Kinh nghiệm dạy toán 7

Kinh nghiệm
phát triển bài toán vận dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ
thức
vào giải toán lớp 7.
_____________
Một trong những kiến thức cơ bản quan trọng của Chơng trình Đại số lớp 7
là "Khái niệm tỉ lệ thức - Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức". Việc vận dụng kiến thức
này vào giải toán cho từng đối tợng học sinh nh thế nào và có thể khai thác các
bài toán ở sách giáo khoa ra sao? Qua giảng dạy môn Toán lớp 7, tôi có một vài
kinh nghiệm về vấn đề này nh sau:
I. Về kiến thức cơ bản cần khắc sâu cho học sinh.
1. Định nghĩa.
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b
a
=

hay a : b = c : d. Trong đó a, b,
c, d là các số hạng của tỉ lệ thức.
a, d là ngoại tỉ; b, c là trung tỉ.
2. Tính chất.
* Nếu
d
c
b
a
=
thì ad = bc
* Nếu ad = bc và a, b, c, d ? 0, Thì ta có các Tỉ lệ thức:

d
c
b
a
=
;
d
b
c
a
=
;
a
c
b
d
=
;
a
b
c
d
=
3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
fdb
eca
fdb
eca
f
e

d
c
b
a
+
+
=
++
++
===
(Giả thiết các Tỉ số đều có nghĩa).
II. Vận dụng kiến thức cho từng đối tợng học sinh.
A. Với học sinh trung bình: Chỉ yêu cầu các em làm bài tập vận dụng ở
SGK và sách bài tập. Chẳng hạn:
Bài 1: Từ Tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
với a, b, c, d ? 0, ta có thể suy ra:
A.
a
c
b
d
=
; B.
a
b

c
d
=
; C.
b
c
d
a
=
; D.
d
b
c
a
=
Phơng án nào đúng, phơng án nào sai ?
1
Bài 2: Điền số thích hợp vào ô trống:
a)
5
2
15
=
; b)
15
2036
=
c) 1,5 : 0,3 = : (-15); d)
:
2

1
3
2
1
:
4
3
1 =

Bài này với học sinh yếu kém chỉ yêu cầu các em làm đợc câu a và câu b.
Bài 3: Lập các Tỉ lệ thức có đợc từ các số sau 5; 10 ; 15 ; 30
Bài 4: Tìm hai số x , y biết:
32
yx
=
và x + y = 30.
Bài 5: Tìm các số a , b , c , d biết rằng:
a : b : c : d = 3 : 4 : 5 : 6 và a + b + c + d = 3,6
B. Với đối tợng học sinh khá, giỏi.
Ngoài những bài toán ở SGK và bài toán cho học sinh trung bình, phát triển
thêm các bài toán sau:
Bài 1: Cho a, b, c, d

0, Từ Tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
hãy suy ra

c
dc
a
ba
=

Với điều kiện học sinh khá, giỏi, ngoài việc giải đợc, mà còn yêu cầu các em có
các cách giải khác nhau. Chẳng hạn:
Cách 1: Từ
d
c
b
a
=
=> ad = bc
=> ac bc = ad ac
=> c (a b) = a (c d)
=>
c
dc
a
ba
=

Cách 2: Đặt
k
d
c
b
a

==
=> a = kb
c = kd
Từ
k
k
kb
kb
kb
bkb
a
ba 1)1.( +
=

=

=

(1)

k
k
kd
kd
kd
dkd
a
dc 1)1.( +
=

=

=
+
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
c
dc
a
ba
=

2
Bài 2: Chứng minh rằng Từ Tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
( a - b

0 và c - d

0 )
ta có thể suy ra đợc tỉ lệ thức
dc
dc
ba
ba

+
=

+
Giải:
Cách 1: Đặt
d
c
b
a
=
= k => a = bk, c = dk
vì a - b

0 và b

0 => kb - b

0 và kd - d

0 => b (k - 1)

0 => k

1
Từ
1
1
)1(
)1(

+
=

+
=

+
=

+
k
k
kb
kb
bkb
bkb
ba
ba
(1)
Từ
1
1
)1(
)1(

+
=

+

=

+
=

+
k
k
kd
kd
dkd
dkd
dc
dc
(2)
Từ (1) và (2) tà có
dc
dc
ba
ba

+
=

+
Cách 2: Từ
d
c
b
a

=
=> ad = bc
Do đó
dc
dc
dcb
dbb
bdbc
bdbc
bdad
bdad
bad
bad
ba
ba

+
=

+
=

+
=

+
=

+
=

+
)(
)(
)(
)(
Bài toán 3: (Là bài toán đảo của bài 2).
Chứng minh rằng Từ tỉ lệ thức
dc
dc
ba
ba

+
=

+
? 1
Ta suy ra tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
Giải:
Cách 1: Đặt
dc
dc
ba
ba

