Tích phân (GV Nguyễn Vũ Minh)

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
1
Chủ đề 1 : NGUYÊN HÀM ( TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH )
1) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) ……………….
⇔
2) Họ nguyên hàm :
f(x).dx F(x) C
=
+
∫
, với C là hằng số
3) Bảng nguyên hàm :
Hàm cơ bản : Hàm chứa (ax + b)
dx x C=+
∫



α 1
α
x
x.dx C
α 1
+
=+
+
∫

()
α 1

α
1(ax b)
ax b dx C
a α 1
+
+
+
=+
+
∫

dx
ln x C
x
=+
∫

dx 1
ln ax b C
ax b a
=
++
+
∫

2
dx 1
xx
C=− +
∫

2
dx 1 1
.C
(ax b) a ax b
=
−+
++
∫

dx
2x C
x
=+
∫

dx 2
ax b C
a
ax b
=
++
+
∫

x
x
a
adx C
lna

=+
∫

ax b
ax b
1a
adx
alna
+
+
C
=
+
∫

xx
edx e C=+
∫

ax b ax b
1
edx e C
a
++
=
+
∫

sinx.dx cosx C=− +
∫

1
sin(ax b).dx cos(ax b) C
a
+
=− + +
∫

cosx.dx sinx C=+
∫

1
cos(ax b).dx sin(ax b) C
a
+
=+
∫
+

2
dx
tanx C
cos x
=+
∫

2
dx 1
tan(ax b) C
cos (ax b) a

=
++
+
∫

2
dx
cotx C
sin x
=− +
∫

2
dx 1
cot(ax b) C
sin (ax b) a
=
−+
+
∫
+

22
dx 1 x a
ln C
xa 2axa
−
=+
−+
∫

nn1
dx 1
C
x(n1)x
−
−
=+
−
∫

nn1
dx 1 1
C
(ax b) a (n 1)(ax b)
−
=
−+
+−+
∫
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
2
4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy
thừy, chia đa thức
…

Căn thức thành lũy thừa :
m

m
n
mn
n
nn
1x
xx; x; x
xx
mn
−
−
===

5) Công thức thường dùng :

2
2
1 cos2u
cos u
2
1cos2u
sin u
2
+
=
−
=

2
2

2
2
1
1tanu
cos u
1
1cotu
sin u
=+
=+
3
3
3cosu cos3u
cos u
4
3sinu sin3u
sin u
4
+
=
−
=

22
2
2
sin2u 2sinu.cosu
cos2u cos u sin u
cos2u 2cos u 1
cos2u 1 2sin u
=
=−
=−
=−
VD1 : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:
a/ ; b/
2
f(x) (2x 1)=+
3
2
f(x) (tan x cot x)=+
c/
3
2
2x 5x 2
f(x)
x
−+
=
; d/
2x x
x

e3e
f(x)
e1
2
−
+
=
−

GIẢI
a/ , suy ra:
642
f(x) 8x 12x 6x 1=+ ++
642
f(x) 8xdx 12xdx 6xdx 1dx=+ ++
∫
∫∫∫

753
812
xx2xx
75
=+ +++C

b/
22
22
11
f(x) tan x cot x 2 1 1 2
cos x sin x

⎛⎞⎛⎞
⎟
⎠
= + += −+ −+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝

22
11
cos x sin x
=+

Suy ra:
22
11
f(x)dx dx dx tan x cot x C
cos x sin x
=+=−
∫∫ ∫
+

c/
2
52
f(x) 2x .
xx
=−+
suy ra:
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :

3

22
12
f(x)dx 2 xdx 5 dx 2 x dx x 5ln x C
xx
−
=− + =−−+
∫∫∫∫

d/
2x x x x x x
xx
e e 2(e 1) e (e 1) 2(e 1)
f(x)
e1 e1
−− − −− −
==
−−
xx
x
x
(e 1)(e 2)
e2
e1
−−
=
=−
−

Suy ra:
xx
f(x)dx e dx 2dx e 2x C=−=−+
∫∫∫
BT1 : tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1/
52
1
f(x) x 3x 5
x
=+ −−
2/
543
3792
f(x)
xxxx
=+−+
2
0

3/
57
2
x4x2x87x
f(x)
x
+−+−
=
9
4/

3
4
f(x) x x 4 x=++

5/
f(x) ( x 1)(x x 1)=+−+
6/
x
xx
2
e
f(x) e (7 3e )
cos x
−
−
=−+

7/ (soạn)
x
x
2
e
f(x) e 2
sin x
−
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
(

)
xx2x1
f(x) 2 3 .2
−
=+
8/
9/
7
f(x) 2sinx 3cosx
x
=−+
2
f(x) (2tanx cotx)=+
10/
22
f(x) tan x 3cot x=−
22
1
f(x)
sin x.cos x
=
11/ 12/
Bài soạn : tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1/ 2/
()
(
2
5
f(x) x 3x x 1=− −
)

f(x) 3sinx 7cosx
=
−

3/
15 4 6
3
3x 7x 2x 8 10x
f(x)
x
+−+−
=
4/
x3
f(x) 2 x 3e 4sin x 8 / x=−+ −

5/
22
6
f(x)
sin x.cos x
=
6/
xx
f(x) e (5 3e )
−
=+
7/
; 8/ ; 9/
32

f(x) x 3x 4x 3=− ++
2
f(x) 2x(x 3x)=+
2
xx
f(x) 4sin cos
22
=

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
4
10/ ; 11/
x
f(x) 2sin x 3cos x 5e=++
2
f(x) tan x 3
=
−
12/
2
1
f(x) (2 )
x
=−

