các phương pháp tính tích phân

CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu Cách chọn
2 2
a x−
Đặt x = |a| sint; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
hoặc x = |a| cost;
với
[ ]
0;t
π
∈
2 2
x a−
Đặt x =
a
sint
; với
{ }
; \ 0
2 2
t
π π

 
∈ −
 
 
hoặc x =
a
cost
;
với
[ ]
0; \
2
t
π
π
 
∈
 
 
2 2
a x+
Đặt x = |a|tant; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 ÷
 

hoặc x = |a|cost;
với
( )
0;t
π
∈
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+
Đặt x = acos2t
( ) ( )
x a b x− −
Đặt x = a + (b - a)sin
2
t
2 2
1
a x+
Đặt x = atant; với
;
2 2
t
π π
 

∈ −
 ÷
 
Bài 1: Tính
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
Giải:
Đặt x = cost,
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
.
⇒
dx = - sint dt
Đổi cận:
x

2
2
4
π
t 1 0
Khi đó:
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
=
0
2
2
4
1 os .c t sint
dt
cos t
π
−
−
∫
=

4
2
0
sin .sint t
dt
cos t
π
∫
=
2
4
2
0
sin t
dt
cos t
π
∫
=
4
2
0
1
1 dt
cos t
π
 
−
 ÷
 

∫
=
( )
tan
4
0
t t
π
−
=
1
4
π
−
. (vì
0;
4
t
π
 
∈
 
 
nên sint
0 sin sint t≥ ⇒ =
)
Bài 2: Tính
2 2 2
0
a

I x a x dx= −
∫
Giải: Đặt x = asint,
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
.
⇒
dx = acostdt
Đổi cận:
x 0 a
t 0
2
π
Khi đó:
2 2 2
0
a
I x a x dx= −
∫
=
( )
2
2 2 2 2
0

sin 1 sin .a t a t acostdt
π
−
∫
=
2
4 2 2
0
sina tcos tdt
π
∫
=
4
2
2
0
sin 2
4
a
tdt
π
∫
=
( )
4
2
0
1 4
8
a

cos t dt
π
−
∫
=
4
1
sin 4
2
8 4
0
a
t t
π
 
−
 ÷
 
=
4
16
a
π
Bài 3: Tính
1
2 2
0
1I x x dx= −
∫
Giải: Đặt x = sint,

;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
.
⇒
dx = costdt
Đổi cận:
x 0 1
t 0
2
π
Khi đó:
1
2 2
0
1I x x dx= −
∫
=
2
2 2
0
sin 1 sin .t t costdt
π
−
∫

=
2
2 2
0
1
sin
4
tcos tdt
π
∫
=
2
2
0
1
sin 2
4
tdt
π
∫
=
=
( )
2
0
1
1 4
8
cos t dt
π

−
∫
=
1 1
sin 4
2
8 4
0
t t
π
 
−
 ÷
 
=
16
π
Bài 4: Tính
1
3 2
0
1I x x dx= −
∫
Giải:
Đặt t =
2
1 x−

⇔
t

2
= 1 - x
2

⇒
xdx = -tdt
Đổi cận:
x 0 1
t 1 0
Khi đó:
1
3 2
0
1I x x dx= −
∫
=
1
2 2
0
1I x x xdx= −
∫
=
( )
1
2
0
1 . .t t tdt−
∫
=
( )

1
2 4
0
t t dt−
∫
=
3 5
1
0
3 5
t t
 
−
 ÷
 
=
2
.
15
Bài 5: Tính
2
5
ln
e
e
dx
I
x x
=
∫

Giải:
Đặt t = lnx
⇒
dt =
dx
x
Đổi cận:
x e e
2
t 1 2
Khi đó:
2
5
ln
e
e
dx
I
x x
=
∫
=
2
5
1
dt
t
∫
=
4

2
1 15
.
1
4 64t
 
− =
 ÷
 
Bài 6: Tính
( )
1
4
3 4
0
1I x x dx= +
∫
Giải: Đặt t = x
4
+ 1
⇒
dt = 4x
3
dx
3
4
dt
x dx⇒ =
Đổi cận:
x 0 1

t 1 2
Khi đó:
( )
1
4
3 4
0
1I x x dx= +
∫
=
2
4 5
1
2
1 1 31
.
1
4 20 20
t dt t
 
= =
 ÷
 
∫
Bài 7: Tính
2
5
0
sinI xcoxdx
π

=
∫
Giải: Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
⇒ =
Đổi cận:
x 0
2
π
t 0 1
Khi đó:
1
2
5 5
0 0
1
sin
6
I xcoxdx t dt
π
= = =
∫ ∫
.
Bài 8: Tính
12
4
0
tanI xdx
π
=