+
=

+
= k

1
=> a + b = k (a - b) và c + d = k (c - d)
=> (1 + k) b = (k - 1) a
và (1 + k) d = (k - 1) c
Với K

1 Thì b

0 và c

0 ta có
d
c
k
k
b
a
=

+
=
1
1

3
Cách 2:
dc
dc
ba
ba

+
=

+


1
=> a b => a

0 ; b

0
c

d => c

0 ; d

0
<=> (a + b) (c - d) = (c + d) (a - b)
<=> ac - ad + bc = bd = ac + ad - bc - bd
<=> - ad + bc = ad = bc
<=> 2bc = 2ad

<=> bc = ad
<=>
d
c
b
a
=
Phát triển bài toán 4
Chứng minh rằng từ Tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
, ta có thể suy ra:
qdpc
qdpc
qbpa
qbpa
c
qdpc
a
qbpa

+
=

++
=
=

;
Chứng minh:
Đặt
d
c
b
a
=
= k => a = bk
c = dk
Từ
k
qpk
bk
qpkb
bk
qbpbk
c
abpa +
=
+
=
+
=
+ )(
(1)

k
qpk
dk

qpkd
dk
qdpdk
c
qdpc +
=
+
=
+
=
+ )(
(2)
Từ (1) và (2) ta có
c
qdpc
a
qbpa +
=
=
Tơng tự:
Từ
qpk
qpk
qpkb
qpkb
qbpbk
qbpbk
qbpa
qbPa

+
=

+
=

+
=

+
)(
)(
(3)
và
qpk
qpk
qpkd
qpkd
qdpdk
qdpdk
qdpc
qdpc

+
=

+
=

+

=

+
)(
)(
(4)
Từ (3) và (4) ta có:
qdpc
qdpc
qbpa
qbpa

+
=

+
4
Tiếp tục phát triển thêm:
Bài toán 5:
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
, ta có thể suy ra tỉ lệ thức:
kk
kk
kk
kk

ndmc
qdpc
nbma
qbpa
+
+
=
+
+
Giải: Đặt
d
c
b
a
=
= t => a = bt
c = dt
Từ
nmt
qpt
nmtb
qptb
nbtmb
qbtpb
nbma
qbpa
K
k
kk
kk

kkk
kkkkk
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
)(
)(
(1)
nmt
qpt
nmtd
qptd
ndtmd
qdtpd
ndmc
adpc
K
k
kk
kk
kkk
kkk

k
kk
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
)(
)(
(2)
Từ (1) và (2) =>
kk
kk
kk
kk
ndmc
qdpc
nbma
qbpa
+
+
=
+
+

* ứng dụng Toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, có thể
phát triển t duy cho học sinh giỏi bằng một số bài sau:
Bài 1: ìm a, b, c biết 3a = 2b; 5b = 4c và 42 + 3a - 5b + c = 0
Giải:
Từ 3a = 2b =>
12832
baba
==
(1)
5b = 4c =>
151254
cbcb
==
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
15128
cba
==
Từ 42 + 3a - 5b + c = 0 => 3a - 5b + c = - 42
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2
21
42
156024
53
1560
5
24
3
15128

=


=
+
+
======
cbacbacba

=> a = 8 . 2 = 16
b = 12 . 2 = 24
c = 15 . 2 = 30
5
Bài 2: Tìm x, y, z biết
zyx
5
1
4
3
3
2
==
và 2x + 4Z - 42 = 3y
Giải:
Từ
Zyx
5
6
4
3

3
2
==
=>
6
1
.
5
6
6
1
.
3
4
6
1

3
2
Zyx ==
=>
589
Zyx
==
Từ 2x + 4Z - 52 = 3y
=> 2x - 3y + 4Z = 42
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3
14
42

202418
432
20
4
24
3
18
2
589
==
+
+
======
ZyxZyxZyx
=> x = 9 . 3 = 27
y = 8 . 3 = 24
z = 5 . 3 = 15
hoặc có thể phát triển thêm:
Bài 3: Tìm các số a, b, biết
200
.
133
bababa
=
+
=

Giải:
Từ
8133200

.
133
abababababa
=
+
++
==
+
=

=>
25
.
200
8
8
8
2008
b
aa
abaaba
===
=>
1
25
=
b
=> b = 25
133
baba +

=

=> 13 (a - b) = 3 (a + b)
=> 13a - 13b = 3a + 3b
=> 13a - 13 . 25 = 3a + 3 . 25
=> 13a - 325 = 3a + 75
=> 10a = 400
a = 40
Vậy a = 40 ; b = 25
Ngoài ra ta có thể phát triển nhiều bài toán khác.
Tóm lại: Việc khai thác các bài toán ở sách giáo khoa là nhằm khắc sâu
kiến thức; đồng thời rèn luyện t duy sáng tạo, phát huy trí tuệ, kích thích sự khám
6
phá ở học sinh; đó chính là mục tiêu của việc đổi mới phơng pháp dạy và học hiện
nay./.
7