Chuyên Đề Hình Giải Tích Ôn Đại Học

Bài 1) ĐHCĐ 2002 K.A
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
∈
1
:
2 0
2 2 4 0
x y z
x y z
− + =


+ − + =

và ∈
2
:
1
2
1 2
x t
y t
z t
= +


= +


= +


a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∈
1
và song song với đường thằng ∈
2
b) cho điểm M(2 ; 1,4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∈
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
nhất.
Bài 2) ĐHCĐ 2002 K.B
1. Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm
1
;0
2
 
 ÷
 
, phương
trình đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng A có
hoành độ âm.
2. Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1

B và B
1
D.
b) Gọi M,N,P lần lượt là các trung điểm của các cạn h BB
1
, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai đường thẳng
MP, C
1
N.
Bài 3) ĐHCĐ 2002 K.D
1.Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC
= 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
2.Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – y + 2 = 0
Và đường thẳng d
m
:
(2 1) (1 ) 1 0
(2 1) 4 2 0
m x m y m
mx m z m
+ + − + − =


+ + + + =

( m là tham số ).

Xác đònh m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
Bài 4) ĐHCĐ 2003 K.A
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhò diện [B,A’C,D].
2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ có A trùnh với gốc của hệ tọa độ, B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (a>0, b>0).
Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
a) tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác đònh tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài 5) ĐHCĐ 2003 K.B
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho tam giác ABC có AB = AC ,
·
BAD =
90
0
. Biết M(1; -1) là trung điểm cạnh BC và G
2
;0
3
 
 ÷
 
là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các
đỉnh A, B, C.
2) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc
·

BAD
= 60
0
.
Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’, M,
D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài canh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình
vuông.
- 1 -
3) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0;0;8) và điểm
C sao cho
AC
uuur
=(0; 6; 0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Bài 6) ĐHCĐ 2003 K.D
1) Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường tròn
(C) : (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng d : x – y – 1 = 0
Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d.
Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng :
d
k
:
3 2 0
1 0
x ky z
kx y z

+ − + =


− + + =

tìm k để đường thẳng d
k
vuông góc với mặt phẳng (P) : x – y – 2z +5 = 0.
3) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy
hai điểm A, B với AB = a . trong mặt phẳng (P) điểm C , trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho
AC, BD vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và
tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Bài 7) ĐHCĐ 2004 K.A
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (0; 2) và B(
3−
;
1−
). Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ
tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tạo gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B (0; 1; 0), S(0; 0;
2 2
). Gọi M là trung điểm cạnh
SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đưởng thẳng SA, BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối hình chóp A.ABMN
Bài 8) ĐHCĐ 2004 K.B
1) trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thằng x – 2y – 1
= 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6.
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

ϕ
(0
0
<
ϕ
< 90
0
). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo
ϕ
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a và
ϕ
.
3) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d :
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
= − +


= −


= − +

Viết
phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Bài 9) ĐHCĐ 2004 K.D
1) trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) với m
≠
0. tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. xác đònh m để tam giác GAB vuông tại G.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
. Biết A(a; 0; 0), B(-a; 0;
0), C(0; 1; 0), B
1
(-a; 0; b), a > 0, b > 0.
a) Tình khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a,b để khoảng cách giữa hai đường thẳng
B
1
C và AC
1
lớn nhất.
- 2 -
3) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P) :
x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng
(P).
Bài 10) ĐHCĐ 2005 K.A

1) trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 2 đường thẳng
d
1
: x – y = 0 và d
2
: 2x + y – 1 = 0
tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉng A thuộc d
1
, C thuộc d
2
và các đỉnh B, D
thuộc trục hoành.
2) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng d :
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
và mặt phẳng (P) : 2x
+ y – 2z + 9 = 0.
a) tìm toạ độ điểm I sao cho khoảng cánh từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của
đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc góc với d.
Bài 11) ĐHCĐ 2005 B
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn
(C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1

C
1
với A(0;-3;0), B(4;0;0),
C(0;3;0), B
1
(4;0;4).
a) Tìm tọa độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
(BCC
1
B
1
).
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song
với BC. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài MN.
Bài 12) ĐHCĐ 2005 D
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm C(2;0) và elíp (E) :
2 2
1

4 4
x y
+ =
. Tìm tọa độ các điểm A, B
thuộc (E), biết rằng hai điểm A,B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giá
đều.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z− + +
= =
−
và d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ − − =


+ − =

a) chứng minh rằng d
1
, d

2
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai
đường thẳng d
1
và d
2
.
b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A,B. Tính diện tích
tam giác OAB ( O là gốc tọa độ).
Bài 13) ĐHCĐ 2006 A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0),
D(0;1;0) , A’(0;0;1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
2. Viết phương trìng mặt phẳng A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α
biết cos
α
=
1
6
.
Bài 14) ĐHCĐ 2006 A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :
- 3 -
d
1 :

1 1
2 1 1
x y z− +
= =
−
, d
2
:
1
1 2
2
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

1) Viết phương trình đường thẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2
.
2) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d
1
, N thuộc d

2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Bài 15) ĐHCĐ 2006 D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:
d
1 :
2 2 3
2 1 1
x y z− + −
= =
−
, d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z− − +
= =
−
1) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
.
2) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2.
Bài 16) ĐHCĐ 2007 A
Trong không gian với hệ toạ độ Oyxz, cho hai đường thẳng
d
1

:
1 2
2 1 1
x y z− +
= =
−
và d
2
:
1 2
1
3
x t
y t
z
= − +


= +


=

1. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường
thẳng d

1
, d
2
.
Bài 17) ĐHCĐ 2007 B
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng
(P): 2x – y + 2z – 14 = 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
Bài 18) ĐHCĐ 2007 D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng
d :
1 2
1 1 2
x y z− +
= =
−
.
1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
(OAB).
2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA
2
+ MB
2

nhỏ nhất.
Bài 19) ĐHCĐ 2008 A
Trong không gian với hê tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng
d :
1 2
2 1 2
x y z− −
= =
.
1) Tìm tọa độ hình chiều vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2) Viết phương trình mặt phẳng (
α
) lớn nhất.
Bài 20) ĐHCĐ 2008 B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1),
C(-2;0;1)
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
2) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC
Bài 21) ĐHCĐ 2008 D
- 4 -
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)
1) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D
2) Tìm tọa độ tâm đường trón ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 22. (Các bài tốn tìm hình chiếu)
1. Cho điểm
( )
2; 3;1M −
và mặt phẳng (P):
3 2 0x y z+ − + =
. Tìm hình chiếu H của M trên (P).