∫
Giải: Ta có:
12 12
0 0
sin 4
tan 4
4
x
xdx dx
cos x
π π
=
∫ ∫
Đặt t = cos4x ;
4s 4 sin 4
4
dt
dt in xdx xdx⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
x 0
12
π
t 1
1
2
Khi đó:
1
1
12 12 2
1

0 0 1
2
1
sin 4 1 1 1 1
tan 4 ln ln 2.
1
4 4 4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
cos x t t
π π
= = = − = = =
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 9: Tính
2
5
0
I cos xdx
π
=
∫
Giải:
Ta có:
( )
2 2 2
2
5 4 2
0 0 0
1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx

π π π
= = −
∫ ∫ ∫
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx⇒ =
Đổi cận:
x 0
2
π
t 0
1
Khi đó:
( ) ( ) ( )
3 5
2 2 2 2
2 2
5 2 2 2 4
0 0 0 0
1
2 5
1 sin 1 1 2 .
0
3 5 18
t t
I cos xdx x coxdx t dt t t dt t
π π π π
 
= = − = − = − + = − + =
 ÷
 

∫ ∫ ∫ ∫
Bài 10: Tính
4
4
0
1
I dx
cos x
π
=
∫
Giải:
Đặt t = tanx ;
2
1
dt dx
cos x
⇒ =
Đổi cận:
x 0
4
π
t 0 1
Khi đó:
( ) ( )
1
3
4 4
2 2
4 2

0 0 0
1
1 1 4
1 tan 1 .
0
3 3
t
I dx x dx t dt t
cos x cos x
π π
 
= = + = + = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 11: Tính
3
2
2
6
s
cos x
I dx
in x
π
π
=
∫
Giải: Đặt t = sinx ;
dt cosxdx⇒ =

Đổi cận:
x
6
π
2
π
t
1
2
1
Khi đó:
1 1
3 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
6 6 2 2
1
(1 s ) 1 1 1 1
1 .
1
s s 2
2
cos x in x t
I dx cosxdx dt dt t
in x in x t t t
π π
π π
− −
   

= = = = − = − − =
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 12: Tính
2
3 3
0
sinI xcos xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx⇒ =
Đổi cận:
x
0
2
π
t 0 1
Khi đó:
( ) ( ) ( )
1 1
4 6
2 2
3 3 3 2 3 2 3 5
0 0 0 0
1
1

sin sin 1 sin 1 .
0
4 6 12
t t
I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt
π π
 
= = − = − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 13: Tính
2
2
sin
0
sin 2
x
I e xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sin
2
x ;
s 2dt in xdx⇒ =
Đổi cận:
x
0

2
π
t 0 1
Khi đó:
2
1
2
sin
0 0
1
sin 2 1.
0
x t t
I e xdx e dt e e
π
= = = = −
∫ ∫
Bài 14: Tính
2
2
0
sin 2
1
x
I dx
cos x
π
=
+
∫

Giải:
Đặt t = 1 + cos
2
x ;
s 2 s 2dt in xdx in xdx dt
⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
x
0
2
π
t 2 1
Khi đó:
( )
1 2
2
2
0 2 1
2
sin 2
ln ln 2.
1
1
x dt dt
I dx t
cos x t t
π
= = − = = =
+
∫ ∫ ∫

Bài 15: Tính
4
3
0
tanI xdx
π
=
∫
Giải: Đặt t = tanx ;
( ) ( )
2 2
2
1 tan 1
1
dt
dt x dx t dt dx
t
⇒ = + = + ⇒ =
+
Đổi cận:
x
0
4
π
t 0 1
Khi đó:
( )
( )
( )
2

1 1 1 1 1
3 2
4
3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1
1 2 1
tan
0
1 1 2 1 2 2 1
1
1 1 1 1 1
ln 1 ln 2 1 ln 2 .
0
2 2 2 2 2
d t
t t t t
I xdx dt t dt tdt dt
t t t t
t
π
+
 
= = = − = − = − =
 ÷
+ + + +
 

= − + = − = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bài 16: Tính
1
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Đặt t =
x
;
2
2t x dx tdt⇒ = ⇒ =
Đổi cận:
x
0
1
t 0 1
Khi đó:
( )
( )
1 1 1
0 0 0
1
1 1

2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 .
0
1 1
1
t
I dx dt dt t t
t t
x
 
= = = − = − + = −
 ÷
+ +
+
 
∫ ∫ ∫
Bài 17: Tính
1
3 3 4
0
1I x x dx= −
∫
Giải: Đặt t =
3 4 3 4 3 2
3
1 1
4
x t x x dx t dt− ⇒ = − ⇒ = −

