Chương 4. Tích phân bất định pdf

Chơng 4. Tích phân bất định
4.1. Nguyên hàm và định nghĩa tích phân bất định.

4.1.1. Nguyên hàm.
Trong chơng này ta luôn giả thiết a, b là các số thực, a < b.
Định nhĩa 4.1. Hàm F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên (a;b),
nếu:
F (x) = f(x) (x (a;b)).
Ví dụ 4.1.
2
2
(i) f(x) = x có các nguyên hàm F(x) = x , (x) = x +4 trên (−∞;+∞).
2
2

V×:
F′ (x) = x = f(x); Φ′ (x) = x = f(x) (∀x ∈ (−∞;+∞)).
(ii) f(x) = x−1 cã nguyªn hàm F(x) = ln |x| trên (;+)\{0} vì:
F (x) = x1 = f(x) ) (x (;+)\{0}).
Định lý 4.1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b). Khi đó,
(i) Với C là một hằng số tuỳ ý thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm
của f(x) trên (a;b).
(ii) Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a;b) đều có dạng F(x) + K với K
là một hằng số nào ®ã.
Chøng minh. (i) Víi C lµ mét h»ng sè t ý th× [F(x) + C]′ = F′ (x) = f(x)
(∀x∈ (a;b)). Vậy F(x) + C là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b).
(ii) Giả sử (x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b). nghĩa
là (x) = f(x) (∀x ∈ (a;b)).
⇒ [F(x) − Φ(x)]′ = F′ (x) − Φ′ (x) = f(x) − f(x) = 0 (∀x ∈ (a;b)).
⇒ F(x) − Φ(x) = K (∀x ∈ (a;b)) víi K là một hằng số nào đó.(đpcm)
ý nghĩa của định lý. Nếu f(x) có nguyên hàm trên (a;b) thì nó có vô số

nguyên hàm trên (a; b) và hai nguyên hàm khác nhau của f(x) trên (a;b)
sai khác nhau một hằng số.
Định lý 4.2. Nếu f(x) liên tục trên (a;b) thì nó có nguyên hàm trên (a; b).

1


Chú thích (i) Định nghĩa 4.1 và các định lý 4.1, 4.2 còn đúng khi thay
(a; b) bằng [a; b]. Vì vậy nó vẫn đúng khi thay (a; b) bằng X là hợp của
các tập có dạng (a; b) và [c; d] với a, b, c, d, là các số thực bất kỳ.
(ii) Trong chơng này, ta chỉ xét đến nguyên hàm của các hàm liên
tục. Nếu hàm đợc cho cụ thể và có các điểm gián đoạn, thì ta chỉ khảo
sát nguyên hàm của nó trên các khoảng mà nó liên tục. Vì vậy, khi đÃ
thừa nhận định lý 4.2 thì mỗi khi tính nguyên hàm của một hàm nào đó
ta không cần xét sự tồn tại nguyên hàm của nó nữa.
4.1.2. Định nghĩa tích phân bất định.
Định nghĩa 4.2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b). Thì
biểu thức F(x) + C với C là một hằng số tuỳ ý, đợc gọi là tích phân bất
định của hàm f(x) trên (a;b) và ký hiệu là:

f ( x ) dx .
Trong đó, đợc gọi là dấu tích phân; f(x) đợc gọi là hàm số dới dấu
tích phân; f(x)dx đợc gọi là biểu thức dới dấu tích phân; x là biến số lấy
tích phân. Vậy:

f ( x ) dx = F(x) + C.
2
xdx = x + C; (ii) ∫ cos xdx = − sin x + C.

2

4.1.3. Tính chất của tích phân bất định.
Tính chất 4.1. Nếu f(x) có nguyên hàm trên (a;b) thì:

Ví dụ 4.2.

(i)

′
 ∫ f ( x ) dx  = f ( x ) (∀x ∈ (a;b));


d  ∫ f ( x ) dx  = f ( x ) dx (x (a;b)).


Tính chất 4.2. Nếu F(x) là hàm khả vi trên (a;b) thì:

d F ( x )  = F(x) + C



(∀x ∈ (a;b)).

