3x2 + 3x
d. Khảo sát hàm số y = − x3 + 6x2 − 12x + 4
e. Khảo sát hàm số y = x3 − 3x2 + 4x
f. Khảo sát hàm số y = − x3 − x + 1
2. Cho hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx +d.

Bằng cách chia f(x) cho f′(x), ta được :
f(x) = f′(x)(Ax + B) + αx + β
Giả sử hàm số đạt cực trị tại x0. Chứng minh rằng : f(x0) = αx0 + β
Áp dụng : Tìm cực trị của hàm số : y = x3 − 3x2 − 3x + 2.
3. Cho hàm số y =

1 3
x − 2x 2 + 3x
3

(1)

có đồ thị là(C) .

a.
b.

Khảo sát hàm số (1)
Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp
tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
c. Dùng đồ thị để biện luận theo a số nghiệm của phương trình x3 − 6x2 + 9x − 3a = 0
4. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2 , có đồ thị là (C).
a. Khảo sát hàm số đã cho.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa (C) và đường thẳng ∆ : y = 2
5. Cho hàm số y =

x3
+ x , có đồ thị là (C).
3

a. Khảo sát hàm số đã cho.
b. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn giữa (C), trục hoành và đường thẳng x = 2.
b1. Tính diện tích hình (H).
b2. Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox.
6. Cho hàm số y = f(x) = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm) , m là tham số.
a. Định m để hàm số đạt điểm cực tiểu tại x = 2 .
b. Khảo sát hàm số (C-3) với m = -3 .
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C –3) và đường thẳng (D) qua hai điểm A(1;-3) và B(3;1).
7. Cho hàm số y = x3 - ax2 +(2a-3)x + 1 (Ca) , a tham số
a. Định a để hàm số đồng biến trên toàn miền xác định.
b. Khảo sát hàm số (C) với a = 3.
c. Tìm điểm cố định của (Ca) đi qua với mọi a.
8. Cho hàm số y = 2x3 - 3x2
a. Khảo sát hàm số (C).
b. Đường thẳng (d) qua gốc tọa độ có hệ số góc m.Tùy theo m hãy biện luận số giao điểm
của (d) và (C).
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 7


TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010
c. Khi đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại A ( A ≠ O) .Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi (C) và (d).

1.

II. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0)
x4
3

+ x2 −
2
a) Khảo sát hàm số : y = 2

b) Khảo sát hàm số y = − x4 − x2 + 2
x4
3
− x2 −
2
c) Khảo sát hàm số y = 2

d) Khảo sát hàm số y = 2x2 − x4.
e) Khảo sát hàm số y = − x4 + 4.
2. a) Khảo sát hàm số y = − x4 + x2 , (C) là đồ thị
a) Gọi A và B là giao điểm của (C) và trục hoành. Chứng minh các tiếp tuyến của (C) tại A
và tại B vng góc nhau.
3. a) Khảo sát hàm số y = x4 − 2x2 + 1, (C) là đồ thị
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa (C) và trục hoành.
4. a) Khảo sát hàm số y = x4 + x2 − 2, (C) là đồ thị
b) Gọi A là giao điểm của (C) và tia Ox. Tìm phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa (C), d và trục tung
5. a) Khảo sát hàm số y = −

x4
3
− x2 +
2
2

, (C) là đồ thị

b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình : x4 + 2x2 + 2a − 3 = 0
c) Xác định b để đường thẳng ∆ có phương trình y = 4x + b tiếp xúc với (C).
d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa (C), trục tung và đường thẳng ∆ tìm được ở câu
trên.
6. Cho hàm số y = f(x) = − ax2 + b , a và b là các tham số
a) Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng −2 khi x = 1
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với giá trị a và b tìm được ở câu a)
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh
7. Cho hàm số y = x4 -2(m+2)x2 + 2m + 3 Có đồ thị (Cm) , m là tham số
1. Định m để (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
2. Khảo sát hàm số (C) với m = 3.
3. Dùng (C) biện luận theo a số nghiệm phương trình:
x4 - 10x2 + 9 - a = 0
8. Cho hàm số y = x4 + ax2 + b
3 4
I( ; )
3 9 làm điểm uốn.
1. Xác định a và b để đồ thị nhận
2. Khảo sát hàm số (C) với a = -2 ; b = 1.
3. Tính diện tích của (C) và trục hoành.

1.

III. HÀM SỐ NHẤT BIẾN y = với c ≠ 0 và ad − bc ≠ 0
a) Khảo sát hàm số y =

2x − 1
x +1 .

3x + 5
b) Khảo sát hàm số y = 2x + 2 .
2
x−2
c) Khảo sát hàm số : y =
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 8


TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010
2. a) Khảo sát hàm số y =

4
, (C) là đồ thị .
x−4

b) Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; 0) và tiếp xúc với (C).
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa (C), d và trục tung.
d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa (C), d, trục hoành và trục tung
3. a) Khảo sát hàm số y =

4
, (C) là đồ thị .
x−4

b) Biện luận theo tham số m số giao điểm của (C) và đường thẳng ∆ có phương trình :
y = 2x + m
c) Trong trường hợp (C) và ∆ cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N, chứng minh rằng trung
điểm I của MN nằm trên một đường thẳng cố định.

