MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ÔN THI VÀO 10 THƯỜNG GẶP

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT.
B i 1à : Cho c¸c sè d¬ng x, y, z thoa m·n: 1/x + 1/y + 1/z = 4
T×m max cña: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z)
Với a,b > 0 ta có bđt : 1/(a + b) ≤ 1/4.(1/a + 1/b) (*)
Áp dụng bđt (*) với a = (x + y) > 0 ; b = (x + z) > 0 ta có :
1/(2x + y + z) = 1/ [ (x + y) + (x + z) ] ≤ 1/4.[ 1/(x + y) + 1/(x + z) ]
Lại áp dụng bđt (*) ta có :
. 1/(x + y) ≤ 1/4(1/x + 1/y)
. 1/(x + z) ≤ 1/4(1/x + 1/z)
> 1/(2x + y + z) ≤ 1/16.(2/x + 1/y + 1/z)
Tương tự ta có :
. 1/(x + 2y + z) ≤ 1/16.(1/x + 2/y + 1/z)
. 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(1/x + 1/y + 2/z)
> 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(4/x + 4/y + 4/z)
> P ≤ 1/4.(1/x + 1/y + 1/z) = 1 (do 1/x + 1/y + 1/z = 4)
> đ.p c.m . Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 3/4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
CM (*) , ta có (*) <=> 1/(a + b) ≤ (a + b)/4ab <=> 4ab ≤ (a + b)²
<=> 4ab ≤ a² + 2ab + b² <=> 0 ≤ a² - 2ab + b²
<=> 0 ≤ (a - b)² > luôn đúng > (*) được CM
Dấu " = " xảy ra <=> a = b
Cach kh¸c: giả sử u và v là hai số dương ta có: (u+v)(1/u + 1/v) >=4
<=> 4/(u+v) <= 1/u + 1/v
có 1/(2x+y+z) = 1/[(x+y)+(x+z)] <=(1/4)*(1/(x+y) + 1/(x+z))
<=(1/16)*(2/x+1/y+1/z)
làm tương tự cho hai biểu thức còn lại và cộng các vế của 3 BĐT ta được
VT<=(1/16)*(4/x + 4/y + 4/z) = 1
Bài 2:Cho tam giác ABC cố định vuông tại A, đường cao AD. Vẽ đường tròn tâm
(O1) ngoại tiếp tam giác ABD và đường tròn (O2) ngoại tiếp tam giác ACD. Qua A
kẻ đường thẳng d bất kì không cắt đoạn thẳng BC. Gọi giao điểm của d với (O1) là

E, với (O2) là F. Gọi giao điểm của DE với AB là M, giao điểm của DF với AC là
N Hãy xác định vị trí của EF để chu vi của tứ giác BEFC đạt giá trị lớn nhất?
@ 3 cõu hi trc cho bit khi d quay quanh A t s (BE+EA)/(AF+FC) luụn khụng
i v MN//EF
BC c nh nờn ch cn xỏc nh v trớ EF sao cho : BE+EA+AF+FC ln
nht. Gi gúc EAB = , AB=c, AC=b khi ú BE+EA = c(sin+cos), (1)
BAC vuụng nờn ACF = => AF+FC = b(sin+cos). (2)
BE+EA+AF+FC = (sin+cos)(b+c) = (b+c) 2.cos(45-) => =45
BE+EA+AF+FC ln nht.
T (1)&(2) => (BE+EA)/(AF+FC) = c/b ( const.)
BAD =AFD, t giỏc AMDN ni tip ng trũn do MAN =MDN
=90 nờn BAD =MND => AFD = MND => MN//EF.
B i 3: Cho hàm số :
( )
( )
43
52.162
)(
2
22
+
+++
==
xx
xxx
xfy
1/ Tìm tập xác định của hàm số :
)(xfy =
.
2/ Chứng minh