TÝnh chÊt 4.3. NÕu f(x), h(x) có nguyên hàm trên (a;b) thì:

f ( x ) ± h ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ h ( x ) dx ;


∫ kf ( x ) dx = k∫ f ( x ) dx víi k lµ hằng số tuỳ ý.
4.1.4. Bảng tích phân cơ bản.
2

∫ f ( x ) dx trªn (a;b)

NhËn xÐt 4.1. Từ định nghĩa 4.2 ta thấy muốn tính

chỉ cần tìm một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) rồi cộng với C. Từ đó ta
có bảng tích phân cơ bản sau:(với a > 0 )
xα+1
∫ x dx = α + 1 + C (α ≠ −1)

dx
∫ x = ln x + C

α

ax
∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ −1)

∫ e dx = e
x

x

x

+C

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ cos xdx = sin x + C

dx
∫ cos2 x = tgx + C

dx
∫ sin2 x = − cot gx + C

dx

∫ 1 + x2

= arctgx + C = − arc cot gx + C ,

dx

∫

1− x

2

= arcsin x + C = − arccos x + C

dx
1
x
∫ a2 + x2 = a arctg a + C

∫

dx
2

∫

∫ a2 − x 2

x ±a
VÝ dơ 4.3. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)

∫ ( 3x

2

)

+ 2 x − 5 dx ; b)

x

∫ 1 + x2 dx ;

3

a2 − x2
dx

= ln x + x2 ± a2 + C

2

dx

c)

dx

=

= arcsin

x
+C
a

1
a+ x
ln
+C.
2a a − x

∫ sin2 x cos2 x ;

d)

∫ tgxdx .

Gi¶i. a)

∫ ( 3x

2

)

+ 2 x − 5 dx = 3∫ x2 dx + 2 ∫ xdx − 5 ∫ dx = x3 + x 2 − 5 x + C .

(

)

b)

2
x
1 d 1+ x
1
2
∫ 1 + x2 dx = 2 ∫ 1 + x2 = 2 ln 1 + x + C .

c)

dx
sin2 x + cos2 x =
∫ sin2 x cos2 x = ∫ sin2 x cos2 x dx
=∫

(

)

dx
dx
+∫
= tgx − cot gx + C .
cos2 x
sin2 x

d cos x
= − ln cos x + C .
cos x
VÝ dô 4.4. Tính các tích phân sau:
d)

sin x

tgxdx = cos xdx = − ∫

a) ∫ sin kxdx , ∫ cos kxdx (với k là hằng số khác 0);
dx
b)
;
3 + 2x

dx
c) ∫
;

sin4 x + cos4 x

∫

d)

(x−

1

dx
x2 − 4

).

1

∫ sin kxdx = k ∫ sin kxdkx = − k cos kx + C ,

Gi¶i. a)

∫ cos kxdx =

1
1
cos kxdkx = sin kx + C .
k∫
k

b)

(

)

(

)

x
x
d 3 + 2x
dx
1 3+2 −2
1
1
x
1
x
= ∫
dx = ∫ dx −
= −
∫ 3 + 2x 3 3 + 2x
∫ 3 + 2 x 3 3 ln 2 ln 3 + 2 + C
3
3 ln 2
.

dx

c)

dx

∫ sin4 x + cos4 x = 2∫ 2 − sin2 2 x = 2∫ 1 + cos2 2 x = 2 ∫
=∫

d)

dx

∫

(

(

1
1+

1
cos2 2 x

)

dx
cos2 2 x =

1
d2 x

dtg2 x
1
tg2 x
.
=∫
=
arctg
+ C.
2
2
2
2 + tg 2 x cos 2 x
2 + tg 2 x
2
2

dx
x − x2 − 4

)

2

(

)

1
= ∫ x + x2 − 4
16

=
4

2

dx =

(

)

1
2
2
2
∫ x + 2 x x − 4 + x − 4 dx
16


=

(

1 2
1
2
∫ x dx + 16 ∫ x − 4
8

VÝ dô 4.5. TÝnh

) d( x
1

2

2

)

−4 −

1
1 3 1
∫ dx = 24 x + 24
4

(x

2

−4

)

3

−

1
x + C.
4

∫ f ( x ) dx với f(x) là hàm hữu tỷ theo x.

áp dụng tÝnh:

x3 + 4 x 2 − 2 x + 1 .
dx

x4 + x
Pn ( x )
trong đó Pn(x) và
Pm ( x )

