Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Tài liệu bồi dưỡng toán 12 nâng cao

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
68


§1. NGUYÊN HÀM
Số tiết : 2LT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Khái niệm :
• Cho hàm số f xác ñịnh trên K, ở ñó K là một khoảng, một ñoạn hay một nửa khoảng. Hàm số
F ñược gọi là nguyên hàm của f trên K nếu : F
/
(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
• Nếu hàm số f có một nguyên hàm F thì với mọi C∈R hàm số y = F(x) + C cũng là một
nguyên hàm của f.
• Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K ñược kí hiệu là :
( )
f x dx
∫
.
Vậy :
( )
f x dx
∫
= F(x) + C và
(
)
/
( ) ( )
f x dx f x
=

∫
(Với F là một nguyên hàm của f và
( )
f x dx
∫

còn ñược dùng ñể chỉ một nguyên hàm bất kì của f.
2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :

1)
0dx C
=
∫
;
dx
∫
= x + C
2)
x
x dx
1
α + 1
α
=
α+
∫
+ C (
α

≠

−
1)
3)
dx
ln x
x
=
∫
+ C (x ≠ 0)
4) Với k là hằng số khác 0, ta có :
a)
kx
kx
e
e dx C
k
= +
∫
b)
x
x
a
a dx
lna
=
∫
+ C (0 < a ≠ 1)
c)
coskxdx

∫
=
sin
kx
k
+ C d)
sin kxdx
∫
= −
cos
kx
k
+ C
5) a)
2
dx
cos x
∫
= tgx + C b)
2
dx
sin x
∫
= − cotgx + C

3. Tính chất :
a) ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
b) ∫a.f(x)dx = a∫f(x)dx + C (a ≠ 0).
B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

1) ∫4x
4
dx = 4/5.x
5
+ C 2) ∫(x
3
+ 2x
2
– 4)dx = x
4
/4 + 2/3.x
3
– 4x + C
3) ∫(x – 1)(x
4
+ 3x)dx = ∫(x
5
– x
4
+ 3x
2
– 3x)dx
= x
6
/6 – x
5
/5 + x
3
– 3/2.x
2

+ C
4) ∫sin2xdx = −cos2x/2 + C 5) ∫1/x
3
dx = ∫x
−3
dx =
3 1 2
3 1 2
x x
C C
− + −
+ = +
− + −

6)
sin
2
cos 2sin
1
2 2
2
x
x x
dx C
= = +
∫
7)
3
2 2 1
4

2 2 3
x x
dx dx dx x x C
x x
 
+ = + = + +
 
 
 
∫ ∫ ∫

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
69

8)
2
1 cos 2 sin 2
cos
2 2 4
x x x
xdx dx C
+
= = + +
∫ ∫

C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a) x
3

+ x
2
/4 + C b) x
4
/2 – 5/2.x
2
+ 7x + C c) −1/x – x
3
/3 – x/3 + C
d)
1
1
3
3
2
3
1
2
1
3
x
x C
− +
= +
− +
e)
2 2
2
10 10
2 ln10

ln10
x x
C
= +

2. Tìm :
a)
4
3
3
2
2 3
3 4
x x C
+ +
b)
2
2
x C
x
− +
c) 2x – sin2x + C d)
sin 4
2 8
x x
C
+ +

3. Chọn (C)
4. Khẳng ñịnh sau ñúng hay sai ?

Nếu f(x) = (1 −
x
)
/
thì ∫f(x)dx = −
x
+ C
Giải: ðúng. Vì
(
)
/
( ) (1 ) 1
f x dx x dx x C x C
= − = − + = − +
∫ ∫


§2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Số tiết : 2LT + 1BT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Phương pháp ñổi biến số :

[ ( )] '( ) [ ( )]
f u x u x dx F u x C
= +
∫

Trong ñó F là một nguyên hàm bất kì của f.
2. Công thức nguyên hàm từng phần :

( ) '( ) ( ). ( ) ( ) '( )
u x v x dx u x v x v x u x dx
= −
∫ ∫

B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tìm :
1)
4
(2 1)
x dx
+
∫
2)
3
2
2
4
x
dx
x +
∫

3)
os(7 5)
c x dx
+
∫
4)
s inx

.cos
e xdx
∫

Giải:
1) ðặt u = 2x + 1 ⇒ du = u’.dx = 2dx ⇒ dx = du/2, ta ñược :
5 5
4 4
1 (2 1)
(2 1) .
2 2 5 10
du u x
x dx u C
+
+ = = = +
∫ ∫

2) ðặt u = x
2
+ 4 ⇒ du = 2x.dx (không nên suy ngược lại), ta ñược :
1
1
1 2 2
3
2
3 3 3
3
3
2
2 3 3

( 4)
1
2 2
4
1
3
x du u
dx u du u x C
u
x
− +
−
= = = = = + +
+
− +
∫ ∫ ∫

3) ðặt u = 7x + 5 ⇒ du = 7dx ⇒ dx = du/7, ta ñược :
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
70

1 1
os(7 5) cos . sin sin(7 5)
7 7 7
du
c x dx u u x C
+ = = = + +
∫ ∫

4) ðặt u = sinx ⇒ du = cosxdx, ta ñược :
s inx s inx
.cos
u u
e xdx e du e e C
= = = +
∫ ∫