3y
. Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ngoại ngữ
Trờng Đại học ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội Năm học 2003- 2004 )
Hớng dẫn:
1/ Tìm tập xác định của hàm số:
)(xfy =
.
0)2).(1(
2
+ xx
và
043
2
+ xx
Vậy TXĐ :
2

x
;
4

x
2/ Chứng minh
3y
. Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao
nhiêu ?
( )
( )
43

52.162
)(
2
22
+
+++
==
xx
xxx
xfy
43
5)2).(1(61212993
2
222
+
+++++
=
xx
xxxxxx
43
)179)2).(1(6()43.(3
2
222
+
+++
=
xx
xxxxxx
3
)4).(1(

)231(
3
22

+
+
=
xx
xx
Vì với
2

x
;
4

x
thì
0
)4).(1(
)231(
22

+
+
xx
xx
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2.31
2

=+ xx


1891
2
=+ xx
( Bình phơng hai vế không
âm)


0199
2
=+ xx


2
59
1

=x
;
2
59
2
+
=x
B i 4 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
2
1 xxy =
.

Hớng dẫn:
Ta có TXĐ :
x
\
1x
.
Xét
2
1 xxy =
2
1
2
1
22
=
+

xx
. Vậy
2
1
y
suy ra :
2
1
2
1
y
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
22

1 xx =
( hay
2
2
=x
)
Min y =
2
1

khi và chỉ khi
2
2
=x
Max =
2
1
khi và chỉ khi
2
2
=x
.
B i 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất : P =
1x
2x
2
2
+
+
?

Hớng dẫn:
TXĐ
x

R .
P =
1x
2x
2
2
+
+
=
1x
11x
2
2
+
++
=
1x
1
1x
2
2
+
++
Có :
1x
1

1x
2
2
+
++

1x
1
1x2
2
2
+
+

2
1


2 .
Vậy
1x
2x
2
2
+
+


2 . Min P = 2 khi và chỉ khi
1x

2
+
=
1x
1
2
+
Min P = 2 khi và chỉ khi x= 0.
B i 6 : Cho ba số dơng a ; b ; c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị
nhỏ nhất của :

c
ab
b
ca
a
bc
A
++=

Hớng dẫn:
Ta có
ab
abc
b
ca
a
bc
2
2

+


c
b
ca
a
bc
2
+

ac
cab
c
ab
a
bc
2
2
+


b
c
ab
a
bc
2
+

bc
bca
c
ab
b
ca
2
2
+


a
c
ab
b
ca
2
+
Suy ra :
).(. cba
c
ab
b
ca
a
bc
++

++
22

cba
c
ab
b
ca
a
bc
++++

c
ab
b
ca
a
bc
++

1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
1
===
cba
Vậy với

3
1
===
cba
thì
c
ab
b
ca
a
bc
A ++=
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
1.
B i 7 : Cho
0

cba ;;
và thoả mãn: a.b.c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của:

( ).( ).( )P a b b c c a
= + + +

Hớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

abba .2
+

bccb .2+

caac .2+
.
Suy ra :
cabcabaccbba )).().(( 222
+++
.

222
8 cbaaccbba +++ )).().((
.

8
+++
)).().(( accbba
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
1
===
cba
Vậy với
1
===
cba
thì minP = 8
B i 8 : Cho ba số dơng thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của:

( ) ( ) ( )
[ ]

abcaccbbaP .
+++++=
Hớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm a, b, c ta có:
3
3 abccba ++

3
31 abc

3
3
1
abc

abc
27
1
. (1)
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 accbbaaccbba ++++++++

( ) ( ) ( ) ( )
3
32 accbbacba +++++

( ) ( ) ( )
3

32 accbba
+++


( ) ( ) ( )
3
3
2
accbba +++

)).().(( accbba
+++
27
8
(2)
Nhân vế với vế của (1) và (2) ta đợc :
abcaccbba ).).().((
+++
27
8
27
1
Suy ra :
729
8
+++
)).().(.( accbbaabc
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=
3
1

.
Vậy maxP=
729
8


a=b=c=
3
1
.
B i 9 : Cho ba số dơng a ; b; c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
( ).M a b c
a b c

= + + + +
ữ

Hớng dẫn:
Vì a ; b; c là ba số dơng. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

3
3 abccba ++
(1)
Vì
a
1
;
b
1

;
c
1
là ba số dơng. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

3
1
3
111
abccba
++
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :

3
3 abccba ++
Suy ra :
9
111







++++
cba
cba ).(
.