Giải. f(x) là hàm hữu tỷ theo x nghĩa là f(x) =

Pm(x) (m,n nguyên dơng) lần lợt là các ®a thøc bËc n, m theo x.
Pm(x) lµ ®a thøc bậc m theo x nên nó đợc phân tích thành tích của
các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai vô nghiệm. Vì vậy, để tính
ticha phân trên ngời ta tách hàm f(x) (theo phơng pháp hệ số bất định)
A

thành tổng của các biểu thức có dạng

và

( x − x0 ) k

( ax

Bx + C
2

+ bx + c

)

p

víi A,

B, C, x0 , k, p là các hằng số thoả mÃn: a > 0; k và p nguyên, không âm.
Sau đó tách tích phân đà cho thành tổng của các tích phân.
áp dụng tính: I =

x3 + 4 x 2 − 2 x + 1 .
dx
∫
x4 + x

Ta cã: x4 + x = x(x +1)(x2−x + 1) nªn

x3 + 4 x 2 − 2 x + 1
1
2
2x
x3 + 4 x 2 − 2 x + 1
= −

+ 2
f(x) =
.
=
x x +1 x − x +1
x ( x + 1) x 2 − x + 1
x4 + x

(

VËy

)

2
2x
dx
dx
xdx
1

+ 2
dx = ∫
− 2∫
+ 2∫ 2
I = ∫ −
x
x +1
x − x +1
 x x + 1 x − x + 1



(

)

d x2 − x + 1
dx
= dx − 2 dx +
∫ x ∫ x + 1 ∫ x2 − x + 1 + ∫ x2 − x + 1
= ln

(

)

x x2 − x + 1

( x + 1)

2

+

2
2x − 1
arctg
+ C.
3
3

4.2. Các phơng pháp tính tích phân bất định

5


Trong thực tế, nếu chỉ sử dụng bảng tích phân cơ bản và tính chất
của tích phân bất định để giải bài toán tính tích phân bất định, thì trong
nhiều trờng hợp không giải đợc. Để khắc phục điều đó, sau đây chúng ta
đa ra hai phơng pháp tính tích phân bất định.
4.2.1. Phơng pháp đổi biến số.
Giả sử cần tÝnh tÝch ph©n

∫ f ( x ) dx

(x ∈ [a; b]).

Nếu đặt x = (t) trong đó (t) tăng (hoặc giảm), khả vi trên [; ],

(t) liên tục trên [; ]; có miền giá trị [a; b]; và (t) 0 ( t (; )).
Thì:

f ( x ) dx = ∫ f ϕ ( t )  ϕ′ ( t ) dt .


(c«ng thøc này gọi là công thức đổi biến số tính tích phân).
Chứng minh. Với mỗi x [a; b] ta có:


∫ f ( x ) dx  = f ( x ) .

x

(4.1)
Mặt khác, vì (t) tăng (hoặc giảm), khả vi liên tục trên [; ]; (t)
0 ( t (; )) và có miền giá trị [a; b]. Do đó, tồn tại duy nhất hàm
ngợc t = t(x) tăng (hoặc giảm), khả vi liên tục trên [a; b], có miền giá trị
1
1
=
[; ] và: dx = ϕ′ (t)dt, t′ (x) = ′
.
x ( t ) ϕ′ ( t )
⇒

{ ∫ f ϕ ( t )  .ϕ′ ( t ) dt}



′
x

=

{ ∫ f ϕ ( t )  ϕ′ ( t ) dt}



′
t

.t′
x

1
= f ϕ ( t )  ϕ′ ( t ) .t′ = f ϕ ( t )  ϕ′ ( t ) . = f ϕ ( t )  = f ( x ) .
x






x

(4.2)

t

Từ (4.1) và (4.2.) suy ra điều phải chứng minh.
Chú ý 4.1. (i) Kết quả trên vẫn đúng khi thay [a; b] và [; ] tơng ứng
thay
bằng (a; b) và (; ).
(ii) Khi sử dụng phơng pháp đổi biến số (đặt x = (t)) để tính tích phân,
ta phải kiểm tra đầy đủ các điều kiện của hµm ϕ (t).

6


Ví dụ 4.6. Tính các tích phân sau: a)

Giải. a)



9 − x2 dx . Hµm f(x) =

∫

9 − x2 dx , b)



x2 + 4 dx .

9 x2 xác định trên [3;3].

Đặt x = 3 sin t = (t) t ∈ [ −π 2 ; π 2 ]
⇒ ϕ (t) tăng trên [ 2 ; 2 ], ϕ′ (t) = 3cost ≠ 0, liªn tơc trªn ( 2 ;
), có miền giá trị [3;3] .
2
Vì t ∈ [ −π 2 ; π 2 ]⇒ 9 − x2 = 3 1 − sin2 t = 3 cos t = 3 cos t ; dx = 3cost
dt.
2
2
⇒ ∫ 9 − x dx = 9 ∫ cos tdt =

9
9t 9
∫ ( 1 + cos2t ) dt = 2 + 4 sin 2t + C
2

9
x 9
x

= arcsin + sin  2 arcsin ÷ + C .
2
3 4
3

b)

∫

x2 + 4 dx .
Hàm f(x) =

x2 + 4 xác định trên (;+).

