Hệ PT đối xứng kiểu I

http://ductam_tp.violet.vn/
CHUYÊN ĐỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I. Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0
g(x, y) = 0
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
, trong đó
f(x, y) = f(y, x)
g(x, y) = g(y, x)
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
S 4P³
.
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y.

Chú ý:
i) Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P, x
3
+ y
3
= S
3
– 3SP.
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
x y xy 30
x y 35
ì
+ =ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
.

GIẢI
Đặt
S x y, P xy= + =
, điều kiện
2
S 4P³
. Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35
S
ì
ï
ï
=
ì
ï
=
ï
ï
ï ï
Û
í í
æ ö

ï ï
- =
÷
ç
ï ï
- =
î
÷
ç
ï
÷
֍
ï
è ø
ï
î
S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
ì ì ì ì
= + = = =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
Û Û Û Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = = =
ï ï ï ï
î î î î
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

3 3
xy(x y) 2
x y 2
ì
- = -
ï
ï
í
ï
- =
ï
î
.
GIẢI
Đặt
t y, S x t, P xt= - = + =
, điều kiện
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï

+ = - =
ï ï
î î
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
ì ì ì
= = =
ï ï ï
ï ï ï
Û Û Û
í í í
ï ï ï
= = = -
ï ï ï
î î î
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4
x y
ì
ï
ï
+ + + =
ï

ï
ï
í
ï
ï
+ + + =
ï
ï
ï
î
.
GIẢI
Trang
1
http://ductam_tp.violet.vn/
Điều kiện
x 0, y 0¹ ¹
.
Hệ phương trình tương đương với:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç

ï
+ + + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
ï
è ø è ø
ï
í
ï
æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
+ + + =
÷ ÷
ï
ç ç
÷ ÷
ï
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ï
î
Đặt
2

1 1 1 1
S x y , P x y , S 4P
x y x y
æ ö æ ö æ öæ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + = + + ³
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è øè ø
ta có:
2
1 1
x y 4
S 4
S 4
x y
P 4 1 1
S 2P 8
x y 4
x y
ì æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
ï
+ + + =

÷ ÷
ç ç
ï
ì
ì
÷ ÷
=
=ï
ï
÷ ÷
ç ç
ï
è ø è ø
ï ï ï
Û Û
í í í
æ öæ ö
ï ï ï
=
- =
÷ ÷
ç ç
ï ï ï
î
î
+ + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷

÷ ÷
ç ç
ï
è øè ø
ï
î
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
ì
ï
ï
+ =
ì
ï
=
ï
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
=
ï ï
î

+ =
ï
ï
ï
î
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2
x y 2xy 8 2 (1)
x y 4 (2)
ì
ï
+ + =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
î
.
GIẢI
Điều kiện
x, y 0³
. Đặt
t xy 0= ³
, ta có:
2
xy t=

và
(2) x y 16 2t+ = -Þ
.
Thế vào (1), ta được:
2
t 32t 128 8 t t 4- + = - =Û
Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = =
ï ï
î î
.
II. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
S 4P³
(*).
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v.

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
x y 1
x x y y 1 3m
ì
ï
+ =
ï
ï
í
ï
+ = -
ï
ï
î
.
GIẢI
Trang
2
http://ductam_tp.violet.vn/
Điều kiện
x, y 0³
ta có:
3 3
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m
ì ì
ï ï
+ = + =
ï ï
ï ï

Û
í í
ï ï
+ = - + = -
ï ï
ï ï
î î
Đặt
S x y 0, P xy 0= + =³ ³
,
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
2
S 1
S 1
P m
S 3SP 1 3m
ì
ì
=
=
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
=
- = -
ï ï

î
î
.
Từ điều kiện
2
S 0, P 0, S 4P³ ³ ³
ta có
1
0 m
4
£ £
.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
x y xy m
x y xy 3m 9
ì
+ + =
ï
ï
í
ï
+ = -
ï
î
có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
x y xy m
(x y) xy m

xy(x y) 3m 9
x y xy 3m 9
ì
ì
+ + =
+ + =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = -
+ = -
ï ï
î
î
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9
ì
+ =
ï
ï
í
ï
= -

ï
î
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0- + - =
S 3 S m 3
P m 3 P 3
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3)
21
m m 3 2 3
(m 3) 12
4
é
-³
ê