4. a) Khảo sát hàm số y =

2−x
, (C) là đồ thị .
x

b) Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
c) Cho đường thẳng d : y = 2x + m. Chứng minh rằng với mọi gía trị của m, đường thẳng d
ln ln cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm qũy tích trung điểm M của AB.
5. a) Khảo sát hàm số y =

x −1
, (C) là đồ thị .
x +1

b) Gọi (H) là phẳng giới hạn giữa (C), trục hồnh và trục tung.
b1. Tính diện tích hình (H).
b2. Tính thể tích khối trịn xoay sinh bởi hình (H) quay quanh Ox.
6. Cho hàm số : y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ là những số nguyên
(m − 2) x + 3
y=
x+m
7. Cho hàm số :
có đồ thị (Cm) , m tham số
1. Định m để hàm số luôn luôn đồng biến trên từng khoảng xác định .
2. Khảo sát hàm số (C) với m = 1.
3. Gọi (d) là đường thẳng qua A (1;-1) có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của
(d) và (C).Từ đó suy ra tiếp tuyến của (C) qua A

(m + 1) x + m + 3
y=
mx + 2
8. Cho hàm số
(Cm) với m là tham số
1.Tìm qũi tích tâm đối xứng của (Cm)
2. Khảo sát hàm số (C) với m = 2.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với các trục tọa độ.Kiểm
nghiệm rằng hai tiếp tuyến đó song song nhau.

Chủ đề IV: PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT.

I/ Phương trình mũ :
1) Phương pháp 1: Đưa về dạng cơ bản: a f ( x ) = a g ( x ) ; a f ( x) = b.
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 9


TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010
b > 0
a f ( x) = b ⇔ 
.
 f ( x) = log a b

Ta có : a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ).
Bài tập đề nghị :
1.1) Giải các phương trình sau đây :
x 2 −6 x −

5
2

c) 32 x−3 = 9 x2 +3 x −5

a) 2 x−4 = 3 4

b)

d) 2 x

e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110

2

− x +8

1− 3 x

=4

2

= 16 2

x +5

x +17

1

4

f) 32 x −7 = 128 x −3

g) (1,25)1 – x = (0, 64) 2(1+

f) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2

x)

2) Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ
Dạng α .a 2 f ( x) + β .a f ( x) + γ = 0 Đặt t = a f ( x ) điều kiện t > 0
ta được : α .t 2 + β .t + γ = 0 giải tìm nghiệm t0 >0, sau đó giải pt: a f ( x ) = t0
Bài tập đề nghị :
2.1) Giải các phương trình
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12
b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0
c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0
d) 32 x +1 − 9.3x + 6 = 0

e) 22 x + 2 − 9.2 x + 2 = 0

Chú ý cách giải một số dạng khác:
α. a f (x) +β. bf (x) + γ = 0 ; ( với a.b=1)
α. a

2f (x)

+β. ( a.b )

f (x)

Đặt : t =

a

f (x)

(Đk t > 0) ⇒

1
t

= bf (x)

f (x)

+ γ. b

2f (x)

a
= 0 ; Đặt t =  ÷
b

Bài tập đề nghị :
2.2) Giải các phương trình
5

x

2

x+1

8

a)  ÷ − 2  ÷ + = 0
5
2
5

(

) (
x

d) 4 − 15 + 4 + 15

)

x

b) 5 x − 53−
=2

e)

(

x

5+2 6

) (

c) 7 x + 2.71− x − 9 = 0

= 20
x

+

5−2 6

)

x

= 10

3) Phương pháp 3: Logarit hoá hai vế
 f ( x) > 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
log a f ( x) = log a g ( x)

Bài tập đề nghị :
3.1) Giải các phương trình
a) 2x - 2 = 3

b) 3x + 1 = 5x – 2
x −1

d) 2 x − 2 = 5x −5 x +6
e) 5 x.8 x = 500
3.2) Giải các phương trình ( sử dụng tính đơn điệu)
a) 3x + 4 x = 5x
b) 3x – 12x = 4x
2

c) 3x – 3 = 5 x

2

− 7 x +12

f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x
c) 1 + 3x/2 = 2x

II/ Phương trình logarit :
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 10


TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010

1) Phương pháp 1: Đưa về dạng cơ bản: log a f ( x) = log a g ( x);log a f ( x) = b
(Chú ý log a f ( x) thì phải có điều kiện f(x) > 0)
log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b