Đặt x = 2 tg t = ϕ (t) (t ∈( 2 ; 2 )) (t) tăng trªn( −π 2 ; π 2 ), ϕ′
2
≠ 0, liªn tục trên ( ; ), có miền giá trÞ (−∞;+∞).
2
2 2
cos t

(t) =

⇒ dx =

∫

2 dt
;
cos2 t

x + 4 dx = ∫
2

x2 + 4 = 4 tg 2 t + 4 =

(

2
2
=
(v× t∈ ( −π 2 ; π 2 )). VËy:
cos t cos t

cos t
d sin t
2 dt
dt
dt = 4 ∫
= 4 ∫ cos4 t
4 tg t + 4
= 4∫
1 − sin2 t
cos2 t
cos3 t

2

)

(

)

2

=

d ( 1 + sin t )
d ( 1 − sin t )
1
d sin t
 1

+
d sin t = − ∫
+ 2∫
+∫
=
∫ 1 − sin t 1 + sin t 
1 − sin2 t


( 1 + sin t ) 2
( 1 − sin t ) 2
2

7


1
1
1 + sin t
−
+ ln
+C=
1 − sin t 1 + sin t
1 − sin t

(

)

(

)

−2 1 + tg 2 t sin t + 2 ln 1 + tg 2 t ( 1 + sin t ) + C


x2 
x
x2  
x 



= −  2 + ÷sin  arctg ÷ + 2 ln  1 + ÷1 + sin  arctg ÷ + C.
2 
2
4 
2 




Chó ý 4.2. NÕu tích phân có dạng


1
1
f ( t ) ϕ ( t )  dt , ta cã thÓ đặt t =




(x). Trong đó, (x) tăng (hoặc giảm), khả vi trên [a; b], (x) liên tục
trên [a; b]; có miền giá trị [; ]; và (x) ≠ 0 (∀ t ∈ (a; b)) th×:
′
f ( x ) dx = ∫ f ϕ−1 ( t )   ϕ−1  ( t ) dt .
∫

 
KÕt qu¶ trên vẫn đúng khi thay [a; b] và [; ] tơng ứng bằng (a; b)
và (; ).
Ví dụ 4.7. Tính các tích phân sau: a)
Giải. a)

( 3x 5)

19

( 3x − 5)

19

dx , b)

∫(

)

x − 3 x dx .

dx . Hàm f(x) = (3x 5)19 xác định trên (;+).

Đặt t = 3x 5 = (x). Thì (x) xác định, tăng trên (;+); (x) =
3 ( 0) liên tục trên (;+); có miền giá trÞ (−∞;+∞). VËy

∫ ( 3x − 5)
b)

∫(

19

dx =

1 19
1 20
1
20
∫ t dt = 60t + C = 60 ( 3 x − 3) + C .
3

)

x − 3 x dx . Hàm f(x) =
Đặt t =

6

x 3 x xác định trên [0;+).

x = (x). Thì (x) xác định, tăng [0;+); (x) =

1
6 6 x5

0) liên tục trên (0;+); có miền gía trị [0;+). Vậy:

(

)

(

)

2
3
x 3 x dx = 6 ∫ t 3 − t 2 t5 dt = 6 ∫ t 8dt − 6 ∫ t 7 dt = t 9 − t 8 + C
3
4

26 9 36 8
x −
x +C
3
4
VÝ dơ 4.8. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
=

8

(≠


a)
Gi¶i. a)

dx

∫2+ 3 7+ x ,

b)

∫x

dx
,
x−3

c)

∫

dx
x

e +3

,

d)

∫

arcsin 2xdx
1 − 4x

2

.

dx
1

. Hàm f(x) =
xác định trên (;+)\{15}.
2+ 3 7+ x
2+ 3 7+ x

Đặt t = 2 + 3 7 + x = (x) với x 15.
Thì (x) xác định, tăng trên (;+)\{15}; (x) =

1
33 ( 7 + x)

2

( 0)

liên tục trên (;+)\{15}; có miền giá trị (;+)\{0}. VËy :

( t − 2 ) dt = 3 tdt − 12 dt + 12 dt = 3 t2 − 12t + 12 ln t + C
dx
= 3∫
∫2+ 3 7+ x
∫
∫
∫t 2
t
2

=

∫x

b)