13/
3
(x 2)
f(x)

x
−
=
; 14/
2x 1 3x 2
f(x) 2 .3
+
+
=
15/
x2
f(x) (3 2)=−
VD2 : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:
a/ ; b/
3
f(x) (2x 1)=+
(
)
f(x) cos 3x 2
=
−

c/
2
f(x)
7x 1
=
+
; d/
x

f(x) e
−
=
e/
10
f(x) (7 3x)=−

Giải : a/ sử dụng công thức
()
α 1
α
1(ax b)
ax b dx C
a α 1
+
+
+
=+
+
∫


4
3
1(2x 1)
f(x)dx (2x 1) dx . C
24
+
=+= +
∫∫

b/ sử dụng công thức
1
cos(ax b).dx sin(ax b) C
a
+
=+
∫
+


() ()
1
f(x)dx cos 3x 2 dx .sin 3x 2 C
3
=−= −
∫∫
+

c/ sử dụng công thức
dx 1
ln ax b C
ax b a
=+
+
∫
+


2dx2

f(x)dx dx 2 .ln 3x 2 C
7x 1 7x 1 7
===−
++
∫∫ ∫
+

d/ sử dụng công thức
ax b ax b
1
edx e
a
++
C
=
+
∫

xxx
1
f(x)dx e dx e C e C
1
−−−
==+=−
−
∫∫
+
( chú ý hệ số a trong bài này là -1 )
e/ giống bài a/
11

10
1(73x)
f(x)dx (7 3x) dx . C
311
−
=− = +
−
∫∫

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
5
BT2 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau ( sử dụng ……………… )
1/ ; 2 / ; 3/ ; 4/
2
f(x) sin x=
2
f(x) sin 7x=
2
f(x) cos 4 x=
4
f(x) cos x=
5/ ; 6/ ; 7 /
4
f(x) sin 2 x=
2
f(x) 7sin x.cos x=
2
f(x) sin 2 x.cos x=
8/ ; 9 /

f(x) sin 4 x.sin 6x= f(x) cos 6x.cos 2 x
=
; 10 /
(
)
f(x) cosx. 3 cosx=+

11 /
(
)
f(x) cosx. sin 3x sinx=+
; 12 /
32
x3x6x
f(x)
x1
5
+
−+
=
+
;
13/
1
f(x)
x9 x
=
+−
; 14/
2

3x 6x 5
f(x)
2x 1
−
+
=
+

14/
2
3
f(x)
π
cos 2x
4
=
⎛
+
⎜⎟
⎝⎠
⎞
; 15 /
6x 5
f(x)
2x 5
−
+
=
−

16/
(HV Quan Hệ Quốc Tế - 1997)
(
)
(
)
44 66
f(x) sin x cos x . sin x cos x=+ +

17/
(ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối A)
42
2
xx
f(x)
xx1
1
+
+
=
+
+

18/
(ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối D)
42
2
x2x2x
f(x)
xx1

+
++
=
++

19/
(ĐH Ngoại Thương – 2000 - Khối D)
cos2x
f(x)
sinx cosx
=
+

20/ ; 21/
44
f(x) cos x sin x=−
2
x1
f(x)
x2
−
⎛⎞
=
⎜
+
⎝
⎟
⎠

22/

f(x) cos5x.cos 2x.sinx=
VD3 : a/ Tìm A, B sao cho
2
3x 7 A B
x 4x3 x1x3
+
=+
++ + +
( )
x1;≠− 3
b/ Tính
2
3x 7
Id
x4x3
+
=
++
∫
x

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
6
Giải :a/
()(
2
3x 7 A B
3x 7 A x 3 B x 1
x4x3x1x3

+
=+⇔+=+++
++ + +
)
()
AB3 A2
3x 7 A B .x 3A B
3A B 7 B 1

+
==
⎧⎧
⇔+=+ ++⇔ ⇔
⎨⎨
+
==
⎩⎩

2
3x 7 2 1
I dx dx 2ln x
x 4x3 x1x3
+
⎛⎞
==+=
⎜⎟
++ + +
⎝⎠
∫∫
1 ln x 3 C++++

b/
BT4 : Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp ……………… )
2
3x 4
Adx
x4x5
+
=
+−
∫
;
2
x7
Bd
x8x9
x
+
=
+−
∫
;
2
1
Cd
xx2
=
−−
∫
x
)

(
dx
D
xx 1
=
+
∫
;
()()()
2
x1
Ed
x2x2x3
−
=
+−−
∫
x
;
2
x
Fd
xx6
−
=
+−
∫
x
;

2
3
Gdx
x7x12
=
++
∫
;
2
8
Fd
x10x9
−
=
++
∫
x
x

VD4 : Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp đổi biến số )
a/ ; b/
sinx
Ae.cosxd=
∫
2
2x 4
Bd
x4x5
x
+