Ta có : log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x)
Bài tập đề nghị :
1.1) Giải các phương trình sau đây :
a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46
b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log4x + log2x + 2log16x = 5
d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
e) log3x = log9(4x + 5) + ½
f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
x–2
x–2
g) log2(9 +7) – 2 = log2( 3 + 1)
h) log 3 ( x + 2 ) + log3 ( x − 2 ) = log 3 5

2) Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ (Chú ý log a f ( x) thì phải có điều kiện f(x) > 0).
Dạng α .log 2 f ( x) + β .log a f ( x) + γ = 0 Đặt t = log 2 f ( x)
a
a
ta được : α .t 2 + β .t + γ = 0 giải tìm nghiệm t0 , sau đó giải pt: log a f ( x) = t0
Kết hợp điều kiện ban đầu để chọn nghiệm thích hợp.
Bài tập đề nghị :
2.1) Giải các phương trình
a)

1
2
+
=1
4 − ln x 2 + ln x

c) logx + 17 + log9x7 = 0
e) log1/3x + 5/2 = logx3
2
g) log 2 x + 3log 2 x + log 1 2 x = 2

b) logx2 + log2x = 5/2
d) log2x + 10 log 2 x + 6 = 9
f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x
h) lg x 16 + l o g 2 x 64 = 3
2

3) Phương pháp 3: Mũ hoá hai vế
f ( x) = g ( x) ⇔ a f ( x) = a g ( x) .

Bài tập đề nghị :
3.1) Giải các phương trình
a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x)
III/ Bất phương trình mũ :
Đưa về dạng cơ bản: a f ( x ) > a g ( x )

b) log3(3x – 8) = 2 – x

;

a f ( x) > b

;

a f ( x) < b .

a > 1
0 < a < 1
a f ( x) > a g ( x) ⇔ 
hay 
 f ( x) > g ( x )
 f ( x) < g ( x)
a f ( x ) > b
⇔ ∀x ∈ ¡

b ≤ 0

a f ( x ) > b
0 < a < 1
a < 1
⇔
hay 

 f ( x) < log a b
 f ( x) > log a b
b > 0

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 11


TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010
a f ( x ) < b
⇔ Bất pt vô nghiệm.


b ≤ 0
a f ( x ) < b
0 < a < 1
a < 1
⇔
hay 

 f ( x) > log a b
 f ( x) < log a b
b > 0

Bài tập đề nghị :
1) Giải các bất phương trình sau đây :
2 x+ 5

a) 16

x–4

1
b)  ÷
 3

≥8

6

<9

c) 9 x ≤ 3 x+ 2

4 x 2 −15 x + 4

d) 4

x2 − x + 6

1
e) 2  
 ÷
2

>1

< 23 x −4 f) 52x + 2 > 3. 5x

2) Giải các bất phương trình sau đây :
1
1
a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17
b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3
c) 4 x −1 > 2 x − 2 + 3
d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x
e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15
f) 4x +1 -16x ≥ 2log48
g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
3) Giải các bất phương trình sau đây :
a) 3x +1 > 5
b) (1/2) 2x - 3≤ 3
c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2)

IV/ Bất phương trình logarit :
Đưa về dạng cơ bản: log a f(x) > log a g(x) ;
(Điều kiện f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1)
log a f(x) > log a g(x) ⇔

log a f(x) > b ⇔

log a f(x) < b

⇔

3

log a f(x) < b.

0 < a < 1
a > 1

hay 
 f ( x) < g ( x)
 f ( x) > g ( x)

0 < a < 1

b
0 < f ( x ) < a
0 < a < 1

b
 f ( x) > a

hay

hay

Bài tập đề nghị :
1) Giải các bất phương trình sau đây :
a) log4(x + 7) > log4(1 – x)
c) log2( x2 – 4x – 5) < 4
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3
g) log 1

log a f(x) > b ;

3x − 1
>1
x+2

a > 1

b
 f ( x) > a
a > 1

b
 f ( x) < a

b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
d) log1/2(log3x) ≥ 0
f) log2x(x2 -5x + 6) < 1

2) Giải các bất phương trình sau đây :
a) log22 + log2x ≤ 0

b) log1/3x > logx3 – 5/2

c) log2 x + log2x 8 ≤ 4

d)

e) log x 2.log x 16 2 >

1
log 2 x − 6

1
1
+
>1
1 − log x log x

f) log 4 (3x − 1).log 1 (
4

3x − 1 3
)≤
16
4

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 12


TÀI LIỆU ƠN TẬP TĨAN 12 - 2010

3) Giải các bất phương trình sau đây :
a) log3(x + 2) ≥ 2 – x
c) log2( 5 – x) > x + 1

b) log5(2x + 1) < 5 – 2x
d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2

Lưu ý:
Để giải các bất pt ta có thể sử dụng cơng thức sau :
1/

a

f (x)

>

a

g(x)

⇔ (a−1)[f(x) − g(x)] > 0.

2/ log a f(x) > log a g(x) ⇔ (a−1)[f(x) − g(x)] > 0

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

- Trang 13