(

3
2+ 37+ x
2

)

2

− 24 − 12 3 7 + x + 12 ln 2 + 3 7 + x + C .

dx
1
. Hàm f(x) =
xác định trên (3;+).
x3
x x3
Đặt t =

x − 3 = ϕ (x). Th× ϕ (x) xác định, tăng trên (3;+); (x) =

1
( 0) liên tục trên (3;+); có miền giá trị (0;+). Vậy:
2 x3

x

dx
2tdt
= 2
= 2∫
x−3
t +3 t

(

)

dt

( 3)

2

+ t2

=

2
t
2
x−3
arctg
+C=
arctg
+C

3
3
3
3

.
c) ∫

dx
x

e +3

. Hµm f(x) =

1
x

e +3

xác định trên (;+).

Đặt t = e x + 3 = (x).
Thì (x) xác định, tăng trên (;+); (x) =
trên (3;+); có miền giá trị ( 3 ;+∞). VËy:

9

ex
2 ex + 3

(≠ 0) liªn tơc


∫

dx

2 tdt
dt
=∫ 3
= 2∫
t − 3t
ex + 3
t2 − 3

( )

∫

d)

arcsin 2 xdx
1 − 4 x2

2

1
t− 3
1

=
ln
+C =
ln
3
t+ 3
3

. Hµm f(x) =

arcsin 2 x
1 − 4 x2

ex + 3 − 3
ex + 3 + 3

+C

1 1
xác định trên ( ; ).
2 2

1 1
Đặt t = arcsin2x= (x). Thì (x) xác định, tăng trên ( ; ); (x) =
2 2
2

1 1
(≠ 0) liªn tơc trªn (− ; ); cã miền giá trị (1;1).
2 2

1 4 x2
dx =



2 dx
2 dx
2 dx
1
=
=
cost dt ⇒ dt =
. VËy
cos t
2
1 − sin2 t
1 − 4 x2
arcsin 2 xdx
2

= 2 ∫ tdt = t 2 + C = arcsin2 2 x + C .

1 4x
4.2.2. Phơng pháp tích phân từng phần.
Nếu u(x), v(x) là các hàm khả vi trên miền X thì:
d(uv) = udv + vdu.

Lấy tích phân bất định hai vế của đẳng thức trên ta có:

u ( x ) dv ( x ) = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) du ( x ) .

(Công thức trên đợc gọi là công thức tích phân từng phần).
Ví dụ 4.9. Tính các tÝch ph©n sau:
a)

∫ xe

2x

dx , b)

∫e

nx

sin mxdx (n, m ≠ 0), c)

∫ x sin

2

xdx , d)

∫ arc sin xdx

.
Gi¶i.
a)

∫ xe

2x

dx . Hàm f(x) = xe2x xác định trên (;+).

Đặt u(x) = x ⇒ u′ (x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞));
v′ (x) = e2x ⇒ v(x) =
⇒

∫ xe

2x

dx =

1 2x
e (∀x ∈ (−∞;+∞)).
2

1 2x 1 2x
1
1
1
1
xe − ∫ e dx = xe2 x − ∫ e2 x d2 x = xe2 x − e2 x + C .
2
2
2
4
2
4

10


b)

∫e

nx

sin mxdx (n, m ≠ 0). Hµm f(x) = enxsin mx xác định trên (;+).

Đặt u(x) = sin mx u′ (x) = mcos mx (∀x ∈ (−∞;+∞));
v′ (x) = enx ⇒ v(x) =

1 nx
e (∀x ∈ (−∞;+∞)).
n

nx
⇒ ∫ e sin mxdx =

1 nx
m
e sin mx − ∫ enx cos mxdx .
n
n

Đặt u1(x) = cos mx u1 (x) = −msin mx (∀x ∈ (−∞;+∞));
v1′ (x) = enx ⇒ v1(x) =
nx

⇒ ∫ e sin mxdx =

=

1 nx
e (∀x ∈ (−∞;+∞)).
n

1 nx
m 1
m

e sin mx −  enx cos mx + ∫ enx sin mxdx 
n
n n
n


1 nx
m
m2
e sin mx − 2 enx cos mx − 2
n
n
n

nx
⇒ ∫ e sin mxdx =

∫e

nx

sin mxdx .

n
m
enx sin mx − 2
enx cos mx + C .
2
2
n +m
n +m
2

c)

∫ x sin

2

xdx =

1
1
1
1 2 1
∫ x ( 1 − cos2 x ) dx = 2 ∫ xdx − 2 ∫ x cos 2 xdx = 4 x 2 x cos 2 xdx
2