=
+−
∫

c/
5
ln x
C
x
=
∫
dx
; d/
x
x
e
Dd
e1
=
+
∫
x

Giải : a/ ; đặt
sinx
Ae.cosxd=
∫
x
t sinx dt cosxdx
=

⇒=

Vậy
tt sinx
Ae.dteCe==+=+
∫
C
b/
2
2x 4
Bdx
x4x5
+
=
+−
∫
Đặt
(
)
2
tx 4x5 dt 2x4dx=+−⇒= +

Vậy
2
dt
B lnt C lnx 4x 5 C
t
==+= +−+
∫

c/
5
ln x
Cd
x
=
∫
x
; đặt
dx
tlnx dt
x
=⇒=

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
7
Vậy
66
5
tlnx
Ct.dt C
66
==+=+
∫
C

d/
x
x

e
Dd
e1
=
+
∫
x
; đặt
xx
te 1 dtedx=+⇒=
x
dt
DlntClne1C
t
==+= ++
∫
Vậy :
CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ CẦN NHỚ
Dạng Tích Phân Cách Giải
f(x)
.d x
g
(x)
∫

+ Nếu bậc tử bậc mẫu ta
chia đa thức
≥

+ Nếu bậc tử

<
bậc mẫu ta xem tử có phải là đạo hàm
của mẫu hay ko ? nếu có đặt t = mẫu số

+ Nếu ko có 2 trường hợp này ta sẽ làm theo dạng
khác sẽ trình bày ở phần khác
n
dx
∫

Đặt
n
t
n
t =⇒=
sau đó lấy đạo hàm 2 vế
dx
f(lnx).
x
∫

Đặt
dx
tlnxC dt
x
=+⇒=

f(cosx).sinxdx
∫

f(sinx).cosxdx
∫

2
dx
f(tanx)
cos x
∫

2
dx
f(cotx)
sin x
∫

Đặt
cos sintxCdt x=+⇒=−dx
dx
Đặt
sin costxCdt x=+⇒=
Đặt
2
tan
cos
dx
txCdt
x
=+⇒=

Đặt

2
cot
sin
dx
txCdt
x
=+⇒=−

xx
f(e ).e dx
∫
Đặt
xx
te C dtedx=+⇒=
nn
sin x cos x
dx dx
,
∫∫

với n chẵn
Đưa về
242 2 4 2
11 1 1 1 1
. , .
sin sin sin cos cos cos
nn n n
dx dx
x
xxx

−− − −
∫∫
x

Và Đặt
2
tan
cos
dx
txCdt
x
=+⇒=

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Email :
8
n
sin xdx
∫
hay
n
cos xdx
∫

với n
chẵn
Dùng công thức hạ bậc
22
1 cos2u 1 cos2u
cos u ; sin u

22
+
−
==

n
sin xdx
∫
hay
n
cos xdx
∫

với n
lẽ
Tách , đặt t = cosx
nn1
sin xdx sin x.sinxdx
−
=
∫∫

nn1
cos xdx cos x.cosxdx
−
=
∫∫
, đặt t = sinx
2
Ax B

dx
ax bx c
+
++
∫
2


+ Nếu mẫu có 2 nghiệm , ta đưa về
1
x, x
12
Ax B
dx
a(x x )(x x )
+
−−
∫

Sau đó dùng pp hệ số bất định
+ Nếu mẫu có nghiệm kép ,
0
x
ta đưa về
2
0
Ax B
dx
a(x x )
+

−
∫


+ Nếu mẫu vô nghiệm ,đưa về

22
Ax B
dx
XD
+
+
∫
và đặt X = D.tant
t;
22
π
π
⎛⎞
∈−
⎜⎟
⎝⎠


1/
2
R(x, x )a −
thì đặt x = sint
2/
2

R(x, x )a +
thì đặt x = atant
Đt : 0914.449.230
BT5: Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp ………………… )

212
Ax(2x)d=−
∫
x
2
xdx
B
x1
=
∫

+

C14sinx.cosx.d=+
∫
x

2
Dx.x1.d=+x
∫


3
4
Ex.1x.d=−

∫
x

dx
F
2x. 2 ln x
=
+
∫

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
9
x
x
e.dx
G
1e
=
+
∫

2
11x
Hln
1x 1x
+
⎛⎞
=
⎜⎟

−−
⎝⎠
∫
.dx

x1
I
3x 1
+
=
+
∫
dx

2
3
xdx
J
2x e
=
+
∫

53
Kx2x.d=−
∫
x

23lnx
Ld

x
+
=
∫
x

2
cos x
P
sin x
=
∫
dx

cot x
2
e
Q
sin x
=
∫
.dx
x

74 5
R2x.(x1).d=−
∫

xdx
O

2x 1
=
+
∫

3
xdx
M
(2x 1)
=
+
∫

5
N
cos xdx=
∫

tanx
2
e
W
cos x
=
∫
dx
)

(
1

Sd
x. 4lnx 7
=
+
∫
x
x

3
Tsinxd=
∫

3
dx
V
x5
=
−
∫

BT6: Tính các nguyên hàm sau :
A cot x.dx=
∫

B tanx.dx=
∫

()
2
2

C 2 sin x .sin2x.dx=−
∫

()
4
2
sin2x
D
3cosx
=
+
∫
.dx
;
sinx cosx
E
sinx cosx
−
=
+
∫
.dx

(
)
44
F cos x sin x .cos 2x.dx=+
∫

()

