Các phương pháp tính tích phân (gia sư Thành Được)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (688.25 KB, 33 trang )
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu
Cách chọn
22
ax
Đặt x = |a| sint; với
;.
22
t
hoặc x = |a| cost; với
0; .t
22
xa
Đặt x =
a
.
sint
; với
; \ 0 .
22
t
hoặc x =
.
a
cost
; với
0; \ .
2
t
22
ax
Đặt x = |a|tant; với
;.
22
t
hoặc x = |a|cost; với
0; .t
.
ax
ax
hoặc
.
ax
ax
Đặt x = acos2t
x a b x
Đặt x = a + (b – a)sin
2
t
22
1
ax
Đặt x = atant; với
;.
22
t
Bài 1: Tính
1
2
2
2
2
1
.
x
I dx
x
Giải:
Đặt x = cost,
;.
22
t
.
dx = - sint dt
Đổi cận:
x
2
2
4
t
1
0
Khi đó:
1
2
2
2
2
1
.
x
I dx
x
0
2
2
4
1 os .c t sint
dt
cos t
4
2
0
sin .sintt
dt
cos t
=
2
4
2
0
sin t
dt
cos t
=
4
2
0
1
1 dt
cos t
tan
4
0
tt
=
1
4
. (vì
. 0;
4
t
nên sint
. 0 sin sintt
)
Bài 2: Tính
2 2 2
0
.
a
I x a x dx
Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
2
Đặt x = asint
,;
22
t
.
dx = acostdt
Đổi cận:
x
0
a
t
0
2
Khi đó:
2 2 2
0
.
a
I x a x dx
2
2 2 2 2
0
sin 1 sin .a t a t acostdt
2
4 2 2
0
sina tcos tdt
4
2
0
14
8
a
cos t dt
4
1
sin4
2
84
0
a
tt
4
16
a
Bài 3: Tính
1
22
0
.1I x x dx
Giải:
Đặt x = sint
,;
22
t
.
dx = costdt
Đổi cận:
x
0
1
t
0
2
Khi đó:
1
22
0
.1I x x dx
2
22
0
sin 1 sin .t t costdt
2
22
0
1
sin
4
tcos tdt
2
2
0
1
sin 2
4
tdt
2
0
1
14
8
cos t dt
11
sin 4
2
84
0
tt
16
Bài 4: Tính
1
32
0
.1I x x dx
Giải:
Đặt t =
2
.1 x
t
2
= 1 – x
2
.
xdx = -tdt
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
Khi đó:
1
32
0
.1I x x dx
=
1
22
0
1x x xdx
1
2
0
1 . .t t tdt
1
24
0
t t dt
35
1
0
35
tt
2
.
15
Bài 5: Tính
2
5
.
ln
e
e
dx
I
xx
Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
3
Đặt t = lnx
dt =
dx
x
Đổi cận:
x
e
e
2
t
1
2
Khi đó:
2
5
.
ln
e
e
dx
I
xx
=
2
5
1
.
dt
t
=
4
2
1 15
1
4 64t
Bài 6: Tính
1
4
34
0
1.I x x dx
Giải:
Đặt t = x
4
+ 1
dt = 4x
3
dx
3
.
4
dt
x dx
Đổi cận:
x
0
1
t
1
2
Khi đó:
1
4
34
0
1.I x x dx
=
2
45
1
2
1 1 31
.
1
4 20 20
t dt t
Bài 7: Tính
2
5
0
sinI xcoxdx
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
Khi đó:
1
2
55
00
1
sin
6
I xcoxdx t dt
.
Bài 8: Tính
12
4
0
tanI xdx
Giải:
Ta có:
12 12
00
sin 4
tan4
4
x
xdx dx
cos x
Đặt t = cos4x ;
4s 4 sin4
4
dt
dt in xdx xdx
Đổi cận:
x
0
12
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
4
t
1
1
2
Khi đó:
1
1
12 12 2
1
0 0 1
2
1
sin4 1 1 1 1
tan4 . ln ln2.
1
4 4 4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
cos x t t
Bài 9: Tính
2
5
0
.I cos xdx
Giải:
Ta có:
2 2 2
2
5 4 2
0 0 0
1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
Khi đó:
35
2 2 2 2
22
5 2 2 2 4
0 0 0 0
1
25
1 sin 1 1 2 .
