kinh nghiem day hoc sinh yeu Toan

Sở gd - đt tỉnh TN
Trờng THPT Đồng Hỷ

Cộng hoà x· héi chđ nghÜa viƯt nam

§éc lËp – Tù do Hạnh phúc

Một vài kinh nghiệm giúp học sinh
học yếu học tốt môn toán
A - Lý do chn ti:
Hc sinh trên địa bàn huyện Đồng Hỷ đa phần là con em nơng thơn, cha
mẹ khơng có điều kiện chăm lo cho con cái học hành; Ngồi giê ®Õn líp các
em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình và đồng áng, không có nhiều
thơì gian để học, dẫn đến việc chất lợng học tập của học sinh yếu, kiến thức bị
hổng nhiều nên hầu hết các em sợ học môn toán.
Là giáo viên dạy toán, đà có 10 năm gắn bó với nghề, tôi rất thông cảm với
các em và trăn trở trớc thực tế đó. Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn học
hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phơng pháp thích hợp để giúp các em học sinh
học yếu yêu thích và học tốt môn toán.
Vi mong mun gúp phn nõng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường
phổthơng tơi chọn đề tài:
“Mét vµi kinh nghiƯm gióp häc sinh häc u học tốt môn toán

B ý nghĩa thực tiễn và khoa học của đề tài:
ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm đợc một phơng pháp tối u
nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành đợc một hệ thống chơng trình
quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, k xo trong việc giải các
bài tập. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học
sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
C- Mục tiêu của đề tài
- Thu hút, lôi cuốn các em ham thích học mơn Tốn

1


- Từng bước nâng cao kết quả học tập của mỗi em.
D- Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:
Đối tượng của đề tài là học sinh lớp 12, trình độ học sinh không đồng
đều, đa số là học sinh trung bình và yếu mơn Tốn.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào
tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu
mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về
kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm
tra,…) và đi đến kết luận.
E- Nội dung của đề tài.
1) Khảo sát chất lượng đầu năm của học sinh:
Thông qua học bạ lớp dưới, thông qua bài kiểm tra khảo sát đầu năm,
kiểm tra vấn đáp đã kiểm tra những kiến thức cơ bản, trọng tâm mà các em đã
được học, qua đó giúp tôi nắm được những "lỗ hổng" kiến thức của từng em,
trên cơ sở đó tơi phân lớp thành nhiều nhóm, gọi là các nhóm "tương đồng
kiến thức" và xây dựng kế hoạch "lấp lỗ hổng" cho từng nhóm. Việc "lấp lỗ
hổng" được tiến hành bằng nhiều biện pháp:
- Giới thiệu sách giáo khoa và sách tham khảo cần thiết để các em sưu
tầm và tự ôn lại kiến thức cũ.
- Hỏi và nhắc lại các kiến thức cũ trong các giờ học nếu có liên quan.
- Động viên những em học khá giúp đỡ những em học yếu.
- Ra một số bài tập về kiến thức trọng tâm ở lớp dưới cho học sinh về
nhà làm sau đó nộp cho giáo viên chấm và chữa.
2) Giảng dạy kiến thức mới.
- Trong mỗi bài học chỉ rõ được kiến thức cơ bản tối thiểu mà các em cần
nắm được.
- Một bài toán phải được thực hiện qua nhiều bước, hướng dẫn và yêu

cầu các thực hiện thành thạo từng bước một.
- Tổ chức, phân dạng bài tập một cách khoa học, chi tiết, cung cấp cho
học sinh các dạng bài tập một cách có hệ thống.

2


- Soạn thêm nhiều bài tập đơn giản và tương tự cho từng dạng để các em
tự làm, qua đó các em được lặp lại nhiều lần, giúp các em dễ khắc sâu kiến
thức.
Sau khi kiến thức lớp dưới đã được bù đắp và bằng cách hạ thấp yêu cầu
đến mức tối thiểu ở mỗi dạng bài tập. Tôi nhận thấy các em học sinh đã xích
lại gần hơn, yêu thích học mơn Tốn hơn.
3) Cụ thể:
Khi dạy chương trình tốn 12, tơi đã phân thành hai dạng kiến thức cơ
bản mà mỗi học sinh phải nắm được:
*Lý thuyết: Các em phải nắm được kiến thức cơ bản như: Định nghĩa,
định lý, các công thức đạo hàm, nguyên hàm cơ bản… đối với mơn giải tích.
Cịn đối với mơn hình học là: Phương trình, hình dạng,… Hướng dẫn học sinh
làm bảng tổng kết công thức đạo hàm, nguyên hàm cơ bản, ba đường Conic,…
để học sinh thấy được mối liên hệ giữa chúng.