2. Cho điểm
( )
2; 1;1M −
và đường thẳng
1 2
: 1
2
x t
d y t
z t
= +


= − −


=

. Tìm hình chiếu H của M trên d.
3. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2 2 0
:
2 4 0
x y z
d
x y
− − − =


+ − =


Tìm hình chiếu của d trên mặt phẳng (P):
2 2 3 0x y z− + − =
.
Bài 23. (Các bài tốn về khoảng cách)
1. Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mặt phẳng
( )
: 1 0P x y z+ − + =
và
( )
: 5 0Q x y z− + − =
.
2. Giả sử (P) là mặt phẳng có phương trình
( )
: 2 3 7 0P x y z+ − + =
và
( )
2;4; 6A −
;
( )
4;0; 2B −
là hai
điểm cho trước.
Bài 24. (Bài tốn về đường vng góc chung)
Cho hai đường thẳng
1
1 2
:
2 1 1
x y z

d
− +
= =
−
;
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
= − +


= +


=

1. Chứng minh d
1
, d
2
là hai đường thẳng chéo nhau.
2. Viết phương trình đường vng góc chung của d
1
và d
2
.

Bài 25. Cho đường thẳng
( )
1 1
:
3 2 1
x y z
d
− +
= =
−
và hai điểm
( )
3;0;2A
,
( )
1;2;1B
. Kẻ AA’, BB’ vng góc
với đường thẳng (d). Tính độ dài đoạn thẳng A’B’.
Bài 26. Cho hai điểm
( )
1;3; 2A − −
,
( )
9;4;9B −
và mặt phẳng (P):
2 1 0x y z− + + =
. Tìm điểm K trên mặt
phẳng (P) ao cho
AK BK+
nhỏ nhất.

Bài 27. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
2 3
1 5
x t
y t
z t
= +


= −


=

và có khoảng cách đến điểm
( )
1; 1;0A −

bằng 1.
Bài 28. Cho hai đường thẳng:
1
1
:
x t
d y t
z t
= −


=



= −

và
2
2
: 1
x t
d y t
z t
=


= −


=

1. Chứng minh d
1
và d
2
là hai đường thẳng chéo nhau.
2. Viết phương trình các mặt phẳng (P), (Q) sao cho (P) chứa d
1
, (Q) chứa d
2
và (P)//(Q).
Bài 29. Viết phương trình hình chiếu của

( )
1
7 3 9
:
1 2 1
x y z− − −
∆ = =
−
theo phương
( )
2
3 1 1
:
7 2 3
x y z− − −
∆ = =
−

lên mặt phẳng (α):
3 0x y z+ + + =
.
Bài 30. Lập phương trình đường thẳng (∆) đi qua
( )
4; 5;3M − −
, cắt
( )
1
1 3 2
:
1 2 1

x y z
d
+ + −
= =
− −
và cắt
( )
2
2 1 1
:
2 3 5
x y z
d
− + −
= =
−
.
- 5 -
Bài 31. Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua
( )
3; 2; 4A − −
song song với mặt phẳng
( )
:3 2 3 7 0P x y z− − − =
, đồng thời cắt đường thẳng
( )
2 4 1
:
3 2 2
x y z

d
− + −
= =
−
Bài 32. Cho hai đường thẳng:
1
2
:
4
x t
d y t
z
=


=


=

và
2
3 0
:
4 4 3 12 0
x y
d
x y z
+ − =



+ + − =

1. Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.
2. Lập phương trình mặt cầu (S) nhận đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
làm đường kính.
Bài 33. Cho đường thẳng d:
1 2
3 1 1
x y z− +
= =
và mặt phẳng (P):
2 2 2 0x y z+ − + =
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với (P) và có bán kính bằng 1.
2. Gọi M là giao điểm của (d) với (P), T là tiếp điểm của (S) với (P). Tính MT.
Bài 34. Lập phương trình mặt cầu có tâm tại điểm
( )
2;3; 1I −
và cắt đường thẳng (d) có phương trình:
11 2
25 2
x t
y t

z t
= +


=


= − −

tại hai điểm AB sao cho AB = 16.
Bài 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
( )
0;0;4A
;
( )
2;0;0B
. Viết phương trình mặt cầu
qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P):
2 5 0x y z+ − − =
.
Bài 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
( )
2 0
:
2 6 0
x y
d
x y
− − =



− − =

và mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 2 1 0x y z x y z+ + + − + − =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho giao tuyến của mặt
phẳng (P) và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r = 1.
Bài 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
( )
1; 1;2A −
,
( )
1;3;2B
,
( )
4;3;2C
và
( )
4; 1;2D −
.
Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) tại điểm A’.
Bài 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 4 3 0x y z x y z+ + − + + − =
và hai
đường thẳng
( )
1

2 2 0
:
2 0
x y
x z
+ − =

∆

− =

,
( )
2
1
:
1 1 1
x y z−
∆ = =
−
Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S), biết nó song song với (∆
1
) và (∆
2
).
Bài 39. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm
( )
1;0;3I
và cắt đường thẳng:
1 1 1

:
2 1 2
x y z− + −
∆ = =
Tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông.
Bài 40. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm
( )
4;1;1I −
và cắt mặt phẳng
( )
: 2 2 1 0x y z
α
+ − + =
theo giao
tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
2 2
.
Bài 41. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d:
1 0
2 0
x z
y
+ − =


− =

và cắt mặt phẳng (P) theo thiết
diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4, ở đây (P):
0y z− =

.
Bài 42. Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 6 11 0x y z x y z+ + − − − − =
và mặt phẳng (P):
2 3 20 0x y z− + − =
. Hãy tìm
tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P).
- 6 -
Bi 43. Cho mt cu (S):
2 2 2
6 2 4 5 0x y z x y z+ + + + =
v mt phng
( )
: 2 1 0P x y z+ + =
.
1. Tỡm tõm v bỏn kớnh ca mt cu (S).
2. Chng minh rng mt phng (P) ct mt cu (S)
3. Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn l giao tuyn ca (S) v (P).
Bi 44. Lp phng trỡnh mt phng cha ng thng
8 11 8 30 0
2 0
x y z
x y z
+ =