*. Trình bày cho học sinh cách lấy nguyên hàm trực tiếp.
Ví dụ 2: Tìm :
1)
cos
x xdx
∫
2)
ln
xdx
∫
3)
2
3
x
x
e dx
∫

Giải:
1) ðặt
' cos sinx
u x du dx

v x v
 
= =
⇒
 
= =
 
hoặc
cos sinx
u x du dx
dv xdx v
 
= =
⇒
 
= =
 

⇒ cos sin sin x sin cos
x xdx x x dx x x x C
= − = + +
∫ ∫

2) ðặt
1
ln
x
u x
du dx
x

dv dx
v


=
=

⇒
 
=


=

⇒
ln ln ln
xdx x x dx x x x C
= − = − +
∫ ∫

3) ðặt
2
2
2
x
x
du dx
u x
e
dv e dx

v

=

=
 
⇒
 
=
=




⇒
2 2 2
2 2
1 1
.
3 3 2 2 6 2
x x x
x x
x e e e
e dx x dx xe C
   
= − = − +
   
   
∫ ∫

C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
5. Dùng phương pháp ñổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau : ðáp số
a)
1
3
2
6(1 )
x C
− − +
b)
2
5 4
5
x C
+ +

c)
5
2
4
2
(1 )
5
x C
− − +
d)
2
1
C
x

− +
+

6. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau : ðáp số
a)
2 cos 4sin
2 2
x x
x C
− + +
b)
2
sinx 2 cos 2sin
x x x x C
+ − +

c)
x x
xe e C
− +
d)
4 4
ln(2 )
4 16
x x x
C
− +

LUYỆN TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

7. a) ðặt u = 7 – 3x
2
. KQ :
3
2
2
1
(7 3 )
3
x C
− − +

b) ðặt u = 3x + 4. KQ : 1/3.sin(3x + 4) + C
c) ðặt u = 3x + 2. KQ : 1/3.tan(3x + 2) + C
d) ðặt u = sin(x/3). KQ :
6
1
sin
2 3
x
C
 
+
 
 

8. a) ðặt u =
3
1
18

x
−
. KQ :
6
3
1
18
x
C
 
− +
 
 

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
71

b) ðặt u = sin
1
x
 
 
 
. KQ :
2
1 1
sin
2
C

x
 
− +
 
 

c) ðặt
3 2
3
x x
u x du x dx
dv e dx v e
 
= =
 
⇒
 
= =
 
 
. KQ :
3 2
( 3 6 6)
x
e x x x C
− + − +
(từng phần 3 lần)
d) ðặt u =
3 9
x

−
. KQ :
(
)
3 9 3 9
2
3 9.
3
x x
x e e C
− −
− − +

9. a) ðặt
2
2
sin 2
os2
2
du xdx
u x
x
dv c xdx v

=

=
 
⇒
 

= =




. KQ :
2
1 1 1
sin 2 cos2 sin 2
2 2 4
x x x x x C
+ − +

b) ðặt
3
2
1
ln
2
3
du dx
u x
x
dv xdx
v x

=


=

 
⇒
 
=



=


KQ :
3 3
2 2
2 4
ln
3 9
x x x C
− +

c) ðặt u = sinx. KQ :
5
sin
5
x
C
+

d) ðặt u = x
2
. KQ :

2
sin
2
x
C
+


§3. TÍCH PHÂN
Số tiết : 2LT + 1BT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Khái niệm :
Tích phân của hàm số f từ a ñến b (a, b ∈ K) là :

( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
b
a
a
a
f x dx F x F b F a f x dx
= = − =
∫ ∫

Trong ñó F là một nguyên hàm bất kì của f trên K.
Chú ý : ðối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x.
ðịnh lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên ñoạn [a ; b]. Khi ñó diện tích S của hình thang
cong giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai ñt x = a, x = b là :

S =
( )
b
a
f x dx
∫

2. Tính chất của tích phân :
1)
a
a
f(x)dx
∫
= 0 2)
b a
a b
f(x)dx f(x)dx
= −
∫ ∫

3)
b b
a a
k.f(x)dx k f(x)dx
=
∫ ∫
4)
b c b
a a c
f(x)dx f (x)dx f(x)dx

= +
∫ ∫ ∫
với c∈(a; b)
5)
b b b
a a a
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx
± = ±
∫ ∫ ∫

B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau :
1)
5
5
3
3
1 5
ln ln
3
dx x
x
= =
∫
2)
4
2
4
2
2

1
ln 6 ln 2
2
x
x dx x
x
 
 
+ = + = +
 
 
 
 
∫

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
72

3) Tìm b nếu biết rằng :
2 2
0
0
0
(2 4) 0 ( 4 ) 0 4 0
4
b
b
b
x dx x x b b

b

=
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔

=

∫

Ví dụ 2: Cho
3
1
( ) 2
f x dx
= −
∫
và
3
1
( ) 3
g x dx
=
∫
. Tính :
3
1
[3 ( ) ( )]
f x g x dx
−
∫

và
3
1
[5 4 ( )]
f x dx
−
∫

Giải:
3 3 3
1 1 1
[3 ( ) ( )] 3 ( ) ( ) 3( 2) 3 9
f x g x dx f x dx g x dx
− = − = − − = −
∫ ∫ ∫