3


STT

Hàm số

Đạo hàm

Nguyên hàm

∫ dx = x + C

1

y=x

y' = 1

2

y = xα

y' = 2 α.x α−1

3

y = sin x

y' = cosx

∫ cos xdx = sinx + C

4

y = cosx

y' = sinx

∫ sin xdx = − cosx + C

5

y = tgx

y' = cos 2 x , ∀x ≠ 2 + kπ

6

y = cotgx

7

y = lnx

8

y = logax

α
∫ x dx =

π

1

1

y' = − sin 2 x , ∀x ≠ kπ

x α +1
+C
α +1

( α ≠ −1)

dx

∫ cos 2 x = tgx + C
dx

∫ sin 2 x = − cot gx + C

y' =

1
, ∀x ∈ R *
+
x

∫

dx
= ln x + C
x

y' =

1
x ln a

∫ x ln a dx = log a x + C

( x ≠ 0)

1

,

∀x ∈ R * ,0 < a ≠ 1
+

9
10

y = ex
x

∫e

y' = ex
x

y=a

x

dx = e x + C

x
∫ a dx =

y' = a lna
( 0 < a ≠ 1)

ax
+C
ln a

( 0 < a ≠ 1)

Với cách tổng kết này thì học sinh nắm được cơng thức đạo hàm sẽ nắm
chắc công thức nguyên hàm.
1. Bài tập đạo hàm
Cần cung cấp phương pháp chung để giải bài tập. Bài tập chia làm hai
loại:
+ Loại 1: Củng cố, áp dụng ngay lý thuyết vừa học vào để giải, với bài
tập này giải ngay tại lớp.
+ Loại 2: Rèn kỹ năng, đây là bài tập rất quan trọng nếu biết phát huy sẽ
thu được kết quả tốt, trong q trình giảng dạy tơi rất chú ý đến dạng bài tập
này.
4


* Đối với dạng bài tập thứ nhất tôi chọn các kiểu bài tập như sau:
a)

y = 5sinx - 3cosx

y' = 5cosx + 3sinx

b)

y = xcotgx.
y' = cotgx -

c)

y = tg

x
sin 2 x

x +1
2
'

y'
d)

1
1
 x + 1
= 2 x +1  2  =

 2 cos 2 x + 1
cos
2
2

y = 1 + 2 tgx

y' =
i)

(1 + 2tgx ) '
2 1 + 2 tgx

=

1
cos x. 1 + 2 tgx
2

y = sin (sinx)
y' = cos (sinx).(sinx)' = cosx.cos (sinx)

k)

y = (x - 1). ex.
y' = ex + (x - 1). ex = x . ex.

h)

y = 1n2x
y' = 2lnx.(1nx)' =

g)

2 ln x
x

y = π x .x π
y' = x π −1 .π x (π + x.1nπ )

Hướng dẫn học sinh nhận biết đúng hàm số, áp dụng đúng cơng thức tính
đạo hàm, và kỹ năng biến đổi, tính tốn.
* Đối với dạng bài tập thứ hai tôi chọn các kiểu bài tập như sau:
- Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y = 5sin5x - 3cos (2x2 + x)

b)

y = 2xtgx.

c)

y = cotg

d)

y=

i)

y = cos (sinx)

3x −1
x

x + 2 cot gx

5


k)

y = (2x - 1). e3x.

e)

y = cosx . ln2x

l)

y = π 3 x .x 3Π

m)

y=
y' =

b)

x 2 − 3x + 2

( x 2 − 3x + 2)

2 ( x − 3x + 2)
2

y = x2 + x .
y' = 2x +

c)

y=

d)

y=
y' =

e)

y=

x

x
a − x2
2

1
x x

+

x

=

2x − 3
2 ( x 2 − 3x + 2)

.

+ 1.
x
3 x
= 2x +
2
2 x

.

.