+Û Û £ Ú ³
ê
- ³
ê
ë
.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
x 4 y 1 4
x y 3m
ì
ï
- + - =
ï
í
ï
+ =
ï
î
có nghiệm.
GIẢI
Đặt
u x 4 0, v y 1 0= - = -³ ³
hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv
2

ì
+ =
ï
ì
ï
+ =
ï
ï
ï
Û
í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û

(*) có 2 nghiệm không âm

/
3m 13
0
0
13
2
S 0 m 7
21 3m
3
0
P 0
2
ì
ì
-
ï
ï
D ³
ï
ï
³
ï
ï
ï
ï
Û ³ Û Û £ £
í í
ï ï

-
ï ï
³
³
ï ï
ï ï
î
î
.
Trang
3
http://ductam_tp.violet.vn/
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m
ì
+ + + =ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
2 2
2 2
(x 4x) (y 4y) 10

x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
ìì
+ + + =ï
+ + + =ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + = + + =
ï ï
î î
.
Đặt
2 2
u (x 2) 0, v (y 2) 0= + = +³ ³
. Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
- + = - = +
ï ï
î î
(S = u + v, P = uv).

Điều kiện
2
S 4P
S 0 24 m 1
P 0
ì
ï
³
ï
ï
ï
-³ Û £ £
í
ï
ï
³
ï
ï
î
.
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1.
2 2
x y xy 5
x y xy 7
ì
+ + =
ï
ï

í
ï
+ + =
ï
î
. Đáp số:
x 1 x 2
y 2 y 1
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
2.
2 2
x xy y 3
2x xy 2y 3
ì
+ + =ï
ï
í
ï
+ + = -
ï

î
. Đáp số:
x 1 x 3 x 3
y 1
y 3 y 3
ì ì
ì
ï ï
= - = = -
ï
ï ï
ï ï ï
Ú Ú
í í í
ï ï ï
= -
= - =
ï ï ï
î
ï ï
î î
.
3.
3 3
x y 2xy 2
x y 8
ì
+ + =
ï
ï

í
ï
+ =
ï
î
. Đáp số:
x 2 x 0
y 0 y 2
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
4.
3 3
x y 7
xy(x y) 2
ì
- =ï
ï
í
ï
- =
ï

î
. Đáp số:
x 1 x 2
y 2 y 1
ì ì
= - =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
5.
2 2
x y 2xy 5
x y xy 7
ì
- + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
. Đáp số:
1 37 1 37

x x
x 2 x 1
4 4
y 1 y 2
1 37 1 37
y y
4 4
ì ì
ï ï
- +
ï ï
= =
ï ï
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = -
- - - +
ï ï ï ï
î î
= =
ï ï
ï ï
ï ï
î î

.
6.
2 2
2 2
1
(x y)(1 ) 5
xy
1
(x y )(1 ) 49
x y
ì
ï
ï
+ + =
ï
ï
ï
í
ï
ï
+ + =
ï
ï
ï
î
. Đáp số:
x 1 x 1
7 3 5 7 3 5
x x
2 2

7 3 5 7 3 5
y y
y 1 y 1
2 2
ì ì ì ì
= - = -
ï ï ï ï
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
= - = -
ï ï ï ï
ï ï ï ï
î î î î
.
Trang
4
http://ductam_tp.violet.vn/
7.
x y y x 30
x x y y 35
ỡ

ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 4 x 9
y 9 y 4
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.
8.
x y 7
1
y x
xy
x xy y xy 78

ỡ
ù
ù
+ = +
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
ợ
(chỳ ý iu kin x, y > 0). ỏp s:
x 4 x 9
y 9 y 4
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.
9.
( )
2 2

3 3
3
3
2(x y) 3 x y xy
x y 6
ỡ
ù
+ = +
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 8 x 64
y 64 y 8
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.