3 3 3
1 1 1
[5 4 ( )] 5 4 ( ) 10 4( 2) 18
f x dx dx f x dx
− = − = − − =
∫ ∫ ∫

C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
10. Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau :
a)
4
2
3
2

x
dx
−
 
+
 
 
∫
b)
2
1
x dx
−
∫
c)
3
2
3
9
x dx
−
−
∫

Giải:
a) Tích phân ñó bằng diện tích hình thang ABCD. Diện tích ñó là :
S =
6
( ) (2 5) 21
2 2

h
AB CD
+ = + =



b) Tích phân ñó bằng tổng diện tích hai
tam giác vuông OAB và OCD.
S = S
OAB
+ S
OCD
=
1 1 1 5
1.1 2.2 2
2 2 2 2
+ = + =






c) Tích phân ñó bằng nửa diện tích ñường tròn :
x
2
+ y
2
= 9, có bán kính bằng 3. Diện tích nửa hình
tròn là :

S =
1
2
πR
2
= 4,5π

11. Cho biết
2 5 5
1 1 1
( ) 4 ; ( ) 6 ; ( ) 8
f x dx f x dx g x dx
= − = =
∫ ∫ ∫
. Hãy tính :
a)
5
2
( )
f x dx
∫
b)
2
1
3 ( )
f x dx
∫

c)
5

1
[ ( ) ( )]
f x g x dx
−
∫
d)
5
1
[4 ( ) ( )]
f x g x dx
−
∫

Giải:
a)
5 1 5 2 5
2 2 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) 6 10
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
= + = − + = − − + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b)
2
1
3 ( ) 3.( 4) 12
f x dx
= − = −
∫

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
73

c)
5
1
[ ( ) ( )] 6 8 2
f x g x dx
− = − = −
∫

d)
5
1
[4 ( ) ( )] 4.6 8 16
f x g x dx
− = − =
∫

12. Cho biết
3 4
0 0
(z)dz = 3 ; (x)dx = 7
f
∫ ∫
f
. Hãy tính :
4
3

( )
f t dt
∫
.
Giải:
4 0 4 0 4
3 3 0 3 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 7 4
f t dt f t dt f t dt f z dz f x dx
= + = + = − + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

13. a) Chứng minh rằng nếu f(x) ≥ 0 trên [a ; b] thì
( )
b
a
f x dx
∫
≥ 0.
b) Chứng minh rằng nếu f(x) ≥ g(x) trên [a ; b] thì
( )
b
a
f x dx
∫
≥
( )
b
a
g x dx

∫
.
Giải:
a) Theo ñịnh lí 1.
( )
b
a
f x dx
∫
là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi ñths y = f(x), trục hoành
và hai ñt x = a, x = b.
b) ðặt h(x) = f(x) – g(x) ≥ 0 trên [a ; b], theo a) ta ñược :
( )
b
a
h x dx
∫
≥ 0 ⇔
[ ( ) ( )]
b
a
f x g x dx
−
∫
≥ 0
14. a) Một vật chuyển ñộng với vận tốc v(t) = 1 – 2sin2t (m/s). Tính quãng ñường mà vật di chuyển
trong khoảng thời gian từ thời ñiểm t = 0 (s) ñến thời ñiểm t = 3
π
/4 (s).
b) Một vật chuyển ñộng chậm dần với vận tốc v(t) = 160 – 10t (m/s). Tính quãng ñường mà vật di

chuyển ñược từ thời ñiểm t = 0 ñến thời ñiểm mà vật dừng lại.
Giải:
a) Quảng ñường là S =
3
3
4
4
0
0
3
(1 2sin 2 ) ( os2 ) 1
4
t dt t c t
π
π
π
− = + = −
∫

b) Khi vật dừng lại thì v(t) = 0 ⇒ t = 16. Khi ñó S =
16
0
(160 10 ) 1280
t dt− =
∫
(m)
15. Một vật ñang chuyển ñộng với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t
2
(m/s
2

). Tính
quãng ñường vật ñi ñược trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt ñầu tăng tốc.
Giải:
Gọi v(t) là vận tốc của vật thì v’(t) = a(t) = 3t + t
2
⇒ v(t) =
3
2
3
2 3
t
t C
+ +
. Vì v(0) = 10 nên
suy ra C = 10. Vậy v(t) =
3
2
3
10
2 3
t
t
+ +
.
Quãng ñường vật ñi ñược là : S =
2 3
10
0
3 4300
10

2 3 3
t t
dt
 
+ + =
 
 
∫
(m)
16. Một viên ñạn ñược bắn lên theo phương thẳng ñứng với vận tốc ban ñầu 25m/s. Gia tốc trọng
trường là 9,8m/s
2
.
a) Sau bao lâu viên ñạn ñạt tới ñộ cao lớn nhất.
b) Tính quãng ñường viên ñạn ñi ñược từ lúc bắn lên cho ñến khi chạm ñất (tính chính xác ñến
hàng phần trăm).
Giải:
a) Gọi v(t) là vận tốc của vật, khi ñó v’(t) = a(t) = −9,8 ⇒ v(t) = −9,8t + C. Vì v(0) = 25 nên
suy ra C = 25. Vậy v(t) = −9,8t + 25.
Gọi T là thời ñiểm viên ñạn ñạt ñộ cao lớn nhất, tại ñó viên ñạn có vận tốc bằng 0 ⇒ v(T) = 0
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
74

⇒ T =
25
2,55
9,8
≈
(s).