0
3 5 18
tt
I cos xdx x coxdx t dt t t dt t
Bài 10: Tính
4
4
0
1
.I dx
cos x
Giải:
Đặt t = tanx ;
2
1
dt dx
cos x
Đổi cận:
x
0
4
t
0
1
Khi đó:
1
3
44
22
42
0 0 0
1
1 1 4
1 tan 1 .
0
33
t
I dx x dx t dt t
cos x cos x
Bài 11: Tính
3
2
2
6
.
s
cos x
I dx
in x
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
Đổi cận:
x
6
2
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
5
t
1
2
1
Khi đó:
11
3 2 2
22
2 2 2 2
11
6 6 2 2
1
(1 s ) 1 1 1 1
1
1
s s 2
2
cos x in x t
I dx cosxdx dt dt t
in x in x t t t
Bài 12: Tính
2
33
0
sin .I xcos xdx
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
Khi đó:
11
46
22
3 3 3 2 3 2 3 5
0 0 0 0
1
1
sin sin 1 sin 1
0
4 6 12
tt
I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt
Bài 13: Tính
2
2
sin
0
sin2 .
x
I e xdx
Giải:
Đặt t = sin
2
x ;
s2dt in xdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
Khi đó:
2
1
2
sin
00
1
sin2 1
0
x t t
I e xdx e dt e e
Bài 14: Tính
2
2
0
sin2
.
1
x
I dx
cos x
Giải:
Đặt t = 1 + cos
2
x ;
s 2 s 2dt in xdx in xdx dt
Đổi cận:
x
0
2
t
2
1
Khi đó:
12
2
2
0 2 1
2
sin2
ln ln2
1
1
x dt dt
I dx t
cos x t t
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
6
Bài 15: Tính
4
3
0
tan .I xdx
Giải:
Đặt t = tanx ;
22
2
1 tan 1 .
1
dt
dt x dx t dt dx
t
Đổi cận:
x
0
4
t
0
1
Khi đó:
2
1 1 1 1 1
32
4
3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1
1 2 1
tan
0
1 1 2 1 2 2 1
1
1 1 1 1 1
ln 1 ln2 1 ln2 .
0
2 2 2 2 2
dt
t t t t
I xdx dt t dt tdt dt
t t t t
t
Bài 16: Tính
1
0
1
.
1
I dx
x
Giải:
Đặt t =
x
;
2
2t x dx tdt
Đổi cận:
x
0
1
t
0
1
Khi đó:
1 1 1
0 0 0
1
11
2 2 1 2 ln 1 2 1 ln2 .
0
11
1
t
I dx dt dt t t
tt
x
Bài 17: Tính
1
3
34
0
1.I x x dx
Giải:
Đặt t =
3
4 3 4 3 2
3
11
4
x t x x dx t dt
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
Khi đó:
11
3
3 4 3 4
00
1
3 3 3
1.
0
4 16 16
I x x dx t dt t
Bài 18: Tính
0
2
1
1
.
24
I dx
xx
Giải:
Ta có:
00
2
2
2
11
11
.
24
13
dx dx
xx
x
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
7
Đặt
1 3tanxt
với
2
; . 3 1 tan .
22
t dx t dt
Đổi cận:
x
-1
0
t
0
6
Khi đó:
0
6
2
10
1 3 3 3
6
2 4 3 3 18
0
I dx dt t
xx
Bài 19: Tính
1
3
8
0
.
1
x
I dx
x
Giải:
Ta có:
11
33
2
8
4
00
.
1
1
xx
dx dx
x
x
Đặt
4
tanxt
với
32
1
; . 1 tan .
2 2 4
t x dx t dt
Đổi cận:
x
0
0
t
0
4
Khi đó:
11
3 3 2
44
2
82
4
0 0 0 0
1 1 tan 1 1
4
1 4 1 tan 4 4 16
1
0
x x t
I dx dx dt dt t
xt
x
Bài 20: Tính
1
1 ln
.
e
x
I dx
x
Giải:
Đặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x t x tdt
x
Đổi cận:
x
1
e
t
1
2
Khi đó:
22
3
2
1 1 1
2 2 2 1
1 ln
2
.2 2 2
33
1
e
xt
I dx t tdt t dt
x
Bài 21: Tính
1
0
ln 2
.