10. Cho x, y, z l nghim ca h phng trỡnh
2 2 2
x y z 8
xy yz zx 4
ỡ
+ + =ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ợ
. Chng minh
8 8
x, y, z
3 3
- ÊÊ
.
HNG DN GII
H phng trỡnh
2 2 2 2 2
x y 8 z (x y) 2xy 8 z
xy z(x y) 4 xy z(x y) 4
ỡ ỡ
+ = - + - = -ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ + = + + =

ù ù
ợ ợ
2 2
(x y) 2[4 z(x y)] 8 z
xy z(x y) 4
ỡ
+ - - + = -ù
ù

ớ
ù
+ + =
ù
ợ
2 2
(x y) 2z(x y) (z 16) 0
xy z(x y) 4
ỡ
+ + + + - =ù
ù

ớ
ù
+ + =
ù
ợ
2 2
x y 4 z x y 4 z
xy (z 2) xy (z 2)
ỡ ỡ

+ = - + = - -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= - = +
ù ù
ợ ợ
.
Do x, y, z l nghim ca h nờn:
2 2
2
2 2
(4 z) 4(z 2)
8 8
(x y) 4xy z
( 4 z) 4(z 2)
3 3
ộ
- -
ờ
+ - ÊÊ
ờ
- - +
ờ
ở
.
i vai trũ x, y, z ta c
8 8

x, y, z
3 3
- ÊÊ
.
11.
x y
1 1 1
16 16 2
x y 1
ỡ
ù
ổ ử ổ ử
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
+ =
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ớ
ố ứ ố ứ
ù
ù
+ =
ù
ù

ợ
. ỏp s:
1
x
2
1
y
2
ỡ
ù
ù
=
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
.
12.
sin ( x y)
2 2
2 1
2(x y ) 1
+p
ỡ
=ù

ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
HNG DN GII
Cỏch 1:
sin (x y)
2 2 2 2
2 2
sin (x y) 0 x y (1)
2 1
2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)2(x y ) 1
+p
ỡ ỡ ỡ
+ = +p ẻ
=ù
ù ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
ù ù ù
+ = + =+ =
ù ù ù
ợ ợợ
Z
2
2 2
2

1 2 2
x x
1
2 2 2
(2) x y 2 x y 2
1
2
2 2
y
y
2
2 2
ỡ
ỡ
ù
ù
ù
ù
-Ê Ê Ê
ù
ù
ù
ù
ù
+ = - + ị ị ị Ê Ê
ớ ớ
ù ù
ù ù
Ê
- ÊÊ

ù ù
ù ù
ợ
ù
ợ
.
x y 0
(1)
x y 1
ộ
+ =
ờ
ị
ờ
+ =
ờ
ở
th vo (2) gii.
Trang
5
http://ductam_tp.violet.vn/
Cách 2:
Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành:
sin S
2
2
S
2 1
4P 2S 12(S 2P) 1
p

ì ì
Î
=ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= =
ï ï
îî
Z
.
Từ điều kiện
2
S 4P³
ta suy ra kết quả tương tự.
Hệ có 4 nghiệm phân biệt
1 1 1 1
x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1
y y y y
2 2 2 2
ì ì ì ì
ï ï ï ï
ï ï ï ï
= = - = = -
ï ï ï ï
ï ï ï ï

Ú Ú Ú
í í í í
ï ï ï ï
ï ï ï ï
= = - = - =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
î î î î
.
Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu
1. Tìm m để hệ phương trình
2 2
x xy y m 6
2x xy 2y m
ì
+ + = +ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
có nghiệm thực duy nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
2 2
2 2 2
3x m 6 3x 6 m m 3
m 21
x 4x m x 4x 3x 6

ì ì
é
= + - = = -ï ï
ï ï
ê
Û Þ
í í
ê
ï ï
=
+ = + = -
ê
ï ï
ë
î î
.
+ m = – 3:
2 2 2
x xy y 3 (x y) xy 3
2(x y) xy 3 2(x y) xy 3
ì ì
+ + = + - =ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + = - + + = -
ï ï
î î
x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1

xy 3 xy 1 y 1
y 3 y 3
ì ì
ì ì ì
ï ï
+ = + = - = = - = -
ï ï ï
ï ï
ï ï ï ï ï
Û Ú Û Ú Ú
í í í í í
ï ï ï ï ï
= - = = -
= - =
ï ï ï ï ï
î î î
ï ï
î î
(loại).
+ m = 21:
2 2 2
x xy y 27 (x y) xy 27
2x xy 2y 21 2(x y) xy 21
ì ì
+ + = + - =ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + = + + =

ï ï
î î
x y 8 x y 6 x 3
xy 37 xy 9 y 3
ì ì ì
+ = - + = =
ï ï ï
ï ï ï
Û Ú Û
í í í
ï ï ï
= = =
ï ï ï
î î î
(nhận).
Vậy m = 21.
2. Tìm m để hệ phương trình:
2 2
x xy y m 1
x y xy m
ì
+ + = +
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
có nghiệm thực x > 0, y > 0.