.
Đặt

u(x) = x ⇒ u′ (x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞));
v′ (x) = cos 2x ⇒ v(x) =

1
sin 2x (∀x ∈ (−∞;+∞)).
2
⇒

∫ x sin
d)

2

xdx =

1 2 1
1
1
1
1
x − x sin 2 x + ∫ sin 2 xdx = x 2 − x sin 2 x − cos 2 x + C .
4
4
4
4
4
8

∫ arc sin xdx . Hàm f(x) = arcsin x
Đặt


xác định trªn (− ;+ ).
2 2

u(x) = arcsin x ⇒ u′ (x) =

11

1
1− x

2

π π
(∀x ∈ (− ;+ ));
2
2


π π
v′ (x) = 1 ⇒ v(x) = x (∀x ∈ (− ;+ )).
2
2
⇒ ∫ ar sin xdx = x arcsin x − ∫

xdx

1− x

= x arcsin x +

2

(

1
2
∫ 1− x
2

)

−1

2

(

d 1 − x2

)

= x arcsin x + 1 − x 2 + C .
VÝ dơ 4.10. TÝnh c¸c tÝch phân sau:
a)

xdx

sin2 x ,

x

b)

2

sin mxdx (m 0), c)


Giải. a)

dx

(1+ x )
2

3

∫

a2 + x2 dx (a > 0), d)

.

xdx
x
. Hàm f(x) =

xác định trên (0; ).
sin2 x
sin2 x
u(x) = x ⇒ u′ (x) = 1 (∀x ∈ (0; ));

Đặt

v (x) =

1
v(x) = cotg x (x (0; π)).
sin2 x
⇒

xdx

cos x

∫ sin2 x = − x cot gx + ∫ cot gxdx = − x cot gx + ∫ sin xdx = − x cot gx + ∫

d sin x
sin x

= − x cot gx + ln sin x + C .
b)

∫x

2

sin mxdx (m ≠ 0). Hµm f(x) = x2 sin mx xác định trên (;+).

Đặt

u(x) = x2

u′ (x) = 2x (∀x ∈ (−∞;+∞));

v′ (x) = sin mx v(x) =

Đặt

x

2

sin mxdx =

u1(x) = x

1
cos mx (∀x ∈ (−∞;+∞)).
m

1 2
2
x cos mx + ∫ x cos mxdx .
m
m

⇒ u1′ (x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞));

v1′ (x) = cos mx ⇒ v1(x) =

1
sin mx (∀x ∈ (−∞;+∞)).
m

12


⇒

∫x

2

=−
c)

∫

1 2
2 1
1

x cos mx +  x sin mx − ∫ sin mxdx 
m
m m
m



sin mxdx = −

1 2
2
2
x cos mx + 2 x sin mx + 3 cos mx + C .
m
m
m

a2 + x2 dx (a > 0). Hàm f(x) =
Đặt u(x) =

2

x2

2

d) Đặt I =

dx

(1+ x )
2

Ta có: I =
Đặt

(



dx

(1+ x )

Đặt

dx
1+ x

1 + x2



2

2



(

=

,J=

x

a +x
a +x

2

2

2

a2 + x2 − a2
2

a +x

2

dx

= x a2 + x 2 − I + a2 ln x + a2 + x 2

1
1
x a2 + x 2 + a2 ln x + a2 + x 2 + C .
2
2

)

2

3

dx

(1+ x )
2

=∫

2

.

1 + x2 − x2

(

1+ x

2

)

3

dx = J − ∫

(

x2 dx
1 + x2

)

3

.

⇒ u′ (x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞));

u(x) = x

v′ (x) =

J=

(

3

2

2

dx = x a + x − ∫
2

dx

= x a2 + x2 − ∫ a2 + x2 dx + a2 ∫
⇒I=

(∀x ∈ (−∞;+∞));

a2 + x2

⇒ v(x) = x (∀x ∈ (−∞;+∞)).

⇒I= ∫ a + x dx = x a + x − ∫
2

x

⇒ u′ (x) =

a2 + x2
v (x) = 1

2

a2 + x2 xác định trên (;+).

)

3

x2 dx
1 + x2

⇒ v(x) =

)

3

=

1 + x2 − x2

(1+ x )
2

u1(x) = x

2

(

−1

(

4 1 + x2

−x

4 1 + x2

)

2

+

)

(∀x ∈ (−∞;+∞)).