Quãng ñường viên ñạn ñi ñược cho tới thời ñiểm T = 2,55 (s) là :
S =
T
0
( 9,8 25) 31,89
t dt− + ≈
∫
(m)
Vạy quãng ñường viên ñạn ñi ñược cho ñến khi rơi xuống ñất là 2S ≈ 63,78 (m).

§4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Số tiết : 2LT + 1BT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Phương pháp ñổi biến số :
Công thức ñổi biến số :
( )
( )
[ ( )]. '( ) ( )
b u b
a u a
f u x u x dx f u du
=
∫ ∫
(1)
Dạng 1: Ta cần tính
( )
b
a
g x dx
∫

.
Nếu ta viết ñược g(x) dưới dạng f[u(x)].u’(x) thì ta ñược (1) (ñặt u = u(x)
⇒
du = u’(x)dx)
ðổi cận : x = a
⇒
u(a) ; x = b
⇒
u(b). Chuyển về tính tích phân mới ñơn giản hơn.
Dạng 2: Ta cần tính
( )
f x dx
β
α
∫
.
ðặt : x = x(t) (t
∈
K)
⇒
dx = x’(t)dt
ðổi cận :
α
= x(a) ;
β
= x(b), ta ñược :
( ) [ ( )]. '( )
b
a
f x dx f x t x t dt

β
α
=
∫ ∫
, bài toán quy về dạng 1.
2. Phương pháp tích phân từng phần :
Ta cần tính tích phân dạng :
( ). '( )
b
a
u x v x dx
∫

ðặt :
( ) '( )
'( ) ( )
u u x du u x dx
dv v x dx v v x
 
= =
⇒
 
= =
 
hoặc
( ) '( )
' '( ) ( )
u u x du u x dx
v v x v v x
 

= =
⇒
 
= =
 

Khi ñó :
( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
= −
∫ ∫

B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau :
1) I =
2
2
1
x
xe dx
∫
2) J =
1
2
0
1

x dx
−
∫

Giải:
1) ðặt u = x
2
⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = du/2.
ðổi cận : x = 1 ⇒ u = 1 ; x = 2 ⇒ u = 4.
⇒ I =
4
4 4
4
1 1
1
1 1
( )
2 2 2 2
u
u u
du e
e e du e e
= = = −
∫ ∫

2) ðặt x = sint ⇒ dx = costdt. ðổi cận : x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t = π/2
⇒ J =
2
2 2
2 2 2

0 0 0
0
1 os2 sin 2
1 sin .cos os
2 2 4 4
c t t t
t tdt c tdt dt
π
π π π
 
+ π
− = = = + =
 
 
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau :
1) K =
1
0
x
xe dx
∫
2) L =
2
1
ln
x xdx
∫

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
75

Giải:
a) ðặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
= =
 
⇒
 
= =
 
 

⇒ K =
1
1
0
0
. ( 1) 1
x x
x e e dx e e
− = − − =
∫

b) ðặt

2
1
ln
2
du dx
u x
x
dv xdx
x
v

=


=

⇒
 
=


=



⇒ L =
2 2
2 2
2
1

1 1
3
ln 2 ln 2 2 ln2
2 2 4 4
x x x
x dx
− = − = −
∫

C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
17. a) ðặt u = x + 1 (hoặc u =
1
x
+
). KQ:
2
(2 2 1)
3
−

b) ðặt u = tanx. KQ: ½
c) ðặt u = 1 + t
4
. KQ: 15/16
d) ðặt u = x
2
= 4. KQ: 1/8
e) ðặt u = x
2
+ 1 (hoặc

2
1
x
+
).KQ : 4
f) ðặt u = 1 – cos3x. KQ: 1/6
18.

a) KQ:
32 7
ln 2
3 4
−
b) KQ: e
c) KQ:
1
2
e
π
+
−
d) KQ:
1
2
π
−


LUYỆN TẬP
19. a) KQ:

2 3
b) KQ: π/8 (từng phần)
20. a) KQ:
5
4
9 1
−
b) KQ: 4/3
21. Chọn (B). ðặt u = 2x
22. Chứng minh rằng :
a)
1 1
0 0
( ) (1 )
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
b)
1 1
1 0
( ) [ ( ) ( )]
f x dx f x f x dx
−
= + −
∫ ∫

Giải:
a) ðặt u = 1 – x ⇒ du = −dx.
x = 0 ⇒ u = 1 ; x = 1 ⇒ u = 0, ta ñược :
1 0 1 1

0 1 0 0
(1 ) ( )( ) ( ) ( )
f x dx f u du f u du f x dx
− = − = =
∫ ∫ ∫ ∫
(ñpcm)
b) Ta có :
1 0 1
1 1 0
( ) ( ) ( )
f x dx f x dx f x dx
− −
= +
∫ ∫ ∫
. Cần tính
0
1
( )
f x dx
−
∫
= ?
ðặt u = −x ⇒ du = −dx. Với x = −1 ⇒ u = 1 ; x = 0 ⇒ u = 0, ta ñược :
0 0 1 1
1 1 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( )
f x dx f u du f u du f x dx
−
= − − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
76