2
x
I dx
x
Giải:
Đặt
ln 2 .
2
dx
t x dt
x
Đổi cận:
x
1
1
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
8
t
ln2
0
Khi đó:
1 0 ln2
22
0 ln2 0
ln 2
ln 2
ln 2
0
2 2 2
x
t
I dx tdt tdt
x
Bài 22: Tính
2
2
0
1 sin
cosx
I dx
x
Giải:
Đặt
sin tanxt
với
2
; 1 tan .
22
t cosxdx t dt
Đổi cận:
x
0
2
t
0
4
Khi đó:
2
2 4 4
22
0 0 0
1 tan
.
1 sin 1 tan 4
cosx t
I dx dt dt
xt
Bài 23: Tính
2
3
1
.
sin
I dx
x
Giải:
Đặt
2
2
12
tan 1 tan .
2 2 2 1
x x dt
t dt dx dx
t
Ta tính:
2
2
1 1 2 1
2
sin 1
1
tdt
dx dt
t
x t t
t
Đổi cận:
x
3
2
t
3
3
1
Khi đó:
1
2
3
3
3
1
1 1 3 1
ln ln ln3
3
sin 3 2
3
I dx dt t
xt
Bài 24: Tính
1
1
.
1 ln
e
I dx
xx
Giải:
Đặt
1 ln .
dx
t x dt
x
Đổi cận:
x
1
e
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
9
t
1
2
Khi đó:
2
11
2
1
ln ln2
1
1 ln
e
dt
I dx t
x x t
Bài 25: Tính
3
1
5
0
.
x
I x e dx
Giải:
Đặt
3 2 2
3.
3
dt
t x dt x dx x dx
Đổi cận:
x
0
1
t
0
1
Khi đó:
3
1 1 1
5
0 0 0
11
1 1 1 1 1
.
00
3 3 3 3 3 3
x t t t t
e
I x e dx te dt te e dt e
Bài 26: Tính
15
2
2
42
1
1
.
1
x
I dx
xx
Giải:
Ta có:
1 5 1 5 1 5
2
2 2 2
2
2
2
42
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1
.
1
1
1
1
1
x
x
x
dx dx dx
xx
x
x
x
x
Đặt
2
11
1.t x dt dx
xx
Đổi cận:
x
1
15
2
t
0
1
Khi đó:
1
2
0
.
1
dt
I
t
Đặt
2
tan 1 tan .t u dt u du
Đổi cận:
x
0
1
t
0
4
Vậy
1
2
44
22
0 0 0
1 tan
4
1 1 tan 4
0
dt u
I du du u
tu
Bài 27: Tính
2
3
1
.
1
dx
I
xx
Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
10
Ta có:
22
2
3 3 3
11
.
11
dx x dx
x x x x
Đặt
3 2 3 2 2
2
1 1 2 3 .
3
tdt
t x t x tdt x dx x dx
Đổi cận:
x
1
2
t
2
3
Khi đó:
2 2 3 3
2
2
3 3 3
11
22
2
2 1 1 1
.
3 1 3 1 1
11
33
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln
3 3 1 3 2 3 3
21
22
2 2 1
21
dx x dx dt
I dt
t t t
x x x x
t
tt
t
Bài 28: Tính
2
3
2
0
3
.
21
x
I dx
xx
Giải:
Ta có:
22
33
2
2
00
33
.
21
1
xx
dx dx
xx
x
Đặt
1t x dt dx
Đổi cận:
x
0
2
t
2
3
Khi đó:
3
32
2 2 3 3
33
2
2 2 2
0 0 1 1
3
2
2 2 2
1
3 3 3 1
31
33
.
21
1
3
9 1 3
3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln3 ln1 1 3 9ln3 8
1
22
t t t
t
xx
I dx dx dt dt
x x t t
x
t
t t dt t t
tt
Bài 29: Tính
ln2
2
2
0
3
.