66
G 4 cos x sin x .cos 2x.dx=+
∫

5
1
H.
tan x
=
∫
dx

x
1
K.
e1
=
+
∫
dx

5
7
sin x
L.
cos x
=
∫
dx

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
10
3
2
sin x
M.dx
cos x
=
∫∫

22
4
3sin2
N
.d x
cos x 5sin x
x
=
+
∫

BT7: Tính các nguyên hàm sau :
10
x
A
x1
=
+
∫

.dx
(HV CNBCVT – 1999)
x
dx
B
e4e
−
=
−
∫
x
(ĐHQG Hà Nội – 1999)
4
C 6sin 2x.cos xdx=
∫
(ĐH Thủy Lợi– 2001)
VD5 : Tìm một nguyên hàm của hàm số , biết
2
f(x) tan x=
π
F( ) 0
4
=

Giải :
2
2
1
f(x)dx tan xdx 1 dx tan x x C F(x)
cos x

⎛⎞
==−=−+=
⎜⎟
⎝⎠
∫∫ ∫


πππ π π
F( ) tan C 1 C 0 C 1
444 4 4
=−+=−+=⇔=−

Vậy
π
F(x) tan x x 1
4
=
−+ −

BT8: Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau
a/
32
2
x3x3x
f(x)
x2x1
++−
=
++
1

biết
F(1) 1/ 3
=
(TN THPT – 2003)
b/ biết
f(x) x sin x=+
π 22
F( )
43
=

c/ biết
2x 1
f(x) e cos 2x 3
−
=+ +
3
F(0)
e
=

d/
2
12x
f(x)
x
+
=
biết
F( 1) 3−=

e/ biết
()
f(x) cos x. 2 3tan x=−
F(π)1
=

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
11
Chủ đề 2 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)==−
∫
1) Định nghĩa :

với là dấu tích phân ; a là ………… ; b là ……………
∫
VD :
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

2) Tính chất của tích phân :

a
a
ab

ba
1) f(x)dx 0
2) f(x).dx f(x).dx
=
=−
∫
∫∫
b
a
aa
∫

[]
bb
aa
bb
3) f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
4) k.f(x)dx k f(x)dx
±= ±
=
∫∫
∫∫
5) nếu thì
c[a; b]∈
bcb
aac
f(x)dx f(x)dx f(x)dx=+
∫∫∫
(
b

a
f(x)dx 0≥
∫
công thức Sac-Lơ)
6) nếu liên tục trên đọan
[a;
và thì
f(x)
b]
f(x) 0≥
7) nếu thì ( A, B là h
A f(x) B≤≤
bb b
aa a
A.dx f(x).dx B.dx≤≤
∫∫ ∫
ằ
ng s
ố
)
BT9: Tính các tích phân sau đây :
()
1
2
0
Ax.2x1d=−
∫
x x

()

ln 2
xx
0
Be.3e5d
−
=−
∫
()
x
2
x
1
1x.e x
Cd
x.e
+−
=
∫
x

π
4
π
6
D cos4x.cos3x.dx=
∫

π
6
π

4
E sin3x.sinx.dx
−
=
∫

π
4
2
0
Fsinxd=
∫
x

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
12
()
π
4
2
0
G4tanx3cosxd=−
∫
x

2
2
0
3x x 1

Hdx
x1
−−
=
+
∫

1
4
2
2
0
x
K
x1
=
−
∫
dx
(ĐHQG – 97)
1
2
0
4x 11
Ld
x5x6
+
=
++
∫

x

1
3
2
0
x
Mdx
x2x1
=
++
∫

π
2
π
4
O cos 2x.sin 3x.dx=
∫

π
3
2
0
2
N
(2sin x 3cos x )dx
cos x
=+−
∫

π
2
2
0
π
Psinx(2x )d
4
=−
∫
x

π
4
4
0
Q cos 2x.dx=
∫

2
3
2
0
x3x2
R.
x3x2
++
=
++
∫

dx

3
2
3
2
x23
I.
xx
x++
=
−
∫
dx

1
2
0
3x 2
J.d
x5x6
+
=
−−
∫
x

4
1
2

3
dx
I
x3x2
=
−
+
∫

1
3
2
2
2
0
x1
I
x1
−
=
−
∫
.dx

1
3
2
0
2xdx
I

x4
=
−
∫

2
4
0
Isin x.d
4
π
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∫
x

π
2
3
5
2
π
4
3cotx
I.
cos x
−

=
∫
dx

1
6
2
0
x(x 1)
I
x4
−
=
−
∫
.dx x
(Dự Bị D – 2007)
π
2
7
0
Isin2xcosx.d=
∫
π
3
2
8
0
4sin x
I.