⇒
1 1
1 0
( ) [ ( ) ( )]
f x dx f x f x dx
−
= + −
∫ ∫
(ñpcm)
23. Cho
1
0
( ) 3
f x dx
=
∫
. Tính
0
1
( )
f x dx
−
∫
trong các trường hợp sau :
a) f là hàm số lẻ b) f là hàm số chẵn

Giải:
a) Vì f(x) là hàm lẻ nên f(−x) = −f(x). Theo 22) ta có :
0 1 1
1 0 0
( ) ( ) ( ) 3
f x dx f x dx f x dx
−
= − = − = −
∫ ∫ ∫

b) Vì f(x) là hàm chẵn nên f(−x) = f(x). Theo 22) ta có :
0 1 1
1 0 0
( ) ( ) ( ) 3
f x dx f x dx f x dx
−
= − = =
∫ ∫ ∫

24. Tính các tích phân sau :
a) ðặt u = x
3
. KQ:
8
3
e e
−
b) ðặt u = lnx. KQ:
3
(ln 3)

3

c) ðặt u = x
2
+ 1. KQ : 7/3 d) ðặt u = 3x
3
. KQ:
3
1
9
e
−

e) ðặt u = 1 + sinx. KQ: ln2
25. Tính các tích phân sau :
a) KQ:
1
8 4
π
−
b) ðặt u = ln(2 – x).KQ:
2
(ln 2)
2
c) KQ:
2
2
4
π
−

(từng phần 2 lần)
d) ðặt u = x
3
+ 1. KQ:
2
(2 2 1)
9
−
e) KQ:
3
2 1
9
e
+





§5, 6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ðỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ
Số tiết : 4LT + 3BT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Diện tích hình phẳng :

( )
b
a
S f x dx
=

∫

( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫











2. Thể tích vật thể :
( )
b
a
V S x dx
=
∫

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
77

2
( )
b
a
V f x dx
= π
∫
(quay quanh trục Ox)
2
( )
d
c
V g y dy
= π
∫
(quay quanh trục Oy)
*.Chú ý: Ta cần tính thể tích của vật thể sinh bởi hình (H)
quanh trục Oy (V
t
).
Gọi V
1
là thể tích vật thể tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi cung parabol PA quay Oy và V
2
là thể tích vật thể tạo
thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung parabol PO
quay Oy.
Khi ñó V

t
= V
1
– V
2
. Ta cần tìm phương trình của PA và PO.



B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = x
3
– 1, ñường thẳng x = 2, trục
tung và trục hoành.
Giải:
Ta có :
x 0 1 2
x
3
– 1 − 0 +

Khi ñó : S =
1 2 1 2
3 3 3 3
0 1 0 1
7
1 1 (1 ) ( 1)
2
x dx x dx x dx x dx
− + − = − + − =

∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 – x
2
và ñường thẳng y = −x.
Giải:
Hoành ñộ giao ñiểm là nghiệm của phương trình : 2 – x
2
= −x ⇔ x = −1 hoặc x = 2.
Khi ñó :
S =
2
2
1
9
(2 )
2
x x dx
−
+ − =
∫

Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng H giới hạn bởi ñồ thị hàm số y =
x
, trục hoành và ñường
thẳng y = x – 2.
Giải:
Coi H là hình phẳng giới hạn bởi ñường cong x = y
2
, ñường thẳng x = y + 2, trục hoành y = 0 và

ñường thẳng x = 2. Do ñó :
S =
2
2
0
10
( 2 )
3
y y dy+ − =
∫

Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng
(H) giớis hạn bởi trục hoành và parabol y = x(4 – x) quanh :
a) Trục hoành b) Trục tung
Giải:
a) Parabol cắt trục hoành tại 2 ñiểm x = 0 và x = 4.
V =
4
2 2
0
512
(4 )
15
x x dx
π
π − =
∫

b) Gọi V
t

là thể tích cần tìm. V
1
là thể tích vật thể khi quay hình
phẳng giới hạn bởi cung PA, trục tung và hai ñt y = 0, y = 4 quanh
(H)
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
78

Oy. V
2
là thể tích vật thể khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung PO, trục tung và hai ñt y = 0, y = 4
quanh Oy.
⇒ V
t
= V
1
– V
2
.
Ta có : y = x(4 – x) ⇔ x =
2 4
y
± −
và khi x∈[0 ; 4] thì y∈[0 ; 4]. Do ñó PA có phương trình : y
=
2 4
y
+ −
và PO có phương trình :y =

2 4
y
− −
.
Vậy : V
t
= V
1
– V
2
=
(
)
(
)
2 2
4 4 4
2 2
0 0 0
(2 4 ) (2 4 ) 2 4 2 4
y dy y dy y y dy
 
π + − −π − − = π + − − − −
 
 
∫ ∫ ∫

=
1
4 4

2
0 0
128
8 4 8 (4 ) (4 )
3
ydy y d y
π
π − = − π − − =
∫ ∫

C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = sinx + 1, trục hoành và hai ñt x = 0 và
x = 7
π
/6.
Giải:
S =
7
6
0
7 3
(sinx 1) 1
6 2
dx
π
π
+ = + +
∫