32
xx
xx
ee
I dx
ee
Giải:
Đặt
xx
t e dt e dx
Đổi cận:
x
0
ln2
t
1
2
Khi đó:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
11
ln2 ln2 2 2
2
2 2 2
0 0 1 1
22
11
3 3 3 2 1
3 2 3 2 3 2 1 2
22
1 1 3 4 9 4 27
2 2ln 1 ln 2 2 ln3 ln2 ln4 ln3 2ln ln ln ln ln
11
1 2 2 3 4 3 16
x x x
x
x x x x
e e e t
I dx e dx dt dt
e e e e t t t t
dt dt t t
tt
Bài 30: Tính
4
1
1
dx
I
xx
Giải:
Đặt
2
2x t dx tdt
Đổi cận:
x
1
4
t
1
2
Khi đó:
4 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
22
1 1 1
1
2
2 1 4
2 ln ln 1 2 ln ln 2ln .
1
3 2 3
dx tdt dt
I dt
t t t t t t
xx
tt
Bài 31: Tính
1
3
2
0
1.I x dx
Giải:
Đặt
sin , 0;
2
x t t dx costdt
Đổi cận:
x
0
1
t
0
2
Khi đó:
2
1
2 2 2 2
33
2 2 3 4
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
22
0 0 0 0 0
2
0
12
1 1 sin . .
2
1 1 1 1 1 1 sin 2 1
1 2 2 2 2 2 2 . . 1 4
2
4 4 2 8 4 2 2 2 8
0
11
8 8 8
cos t
I x dx t costdt cos t costdt cos tdt dt
t
cos t cos t dt dt cos tdt cos tdt cos t dt
dt co
2
0
1 sin 4 3
4 . .
2
8 16 8 4 8 16 16
0
t
s tdt
Bài 32: Tính
2
3
6
.I cos xdx
Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
12
3
2 2 2 2
3 2 2 2
6 6 6 6
sin
2
. 1 sin 1 sin sin sin
3
6
1 1 1 5
1
3 2 24 24
x
I cos xdx cos xcosxdx x cosxdx x d x x
Bài 33: Tính
4
44
0
sin4
.
sin
x
I
x cos x
Giải:
4 4 4 4
4 4 4 4 2 2
2
0 0 0 0
4
22
2
0
sin 4 2sin 2 2 2sin 2 2 2sin2 2
1
sin sin 1 2sin
1 sin 2
2
1 1 1 1
1 sin 2 ln 1 sin 2 ln ln2
4
1
2 2 2
1 sin 2
0
2
x xcos x xcos x xcos x
I dx dx dx dx
x cos x x cos x xcos x
x
d x x
x
Bài 34: Tính
3
2
4
.
1 sin
cos x
I dx
x
Giải:
2
32
2 2 2 2
4 4 4 4
2 2 2
4 4 4
1 sin
1 sin
1 sin 1 sin 1 sin
1 1 3 2 2
2
sin s 2 sin sin 2
2 4 4
4
x
cos x cos x
I dx cosxdx cosxdx x cosxdx
x x x
cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x
Bài 35: Tính
2
4
sin
.
sin
x cosx
I dx
x cosx
Giải:
22
44
sin
sin
2
ln sin ln 2
sin sin
4
d x cosx
x cosx
I dx x cosx
x cosx x cosx
Bài 36: Tính
2
3
0
sin .I xdx
Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
13
3
2 2 2
3 2 2
0 0 0
12
sin sin sin 1 1
2
3 3 3
0
cos x
I xdx x xdx cos x d cosx cosx
Bài 37: Tính
3
.
sin
cos x
I dx
x
Giải:
22
3
2
0
2
4 3 4 1 sin 3
3 4 3
. . sin
sin sin sin sin
11
4sin sin 4. sin ln sin
sin1 2
cos x x
cos x cos x cosx
I dx dx cosxdx d x
x x x x
x d x x x C
Bài 38: Tính
s3
.
sin
in x
I dx
x
Giải:
3
2
s 3 3s 4sin 1
3 4sin 3 2 1 2 3 2 2. sin2
sin sin 2
sin2
in x inx x
I dx dx x dx x cos x dx x x x c
xx
x x C
Bài 39: Tính
1
42
0
.