3
1
3
111
abccba
++
Vậy min M = 9.
B i 10 : Cho ba số dơng a; b; c có a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của:

1 1 1
1 1 1A
a b c

= + + +
ữ ữ ữ

Hớng dẫn:
Ta có:






+
a
1
1

=






++
+
a
cba
1
=
a
c
a
b
+++
11

4
2
4
a
bc

+
b
1
1
=






++
+
a
cba
1
=
b
c
b
a
+++
11

4
2
4
b
ac

+
c
1
1
=






++
+
a
cba
1
=
c
b
c
a
+++
11

4
2
4
c
ab
Suy ra :






+






+






+
cba
1
1

1
1
1
1

4
222
222
64
cba
cba






+






+

+
cba
1
1
1
1
1
1

64. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
3
1
===
cba
.
Vậy Min A= 64 khi và chỉ khi
3
1
===
cba
.
B i 11 : Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn điều kiện
2
22
=+ yx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
yx
11

+
?
Hớng dẫn:
Ta có :
3
222
11
3
112
x
xx
x
xx
x
x
++=+
Suy ra :
3
2
2
+
x
x
(1)

3
222
11
3
112

y
yy
y
yy
y
y
++=+
Suy ra :
3
2
2
+ y
y
(2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra :
6
11
2
22









+++
yx

yx .
Suy ra :
2
11
+
yx

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2
11
x
xx
==
;
2
11
y
yy
==
và
2
22
=+ yx

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=1.
Với x=y=1 thì
yx
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2.

B i 12 : Cho
1
+
ba
. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
33
ba
+
.

Hớng dẫn:
Ta có :
1
+
ba


ab

1

323
331 aaab
+

233
331 aaba
++

233

331 aaba
++

4
1
4
1
3
233
+






++
aaba .

4
1
2
1
3
2
33
+

+
aba .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2
1
=a
.
B i 13 : Cho
0>cba ;;
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
1 1 1
a b c
P
b c a

= + + +
ữ ữ ữ

Hớng dẫn:
Vì a; b; c là ba số dơng. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

b
a
b
a
21 +
.

c
b
c
b
.21 +
.
a
c
a
c
.21 +
Suy ra :

a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
222111

+






+






+


abc
abc
a
c
c
b
b
a
8111

+






+






+

8111






+

+






+
a
c
c
b
b
a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
1
===
cba
Vậy với
1
===
cba
thì
1 1 1
a b c
P

b c a

= + + +
ữ ữ ữ

giá trị nhỏ nhất
bằng 8.
B i 14 :
Cho biểu thức








+

+

+
+

+
+
+
+
=
1
11
1
1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
M :
a) Rút gọn biểu thức M ?
b) Cho a+b=1 hãy tính giá trị nhỏ nhất của M ?
Hớng dẫn:
a) Rút gọn biểu thức M
TXĐ :
0a
0b

1ab
.








+

+

+
+










+
+
+

+
=
1
11
1
1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
M :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
11
11111
11
11111
+
+++++
+
+++++
=

abab
abababaababa
abab
abababaababa
M

:

( ) ( )
1
12
1
12

+

+
=
ab
a
ab
aab
M :
.
( )
( )
12
1
1
12

+



+
=
a
ab
ab
aab
M
.
abM =
b) Cho a + b =1. Hãy tính giá trị nhỏ nhất của M
Khi a+b=1 với
0

a

0

b
. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
ab
ba

+
2
suy ra :
2

1
ab
hay
2
1

ab
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

2
1
==
ba
. VËy víi
2
1
==
ba
th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M b»ng
2
1
−