27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a) ðồ thị hàm số y = cos
2
x, trục hoành, trục tung và ñt x =
π
.
b) ðồ thị hàm số y =
x
và y =
3
x
.
c)ðồ thị hàm số y = 2x
2
và y = x
4
– 2x
2
trong miền x
≥
0.
Giải:
a) S =
2
0
os
2
c xdx
π
π
=

∫

b) S =
1
1
1
3
2
0
1
( )
12
x x dx− =
∫

c) S =
2 2
2 4 2 2 4
0 0
64
(2 2 ) (4 )
15
x x x dx x x dx− + = − =
∫ ∫

28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) ðồ thị hàm số y = x
2
– 4 ; y = −x
2

– 2x và hai ñt x = −3 ; x = −2.
b) ðồ thị hàm số y = x
2
– 4 và y = −x
2
– 2x.
c) ðồ thị hàm số y = x
3
– 4x, trục hoành, ñt x = −2 và ñt x = 4.
Giải:
a) S =
2
2 2
3
11
( 2 4)
3
x x x dx
−
−
− − − + =
∫

b) S =
1
2 2
2
( 4 2 ) 9
x x x dx
−

− + + =
∫

c) Ta có :
x −∞ −2 0 2 4 +∞
x
3
– 4x + 0 − 0 + 0 − +

S =
4 0 2 4
3 3 3 3
2 2 0 2
4 ( 4) ( 4) ( 4) 44
x dx x dx x dx x dx
− −
− = − − − + − =
∫ ∫ ∫ ∫
.


Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
79

29. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mp x = −1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mp vuông góc với trục Ox tại ñiểm có hoành ñộ x (−1
≤
x
≤

1) là một hình vuông cạnh là
2
2 1
x
−

Giải:
Gọi S(x) là diện tích của hình phẳng ⇒ S(x) = 4(1 – x
2
). Khi ñó thể tích vật thể là :
V =
1 1
2
1 1
16
( ) 4(1 )
3
S x dx x dx
− −
= − =
∫ ∫

30. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mp x = 0 và x =
π
, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mp vuông góc với trục Ox tại ñiểm có hoành ñộ x (0
≤
x
≤

π
) là một tam giác ñều cạnh là
2 sinx
.
Giải:
Gọi S(x) là diện tích của hình phẳng ⇒ S(x) =
2
(2 s inx) 3
4
. Khi ñó thể tích vật thể là :
V =
2
0 0
(2 sinx) 3
( ) 2 3
4
S x dx dx
π π
= =
∫ ∫

31. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các ñường y = 0, x = 4 và y =
1
x
−
. Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Giải:
V =
4

2
1
7
( 1)
6
x dx
π
π − =
∫

32. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các ñường y = 1, y = 4 và x =
2
y
. Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Giải:
V =
4
2
1
4
3
dy
y
π = π
∫

33. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các ñường y = −1, y = 1, x = 0 và x =
2
5

y
. Tính thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Giải:
V =
1
4
1
5 2
y dy
−
π = π
∫


LUYỆN TẬP
34. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) ðồ thị các hàm số y = x ; y = 1 và y =
2
4
x
trong miền x
≥

0, y
≤
1.
b) ðồ thị hai hàm số y = x
4
– 4x

2
+ 4, y = x
2
, trục tung và
ñt x = 1.
c) ðồ thị các hàm số y = x
2
,y = 4x – 4 và y = −4x – 4.
Giải:
a) S = S
ABCD
- S
∆ cong
=
( )
2
2
0
1 3 2 5
1 2
2 4 2 3 6
x
dx
+ − = − =
∫

(Hình bên)
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
80

b) S =
1
4 2
0
38
( 5 4)
15
x x dx− + =
∫
(hình dưới) c) S =
0 2
2 2
2 0
16
( 4 4) ( 4 4)
3
x x dx x x dx
−
+ + + − + =
∫ ∫

35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) ðồ thị các hàm số y = x
2
+ 1 ; y = 3 – x.
b) Các ñường x = y
3
, y = 1 và x = 8.
c) ðồ thị các hàm số y =
x
,y = 6 – x và trục hoành.
Giải:
a) S =
1
2
2
9
(2 )
2
x x dx
−
− − =
∫

b) S =
2
4

2
3
1
1
17
(8 ) 8
4 4
y
y dy y
 
− = − =
 
 
∫

c) S = S
∆ cong
– S
ABC
=
4
0
22
2
3
xdx + =
∫
(hình bên)

36. Tính thể tích vật thể T nằm giữa hai mp x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi

mp vuông góc với trục Ox tại ñiểm có hoành ñộ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là
2 sinx
.
Giải:
V =
0
4sin 8
xdx
π
=
∫

37. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các ñường y = 0, x = 0, x = 2 và y = x
2
. Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Giải:
V =
( )
2
2
2
2 5
0
0
32
5 5
x dx x
π π
π = =

∫

38. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các ñường y = cosx, y = 0, x = 0 và x =
π
/4. Tính thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Giải:
V =
( )
4
2
4
0
0
sin 2
cos
2 4 8
x x
x dx
π
π
 
π(π + 2)
π = π + =
 
 
∫

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp

81

39. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các ñường y =
2
.
x
x e
, y = 0, x = 0 và x = 1. Tính thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Giải:
V =
2
1 1
2
2
0 0
( 2)
x
x
xe dx x e dx e
 
π = π = π −
 
 
 