1
x
I dx
xx
Giải:
1 Đặt
2
2t x dt xdx
Đổi cận:
x
0
1
t
0
1
Khi đó:
11
2
42
00
1
12
13
24
x dt
I dx
xx
t
2 Đặt
1
2
y t dy dt
Đổi cận:
t
0
1
y
1
2
3
2
Khi đó:
3
1
2
22
1
0
2
2
11
22
13
3
24
4
dt dy
I
t
y
3 Đặt
32
4
3
z y dz dy
Đổi cận:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
14
y
1
2
3
2
z
1
3
3
Khi đó:
3
33
2
2
2
2
1 1 1
2
2
33
1 3 1
33
2 4 1
3
3
44
4
dy dz dz
I
z
z
y
4 Đặt
2
tan 1 tan .z u dz u du
Đổi cận:
z
1
3
3
u
6
3
Ta được:
3
2
3
22
1
6
3
1 1 1 tan 1
3
.
1 1 tan
3 3 3 6 3
6
dz u
I du u
zu
Bài 40: Tính
1
2
0
21
x
I dx
x
Giải:
5 Đặt
1
2 1 .
22
t dt
t x x dx
Đổi cận:
x
0
1
t
1
3
Khi đó:
1 3 3
2
22
0 1 1
1
3
1 1 1 1 1 1 2
2
. ln ln3 .
1
2 4 4 4 3
21
t
x dt
I dx dt t
t t t t
x
Bài 41: Tính
0
9
2
1
1.I x x dx
Giải:
6 Đặt
1t x dt dx
Đổi cận:
x
-1
0
t
0
1
Khi đó:
0 1 1 1
92
2 9 2 9 11 10 9
1 0 0 0
12 11 10
1 1 2 1 2 .
1
1 2 1 1
2
0
12 11 10 12 11 10 660
I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
15
Bài 42: Tính
2
0
.
1
dx
I
cosx
Giải:
2 2 2
22
0 0 0
2
tan 1
2
12
2
0
22
x
d
dx dx x
I
xx
cosx
cos cos
Bài 43: Tính
1
15 8
0
. 1 3 . .I x x dx
Giải:
Ta có:
11
15 8 8 8 7
00
. 1 3 . . 1 3 .x x dx x x x dx
7 Đặt
87
1 3 24 .
24
dt
t x dt x dx dx
Đổi cận:
x
0
1
t
1
4
Khi đó:
53
1 1 4 4
22
3
1
15 8 8 8 7
22
0 0 1 1
4
1 1 1 1 29
. 1 3 . . 1 3 . . . .
53
1
3 24 72 72 270
22
t t t
I x x dx x x x dx t dt t t dt
Bài 44: Tính
1
3
2
0
.
1
x
I dx
xx
Giải:
3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
22
2
22
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
11
1
1
1
11
1
1
1 1. 1.
0
55
J
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
xx
xx
x x x x
x
x x dx x dx x x xdx x x xdx
8 Đặt
2
12t x dt xdx
Đổi cận:
x
0
1
t
1
2
Khi đó:
2 2 2 2
3 3 5 3
11
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
53
22
22
1 1 1 1 1 2
1.
11
2 2 2 2 5 3
2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
5 5 3 3 5 3 15 15 15
J t t dt t t dt t dt t dt t t
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
16
Vậy
2 2 1
15 15
I
Bài 45: Tính
4
2
0
sin4
.
1
x
I dx
cos x
Giải:
Ta có:
44
22
00
sin4 2sin 2 2
11
x xcos x
dx dx
cos x cos x
9 Đặt
2
1 2sin sin2t cos x dt xcosxdx xdx
10
22
1 2 2 1 2 1 1 2 3cos x t cos x cos x t t
Đổi cận:
x
0
4
t
2
3
2
Khi đó:
33
2
22
3
22
2
2
2 2 3
66
4 4 4 6ln
3
2
3 3 4
4 2 6 ln 2 ln 2 6ln
2 2 3
t dt
I dt dt t t
t t t
Bài 46: Tính
2
4
.