1cosx
=
+
∫
dx2=
(ĐH Đà Nẵng – 1998)
(Soạn)
3
42
9
2
1
x2x6 381
I.dx
x4 325
−−
==
−
∫
3
ln+

(Soạn)
π
2
2
10
0
π
I cos x.dx

4
=
∫
=
(ĐH Bách Khoa – 1994)
(Soạn)

π
2
4
11
0
3π
I sin x.dx
16
=
∫
=
(ĐH Hùng Vương – 1997)
(Soạn)

π
3
12
0
3
Isin5x.cosxdx
16
==
∫

và
π
3
13
π
6
3
I sin 5x.cos3xdx
16
==
∫

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
13
BT10: Tính các tích phân sau đây :
1
32
1
2
Ixx2xd
−
=+−
∫
x

2
2
2
0

Ix
(D – 2003)
xdx=−
∫
(
2
2
3
0
I3x5x1x=++−
∫
)
dx

3
2
4
4
71
Ix4dx
3
−
=−=
∫

2
2
5
2
56

Ix4x3dx
3
−
=−+=
∫
(HVCN BCVT – 1998)
4
2
6
1
5
I x 6x 9.dx
2
=−+=
∫

()
2
7
2
I 2 x .dx 12
−
+=
∫
=

2
32
8
1

37
I2xx2.dx
12
x
−
=−−+ =
∫
(ĐH SP Tp.HCM – 1999)
π
9
0
I1cos2x.dx2=+ =
∫
2
(ĐH KTCN – 1999)
3) Phương pháp đổi biến số cơ bản cần nhớ :

ta đặt
β
α
I f(u(x)).u'(x)dx=
∫
tu(x) dtu'(x).dx=⇒=

Sau đó đổi cận
Suy ra sau đó giải bình thường bằng công thức tích phân cơ bản
u(β)
u(α)
I f(t).dt=
∫

t
u
(
α
)

u
(
β)
x
α
β
VD6 : Tính các tích phân :
1
536
0
Ix(1x)d=−
∫
x

3
2
0
4x
Jdx
x1
=
+
∫

π
4
2
0
tanxdx
K
cos x
=
∫

π
2
0
cosx.dx
L
1sinx
=
+
∫

Giải : ☺ a/ Viết lại I dưới dạng:
1
3362
0
Ix(1x)xd=−
∫
x
Đặt t =
1
suy ra

3
x−
2
dt 3x dx=−
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
14
Đổi cận: + x = 0 thì t = 1 + x = 1 thì t = 0
Khi đó:
1
011
666778
100
0
111 111
I(1t)tdt(1t)tdt(tt)dttt
3 3 3 3 7 8 168
⎛⎞
=−−=−= −= − =
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
1


☺ b/
3
2
0
4x

Jd
x1
=
+
∫
x
Đặt u =
2
x1
+

suy ra:
22
u x 1 2udu 2xdx udu xdx=+⇒ = ⇔ =
Đổi cận: + Với x = 0 thì u = 1 + Với
x= 3
thì u = 2
Từ đó:
2
322
2
011
1
4x udu
J dx4 4du4u 4
u
x1
====
+
∫∫∫

=


☺ c/
π
4
2
0
tanxdx
K
cos x
=
∫
Đặt u = tanx suy ra
2
dx
du
cos x
=

Đổi cận: + x = 0 thì u = 0 + x =
4
π
thì u = 1
Từ đó:
π
1
1
4
2

2
0
00
tanxdx 1 1
K udu u
cos x 2 2
===
∫∫
=

☺d/
π
2
0
cosx.dx
L
1sinx
=
+
∫
Đặt u = sinx, suy ra du = cosx.dx
Đổi cận: + Với x = 0 thì u = 0 + Với
x
2
π
=
thì u = 1
Từ đó:
π
1

2
1
0
00
cosx.dx du
Lln1uln2
1sinx 1u
===+=−=
++
∫∫
ln1ln2

BT11: Tính các tích phân sau đây :
1
210
1
0
I (1 3x)(1 2x 3x ) dx=+ ++
∫

1
32
2
0
2
Ix.1xdx
15
=−=
∫
(ĐH Ngoại Thương – 96)

π
2
3
0
cos x
I
1sinx
=
+
∫
dx
x
(CĐ Marketing – 97)
1
19
4
0
Ix(1x)d=−
∫
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
15

1
5
5
2
0
x

Id
x1
=
+
∫
x

23
6
2
5
dx 1 5
I
43
xx 4
==
+
∫
ln
(A – 2003)
7
3
7
3
2
0
xdx
I
1x
=

+
∫


1
8
0
Ix1xd=−
∫
x

4
3
2
9
3
2
x4
I
x
−
=
∫
dx

2
3
10
2
1

dx
I
xx 1
=
−
∫

π
3
12
2
π
6
cosxdx
I
sin x 5sin x 6
=
−+
∫
3
11
3
1
2
x1
Id
5
2x 2
−
=

+
∫
2
x=
( Dự Bị A – 2008)
π
3
3
13
0
sin xdx
I
cos x 2
=
+
∫

π
2
14
2
0
cosx
Id
11 7sin x - cos x
=
−
∫
x

ln 2
15
x
0
dx
I
e1
=
+
∫

1
x
16
0
Ied=
∫
x

ln 2
2x x
17
2x x
0
e3e
Idx
e3e3
+
=
++

∫

1
18
42
0
xdx
I
x4x
=
++
∫
3

1
2
19
0
x1
Id
x1
−
=
+
∫
x

7
3
20

3
2
0
x
I
1x
=
+
∫
dx

3
53
21
2
0
x2x
Id
x1
+
=
+
∫
x

1
22
0
x
I

2x 1
=
+
∫
dx
(ĐHQG – 1998)
2π
3
23
π
2
dx
I
sinx
=
∫

π
2
23
24
0
Isin2x(1sinx)=+
∫
dx

π
2
44
25

0
I cos2x(cos x sin x)dx=+
∫

π
2
3
26
0
2
Icosxdx
3
=
∫
=
(ĐH KTCN – 1999)
π
2
23
27
0
2
Isinx.cosxdx
15
=
∫
=
(ĐHQG – 1998)
π
2