∫ ∫

40. Cho hình phẳng B giới hạn bởi các ñường x =
2sin 2
y

, y = 0,
x = 0 và y =
π
/2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình B quanh trục tung.
Giải:
V =
( )
4
0
2sin 2 2
y dy
π
π = π
∫




ÔN TẬP CHƯƠNG III

Tìm nguyên hàm của cac hàm số sau :(từ bài 41 ñến 43):
41. a)
2
2
x C
x
+ +
b)
3

2
4
8
4
3
x x C
− +

c) ðặt u =
3
2
1
x
+
. KQ:
3
2
2
os( 1)
3
c x C
− + +
d) ðặt u = cos(2x + 1). KQ:
1
2 cos(2 1)
C
x
+
+

42. a) ðặt u =
1
1
x
−
. KQ:
1
sin 1
C
x
 
− − +
 
 
b) ðặt u = x
4
+ 1. KQ:
4 4
( 1)
16
x
C
+
+

c) Lấy nguyên hàm từng phần. KQ:
2 2
.
6 12
x x

x e e
C
− +
d) KQ: e
x
(x
2
– 2x + 2) + C.
43. a) −e
−x
(x + 1) + C b) ðặt u = lnx. KQ:
2
(ln )
2
x
C
+

44. Tìm hàm số y = f(x) nếu biết dy = 12(3x
2
– 1)
3
dx và f(1) = 3.
Giải:
Ta có : dy = 12(3x
2
– 1)
3
dx = y’dx
⇒

y’ = 12(3x
2
– 1)
3
mà
'( ) ( )
f x dx f x
=
∫
nên ta cần tính :
2 4
2 3
(3 1)
12 (3 1)
2
x
x dx C
−
− = +
∫
= f(x) (ñặt u = 3x
2
– 1) và f(1) = 3 ⇔ C = −5.
Vậy f(x) =
2 4
(3 1)
5
2
x −
−

.
45. Xác ñịnh số b dương ñể tích phân
2
0
( )
b
x x dx
−
∫
có giá trị lớn nhất.
Giải:
ðặt f(b) =
2 3 2 3
2
0
0
( )
2 3 2 3
b
b
x x b b
x x dx
 
− = − = −
 
 
∫

⇒
f’(b) = b – b

2
.
Xét dấu f’(b) trên (0 ; +
∞
) ta thấy f(b) ñạt GTLN khi b = 1.
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
82

46. Cho biết
9 9 9
1 7 7
( ) 1 ; ( ) 5 ; ( ) 4
f x dx f x dx g x dx
= − = =
∫ ∫ ∫
. Hãy tìm :
a)
9
1
2 ( )
f x dx
−
∫
b)
9
7
[ ( ) ( )]
f x g x dx
+

∫

c)
9
7
[2 ( ) 3 ( )]
f x g x dx
−
∫
d)
7
1
( )
f x dx
∫

Giải:
a)
9
1
2 ( )
f x dx
−
∫
= −2(−1) = 2 b)
9
7
[ ( ) ( )]
f x g x dx
+

∫
= 5 + 4 = 9
c)
9
7
[2 ( ) 3 ( )]
f x g x dx
−
∫
= 2.5 – 3.4 = −2 d)
7 9 7
1 1 9
( ) ( ) ( ) 1 5 6
f x dx f x dx f x dx
= + = − − = −
∫ ∫ ∫

47. Cho hàm số f liên tục trên [a ; b]. Tỉ số :
1
( )
b
a
f x dx
b a−
∫
ñược gọi là giá trị trung bình của hàm
số trên [a ; b] và ñược kí hiệu là m(f). Chứng minh rằng tồn tại ñiểm c
∈
[a ; b] sao cho m(f) = f(c).
Giải:

Giả sử m và M lần lượt là GTNN và GTLN của hàm số trên [a ; b].
Ta có : m ≤ f(x) ≤ M, ∀x∈[a ; b]. Do ñó ta ñược :

( ) ( ) ( ) ( )
b b b b
a a a a
mdx f x dx Mdx m b a f x dx M b a
≤ ≤
⇒
− ≤ ≤ −
∫ ∫ ∫ ∫

Vì f là hàm liên tục nên tồn tại c∈[a ; b] ñể f(c) =
1
( )
b
a
f x dx
b a−
∫
.
48. Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển ñộng thẳng với vận tốc v(t) = t(5 – t)
(m/s). Tìm quãng ñường vật ñi ñược cho tới khi nó dừng lại.
Giải:
Vật dừng lại tại thời ñiểm t = 5. Quảng ñường vật ñi ñược là :
S =
5
0
125
(5 )

6
t t dt m
− =
∫

49. Một chất ñiểm A xuất phất từ vị trí O, chuyển ñộng thẳng nhanh dần ñều; 8 giây sau ñó ñạt ñến
vận tốc 6m/s. Từ thời ñiểm ñó nó chuyển ñộng thẳng ñều. Một chất ñiểm B xuất phát từ cùng vị trí
O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển ñộng thẳng nhanh dần ñều. Biết rằng B ñuổi kịp A
sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời ñiểm ñuổi kịp A.
Giải:
Thời ñiểm A và B gặp nhau là 20 giây kể từ lúc A xuất
phát. ðồ thị vận tốc của A là ñường gấp khúc OMN.
Quãng ñường A ñã ñi ñược là diện tích hình thang
OMNQ. Diện tích của nó là :