1 sin2
dx
I
x
Giải:
2 2 2 2
22
2
4 4 4 4
1 1 1
2
tan
1 sin2 2 2 4 2
sin
2
4
4
4
dx dx dx dx
Ix
x
x cosx
cos x
cos x
Bài 47: Tính
4
3
0
s2
sin 2
co x
I dx
x cosx
Giải:
Ta có:
44
33
00
sin sin
s2
sin 2 sin 2
cosx x cosx x
co x
dx dx
x cosx x cosx
11 Đặt
sin 2 sint cosx x dt cosx x dx
Đổi cận:
x
0
4
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
17
t
2
22
Khi đó:
2 2 2 2
3 2 3 2
00
2
1 2 1 1 1 1 1 1
22
39
2 2 6 4 2
0
1 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 4 9 4 2 5
9 9 9
6 4 2
2 3 2 2 2 2 1 18 2 1 18 2 1
t
I dt dt
t t t t t
Bài 48: Tính
4
0
s2
.
sin 2
co x
I dx
x cosx
Giải:
Ta có:
44
00
sin sin
s2
sin 2 sin 2
cosx x cosx x
co x
dx dx
x cosx x cosx
12 Đặt
sin 2 sint cosx x dt cosx x dx
Đổi cận:
x
0
4
t
2
22
Khi đó:
2 2 2 2
00
2
2
22
1 2ln 2 2 2ln 2 2 3 2ln3
0
3
2 1 2 ln3 ln 2 2 2 1 2ln
22
t
I dt dt t t
tt
Bài 49: Tính
2
3
2
0
sin2 1 sin .I x x dx
Giải:
13 Đặt
2
1 sin 2 2sin sin2t x dt xcosxdx xdx
Đổi cận:
x
0
2
t
1
2
Khi đó:
2
4
2
3
23
01
2
1 15
sin2 1 sin 4
1
4 4 4
t
I x x dx t dt
Bài 50: Tính
2
2
0
sin 1 .I xcosx cosx dx
Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
18
Ta có:
2 2 2
2
2 2 3
0 0 0
sin 1 sin 1 2 2 .sinI xcosx cosx dx xcosx cosx cos x dx cosx cos x cos x xdx
14 Đặt
sint cosx dt xdx
Đổi cận:
x
0
2
t
1
0
Khi đó:
01
2 3 4
2 3 2 3
10
1
2 17
22
0
2 3 4 12
t t t
I t t t dt t t t dt
Bài 51: Tính
2
2 2 2 2
0
sin
.
sin
xcosx
I dx
a cos x b x
Giải:
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
sin sin sin
sin
1 sin sin sin
xcosx xcosx xcosx
I dx dx dx
a cos x b x
a x b x b a x a
15 Đặt
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2
22
2 2 sin
sin sin
sin
tdt b a xcosxdx
t b a x a t b a x a
tdt
xcosxdx
ba
Đổi cận:
x
0
2
t
|a|
|b|
Khi đó:
22
22
22
11
.
b
a
b
ba
tdt
It
b a a b
t b a a
ba
Bài 52: Tính
2
3
0
1
.
32
x
I dx
x
Giải:
16 Đặt
3
32
3
2
3 2 3 2 3 3 ;
3
t
t x t x t dt dx x
Đổi cận:
x
0
2
t
3
2
2
Khi đó:
33
3
22
52
24
3
22
2
2
1 1 1 42 4 2 37 4 2
3
.1
3 3 5 2 3 5 5 15
2
t
tt
I t dt t t dt
t
Bài 53: Tính
4
2
7
.
9
dx
I
xx
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
19
Giải:
17 Đặt
2 2 2
22
9 9 0 ;
9
dx tdt tdt
t x t x t tdt xdx
x x t
Đổi cận:
x
7
4
t
4
5
Khi đó:
5
2
4
5
1 3 1 7
ln ln
4
9 6 3 6 4
dt t
tt
Bài 54: Tính
4
0
.
1 tan
dx
I
x
Giải:Đặt
2
2 2 2
1
tan 1 tan .
1 tan 1
dt dt
t x dt dx x dx dx
cos x x t
Đổi cận:
x
0
4
t
0
1
Khi đó:
1 2 3
11
22
22
00
1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 2 1
0 0 0
J J J
dt t dt tdt dt
I dt
t t t t
t t t
1 Tính:
1
1
0
1
1 1 ln2
ln 1 .
0
2 1 2 2
dt
Jt
t
2 Tính:
2
11
2
2
22
00
1
1
1 1 1 ln2
ln 1 .