=

v tip xỳc vi mt cu

2 2 2
2 6 4 15 0x y z x y z+ + + + =
.
Bi 45. Lp phng trỡnh mt cu cú tõm
( )
2;3; 1I
, ct ng thng d:
5 4 3 20 0
3 4 8 0
x y z
x y z
+ + =


+ =

ti hai im
A, B sao cho
16AB =
.
Bi 46. Cho (S):
2 2 2
10 2 26 170 0x y z x y z+ + + + =
;
1

:

+=
=
+=
tz
ty
tx
213
31
25
v
2

:





=
=
+=
8
21
7
1
1
z
ty

tx
Vit phng trỡnh
)(

tip xỳc mt cu (S) v song song vi
1

v
2

.
B ài 47 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài 48: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là
( )
3;2;1a
r
và
( )
3;0;1b
r
b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng với trục với 0x.
Bài 49: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD.
Bài 50: Viết phơng trình tổng quát của (P)
a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,

d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 51: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z
c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P).
Bài 52: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :
( )
R t,
21
22:





+=
+=
=
tz
ty
tx
d
và (P): x+y+z+1=0
Tìm phơng trình của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng
(D)
Bài 53: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đờng
thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
Bài 54: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt
phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a)

( ) : 2 3 -4 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + =
.

Bài 55: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với đờng
thẳng (

) cho bởi :
( )
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
= +


=


= +

.
- 7 -
Bài56: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )

R t,
2
3
1
:





+=
=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)
( )
R t,
1
9
412
:





+=

+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bài 57: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và
( )
3
2
12
1
:

+
==
zyx
d
.
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 58: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

1
1
2
1
1
2
:
1

=

=
zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d

+=
+=
+=

a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
Bài 59: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

34
24
37
:
1





+=

=
+=
tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1

:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 60: Cho 3 đờng thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phơng trình :
( )
1
1
4
2
3
2
:
1

=
+

=
zyx
d
,
( )
1
9
2
3
1
7
:
2


=

=
zyx
d
,
( )
1
2
2
3
3
1
:
3

=

+
=
+ zyx
d
a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) và song song với đờng thẳng (d
3
).
b) Giả sử
( ) ( ) { }
Add =
1
,
( ) ( ) { }
Bdd =
2
.Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB.
Bài 61 Cho 2 đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình :
( )

R
tz
ty
tx
d





=
=
+=
t
2
1
2
:
1
,
( )
1
9
2
3
1
7
:
2

=

=
zyx
d
a) CMR (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mật cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
d) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d
1
) và (d
2
).
Bài 62: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).

Bài 63:(ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 64: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.
b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao
điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K.
- 8 -
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lợt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho
PQ và KM cắt nhau.
Bài 65: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b) (HVKTQS-98): Viết phơng trình tham số đờng thẳng vuông góc chung của AC và BD.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 66: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ
của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tổng quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(BCD).
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 67: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) Lập phơng trình các mặt của hình chóp. b) Lập phơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình
chóp .
c) Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 68: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.

Bài 2:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
)
có phơng trình : (P
1
): x - y + z - 4 = 0 và (P
2
) 3x y + z 1 = 0
Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và song song với mặt phẳng (Q)
có phơng trình: 11x - 2y - 15z 6 = 0.
Bài 4: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P
1
): y + 2z 4 = 0 và (P
2
) : x + y z 3 = 0 và song

song với mặt phẳng (Q):
- 2 0x y z+ + =
.
Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và vuông góc với (Q) có phơng
trình:
a) (ĐHNNI-95): (Q):
- 2 5 0x y z+ + =
. b)
( )
: 3 1 0Q x y z+ + =
Bài 6: Lập phơng trình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
):
3 - - 2 0 x y z+ =
và (P
2
):

4 -5 0 x y+ =
và vuông góc với mặt phẳng :
2 - 7 0x z + =
.
Bài 7: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng :
( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và song song với đờng thẳng (d)
có phơng trình :
a)
( )



=++
=+
0323
0723
:
zyx

zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=

=

zyx
d
Bài 8:Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng :
( )



=+
=
0323
02
:
zyx
yx

d
và vuông góc đờng thẳng (d) có
phơng trình :
a)
( )



=++
=+
0323
0723
:
zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=

=

zyx
d
Bài 9: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng và với mặt phẳng (Q) một góc 60 độ biết:

( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và (Q):3x+4y-6=0
- 9 -
Bài 10: Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
( )



=+
=
015
023
:
zy
zx

d
và có khoảng cách từ điểm A(1;-
1; 0) tới (P) bằng 1.
Bài 11: Cho đờng thẳng (d) và hai mặt phẳng
( )



=+
=
01
02
:
zy
zx
d
và (P
1
): 5x+5y-3z-2=0 và (P
2
):2x-y+z-6=0.
Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) sao cho:
( ) ( )
1
PP
và
( ) ( )
2
PP
là hai đờng vuông góc.

Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình :

( )
,
014
0238
:
1



=+
=+
zy
zx
d

( )



=++
=
022
032
:

2
zy
zx
d
.
a) Viết phơng trình các mặt phẳng
( )
1
P
,
( )
2
P
song song với nhau và lần lợt chứa
( )
1
d

( )
2
d

b) Tính khoảng cách giữa
( )
1
d
,
( )
2
d

c) Lập phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả 2 đờng thẳng
( )
1
d
,
( )
2
d

B ài toán 4. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng
Bài 1:Tính khoảng cách từ điểm M(2;2;1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a)
( ) : 2 -3 3 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z + =
Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)
a) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC)
b) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện
Bài 3:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;-1;0)
a) (ĐH Luật 1996) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện
b) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của 2 mặt (ABC) và (BCD) cắt đoạn AD
Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và
( )
3
2
12
1
:

+
==
zyx
d
.
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d
m
) có phơng trình :
( ) : 2 - 2 0 P x y + =
,
( )

024)12(
01)1()12(
:



=++++
=+++
mzmmx
mymxm
d
m
xác định m để (d

m
)//(P)
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi:
( )
4
9
1
5
3
7
:
1


=


=
+ zyx
d
,
( )
4
18
1
4

3
:
2
+
=

+
=
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) và thuộc mặt phẳng chứa (d
1
),(d
2
).
Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

R t
46
2
23
:
1






+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )

015
0194
:
2



=+

=+
zx
yx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau .
b) Viết phơng trình đờng phân giác của (d
1
),(d
2
)
Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
4
1
2
2
1
:
1

=

+
=

zyx
d

( ) ( )
t
32
1
:
2
R
tz
ty
tx
d





+=
=
+=
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau.