2

x
1
J ⇒I=
4
4 1 + x2

(

dx
x 2 dx
dx = ∫
−
1 + x2 ∫ 1 + x 2

(

)

2

2

3
J
4 .

= arctgx − ∫

⇒ u1′ (x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞));

13

)

+

x 2 dx

(1+ x )
2

2

.

x

v1′ (x) =

(1+ x )
2

⇒ v1(x) =

−1

(

2 1 + x2

)

(∀x ∈ (−∞;+∞)).

x
1 dx
x
1
− ∫
=
+ arctgx + C .
2
2
2
2 1+ x

2
2 + 2x
2 + 2x

⇒ J = arctgx +
⇒I=

2

(

x

4 1 + x2

)

2

+

3x
3
+ arctgx + C
.
8 + 8 x2 8

4.2.3. TÝch ph©n của một số lớp hàm.
Thông qua các ví dụ từ 4.3 đến 4.10 chúng ta có đợc phơng pháp
tính tích phân có dạng:

Pn ( x ) e

e

nx

dx ;

Pn ( x ) sin mxdx ;

∫ Pn ( x ) cos mxdx

sin mxdx ;

∫ Pn ( x ) arcsin xdx ;

∫ Pn ( x ) arccos xdx

∫e

nx

mx

∫

cos mxdx ;

∫

a2 ± x2 dx ;

∫ f ( x,

∫ f ( x,cx + d ) dx ;

k

x2 − a2 dx

)

x , n x dx

trong đó f(x,t) là hàm hữu tỷ theo x và theo t, Pn(x) là đa thức bậc n theo
x; n, k là các số nguyên dơng; a là hằng số dơng; c, d, m là hằng số khác
0. Sau đây chúng ta đa ra phơng pháp tính tích phân của một số lớp
hàm quan trọng khác.
1. Tính I =

(

mx + n
ax2 + bx + c

)

k

dx . (a, b, c n, m, k là các hằng số; a, m, k

khác 0 và ax2 + bx + c = 0 vô nghiÖm).
Ta cã: d(ax2 + bx + c) = (2ax + b)dx ; mx + n =

m
mb
(2ax + b) + n −
2a
2a

.
VËy:

∫

(

(

)

2
m d ax + bx + c 
mb 
dx
dx =
+ n −
k
2 a ∫ ax2 + bx + c k 

2 a  ∫ ax 2 + bx + c
ax2 + bx + c


mx + n

)

(

)

14

(

)

k

.


Tích phân thứ nhất đà có dạng cơ bản, tính tích phân thứ hai bằng
cách đặt t = x +

b
.
2a

Ví dụ 4.11. Tính các tích phân sau:
2x + 3
x2 − x + 1dx ,

a)

b)

5x + 3

∫

2

−x + 2x + 5

dx .

Gi¶i. a)

(

)

(

)

d x− 1
d x2 − x + 1

2x + 3
dx
2
2
∫ x2 − x + 1dx = ∫ x2 − x + 1 + 4 ∫ x2 − x + 1 = ln x − x + 1 + 4 ∫
2
x− 1
+3
2
4
= ln x2 − x + 1 +

5x + 3
− x2 + 2 x + 5

−5 − x2 + 2 x + 5 + 3 arcsin
2. TÝnh I =

)

8
2x − 1
arctg
+C.
3
3

∫

b)

(

dx = −5 ∫

(

d − x2 + 2 x + 5

) +3

2 − x2 + 2 x + 5

∫

d ( x − 1)
2 − ( x − 1)
2

2

=

x −1
+ C.
2

∫ f ( sinx,cosx ) dx . (trong ®ã f(sinx, cosx) là hàm hữu tỷ theo

sinx và cosx).

Đặt t = tg

x

= h(x). Thì h(x) xác định, tăng trên ; ữ, h (x) =
2
4 4

1

π π
x (≠ 0) liªn tơc trªn  − ; ữ, có miền giá trị (;+).
2 cos
4 4
2
2

2t
1 t2
2 dt . Do đó, ta chuyển đợc
,cos x =
,dx =
1 + t2
1 + t2
1 + t2
viƯc tÝch ph©n cđa hàm hữu tỷ theo sinx và cosx về việc tính một tích
phân của hàm hữu tỷ theo t.
Ta có: sinx =

15

Ví dụ 4.12. Tính các tích phân sau:
a) I =
Giải. Đặt t = tg

dx
, b) J =
2 sin x + 1

dx

∫ cos x .