− (x x) '
−3
= ..... =
2
(x x )
2x 2 x
1+x
1−x

Chú ý:

- Khi tính đạo hàm của hàm số, nhiều hàm số phải sử dụng kỹ năng biến
đổi trước khi nhận biết hàm số để vận dụng cơng thức tính.
- Đối với hàm số vô tỷ chứa căn bậc ba trở lên thì biến đổi bằng định
nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỷ, viết hàm số về dạng luỹ thừa.
2. Phần tích phân:
Từ phương pháp và quy tắc hướng dẫn chi tiết cho học sinh. Ví dụ như
lấy tích phân từng phần, yêu cầu học sinh nắm được những dạng thường gặp:
Dạng 1: Biểu thức dưới dấu tích phân là tích của một đa thức chứa x
(hoặc một phân thức chứa x) với một trong các hàm số e x, sinx, cosx tức là có
dạng:

6


e 
b
 .
∫ P( )x  sinx dx
a  
 cosx
x

Khi đó đặt

 u = P(x)
 x
 e 
  
 dv =  cos x dx
  sin x 

  

Sau đó thực hiện tiếp các bước như quy tắc rồi thay vào cơng thức tính.
Dạng 2: Biểu thức dưới dấu tích phân là tích của một đa thức chứa x
(hoặc một phân thức chứa x) với hàm số lnx (hoặc một biểu thức của lnx) tức
là có dạng:
b

∫ P( x ) ln xdx

Khi đó đặt:

a

 u = ln x

 dv = P(x )dx

Dạng 3: Biểu thức dưới dấu tích phân là tích e xcosx hoặc exsinx tức là có
dạng:
b

∫e

x

b

x
(hoặc ∫ e sin xdx )

cos dx

a

a

Khi đó phải áp dụng cơng thức tích phân từng phần hai lần để đưa về tích
phân ban đầu.
* Đối với loại bài tập củng cố, áp dụng ngay lý thuyết vừa học vào để
giải tôi chọn các bài tập sau:
1

a)

3x
I7 = ∫ xe dx
0

Đặt:

 du = dx
 u= x 
 3x ⇒  1 3x
 dv = e dx  v = e
3

1 3x 1 1 1 3x
2e 3 + 1
xe l 0 − ∫ e dx =

Suy ra: I7 =
.
3
30
9

7


π

b)

6

∫ (2 − x ) sin 3xdx

I8 =

ĐS: I8 = 5/9

0

π

c)

2

∫x

I9 =

2

ĐS: I9 = π − 2

sin xdx

0

e

d)

I10 = ∫ ln xdx

ĐS: I10 = 1

1

π

e)

I11 = ∫ x. cos x.dx
0

⇒ du = dx
⇒ v = sinx

Đặt: u = x
dv = cosx dx

⇒ I11 = - 2.
* Đối với loại bài tập rèn kỹ năng tôi chọn các bài tập:
π

a)

2

∫ e cosxdx .
i

0

1

b)

∫x

2

e −x dx .

0

3

c)

2
I2 = ∫ 4 x . ln x.dx
1

2

d)

2
x
I4 = ∫ ( x + 1).e dx
1

Đặt: u = x2 + 1 ⇒ du = 2xdx
dv = ex dx ⇒ v = ex .

⇒

2

x
I4 = 5e2 - 2e - ∫ 2 xe dx
1

Đặt: u1 = 2x ⇒ du1 = 2dx
dv1 = ex dx v1 = ex .

⇒
e)

I4 = 5e2 - 2e - 2e2 = 3e2 - 2e .
π
2

∫ (x

2

+ 1)sinxdx

0

Chú ý: Hướng dẫn cho học sinh nhận xét tích phân mình gặp ở dạng nào?
Nên tính phương pháp nào sẽ cho kết quả nhanh nhất.
8


3. Khảo sát hàm số:
Đối với các bài toán phải thực hiện qua nhiều bước như bài toán khảo sát
hàm số trong sách giáo khoa giải tích lớp 12 đã đưa ra thể loại bài tập phong
phú vì vậy giáo viên phải lựa chọn (nhất là trong điều kiện học sinh học yếu)
với thực tế đối tượng mình dạy mà đặt liều lượng cho thích hợp để đạt hiệu
quả cao theo đúng mức độ yêu cầu.
Khi khảo sát hàm số phải thực hiện qua nhiều bước tôi cho học sinh thực
hiện từng bước thật thành thạo, các bước phức tạp thì học sinh thực hiện chi
tiết và nhiều hơn, ví dụ:
- Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm bậc nhất;
+ Tìm điểm tới hạn của hàm số;
+ Xét dấu đạo hàm bậc nhất;
+ Kết luận về chiều biến thiên và cực trị của hàm số.
- Xét tính lồi, lõm của đồ thị:
+ Tính đạo hàm bậc hai;
+ Tìm x để đạo hàm bậc hai bằng 0 (y'' = 0);
+ Kết luận: Tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị;
- Vẽ đồ thị hàm số: Với hàm số bậc ba, phải tìm giao điểm của đồ thị với
trục Ox thì học sinh phải giải phương trình bậc ba: ax 3 + bx2 + cx + d = 0 đối
với học sinh là rất khó khăn, tơi đã hướng dẫn học sinh nhận xét:
+ Nếu ymin. ymax < 0 thì đồ thị cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt;
+ Nếu ymin. ymax = 0 thì đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm và tiếp xúc
tại một điểm;
+ Nếu ymin. ymax > 0 thì đồ thị cắt trục hồnh tại 1 điểm;
+ Nếu hàm số khơng có cực trị thì đồ thị cắt trục hồnh tại 1 điểm;
+ Tìm điểm đặc biệt của đồ thị: (xđb; yđb);
(Trong đó xđb: là hoành độ của điểm đặc biệt,
yđb: là tung độ của điểm đặc biệt)
+ Tìm hồnh độ của điểm đặc biệt xđb= 2xct - xu;
Trong đó Xct: là hồnh độ của điểm cực trị, X u: là hoành độ của điểm
uốn.
9


Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đã tìm được, học sinh vẽ đồ thị của
hàm số;
* Với hàm số phân thức: Việc xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm
số, tôi hướng dẫn học sinh phân loại các đường tiệm cận và cách tìm:
Gọi (C) là đồ thị hàm số y = f(x).

Nếu
lim f ( x ) = ∞

Thì đồ thị (C) có
Tiệm cận đứng

Phương trình là
x = x0

lim f ( x ) = y 0

Tiệm cận ngang

y = y0

f (x )
= a, a ≠ 0
x →∞ x

Tiệm cận xiên

y = ax + b

x→x 0
x →∞

lim

lim [ f ( x) − ax ] = b
x→∞

Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) có dạng f(x) = ax + b +

ϕ x)
(

mà lim ϕ ( x) = 0 thì y = ax + b là phương trình một đường tiệm cận của
x→∞
đồ thị hàm số
+ Với a = 0 có tiệm cận ngang (y = b);
+ Với a ≠ 0 có tiệm cận xiên.
* Tiệm cận đứng: Phương trình tiệm cận đứng (nếu có) là x = x 0 trong đó
x0 là nghiệm của mẫu.
* Đối với hàm phân thức mà miền xác định là R thì đồ thị khơng có tiệm
cận đứng.
Qua nhiều ví dụ thực hành, cho học sinh bài tập tương tự để các em thành
thạo các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

10


4. Ba đường conic
Tôi hướng dẫn học sinh làm bảng tổng kết về ba đường Cơ níc, giúp học
sinh rất dễ nhớ lý thuyết.
Elip

Hypepol

Parabol
y

∆

Hình
vẽ

−

Định
nghĩa

PTC
T

(E) = {M MF + MF' = 2a}

(H) = {M MF + MF' = 2a}

FF' = 2c (c < a): Tiêu cự

FF' = 2c (c > a): Tiêu cự

F(c; 0), F'(-c; 0): Tiêu điểm

F(c; 0), F'(-c; 0): Tiêu điểm

x 2 y2
+
=1
a 2 b2

c 2 = a 2 − b 2 (a > b)

x 2 y2
−
=1
a 2 b2
c 2 = a 2 + b 2 (c > a )

p
2

O

p

F ( 2 ;0)

(P) = {M MF = MH}
F(

p
; 0) : Tiêu điểm
2

∆: x = −

p
: Đường chuẩn
2

y2 = 2px
p: Tham số tiêu.

Trục
đối

Ox, Oy

Ox, Oy

Ox

đối

O (0 ; 0)

O (0 ; 0)

Khơng có

xứng
Đỉnh

A (a; 0) , A' (-a; 0)

A (a; 0) , A' (-a; 0)

O (0 ; 0)

xứng

Tâm

B (0; b) , B' (0; -b)
Tiệm
cận
Tâm
sai
e

Khơng có
e=

c
a

(

Tiêu cự
)<1
Trục lớn

y=

±

b
x
a

Khơng có

Tiêu
cựTrục thực

=

c
(
a

)>1
Bán

e=
MF = a - ex

MF
=1
MH

M ∈ nhánh phải
11

MF = x +

p
2

x

kính
qua
tiêu
PT
tiếp

MF = ex - a, MF' = ex + a
M ∈ nhánh trái

MF' = a + ex

MF = a - ex, MF' = -a - ex
x 0 x y0 y
+ 2 =1
a2
y

x 0 x y0 y
− 2 =1
a2
y

y0y = p (x + x0)

tuyến

y ∆

O

p
2

y2 = -2px

0

x

x

x2 = 2py (p > 0)
y

F'

x2 = - 2py ( p > 0)