b) Viết phơng trình đờng phân giác của (d
1
),(d
2
)
- 10 -
Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

1
1
:
1





=
=
=
z
ty
tx
d
,

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=
=
1
1
1
1
2
tt, 1
2
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d
1
),(d

2
) .
Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )



=+
=++
0104z-y
0238zx
: d
1
,
( )

022
032
:
2



=++
=
zy

zx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
3
2
2
1
1
:
1

=

=

zyx
d
( )

0532
02
:
2



=+
=+
zyx
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
) .
B ài toán 5. Hai đờng thẳng đồng phẳng và bài tập liên quan
Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d

2
) ,biết:

( )
2
3
2
1
3
1
:
1


=

=
+ zyx
d

( )
2
3
1
1
1
:
2

=

=
zyx
d
Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1;-1;1) và hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )



=+
=+
01y-2x
03z-y-3x
: d
1

( ) ( )
t
3
21:
2
R
tz
ty
tx

d





=
=
=
CMR (d
1
),(d
2
) và điểm A cùng thuộc mặt phẳng.
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )



=+
=++
01y-x
01y2x
: d
1
z

( )

012
033
:
2



=
=++
yx
zyx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
), (d
2
).
c) Viết phơng trình đờng phân giác của(d
1
), (d
2
)
Bài 4: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )
1
1
2
1
1
2
:
1

=

=
zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d

+=
+=
+=

a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
c) Viết phơng trình đờng phân giác của(d
1
),(d
2
)
Bài5: cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
2
4
1
1
3

:
1

=
+
=
zyx
d
,
( )

03
024
:
2



=
=
zx
yx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1

),(d
2
).
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong (P) song song cách đều (d
1
),(d
2
) .
B ài toán 6. Hai đờng thẳng chéo nhau và bài tập liên quan
Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
- 11 -
( )

34
24
37
:
1





+=
=
+=

tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d

1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz , cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
1
( ) : - 1 -1d x y z
= + =
,
2
( ) : - 1 -1d x y z+ = =
. Tìm toạ độ điểm A
1
thuộc (d
1
) và toạ độ điểm A
2
thuộc (d
2
) để
đờng thẳng A

1
A
2
vuông góc với (d
1
) và vuông góc với (d
2
) .
Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )

1
1
:
1





=
=
=
z
ty

tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=
=
1
1
1
1
2
tt, 1
2
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.Viết phơng trình mặt phẳng (P),(Q) song song với

nhau và lần lợt chứa (d
1
),(d
2
)
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
) .
Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( ) ( )
Rt
12
23
31
:
1






=
+=

+=
z
ty
tx
d

( )

01225
0823
:
2



=+
=
zx
yx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
)
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d

1
),(d
2
) .
Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:

( )
1
2
3
1
2
1
:
1

=

=
+ zyx
d
;
( )
25
2
2

2
:
2

=
+
=
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:

( )



=+

=+
04y-x
0yx
: d
1
z

( ) ( )
t
2
31
:
2
R
tz
ty
tx
d





+=
=
+=
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2

) chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
)
Bài 7: : cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:

( )
1
9
2
3
1
7
:
1


=

=
zyx
d

( )
3

1
2
1
7
3
:
2

=

=

zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )

1
1
22
:
1
1
1





=
+=
+=
z
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
x
d

=
+=
=
21
2
22
t,t
3
1
1
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và song song với (d
2
) .
c) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
) .
Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đờng thẳng (d

1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
- 12 -

( )



=++
=++
01y-x
02zyx
: d
1
z

( ) ( )
t
2
5
22
:
2
R
tz
ty
tx
d

+=
=
+=
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa
(d
1
),(d
2
) .
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng thời (d
1
),(d
2
) .
Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2;2;4), A(-2;2;0) ,B(-5;2;0) ,C(-2;1;1). Tính khoảng
cách giữa hai cạnh đối SA và SB.
V. Điểm, đờng thẳng và Mặt Phẳng
Bài toán 1 : Đờng thẳng đi qua một điểm cắt cả hai đờng thẳng cho trớc.
Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;2;3) và cắt cả hai đờng thẳng
a)
( )

=+
=++
0104z-y
0328zx
: d
1

( )

022
032
:
2



=++
=
zy
zx
d
b)
( )
3
3
2
2

1
1
:
1

=

=
zyx
d

( )

0532
02
:
2



=+
=+
zyx
zyx
d
Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai đờng thẳng:

( )
R
tz

ty
tx
d





+=
+=
+=
t
33
2
21
:
1
,
( )

13
23
2
:
2

+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng () và cắt cả hai đờng thẳng:
( )

01
02
:



=++
=++

zyx
zyx

( )
R
tz
ty
tx
d

=
=
+=
t
2
1
2
:
1

( )

03
022
:
2



=
=+
y
zx
d
Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;-1;0) và cắt cả hai đờng thẳng:
( )
2

1
1
1
1
:
1

=
+
=
zyx
d
( )
121
1
:
2
zyx
d ==
+
Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;-1;0) và cắt cả hai đờng thẳng:
( )



=+
=
012-2z5x
08-2y-3x
: d

1

( ) ( )
t
2
23
31
:
2
R
tz
ty
tx
d





=
=
+=
Bài 6: Viết phơng trình đờng thẳng (d) vuông góc với (P) :x+y+z-2=0 và cắt cả hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
):
( )
R
tz

ty
tx
d





=
=
+=
t
2
1
2
:
1

( )

03
022
:
2



=
=+
y

zx
d
Bài 7: Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ và cắt cả 2 đờng thẳng (d
1
) và (d
2
):
( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=
+=
t
33
2
12
:
1

( )

0313
23
2
:
2





=+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
Bài toán 2 : Đờng thẳng đi qua một điểm vuông góc với cả hai đờng thẳng cho trớc.
Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;2;3) và cắt cả hai đờng thẳng (d
1
) ,(d
2
):
- 13 -
a)
( )



=+

=++
0104z-y
0328zx
: d
1

( )

022
032
:
2



=++
=
zy
zx
d
b)
( )

01225
0823
:
1

=+
=
zx
yx
d
( ) ( )
t
2
23
31
:
2
R
tz
ty
tx
d





=
=
+=
Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P) và
vuông góc với đờng thẳng (d):
1 1 2
, ( ) : - - -1 0
2 1 3

x y z
P x y z
+
= = =
Bài toán 3: Đờng thẳng đi qua một điểm vuông góc với một đờng và cắt một đờng thẳng khác
Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0;1;1) và vuông góc với đờng thẳng (d
1
)
và cắt (d
2
) ,biết:
( )
11
2
3
1
:
1
zyx
d =
+
=