x
 π π
= h(x). Th× h(x) xác định, tăng trên ; ữ, h (x) =
2
 4 4

1

 π π
x (≠ 0) liªn tơc trªn ; ữ, có miền giá trị (;+).
2 cos
4 4
2
2

2t

1 − t 2 . Khi ®ã:
Ta cã: sinx =
, cosx =
1 + t2
1 + t2
d ( t + 2)
dx
dt
1
t+2− 3
=∫ 2
=∫
∫ 2 sin x + 1 t + 4t + 1 ( t + 2 ) 2 − 3 = 2 3 ln t + 2 + 3 + C =
x
+2− 3
1
2
ln
+C
x
2 3
tg + 2 + 3
2
tg

⇒∫

dx
dt
1 1+ t

1
 x π
=∫
= ln
+ C = ln tg  + ÷ + C .
2
cos x
2 1− t
2
1− t
2 4

Chó ý 4.3. Trên đây chúng ta đà đa ra phơng pháp chung để tính các
tích phân của các hàm hữu tỷ theo sin x và cos x. Tuy nhiên, trong một
số trờng hợp đặc biệt ta lại có các phơng pháp khác hiệu quả hơn. Chẳng
hạn:
(i) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm chẵn theo sin x và lẻ theo cos x thì đặt:
t = cos x.
(ii) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm chẵn theo cos x và lẻ theo sin x thì
đặt:
t = sin x.
(iii) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm chẵn theo cả cos x và sin x thì sử
dụng công thức hạ bậc:

2sin2 x = 1 − cos 2x, 2cos2 x = 1 + cos 2x.

(iiii) NÕu hµm f(sin x, cos x) lµ hàm lẻ theo cos x và sin x thì đặt: t = sin2
x.

16

Ví dụ 4.13. Tính các tích phân sau:
a) sin3 xdx , b)

∫ sin

2

x cos3 xdx , c)

∫ sin x cos
2

4

xdx , d)

∫ sinx cos

3

xdx .

Gi¶i. a) ∫ sin3 xdx . Đặt t = cosx dt = sinxdx.

(

)

1 3
1
3
2
3
⇒ ∫ sin xdx = − ∫ 1 − t dt = −t + t + C = − cos x + cos x + C .
3
3

∫ sin

b)
⇒
c)
=

2

x cos3 xdx . Đặt t = sinx dt = cosxdx.

(

2
4
sin x cos xdx =

1
1
( 1 − cos2 x ) ( 1 + cos2 x ) 2 dx = ∫ ( 1 + cos2 x ) sin2 2 xdx .
8∫

8

1
1
∫ ( 1 + cos2 x ) ( 1 − cos4 x ) dx = 16  ∫ ( 1 + cos2 x − cos4 x − cos 4 x cos 2 x ) dx 


16
=

1
1
 ∫ ( 1 − cos4 x ) dx  +
 32 ∫ ( cos2 x − cos6 x ) dx
16 
=

d)

)

1
1
1
1
sin2 x cos3 xdx = ∫ t 2 1 − t 2 dt = t 3 − t 5 + C = sin3 x − sin5 x + C .
∫
3
5
3

5

∫ sinx cos

3

1
1
1
1
+
sin 2 x −
sin 4 x −
sin 6 x + C .
16 64
64
192

xdx =

1
1
2
∫ sin 2 x cos xdx = 4 ∫ sin 2 x ( 1 + cos2 x ) dx..
2

Đặt t = cos2x ⇒ dt = −2 sin2xdx.
⇒
−

∫ sinx cos

3

xdx =

1
1
1 1 2
1
1
2
∫ dt − 8 ∫ tdt = − 8t − 8 t + C = − 8 cos 2 x − 8 cos 2 x + C .
8

Câu hỏi ôn tập chơng 4
Câu 1: Cho hàm f(x) xác định trên (a; b). Định nghĩa nguyên hàm của
f(x) trên (a; b). Chứng tỏ rằng nếu f(x) có một nguyên hàm F(x) trên (a;
b) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên (a; b) đều đợc biểu thị dới dạng F(x)
+ C, trong đó C là một hằng số bất kỳ.
Câu 2: Định nghĩa tích phân bất định; nêu và chứng minh các tính chÊt
cña nã.

17


Câu 3: Nêu sự khác nhau giữa nguyên hàm và tích phân bất định của
hàm f(x) trên (a; b).
Câu 4: Trình bầy nội dung của các phơng pháp tính tích phân: phơng
pháp tích phân từng phần và phơng pháp đổi biến số.

Câu 5: Trình bầy phơng pháp tính tích phân của các hàm hữu tỷ, vô tỷ
và các hàm lợng gi¸c.

18