HƯỚNG DẪN GIẢI
2 2
x xy y m 1
(x y) xy m 1
xy(x y) m
x y xy m
ì
ì
+ + = +
+ + = +
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ =
+ =
ï ï
î
î
x y 1 x y m
xy m xy 1
ì ì
+ = + =
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
ï ï
= =

ï ï
î î
.
Hệ có nghiệm thực dương
2
m 0
1
0 m m 2
1 4m m 4
4
ì
>
ï
ï
<Û Û £ Ú ³
í
ï
³ Ú ³
ï
î
.
Vậy
1
0 m m 2
4
< £Ú³
.
Trang
6
http://ductam_tp.violet.vn/

3. Tỡm m h phng trỡnh
x y m
x y xy m
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ - =
ù
ù
ợ
cú nghim thc.
HNG DN GII
( )
2
2
x y m
x y m
x y m
m m
x y xy m
xy
x y 3 xy m
3
ỡ
ù
ỡ

+ =
ỡ
ù
+ =
ù
ù
+ =
ù
ù
ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
-
ù ù ù
+ - =
=
+ - =
ù ù ù
ù
ợ
ù
ù
ợ
ù
ợ
.
Suy ra
x, y
l nghim (khụng õm) ca phng trỡnh

2
2
m m
t mt 0
3
-
- + =
(*).
H cú nghim

(*) cú 2 nghim khụng õm
/ 2
2
0 m 4m 0
m 0
S 0 m 0
1 m 4
P 0
m m 0
ỡ
ỡ
ù
ù
-D Ê
ù
ù
ộ
=
ù
ù

ù ù
ờ

ớ ớ
ờ
ù ù
Ê Ê
ờ
ù ù
ở

-
ù ù
ù ù
ợ
ợ
.
Vy
m 0 1 m 4= ÊÊ
.
4. Tỡm m h phng trỡnh
2 2
2
x y 2(1 m)
(x y) 4
ỡ
+ = +ù
ù
ớ
ù

+ =
ù
ợ
cú ỳng 2 nghim thc phõn bit.
HNG DN GII
2 2 2
2 2
x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m)
(x y) 4 (x y) 4
ỡ ỡ
+ = + + - = +ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = + =
ù ù
ợ ợ
xy 1 m xy 1 m
x y 2 x y 2
ỡ ỡ
= - = -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = + = -
ù ù
ợ ợ

.
H cú ỳng 2 nghim thc phõn bit khi
( )
2
2 4(1 m) m 0 = - =
.
5. Cho x, y l nghim ca h phng trỡnh
2 2 2
x y 2m 1
x y m 2m 3
ỡ
+ = -
ù
ù
ớ
ù
+ = + -
ù
ợ
. Tỡm m P = xy nh nht.
HNG DN GII
t
S x y, P xy= + =
, iu kin
2
S 4P.
2 2 2 2 2
x y 2m 1 S 2m 1
x y m 2m 3 S 2P m 2m 3
ỡ ỡ

+ = - = -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = + - - = + -
ù ù
ợ ợ
2 2
2
S 2m 1
S 2m 1
3
(2m 1) 2P m 2m 3
P m 3m 2
2
ỡ
= -
ù
ỡ
ù
= -
ù
ù
ù

ớ ớ
ù ù
- - = + -

= - +
ù ù
ợ
ù
ợ
T iu kin suy ra
2 2
4 2 4 2
(2m 1) 6m 12m 8 m .
2 2
- +
- - + ÊÊ
Xột hm s
2
3 4 2 4 2
f(m) m 3m 2, m
2 2 2
- +
= - + ÊÊ
.
Ta cú
4 2 11 6 2 4 2 4 2
min f(m) f , m ;
2 4 2 2
ổ ử ộ ự
- - - +
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ

= = " ẻ
ỗ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
Vy
11 6 2 4 2
min P m
4 2
- -
= =
.
Trang
7