6
(20 12) 96
2
+ =
, do ñó lúc gặp B thì A ñã ñi
ñược 96m. ðồ thị vận tốc của B là ñt HP. Vì B xuất phát
cùng vị trí với A nên quãng ñường B ñã ñi ñược là 96m.
Mặt khác, quãng ñường B ñã ñi ñược bằng diện tích
hình tam giác HPQ với HQ = 8 và PQ chính là vận tốc
của B tại thời ñiểm ñuổi kịp A. Suy ra 96 =
8
4
2
PQ
PQ

=

nên PQ = 24. Vậy vận tốc của B tại thời ñiểm nó ñuổi kịp A là 24m/s.
50. Tính các tích phân sau :
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
83

a)
2
2
0
sin 2
x xdx
π
∫
b)
2
2
1
(2 1)
x x dx
+
∫
c)
2
3
2
2
( 1)

x x
x e dx
−
−
∫

Giải:
a)
2
1
8 2
π
−
(từng phần) b) ðặt u = 2x
2
+ 1. KQ: 9 c) ðặt u = x
2
– 2x. KQ:
3
1
2
e
−

51. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) ñồ thị hàm số y = 4 – x
2
; y = −x + 2.
b) Các ñường cong có phương trình x = 4 – 4y
2

và x = 1 – y
4
.
Giải:
a) S =
2
2
1
9
(4 2)
2
x x dx
−
− + − =
∫

b) S =
1
5
1
2 4 3
0
0
4 28 56
2 (4 4 1 ) 2 3 2.
3 5 15 15
y
y y dy y y
 
− − + = − + = =

 
 
∫

52. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) Parabol y = x
2
– 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại ñiểm M(3 ; 5) và trục tung.
b) Parabol y = −x
2
+ 4x – 3 và các tiếp tuyến của nó tại các ñiểm A(0 ; −3)
và B(3 ; 0).
Giải:
a) Tiếp tuyến có phương trình y = 4x – 7.
S =
3
2
0
( 2 2 4 7) 9
x x x dx
− + − + =
∫

b) Tiếp tuyến tại A và B lần lượt là y = 4x – 3 và y = −2x + 6.
S =
( )
3
3
2 2
2

3
0
2
9 9 9
4 3 4 3 ( 2 6 4 3)
8 8 4
x x x dx x x x dx
− + − + + − + + − + = + =
∫ ∫

53. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mp x = 0 và x = 2, biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mp vuông góc với trục Ox tại ñiểm có hoành ñộ x
(0
≤
x
≤
2) là một nửa hình tròn ñường kính
2
5
x

Giải:
Diện tích nửa hình tròn là S(x) =
2
2 4
2
5 5
2 2 2 8
r x
x

 
π π π
= =
 
 
 

V =
4
2
0
5
4
8
x
dx
 
π
= π
 
 
∫

54. Xét hình phẳng giới hạn bởi ñường hypebol y =
2
x
và các ñường thẳng y = 1, y = 4, x = 0. Tính
thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ñó quanh trục tung.
Giải:
V =

2
4
1
2
3
dy
y
 
π = π
 
 
∫

55. Cho hình phẳng A giới hạn bởi ñồ thị hàm số y =
cos 0
2
x x
 
π
≤ ≤
 
 
và hai trục tọa ñộ. Tính
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
84

thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành.
Giải:
V =

2
0
cos xdx
π
π = π
∫

56. Cho hình phẳng A giới hạn bởi ñường cong có phương trình x(y + 1) = 2 và các ñường thẳng x
= 0, y = 0, y = 3. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục tung.
Giải:
V =
2
3
0
2
3
1
dy
y
 
π = π
 
+
 
∫

57. Cho hình phẳng A giới hạn bởi ñường cong có phương
trình x – y
2
= 0 và các ñường thẳng x = 0, y = 2. Tính thể tích

của khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh.
a) Trục hoành b)Trục tung
Giải:
a) V =
4
2
0
. 8 .4 8 8
truï ñaùy
V xdx S h
− π = − π = π.2 − π = π
∫

b) V =
2
2 2
0
32
( )
5
y dy
π
π =
∫

58. Cho hình phẳng A giới hạn bởi ñường cong có phương
trình
1
2 2
.

x
y x e
=
và các ñường thẳng x = 1,x = 2, y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành
khi quay A quanh trục hoành.
Giải:
V =
2
1
2 2
2
2 2
1 1
. .
x
x
x e dx x e dx e
 
π = π = π
 
 
 
∫ ∫

59. Cho hình phẳng A giới hạn bởi ñường cong có phương trình y
2
= x
3
và các ñường thẳng x = 1,
y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh:

a) Trục hoành b) Trục tung
Giải:
a) V =
(
)
2
1
3
0
4
x dx
π
π =
∫
(y ≥ 0)
b) Tương tự 57.a)
V = π -
(
)
4
2
1 1
2
3
3
0 0
4
7
y dy y dy
π

π = π − π =
∫ ∫



ðÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

60. (B) ; 61. (B) ; 62. (D) ; 63. (A) ; 64. (B) ; 65. (A) ; 66. (A) ; 67. (C) ; 68.