5
28
0
8
Isinxdx
15
==
∫

BT12: Tính các tích phân sau đây :
ln5
xx
ln3
dx
A
e2e
−
=
+−
∫
3
(B – 2006)
1
x
x
0
e
B
1e
−

−
=
+
∫
dx
(ĐHQG – 1996)
ln8
x2x
ln3
1076
Ce1.e.dx
15
=+ =
∫
(Dự Bị D – 2004)
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
16
3
2
x
1
dx
Dln(1)2
e1
ee==++−
−
∫
(D – 2009) (D – 2009)
1

2x 2x
x
0
xe2x.e 1112
Edx
12e 3 2 3
++ +
==+
+
∫
e
.ln
(A – 2010)
π
2
32
0
8 π
F(cos 1)cos.dx
15 4
xx=− =
∫
−
(A – 2009)
π
2
0
sin2x sin x 34
G.
27

13cosx
+
=
+
∫
dx=
(A – 2005)
π
2
0
sin2x.cosx
Hdx2
1cosx
==
+
∫
ln21−
(B – 2005)
e
1
1 3ln x.ln x 116
K
x 135
+
==
∫
dx
(B – 2004)
e
1

32lnx 10211
Ldx
3
x 1 2lnx
−−
==
++
∫
(Dự Bị B – 2006)
π
2
0
sin2xdx 1
H
34sinxcos2x 2
==
+−
∫
ln2−
(Dự Bị A – 2008)
()
1
3
42
0
x1
K dx 2ln3 3ln 2
x3x2 2
==
++

∫
−
(D – 2012)
Soạn :
(
2
1
x
1
dx
Iln
)
e
1e
−
==+
−
∫
1
;
1
2
x
0
dx 1 5e
Il
4e 4 e4
==n
+
+

∫

2
2x
2
3
x2
0
edx 2
Iln
e1 e1
== +
++
∫
e1−
(ĐH Văn Lang – 1996)
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
17
BT13: Tính các tích phân sau đây :
π
2
22
Idx
3
cos x 4sin x
==
+
∫ (Đ
0

sin2x 2
H Khối A – 2006) 1/
π
4
0
xsinx (x 1)cosx 2 2
ln()
ππ
++
(ĐH Kh
Idx
xsinx cosx 4 8 2
++
==
+
∫ ối A – 2011) 2/
4
0
4x 1 34 3
Idx
35
2x 1 2
−
==
++
∫
10ln+
(ĐH Khối D – 2011)
3/
3

0
x8
Idx
3
x1
==
+
∫
(CĐ – 2011) 4/
()
32
e
1
x1lnx2x1
e
Idxln
2
2xlnx 2
+++
+
==
+
∫
(Thi Thử A,A1 – 2012) 5/
()
6/
1
42
2
1

3
6x 3
I ln 3x x 2lnx dx
3x 1
⎡⎤
=+−=
⎣⎦
+
∫
)
2
ln 2
2
(Thi Thử D – 2012
7/
e
2
1
lnx 3 1
Idxln
x(2 lnx) 2 3
⎛⎞
==−
⎜⎟
+
⎝⎠
∫
(ĐH Khối B – 2010)
8/
1

0
2x 1
Idx23ln2
x1
−
==−
+
∫
(CĐ – 2010)
e
3
2
3
7ln 2

2
1
log x
4
Idx
2
x. 1 3ln x
==
+
∫
9/
3
1
x3
Idx

3x 1 x 3
−
−
==
++ +
∫
10/
6ln38−
(CĐ Xây Dựng – 2005)
ập Làm Thêm
Bài T
1/
7/3
3
0
3x 1+
x1 46
Idx
15
+
==
∫
2/
7
x 2 141+
3
0
Idx
10
x1

==
+
∫

()
1
3
0
x.dx 1
I
4/
=
−
++ +
∫
6
2
dx 3 1
I=
8
x1
==
+
∫

ln
212
3/
2x 1 4x 1

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
18
Chủ đề 3 : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
oán đưa ra : tính Bài t
bb
aa
I f(x)dx u.dv==
∫∫
ta đặt ( lấy vi phân )
u =⇒du =

dv =⇒v =
( lấy nguyên hàm )