12

x


Về phần bài tập tôi lựa chọn và phân ra từng dạng để học sinh dễ dàng
nhận ra dạng toán giúp cho việc giải tốn được nhanh chóng và chính xác.
Ví dụ: Một số bài tốn viết PTCT của (E)
a) Biết toạ độ một tiêu điểm (biết c) và một yếu tố khác:
+ Độ dài trục lớn (a):

b2 = a2 - c2

+ Độ dài trục bé (b):

a2 = b2 + c2

+ Biết tâm sai (e):

e=

+ Biết một điểm:

M0(x0; y0):

Thay vào phương trình:

 x 02 y02
 2+ 2=1
a b
 b2 = a 2 − c2


c
c
⇒a =
a
e

(I)

Giải (I) tìm a2 và b2.
b) Viết phương trình Elip biết (E) đi qua hai điểm M(x 1; y1) và N(x2; y2)

 x12
 2 +
a
 2
 x2 +
 a 2

M, N ∈ (E) nên:

y12
=1
b2
y 22
=1
b2

(II)

Giải (II) tìm a2 và b2.
Áp dụng: Viết PTCT của (E) qua M (1;0) và N (

1 0
 a 2 + b 2 = 1
⇒
M, N ∈ ( E ) nên: 
3 1
 + =1

 4a 2 b2

 a 2 = 1
 2
 b = 4

Vì a2 < b2 nên khơng có PTCT.
(E) vẫn có phương trình là:

x 2 y2
+
= 1.
1
4

13

3
;1 )
2


F. Kết quả thực nghiệm.
Qua thực tế giảng dạy và kết quả thu được tôi khẳng định:
Trên cơ sở thực tiễn việc đổi mới phương pháp và nội dung giảng dạy
mơn Tốn cho học sinh lớp 12 học yếu mơn Tốn là hợp lý và thu được kết
quả tốt, tơi đã thực hiện thành công mục tiêu đề ra: Tận dụng, phát huy
được trí tuệ của học sinh, tạo điều kiện cho giáo viên cung cấp thêm kiến
thức mới cần thiết nhằm bổ sung kiến thức cho học sinh thêm phong phú.
Kết quả về điểm số là khả quan trên cơ sở đặt tỷ lệ đó vào mối tương

quan với chất lượng các lớp thực nghiệm và các lớp vẫn dạy theo phương
pháp truyền thống. Học sinh đã bắt đầu nắm vững kiến thức, có kỹ năng
biến đổi chuyển hố một số bài tốn thành thạo, có hứng thú, say sưa học
toán.
Bên cạnh một số bài tập cơ bản phù hợp với đa số đối tượng học sinh,
cũng có những bài tập địi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy cao, phải
tích luỹ được nhiều kinh nghiệm. Từ đó, khuyến khích lịng hăng say tìm
tịi giải bài tập của một nhóm học sinh có nhận thức khá. Học sinh đã nhận
thức được bài toán tổng quát từ bài tốn đã giải, để giúp học sinh có cái
nhìn tổng quát, đồng thời rèn một số thao tác tư duy đó là khái qt hố.
Trên cơ sở đó bước đầu giúp học sinh thoát khỏi kiểu tư duy cụ thể để đạt
tới đỉnh cao của sự trừu tượng và khái quát.
Kết quả cụ thể:
Lớp 12A7 dạy theo phương pháp thông thường.
Xếp loại
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

Đầu năm

0

5/43

21/43

17/43

0

Cuối năm

0

5/43

23/43

15/43

0

Lớp 12A3 dạy thực nghiệm.
14


Xếp loại
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

Đầu năm

0

4/45

18/45

23/45

0

Cuối năm

1/45

9/45

25/45

10/45

0

Tuy nhiên việc nghiên cứu, áp dụng ở mức độ ban đầu nên kết quả còn
nhiều hạn chế. Đòi hỏi phải tiếp tục đầu tư thời gian và trí tuệ trong một thời

gian dài để hồn thành tốt việc giảng dạy phần kiến thức này cho học sinh.
Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá
nhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn
chế, khiếm khuyết. Vậy, rất mong được Hội đồng xét duyệt góp ý để kinh
nghiệm giảng dạy của chúng tơi ngày càng phong phú và hữu hiệu hơn.

Thái Nguyên, Ngày 05 tháng 6 năm 2007
Người thực hiện đề tài

Phạm Thu Thuỷ

15


Nhận xét đánh giá của tổ chuyên môn
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................

Nhận xét đánh giá của nhà trường
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................

16


..............................................................................................................................................................................................................

y

17