0
2 1 4 1 4 4
dt
tdt
Jt
tt
3 Tính:
1
4
3
2
00
11
.
2 1 2 8
dt
J du
t
(với t = tanu)
Vậy
ln2 ln 2 ln2
.
2 4 8 8 4
I
Bài 55: Tính
2
3
.
sin
dx
I
x
Giải:
Ta có:
2 2 2
22
3 3 3
sin sin
sin sin 1 s
dx xdx xdx
x x co x
19 Đặt
sint cosx dt xdx
Đổi cận:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
20
x
3
2
t
1
2
0
Khi đó:
1 1 1 1
0
2 2 2 2
22
1
0 0 0 0
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3
ln 1 ln 1 ln ln
2
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2
0
dt dt dt dt
I dt t t
t t t t t t
1 1 1
ln ln3
2 3 2
Bài 56: Tính
1
2
0
sin
.
xx
I dx
cos x
Giải:
Ta có:
12
1 1 1
2 2 2
0 0 0
sin sin
II
x x xdx x
I dx dx
cos x cos x cos x
1 Tính
3
1
2
0
.
xdx
I
cos x
Đặt
2
1
tan
ux
du dx
vx
dv dx
cos x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
3 3 3 3
1
2
0 0 0 0
3 sin 3 3
tan tan ln
33
3 3 3
00
31
ln
32
d cosx
xdx x
I x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx
2 Tính
33
2
22
00
sin 1
2 1 1
3
0
d cosx
x
I dx
cos x cos x cosx
Vậy
3
ln 2 1
3
I
Bài 57: Tính
1
3
2
0
.
1
x
I dx
xx
Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
21
Ta có:
3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
22
2
22
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
11
1
1
1
11
1
1
1. 1. 1.
0
55
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
xx
xx
x x x x
x
x x dx x x x xdx x x xdx
20 Đặt
2
12t x dt xdx
Đổi cận:
x
0
1
t
1
2
Khi đó:
2 2 2 2
33
11
2 2 2 2
1 1 1 1
53
22
53
22
1 1 1 1 1 1 1
1.
2 5 2 5 5 2 2
2
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2 1 2 2
1
5 2 5 2 3 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15
I t t dt t t dt t dt t dt
tt
Bài 58: Tính
1
1
.
54
x
I dx
x
Giải:
21 Đặt
5 4 4t x dt dx
Đổi cận:
x
-1
1
t
9
1
Khi đó:
1 1 9 9 9
1 9 1 1 1
3
51
1 5 5 1 1
44
16 8 16
5 4 2
99
5 1 2 5 1 5 13 1
. 3 1 27 1
11
8 16 3 8 24 4 12 6
t
dt
xt
I dx dt dt tdt
x t t t
tt
Bài 59: Tính
9
3
1
1.I x xdx
Giải:
22 Đặt
1t x dt dx
Đổi cận:
x
1
9
t
0
-8
Khi đó:
9 8 0
7
4
47
3
4
3 3 3
33
1 0 8
0
3 3 3 3 468
1 1 2 2
8
4 7 4 7 7
I x xdx t t dt t t dt t t
Bài 60: Tính
3
6
.
sin sin
6
dx
I
xx
Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
22
3 3 3
2
6 6 6
2
3sin sin
31
sin sin
sin sin
6
22
dx dx dx
I
x xcosx
xx
x x cosx
3 3 3
22
6 6 6
3
6
2 tan tan
2
23
s 3 tan tan tan 3 tan 1 3 tan 3tan 1
11
2 3 tan
3 tan 3 tan 1
d x d x
dx
co x x x x x x x
dx
xx
33
66
3 tan 1
tan
1
33
2 2 2 ln tan 2 ln 3tan 1 2 ln 3 ln 2 ln 4 ln2
tan
3 tan 1 3
66
3
2ln3 2ln2 ln
2
dx
dx
xx
x
x
Bài
61: Tính
1
2
0
.