[]
.
a
uv v=−
Sau đó suy ra :
. .
bb
b
aa
udv du
∫∫

Phương pháp :
Ta đặt u = đa thức ( P(x) ) ,lnx, sinx, cosx… ( những hàm dễ lấy đạo hàm)

x
e
inx, cosx……. nguyên hàm dv = ,s
Dạng
().
b
x
Px edx
∫

().sin
b
a
a
P
xxdx
∫

().cos
b
Px xdx
a
∫
().ln
b
Px xdx
∫

.cos
b

x
exdx
∫
a
a

u P(x) P(x) P(x) lnx Cosx
x
edx

sin xdx

cos xdx

()Pxdx

x
edx

dv
VD h các tích ph sau : 7 : Tín ân
π/2
0
∫
Ax.sinx.d=

x
;
x
;

1
x
xe.d
∫
0
B=
π/2
=
0
Cxcosx.d
∫
x
; ;
π/2
2
0
E x sinxdx=
∫

e
1
F lnxdx=
∫

e
1
D x.lnx.dx=
∫
Giải : ☺
x

Đặt:
−
Vậy:

ux dudx
dv sin xdx v cos x
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
==
⎩⎩
π/2
Ax.sinx.d=
∫
0
π/2 π/2 π/2
π/2 π/2
00
0
A udv uv vdu x cos x cos xdx==−=− +
∫∫ ∫


00

π/2
0
cos x 0.cos0 sin x 0 0 sin sin 0 1
22 2

π
ππ
=− + + = + + − =

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
19
1
x
0
Bxe.d=
∫
x
Đặt:
xx
u x du dx
dv e dx v e
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
==
⎩⎩
☺
11
1x1xx1
0 0
00 0
udv u.v v.du xe e dx e 0 e e e 1 1− =− =−−=−+=

∫∫ ∫

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
☺
x
Đặt:
ux dudx
dv cos xdx v sin x
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
==
⎩⎩

1
0
B ==

π/2
0
Cxcosx.d=
∫
π/2
πππ
222
000
0
x sin x x cos x 0.cos0 sin x 1
22

ππ
=+++=−
∫

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
☺
e
1
D x.lnx.dx=
∫
Đặt:
C sin xd=−

2
xdx
x
⎪
1
du dx
ulnx
x
dv
v
2
⎧
=
⎪
=
⎧
⎪

⇒
⎨⎨
=
⎩
=
⎪
⎩

e
222
1
1
xe1x
Dln dxlnln1
22224
e
x
xe=−=−−


e
1
∫


22 2 2
e e 1e 1e
0
244444
1

+
=−−+=+=

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
; Đặt:
x
☺
E =
∫
π/2
2
0
x sinxdx
2
du 2xdx
ux
vcos
dv sinxdx
=
⎧
=
⎧
⇒
⎨⎨
=−
=
⎩
⎩

Nên

π/2 π/2
2 π/2
0
00
E x cos x 2xcosxdx 2x.cosxdx=− + =
∫∫

Tính Đặt:
in
π/2
0
2xcosxdx
∫
u2x du2dx
dv cosxdx v s x
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
==
⎩⎩

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
20
=
⇒
2xc
∫
π/2

0
osxdx
π/2
π/2 π/2
0
sin x
0
0
2x 2 sin xdx 2cosx 2
ππ
−
=+ =−
∫

Vậy:
π
2
2
0
x sinxdx π 2
=
−
∫

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
☺ Đặt:
e
1
F lnxdx=
∫

1
u ln xdx
du dx
x
dv dx
vx
⎪
=
⎩

⎧
=
=
⎧
⎪
⇒
⎨⎨
=
⎩
:
ee
e
11
11
1
F x.lnx
Vậy
e
dx elne 1ln1 d e x e (e 1) 1
x

=− =−−=−=−−=
∫

BT14: Tính các tích phân sau đây :
1/
x
; 2/
x x
∫
1
2x
x.ed
∫
()
π/2
0
π
Ix1.cosxdx
2
2
=
−=
∫
I=
0
−

3/
π/2
0

π
I x.sin2x dx
4
; 4/
==
∫
x

e
1
Ix.lnx.d=
∫
5 /
e
23
1
21
I x .lnx.dx e
99
+
(Dự B 05)
==
∫
ị Khối B – 20
6/
2−
(D – 2004)
()
3
2

2
Ilnxxdx3ln3=−=
∫
7/
π/2
2
2
0
π
Ix.cosxdx
4
==
∫
2−
(D ự Bị Khối D – 2007)
()
1
2
2x
0
53e
Ix2.edx
4
−
=− =
∫
(D – 2006) 8/
()
2
1

5
I x 2 lnxdx ln 4
4
=− =−
∫
( Dự Bị D – 2006) 9/
10/
e
4
32
1
51
Ixlnxdx
32
e −
==
∫
(D – 2007)
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
Đt : 0914.449.230 Email :
21
1
2x
0
5
Ixedx2
e
−
==
∫

11/
−

12/
2
3
1
lnx 3 2 ln 2
I.dx
x1
−
==
∫
6
(D – 2008)
13/
1
2
2x
2
0
xe4
Ix.e .d
37
4x
⎛⎞
x
4
+
−

=−
⎜⎟
−
⎝⎠
∫
(Dự Bị Khối D – 2008)
=

/4
2
0
1
Ix(1sin2x)dx
32 4
π
π
=+ =+
∫
(D – 2012) 14/
3
2
1
1ln(x1) 2 2
Idxln2
x33
++
==−
∫
12)
ln3+