( )

01
02
:
2

=+
=++
x
zyx
d
Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;1;1) và vuông góc với đờng thẳng (d
1
) và cắt (d
2
) ,biết :
( )



=+
=++
01-zy
03-zyx
: d
1

( )

01
0922
:
2

=+
=+
zy
zyx
d
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng cắt cả ba đờng thẳng (d
1
) (d
2
) , (d
3
)

và vuông góc với vectơ
( )
1;2;3u
r
, biết:
( )



=+
=+
01z
01y-x
: d

1

( )

0
01
:
2



=
=+
z
yx
d

( )

1
01
:
3



=
=
z
yx

d
Bài 4: Tìm tất cả các đờng thẳng cắt (d
1
), (d
2
) dới cùng một góc, biết:
( )



=
=
az
0y-mx
: d
1

( )

0
:
2



=
=+
az
ymx
d

Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(3;-2;-4) song song với mặt phẳng (P) :3x-2y-3z-7=0
và cắt đờng thẳng (d) biết:
( )
2
1
2
4
3
2
:

=

+
=
zyx
d
Bài toán 4: Hình chiếu vuông góc củađiểm lên mặt phẳng
Bài 1: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2;1;3) qua (P) cho bởi: 2x+y-z-3=0.
Bài 2: (ĐHKTCN-97): Cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phơng trình :2x-y+2z-3=0
a) Lập phơng trình mặt phẳng qua A và song song với (P).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Xác định toạ độ của H
Bài3: (ĐHGTVTTPHCM-99): Cho ba điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) .Xác định toạ độ hình chiếu vuông
góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC).
Bài 4: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2;3;5) và mặt phẳng (P) có phơng trình: 2x+3y+z-17=0
a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A và vuông gócvới (P).
b) CMR đờng thẳng (d) cắt trục 0z , tìm giao điểm M của chúng.
c) Xác định toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (P).

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): 2x+5y+z+17=0 và
( )

0736
02743
:



=++
=+
zyx
zyx
d
a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P).
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) đối xứng với (d) qua (P)
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( ) : 2 4 0P x y z+ + + =
và
( )

0723
032
:

=
=+
zx
yx
d
a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P).
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) đối xứng với (d) qua (P)
Bài 7: (ĐHQG 1998) Cho các điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (a,b,c dơng ). Dựng hình hộp chữ nhật nhận
O,A,B,C làm 4 đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)
b) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Tìm điều kiện đối với a,b,c để hình
chiếu đó nằm trong mặt phẳng (xOy)
- 14 -
Bài toán 5: Hình chiếu vuông góc của đờng thẳng lên mặt phẳng
Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian với hệ trục toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho đờng thẳng (d) và
mặt phẳng (P) có phơng trình: (P):x+y+z-3=0 và
( )

032
03
:



=
=+
zy
zx

d
Lập phơng trình hình chiếu vuông góc
của đờng thẳng (d) lên (Q).
Bài 2: Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của giao tuyến (d) của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0
lên mặt phẳng 2x-z+7=0.
Bài 3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có
phơng trình:
( )
2
1
3
4
4
:

+
=

=
zyx
d
và (P): x-y+3z+8=0. Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc
của (d) lên (P) .
Bài 4: Trong không gian 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phơng trình :
( )



=
=+

02z-x
03-z2y-3x
: d

( ) ( )
R
ttz
tty
ttx
Q





+=
+=
++=
21
21
21
21
t,t
5
24
34
:
. Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng
thẳng (d) lên (Q) .
Bài 5: Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phơng trình:

( )



=+
=++
03-z-2yx
01zy-2x
: d
(Q): x-y+z+10=0
Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên (P) .
Bài 6: (ĐH Càn Thơ 1998) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng
(P) có phơng trình:
( )
3
1
2
2
1
1
:

=

=
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0. Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu

vuông góc (d
1
) của (d) lên (P) .
Bài 7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có
phơng trình :
( )
3
1
2
2
1
1
:

=

=
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0.
a) Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên (Oxy) .
b) CMR khi m thay đổi đờng thẳng (d
1
) luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định trong mặt phẳng 0xy.
Bài 8: (ĐHQG-98): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho mặt phẳng (P) và hai đờng thẳng
(d
1
) và (d

2
) có phơng trình: (P):x+y-z+1=0,
( )



=+
=+
02yx
01z-2y
: d
1
,
( )

02
0123
:
2



=+
=+
zx
zy
d
a) Hãy viết phơng trình hình chiếu vuông góc (
1
), (

2
) của (d
1
), (d
2
) lên (P). Tìm toạ độ giao điểm I của
(d
1
), (d
2
).
b) Viết phơng trình mặt phẳng
( )
1
P
chứa (d
1
) và vuông góc với (P).
Bài toán 6: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đờng thẳng
Bài 1: cho điểm A(1;2;3) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )

01
0922
:



=+
=+

zy
zyx
d
. Xác định toạ độ hình
chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (d) .
Bài 2: cho điểm A(1;2;-1) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=
+=
t
33
2
12
:
.Xác định toạ độ hình
chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1

đối xứng với A qua (d) .
Bài 3: cho điểm A(2;1;-3) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
1
3
2
2
1
1
:

+
=

=
zyx
d
.Xác định toạ độ hình
chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (d) .
- 15 -
Bài 4: (ĐHhuế /A,B phân ban 98): Trong không gian 0xyz cho điểm A(2;-1;1) và đờng thẳng (d) có phơng
trình :
( )

022
04
:

=+
=+
zyx
zy
d
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc (d) .
b) Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (d) .
Bài 5: (Đề 60-Va): Lập phơng trình đờng thẳng qua A(3;2;1) và vuông góc với đờng thẳng
(d)
1
3
42
:
+
==
zyx
và cắt với đờng thẳng đó .
Bài 6: (ĐHTM-2000): Lập phơng trình đờng thẳng qua A(2;-1;0) và vuông góc với đờng thẳng
( )

012
025
:



=++
=+++

zyx
zyx
d
và cắt với đờng thẳng đó .
Bài7: (HV BCVT-2000): Cho 2 đờng thẳng () và (d) có phơng trình :
( )
3
1
2
1
7
3
:

=

=



zyx
( )
1
9
2
3
1
7
:

=

=
zyx
d
Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với (d) qua ()
Bài 8: (ĐHHH-1999): Trong không gian cho 2 đờng thẳng (d1),(d2) :
( )
R t
54
21:)(d
01
012
:
21






+=
+=
=



=+
=++

tz
ty
tx
zyx
yx
d
a) (d1) , (d2) có cắt nhau hay không
b) Gọi B,C lần lợt là các điểm đối xứng của A(1;0;0) qua (d1),(d2) . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 9: (ĐHTM-1999): Trong không gian cho đờng thẳng (d1) và mặt phẳng (P) :
( )
032:)(P
01722
0322
:
1
=+



=
=
zyx
zyx
zyx
d
a) Tìm điểm đối xứng của điểm A(3;-1;2) qua đờng thẳng (d)
b) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) trên mặt phẳng (P)
Bài10: Trong không gian 0xyz cho bốn đờng thẳng (d
1
), (d

2
), (d
3
), (d
4
) có phơng trình :
( )

0
:
1



=
=
hz
ymx
d
,
( )

0
:
2



=
=

hz
ymx
d
,
( )

0
:
3



=
=+
hz
ymx
d
,
( )

0
:
4



=
=+
hz
ymx

d
CMR các điểm đối xứng A
1,
, A
2,
, A
3
, A
4
của A bất kì trong không gian qua (d
1
), (d
2
), (d
3
), (d
4
) là đồng
phẳng. Lập phơng trình mặt phẳng chứa chúng .
Bài toán 7: Điểm và mặt phẳng
Bài 1: cho hai điểm A(1;0;2) ;B(2;-1;3) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
AM+BM nhỏ nhất.
Bài 2: cho hai điểm A(1;1;0) ;B(0;-1;1) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
AM+BM nhỏ nhất.
Bài 3: (ĐHhuế /A hệ cha phân ban 97):Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0
và hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9) .Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MBMA
là lớn nhất .
Bài 4: (ĐHQG-2000):Cho mặt phẳng
(P):x+y+z-1=0 và hai điểm A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2)

a) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A,B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó .
b) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MBMA
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (ĐHMĐC-97):
cho ba điểm A(1;4;5) B(0;3;1) ,C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gọi G là trọng tâm ABC .CMR
điều kịên cần và đủ để M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình phơng khoảng cách đến các điểm A,B,C
nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng (P) .Xác định toạ độ của điểm M
đó.
- 16 -
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) 3x+3y+mz-6-m=0.
a) CMR (P) luôn đi qua một điểm cố định M, Tìm toạ độ của M.
b) Giả sử (P) cắt 0x,0y,0z theo thứ tự tại A,B,C .
c) Tính 0A,0B,0C để tứ diện 0ABC đạt giá trị nhỏ nhất .
d) Tính 0A,0B,0C để 0A+0B+0C là nhỏ nhất .
Bài toán 8: Điểm và đờng thẳng
Bài 1: Tìm trên đờng thẳng (d) điểm M(x
M
,y
M
,z
M
) sao cho
MMM
zyx
222
++
nhỏ nhất ,biết:
a)
( )

R
tz
ty
tx
d





=
=
+=
t
3
21
2
:
b)
( )
5
4
3
1
2
3
:

=
+

=

zyx
d
c)
( )

0732
0143
:



=+++
=++
zyx
zyx
d
Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )

05
03
:



=+
=
yx

zyx
d
.Tìm điểm M thuộc (d) sao cho AM + BM
nhỏ nhất khi :
a) A(1;2;-1), B(8;1;-2) . b) A(1;2;-1),B(0;1;2).
Bài 3: (ĐHBK-98):Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P)có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d





=
=
+=
t
3
2
21
:
,
( ) : 2 - - 2 1 0P x y z + =
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng(d) sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;-1;3) qua đờng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
Bài 4: (ĐHHồng Đức -2000): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :

( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=
+=
t
2
1
1
:
và (P): x+2y+z-1=0.
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng(d) sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng
6
.
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;0;-1) qua đờng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
Bài 5: (ĐHĐà nẵng -2000): Cho điểm A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;-1),D(7;-2;3).
a) CMR A,B,C,D đồng phẳng . b) Tính khoảng cách từ Cđến đờng thẳng
(AB)
Bài toán 9: Góc trong không gian
Bài 1: Xác định số đo góc giữa 2 đờng thẳng (d
1

),(d
2
) có phơng trình :
a)
( )

015z-x
019-y4x
:)(d&
46
32
23
:
21



=+
=+





+=
+=
+=
tz
ty
tx

d
b)
( )

33
2
12
:
1





+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )

31
23
2
:
2

+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
c)
( )

01
012
:
1



=+
=++
zyx
yx
d
( )

012
033

:
2



=+
=++
yx
zyx
d
Bài 2: (ĐHHH-2000): Cho ba đờng thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d





+=
+=

+=
t
32
42
1
:
1
,
( )

012
034
:
2



=+
=+
zyx
zyx
d

( )
1
5
1
1
3
:

3

=


=
zyx
d
a) Xác định cosin góc giữa (d
1
),(d
2
).
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với (d
3
) đồng thời cắt cả (d
1
),(d
2
).
Bài 3: Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình cho bởi :

( )

015
0194
:

=+
=+
zx
yx
d
và (P):x+y-7z-58=0.
- 17 -
Bài 4: (CĐSP TP.HCM-99): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
1
3
2
4
1
3
:

+
=

=
zyx
d
và (P):2x+y+z-1=0
a) Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P).
c) Lập phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d
1
) đi qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P).
Bài 5: (ĐHAN-CS-98): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :

( )
2
1
2
3
1
1
:
+
=


=
zyx
d
và (P): x+z+2=0
a) Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
Bài toán 10: Tam giác trong không gian
Bài 1: Cho ABC bíêt A(1;2;5), B(1;4;3), C(5;2;1) và mặt phẳng (P):x-y-z-3=0.
a) Lập phơng trình đờng trung tuyến ,đờng cao và đờng phân giác trong kẻ từ đỉnh A.
b) Gọi G là trọng tâm ABC .CMR điều kịên cần và đủ để điểm M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình
phơng khoảng cách đến các điểm A,B,C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chỉếu vuông góc của điểm G trên
mặt phẳng (P) .Xác định toạ độ của điểm M đó.
Bài 2: Cho mặt cầu
( )
0642:
222