3
x
dx
I
e
Giải:
23 Đặt
xx
t e dt e dx
Đổi cận:
x
0
1
t
1
e
Khi đó:
2
1
2
2 2 2 2 2 2 2
0 1 1 1 1
2
2 2 2
22
1
1 2 1
3 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 3
. ln ln 3 2 ln
1
2 3 3 6 6 4
e e e e
x
e
dt
dx dt tdt tdt
I
e
t t t t t t t t
e
e
d t t t
tt
Bài 62: Tính
1
2
2
.
11 5
dx
I
x
Giải:
24 Đặt
11 5 5t x dt dx
Đổi cận:
x
-2
1
t
1
6
Khi đó:
16
2
2
21
6
1 1 1 1 1
1
5 5 30 5 6
11 5
dx dt
I
tt
x
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
23
Bài 63: Tính
1
sin ln
.
e
x
I dx
x
Giải:
25 Đặt
ln
dx
t x dt
x
Đổi cận:
x
1
e
t
0
1
Khi đó:
1
10
1
sin ln
sin 1 0 1 1
0
e
x
I dx tdt cost cos cos cos
x
Bài 64: Tính
5
2
3
9.I x dx
Giải:
26 Đặt
2
2
2 2 2
2
2
9
9
2
9 9 9
9
2 2 2
t
t x x x
t
t t t
x t x t dx dt
t t t
Đổi cận:
x
3
5
t
3
9
Khi đó:
5 9 9
2 2 2
2
2 3 2
3 3 3
9
9 9 9 81 9 81
9 . ln
3
2 2 4 2 4 8 2 6
t t t t
I x dx dt dt t
t t t t t
Bài 65: Tính
4
2
12
1
.
sin
I dx
x cosx
Giải:
44
2
2
12 12
1 1 1 1 3
4
cot
2 2 4 2
sin
sin
4
12
I dx dx x
x cosx
x
Bài 66: Tính
1
0
sin .I xdx
27 Đặt
2t x dx td
Đổi cận:
x
0
1
t
0
1
Khi đó:
1
0
2 sinI t tdt
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
24
Đặt
sin
u t du dt
dv tdt v cosx
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
1
0
1 1 1
2 2 2 2 sin 2 sin1 1
0 0 0
I tcost costdt tcost t cos
B. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1 Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)e
ax
trong đó P(x) là một đa thức Đặt
u P x
dv
2 Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt
ln
ux
dv
Bài 1: Tính
1
2
0
.
x
I xe dx
Đặt
2
2
.
1
2
x
x
du dx
ux
ve
dv e dx
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
11
1 1 1 1 1 1 1 1 1
21
00
2 2 2 4 2 4 2 4 4
x x x x x
e
I xe dx xe e dx e e d x e e e e
Bài 2: Tính
3
2
0
.
x
I dx
cos x
Đặt
2
.
tan
co
ux
du dx
dx
vx
dv
sx
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
3 3 3
4
2
0 0 0 0
3 sin 3 3 3
tan tan ln ln2
33
3 3 3 3
00
d cosx
xx
I dx x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx
Bài 3: Tính
1
2
0
.
x
I x e dx
Đặt
2
2
.
x
x
du xdx
ux
ve
dv e dx
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1 1
22
0 0 0
1
22
0
x x x x
I x e dx x e xe dx e xe dx
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
25
Tiếp tục tính:
1
0
x
J xe dx
Đặt
xx
u x du dx
dv e dx v e
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
11
00
1
1
0
x x x
J xe dx xe xe dx
Vậy I = e - 2
Bài 4: Tính
1
3
0
3 1 .
x
I x e dx
Đặt
3
3
3
31
1
3
x
x
du dx
ux
ve
dv e dx
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
3
0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1 1 2 5
3 1 3 1 3 1 3 1
0 0 0 0
3 3 3 3 3 3
x x x x x x x x
I x e dx x e e dx x e e d e x e e
e
Bài 5:
Tính
2
2
0
sinI x xdx
Ta có:
2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 2 1
sin 2
22
cos x
I x xdx x dx xdx xcos xdx
28
22
2
0
.
2
28
0
x
xdx
29 Tính
2
0
2.xcos xdx
Đặt
1
2
sin 2
2
du dx
ux
dv cos xdx
vx
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
22
00
1 1 2 1
2 sin2 sin2 0
22
2 2 4 2
00
cos x
xcos xdx x x xdx
Vậy
2
2
2
0
4
sin
16
I x xdx
