Tải bản đầy đủ (.doc) (2 trang)

bài tập bất đẳng thức đại số 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (73.86 KB, 2 trang )

Đại số 10-BẤT ĐẲNG THỨC.
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
§1:BẤT ĐẲNG THỨC
A. LÝ THUYẾT:
I. ĐỊNH NGHĨA:
a > b ⇔ a – b > 0 ⇔ b – a < 0 ⇔ b < a
a ≥ b ⇔ a – b ≥ 0 ⇔ b – a ≤ 0 ⇔ b ≤ a
II. CÁC TÍNH CHẤT:
A. CÁC TÍNH CHẤT KHÔNG TƯƠNG ĐƯƠNG:
1.
a b
a c
b c
>

⇒ >

>

2.
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

Chú ý: Không được trừ 2 bất đẳng thức cùng chiều. Vd:
4 3


4 10 3 1
10 1
>

⇒ − > −

>

sai.
3.
a b 0
ac bd
c d 0
> >

⇒ >

> >

Chú ý: * Không được chia 2 bất đẳng thức cùng chiều. Vd:
4 3 0
4 3
10 1 0
10 1
> >

⇒ >

> >


sai.
* Không được nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều khi có số âm Vd:
1 3
1.4 ( 3)( 2)
4 2
> −

⇒ > − −

> −

sai.
4.
n n
n n
a b 0 a b
n 2, 3, 4
a b 0 a b
> > ⇒ >
=
> > ⇒ >

B. CÁC TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐƯƠNG:
1.
a > b a + c > b + c

cộng 2 vế cho c.
Hệ quả:
a > b ⇔ a – c > b – c
cộng 2 vế cho -c

a > b + c ⇔ a – c > b
2. a > b ⇔ ac > bc khi c > 0
nhân 2 vế cho c
a > b ⇔ ac < bc khi c < 0
Hệ quả:
a > b ⇔
a b
khi
c c
>
c > 0
nhân 2 vế cho
1
c
a > b ⇔
a b
khi
c c
<
c < 0
a > b ⇔
1 1
khi
a b
<
ab > 0
Nhân 2 vế cho
1
ab
a > b ⇔

1 1
khi
a b
>
ab < 0
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC:
1. DÙNG ĐỊNH NGHĨA:Để chứng minh : A ≥ B ta chứng minh A – B = (x + y)
2
+ (x – b)
2
+ c
2
≥ 0
2. DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:
A ≥ B ⇔ A
1
≥ B
1
⇔ A
2
≥ B
2
⇔ A
3
≥ B
3.
nếu A
3
≥ B
3

đúng thì A ≥ B đúng.
B. BÀI TẬP:BT1Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. a
2
+ b
2
≥ 2ab 5. a + b ≤
2 2
2(a b )+
1
Đại số 10-BẤT ĐẲNG THỨC.
2.
2
2
1
2 a
a
≥ −
6. a
2
± ab + b
2
≥ 0
3.
2
4
a 1
2
a 1


+
7.
2 2
1 1
4
sin x cos x
+ ≥
4.
2
2
a 2
2
a 1
+

+
8. a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca
BT2Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. (a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c

2
)
2. (ab + bc + ca)
2
≥ 3abc(a + b + c) 3.a
4
+ b
4
≥ ab
3
+ a
3
b 4.
3
3 3
a b a b
2 2
 
+ +

 ÷
 
khi a + b ≥ 0
5. a
3
+ b
3
≥ a
2
b + ab

2
khi a ≥ 0, b ≥ 0
§2:BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI:
1. Bất đẳng thức côsi cho 2 số a ≥ 0, b ≥ 0
a b
ab
2
+

dấu “=” xảy ra khi a = b
Các dạng tương đương:
2 ab a b≤ +
hoặc ab ≤
2
a b
2
+
 
 
 
2. Bất đẳng thức côsi cho 3 số a ≥ 0, b ≥ 0, c > 0
3
a b c
abc
3
+ +

dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Các dạng tương đương:

3
3 abc a b c≤ + +
hoặc abc ≤
3
a b c
3
+ +
 
 
 
3. Bất đẳng thức côsi cho n số a1, a2, , an ≥ 0
* Với n số a
1
, a
2
, , a
n
≥ 0, ta có:

1 2 n
n
1 2 n
a a a
a .a a
n
+ + +

n
1 1 n 1 2 n
a a a n. a .a a⇔ + + + ≥

n
1 2 n
1 2 n
a a a
a .a a .
n
+ +
 
⇔ ≥
 
 
Dấu “=” xãy ra
1 2 n
a a a .⇔ = = =
II. Áp dụng bất đẳng thức côsi để tìm GTLN – GTNN:
1. a + b = K const.Ta có: ab ≤
2 2
a b K
2 2
+
   
=
   
   
Vậy Max ab =
2
K
2
 
 

 
khi a = b =
K
2
2. a . b = M const Ta có: a + b ≤ 2
ab 2 M=
Vậy Min (a + b) =
2 M
khi a = b =
M
II/BÀI TẬP:BT1Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1.
a b
2
b c
+ ≥
2.
1 1
(a b) 4
a b
 
+ + ≥
 
 
3.(a + b)(ab + 1) ≥ 4ab 4.
bc ca ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
5. (a + b + c)

1 1 1
9
a b c
 
+ + ≥
 
 
BT2Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1. ( 1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 với abc = 1. 2.
1 1 1
1 1 1 8
a b c
   
− − − ≥
   
   
với a + b + c = 1
3.
1 1
1 1 9
a b
  
+ + ≥
  
  
với a + b = 1 4.
2 2
1 1
6
ab

a b
+ ≥
+
với a + b = 1
(đáp án và phần sau của chun đề cập nhật sau)
2

×