(D – 20
15/

π/2
π/2
x
0
1e
Ie.sinxdx
2
+
==
∫
16*/
17/
()
cos x
0
1
Ie xsinxdxe
e
π
=+ =−+π
∫

18/
2
2
4
2

0
1
Icosxdx
82
π
π
==
∫
−

19/
2
xlnx2
2
1
1
Ie edxeln
x
⎛⎞
=+ = 2
⎜⎟
⎝⎠
∫

+
()
2
67
5
1

5e 1 e 1
Ixlnxxdx
36
+
20/
7
−
=+=+
∫

1+
(Tốt nghiệ HPT – 2006)
dx
21/
p T
()
1
x
0
Ie2x1dxe=+=
∫
22/
(Tốt nghiệp THPT – 2006)
()
π/2
2
0
Ixsinxcosx=+
∫
23/

()
π/2
0
Ix1sin2xdx 1+
(Dự Bị Khối D – 2006)
4
π
=+ =
∫
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
ail :
BT15: Tính các tích phân sau đây ( ………………………… ):
ng pháp :
………………
……………………………………………………………………
Phươ
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
…………………
………………………………………………………………………………………
Đt : 0914.449.230 Em
22
1/
1
dx π
23
dx π
2
I ==
∫ 2/

2
I
0
1x 4+
0
4x 6
=
=
∫
+
16
2
1
dx 6
I π
7 4

x2x
+
==
−+
∫
3/
0
2
1
dx π
I
x2x2
−

==
++
∫
4/
4

5/
1
2
0
dx π 3
I
xx1 9
==
++
∫
1
3
8
0
xdx π
I
x116
==
+
∫
soạn)
6/
1
2

0
dx π 3
I
xx
7/ (
1 6+

==
−
∫
2
2
0
dx π
I
x2x2
==
−+
∫ 8/ (soạn)
2

1
42
0
I3
x4 6
==
∫
dx 1 ππ
x324

⎛⎞
−
⎜⎟
++
⎝⎠
9*/
10*/
()
3
2
0
2x 3 dx
π
I2
x3 4
+
==
+
∫
3+

11*/
()
1
2
0
4x 3 dx
π
I2
x2 x2

−
==−
−+
∫
ln2
4
+

12**/
()
3
2
32
0
2x 8x 10 3 5π
Idx5l3ln2
x x 3x3 2
43
−+
==−−
+++
∫
n1+
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
ail :
3
2
0
dx π 3
I

x3 4
==
+
∫ 14/ (soạn)
BT16: Tính các tích phân sau đây ( ………………………… ):

………………………………………………………………………………………
………………
……………………………………………………………………

Phương pháp :
………………………………………………………………………
…………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Đt : 0914.449.230 Em
23
1/
1
π
1
π 3
2
I1xdx=− =
∫ 2/
2
I4xdx=− =+
∫
0
4

0
32

Chủ đề 4 : DI ẲNG – THỂ TÍCH
+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
ỆN TÍCH HÌNH PH
yf(x)
xa ; xb
=
⎧
⎪
yg(x)
⎪
=
⎨
=
=
⎩


b

hp
a
S f(x) g(x)dx=−
∫

+ Tìm phương trình hoành độ giao điểm của f(x) và g(x)
+ Sau đó ta vẽ đồ thị hoặc xét dấu để bỏ trị tuyệt đối
Chú ý : …………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
a b
x
y
f(x)
g(x)
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍCH PHÂN
ail : Đt : 0914.449.230 Em
24
B


(Dự Bị Khối A – 2006)
2007)

2
yx ; yxcosx ; x0 ; xπ==+ ==
(CĐ – 2007)
(CĐ –

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
2

): y 2x; y x; y 0; y 3====
2
(C):x y 1 0; x y 1 0−+= +−=

3
(C): x y ; y 1 ; x 8===

Tính diện tích hình phẳng giới hạn b i :
T17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
1/
3
(C): y x 3x 2 ; Ox ; x 1; x 2=−+ =− =

2/
3
(C): y x 3x ; (d) : y x=− =

2
(C): y x 1 ; ( ) : x y 3=+ Δ +=
3/
42
(C): y x 2x 1 ; Ox=− + −
4/
42
(C): y 5x 3x 3; Ox; x 0; x 1=++ = =
5/
(C): y x(x 1)(x 2) ; y 0=−− =
6/
2
(C): y x x 3; y 2x 1=−+ =+

7/
(C): y x.lnx ; Ox;x e==
8/
9/
(1 e )x+
(ĐH Khối A –
x
12
(C ): y (1 e)x ; (C ): y=+ =
10/
11/
2008)
2
(P): y x 4x ; (d): y x=− + =
BT18:
(C
1/
2/
(C): y 2y x 0 ; x y 0−+= +=

2
3/
4/
BT19: ở
2
(C): y x 4x 3 ; y x 3=−+ =+
(ĐH Khối A – 2002) (ĐS : 109/6) 1/
2
(C): y x 3x 2 ; y 2=−+ =
2/

3/
2
yx 4x5
y2x4
y4x11
⎧
=−+
⎪
=− +
⎨
⎪
=−
⎩

2
2
x8
yx;y ;y
8x
== =
(ĐS : 21 – 8ln2) 4/