=++ zyxzyxS
.
a) Gọi A,B,C lần lợt là giao điểm (khác gốc toạ độ ) của mặt cầu (S) với 0x,0y,0z .Các đỉnh toạ độ của A,B,C
và lập phơng trình mặt phẳng (ABC).
b) Lập phơng trình các đờng trung tuyến , đờng cao và đờng phân giác trong kẻ từ đỉnh A của ABC.
c) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC.
Bài 3 Cho các điểm A(3;1;0), B(2;2;4) ,C(-1;21).
a) Lập phơng trình mặt phẳng (ABC).
b) Lập phơng trình các đờng trung tuyến ,đờng cao và đờng phân giác trong kẻ từ đỉnh A của ABC.
c) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC.
VI. Mặt cầu
Bài toán 1 . Phơng trình mặt cầu
Bài 1: Trong các phơng trình sau đây ,phơng trình nào là phơng trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ tâm và
bán kính của nó ,biết:
a)
( )
02642:
222
=++++ zyxzyxS
b)
( )
09242:
222
=++++ zyxzyxS
c)
( )
03936333:
222
=++++ zyxzyxS
d)

( )
07524:
222
=++ zyxzyxS
e)
( )
022:
222
=+++ yxzyxS
Bài 2: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
04624:
2222
=++++ mmzmymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 3: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
05824:
22222

=+++ mymmxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) Tìm quĩ tích tâm của họ (S
m
) khi m thay đổi.
c) Tìm điểm cố định M mà (S
m
) luôn đi qua.
Bài 4: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
03cos2sin2:
222
=++ mymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m

0) ,cắt (C) tại T, S , đờng

thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .
Bài 5: Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4. b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm
I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x. d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3), B(3;2;-
7)
- 18 -
Bài 6: Cho 3 đờng thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phơng trình :
( )
1
1
4
2
3
2
:
1

=
+
=
zyx
d
,

( )
1
9
2
3
1
7
:
2


=

=
zyx
d
,
( )
1
2
2
3
3
1
:
3


=

+
=
+ zyx
d
a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) và song song với đờng thẳng (d
3
).
b) Giả sử
( ) ( ) { }
Add =
1
,
( ) ( ) { }
Bdd =
2
.Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB.
Bài 7: Cho 2 đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx

d





=
=
+=
t
2
1
2
:
1
,
( )

03
022
:
2



=
=+
y
zx
d

a) CMR (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mật cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
d) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d
1
) và (d
2
).
Bài toán 2: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
Bài 1: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 2: Viết phơng trình mặt cầu có tâm I trên đờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng
( )
1
P

và
( )
2
P
, biết
a) (ĐHL-95):
( )
2
1
2
1
3
2
:

=

=

zyx
d
b)
( )
1
P
:x+2y-2z-2=0. và
( )
2
P
:x+2y-

2z+4=0.
c)
( )

01445
0724
:



=++
=++
zyx
zyx
d
, d)
( )
1
P
:2x+2y-z-12=0. và
( )
2
P
:-
2x+2y-z+8=0.
e)
( )
R
tz
ty

tx
d





=
+=
+=
t
2
3
21
:
, f)
( )
1
P
:3x4y+2z-10=0
( )
2
P
:2x-
3y+4z-10=0
Bài 3: (ĐHLN-97): Cho đờng thẳng (d) và hai mặt phẳng
( )
1
P
,

( )
2
P
,biết :
( )
2
1
3
1
2
:
+
=

=
zyx
d
,
( )
1
P
:x+y-2z+5=0. và
( )
2
P
:2x-y+z+2=0
a) Gọi A là giao điểm của (d) với
( )
1
P

và
( )
2
P
.Tính độ dài đoạn AB.
b) Viết phơng trình mặt cầu cod tâm I trên đờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng
( )
1
P
và
( )
2
P
.
Bài toán 3: Mặt cầu cắt mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt cầu có tâm tạo giao điểm I của mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) sao cho mặt
phẳng (Q) cắt khối cầu theo thíêt diện là hình tròn có diện tích 12

,biết :
a)
( )
R
tz
ty
tx
d

+=
=
+=
t
2
3
1
:
,(P):x-y-z+3=0 b)
( )

01
03
:



=
=++
y
zyx
d
, (P):x+y-2=0.
Bài 2: Lập phơng trình mặt cầu có tâm thuộc đờng thẳng (d) và cắt mặt phăng (P) theo thiết diện là đờng tròn
lớn có bán kính bằng 18.biết:
( )
R
tz
ty

tx
d





+=
+=
+=
t
1
39
412
:
và (P):y+4z+17=0.
Bài 3: Trong không gian 0xyz , cho hai điểm A(0;0;-3),B(2;0;-1) ,và mặt phẳng (P):3x-8y+7z-1=0 .
a) (HVNH-2000): Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác đều .
- 19 -
b) Lập phơng trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P):x-y-z-2=0.
Bài toán 4: Mặt cầu tiếp xúc với đờng thẳng
Bài 1: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-1) và tiếp xúc với đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
z
ty
tx
d

=
=
=
t
1
1
:
b) Tâm I(3;-1;2) và tiếp xúc với đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )

017322
0322
:



=
=
zyx
zyx
d
Bài 2: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :

( )
R
tz
ty
tx
d





+=
=
+=
t
32
1
21
:
1
,
( )

012
043
:
2

=+
=
zyx
yx
d
Lập phơng trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d
1
) tại điểm H(3;1;3) và có tâm thuộc đờng thẳng (d
2
).
Bài 3: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :

( )

01
012
:
1



=+
=++
zyx
yx

d
,
( )

012
033
:
2



=+
=++
yx
zyx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng .
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
tz

ty
tx
d





+=
+=
+=
t
33
2
21
:
Bài 4: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :

( )
R) (t
46
32
23
:
1

+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )

015
0194
:
2



=+
=+
zx
yx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng .
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1

) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
4
9
1
5
3
7
:

=


=
+ zyx
d
Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :

( )

4
1
32
2
:
1

+
=

=
zyx
d
,
( )
129
2
6
7
:
2
zyx
d =

=


a) CMR hai đờng thẳng đó song song với nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1

) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
z
ty
tx
d





=
=
=
t
1
1
:
Bài 6: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2

) ,biết :

( )
4
9
1
5
3
7
:
1

=


=
+ zyx
d
,
( )
4
18
1
4
3
:
2
+
=

+
=
zyx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó song song với nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
- 20 -
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :

( )
R
tz
ty
tx
d





=
=

+=
t
1
3
23
:
Bài 7: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )
R) (t
33
2
21
:
1






+=
+=
+=
tz
ty
tx

d
,
( )

31
23
2
:
2





+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
a) CMR hai đờng thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của(d
1
) và (d
2
).
c) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d

2
).
d) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc mặt phẳng (P) : xy+z-2=0
Bài 8: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )

01
03
:
1



=+
=++
zx
zyx
d
,
( )

01

0922
:
2



=+
=+
zy
zyx
d

a) CMR hai đờng thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của(d
1
) và (d
2
).
c)Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):2x-y+3z-6=0.
Bài toán 5: Mặt cầu cắt đờng thẳng
Bài 1: (ĐHQG-96): Cho điểm I(2;3;-1) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )

0843
020345
:

=+
=++
zyx
zyx
d
a) Xác định VTCP
a
của (d) suy ra phơng trình mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với (d):
b) Tính khoảng cách từ I đến (d) từ đó suy ra phơng trình mặt cầu (S) có tâm sao cho (S) cắt (d) tại hai
điểm phân biệt A,B thoả mãn AB = 40.
Bài 2: Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d





=
=
+=
t
3

2
21
:
, (P):2x-y-2z+1=0.
a) (ĐHBK-98):Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt
phẳng (P) bằng 1.
b) (ĐHBK-98):Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;-1;3) qua đờng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
c) Lập phơng trình mặt cầu tâm I cắt đờng thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB=12.
d) Lập phơng trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
e) Lập phơng trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đờng tròn có diện tích bằng 16

Bài toán 6: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Bài 1: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 2: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.
b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao
điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lợt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho
PQ và KM cắt nhau.
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b) (HVKTQS-98): Viết phơng trình tham số đờng thẳng vuông góc chung của AC và BD.
- 21 -
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ

của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tổng quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(BCD).
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) Lập phơng trình các mặt của hình chóp. b) Lập phơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình
chóp .
c) Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 6: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.
Bài toán 7: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện
Bài 1: Lập phơng trình mặt cầu nội tiếp hình chóp SABCD ,biết:
a)
4
( ;0;0)
3
S
,A(0;-4;0), B(0;-4;0),C(3;0;0). b) S 0,A(a;0;0),B(0;b;0), C(0;0;c), với a,b,c>0.
Bài 2: Cho hình chóp SABCD .Đỉnh
)4,
2
9
,
2
1
(S
đáy ABCD là hình vuông có A(-4,5,0) ,đơngf chéo BD có
phơng trình :

( )

0
087
:



=
=+
z
yx
d
a) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chóp . b) Lập phơng trình nặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
c) Lập phơng trình mặt cầu nội tíêp hình chóp.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).
a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (0AB), (0BC), (0CA), (ABC).
b) Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp tứ diện 0ABC .
c) Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua mặt phẳng (ABC).
Bài 4: (HVKTMM-99):Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện .
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Viết phơng trình mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
Bài toán 8: Vị trí tơng đối của điểm và mặt cầu
Bài 1: Cho mặt cầu
( )
034:
222

=++ zyxzyxS
.xét vị trí tpng đối của điểm A đối với mặt cầu (S)
trong các trờng hợp sau:
a) điểm A(1;3;2). b) điểm A(3;1;-4). c) điểm A(-3;5;1).
Bài 2: Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu
( )
03242:
222
=+++ zyxzyxS
.Sao cho khoảng cách MA
đạt giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất,biết:
a) điểm A(1;-2;0). b) điểm A(1;1;-2).
Bài toán 9: Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt cầu
Bài 1: Cho mặt cầu
( )
06222:
222
=++ zyxzyxS
.Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng
cách từ M đến (d) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,biết:
a)
( )
R
tz
ty
tx
d

=
+=
=
t
1
1
2
:
b)
( )

012
032
:



=+
=++
zy
zyx
d
Bài toán 10: Vị trí tơng đối của mặt phẳng và mặt cầu
- 22 -
Bài 1: (ĐHDL-97):Trong không gian với hệ toạ đô trực chuẩn 0xyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có ph-
ơng trình :
( )
022:

222
=++ xzyxS
,(P):x+z-1=0.
a) Tính bán kính và toạ độ tâm của mặt cầu (S).
b) Tính bán kính và toạ độ tâm của đờng tròn giao của (S) và (P).
Bài 2: (ĐHSPV-99): Cho điểm I(1;2;-2) và mặt phẳng 2x+2y+z+5=0 .
a) Lập phơng trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đờng tròn có chu vi bằng 8

.
b) CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng 2x-2=y+3=z.
c) Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) và tiếp xúc với (S).
Bài 3: (ĐHBK-A-2000): Cho hình chóp SABCD với S(3;2;-1), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0).
a) CMR SABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân.
b) Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đờng thẳng AB. M là điểm bất kì thuộc mặt cầu tâm D,
bán kính
18=R
.(điểm M không phụ thuộc mặt phẳng (ABC) ). Xét tam giác có độ dài các cạnh bằng độ
dài các đoạn tjẳmg MA, MB, MC. Hỏi tam giác đó có đặc điểm gì ?
Bài 4: (ĐHPCCC-2000): Cho đờng tròn (C) có phơng trình :
( )



=
=++
0
14
:
222
z

zyx
C
.Lập hơng trình mặt cầu
chứa (C) và tiệp xúc với mặt phẳng: 2x+2y-z-6=0.
Bài 5: (CĐHQ-96): Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
9)1()2()3(:
222
=+++ zyxS
,(P):x+2y+2z+11=0. Tìm điểm M sao cho M thuộc (S) sao cho khoảng
cách từ M tới mặt phẳng (P) nhỏ nhất .
Bài toán 11: Vị trí tơng đối của hai mặt cầu
Bài 1: Cho hai mặt cầu:
( )
0722:
222
1
=++ yxzyxS
,
( )
02:
222
2
=++ xzyxS
a) CMR hai mặt cầu (S
1
) và (S
2
) cắt nhau.
b) Viết phơng trình mặt cầu qua giao điểm của (S

1
) và (S
2
) qua điểm M(2,0,1).
Bài 2: Cho hai mặt cầu:
( )
9:
222
1
=++ zyxS
,
( )
06222:
222
2
=++ zyxzyxS
a) CMR hai mặt cầu (S
1
) và (S
2
) cắt nhau.
b) Viết phơng trình mặt cầu qua giao điểm của (S
1
) và (S
2
) qua điểm M(-2;1;-1).
- 23 -