Đổi cận:
x

0
1
t 1 0
Khi đó:
1 1
3 3 4 3 4
0 0
1
3 3 3
1 .
0
4 16 16
I x x dx t dt t= − = = =
∫ ∫
Bài 18: Tính
0
2
1
1
2 4
I dx
x x
−
=
+ +
∫
Giải:
Ta có:
( )
( )

0 0
2
2
2
1 1
1 1
2 4
1 3
dx dx
x x
x
− −
=
+ +
+ +
∫ ∫
Đặt
1 3 tanx t+ =
với
( )
2
; . 3 1 tan
2 2
t dx t dt
π π
 
∈ − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:

x -1 0
t 0
6
π
Khi đó:
0
6
2
1 0
1 3 3 3
.
6
2 4 3 3 18
0
I dx dt t
x x
π
π
π
−
= = = =
+ +
∫ ∫
Bài 19: Tính
1
3
8
0
1
x

I dx
x
=
+
∫
Giải:
Ta có:
( )
1 1
3 3
2
8
4
0 0
1
1
x x
dx dx
x
x
=
+
+
∫ ∫
Đặt
4
tanx t=
với
( )
3 2

1
; . 1 tan
2 2 4
t x dx t dt
π π
 
∈ − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:
x 0 0
t 0
4
π
Khi đó:
( )
1 1
3 3 2
4 4
2
8 2
4
0 0 0 0
1 1 tan 1 1
.
4
1 4 1 tan 4 4 16
1
0
x x t

I dx dx dt dt t
x t
x
π π
π
π
+
= = = = = =
+ +
+
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 20: Tính
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
Giải: Đặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x t x tdt
x
= + ⇒ = + ⇒ =

Đổi cận:

x 1 e
t 1
2
Khi đó:
( )
2 2
3
2
1 1 1
2 2 2 1
1 ln
2
.2 2 2 .
3 3
1
e
x t
I dx t tdt t dt
x
−
+
= = = = =
∫ ∫ ∫
Bài 21: Tính
( )
1
0
ln 2
2
x

I dx
x
−
=
−
∫
Giải: Đặt
( )
ln 2
2
dx
t x dt
x
−
= − ⇒ =
−

Đổi cận:
x 1 1
t ln2 0
Khi đó:
( )
1 0 ln 2
2 2
0 ln2 0
ln 2ln 2
ln 2
.
0
2 2 2

x
t
I dx tdt tdt
x
−
= = − = = =
−
∫ ∫ ∫
Bài 22: Tính
2
2
0
1 sin
cosx
I dx
x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt
sin tanx t=
với
( )
2
; 1 tan
2 2
t cosxdx t dt
π π

 
∈ − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:
x 0
2
π
t 0
4
π
Khi đó:
2
2 4 4
2 2
0 0 0
1 tan
1 sin 1 tan 4
cosx t
I dx dt dt
x t
π π π
π
+
= = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Bài 23: Tính
2
3

1
sin
I dx
x
π
π
=
∫
Giải: Đặt
2
2
1 2
tan 1 tan
2 2 2 1
x x dt
t dt dx dx
t
 
= ⇒ = + ⇒ =
 ÷
+
 

Ta tính:
2
2
1 1 2 1
.
2
sin 1

1
tdt
dx dt
t
x t t
t
= =
+
+
Đổi cận:
x
3
π
2
π
t
3
3
1
Khi đó:
( )
1
2
3
3
3
1
1 1 3 1
ln ln ln3.
3

sin 3 2
3
I dx dt t
x t
π
π
= = = = − =
∫ ∫
Bài 24: Tính
( )
1
1
1 ln
e
I dx
x x
=
+
∫
Giải:
Đặt
1 ln
dx
t x dt
x
= + ⇒ =

Đổi cận:
x 1 e
t 1 2

Khi đó:
( )
2
1 1
2
1
ln ln 2.
1
1 ln
e
dt
I dx t
x x t
= = = =
+
∫ ∫
Bài 25: Tính
3
1
5
0
x
I x e dx=
∫
Giải: Đặt
3 2 2
3
3
dt
t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
Khi đó:
3
1 1 1
5
0 0 0
1 1
1 1 1 1 1
0 0
3 3 3 3 3 3
x t t t t
e
I x e dx te dt te e dt e= = = − = − =
∫ ∫ ∫
Bài 26: Tính
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+

=
− +
∫
Giải:
Ta có:
1 5 1 5 1 5
2
2 2 2
2
2
2
4 2
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
dx dx dx
x x

x
x
x
x
+ + +  
+
+
 ÷
+
 
= =
− +
 
− +
− +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Đặt
2
1 1
1t x dt dx
x x
 
= − ⇒ = +
 ÷
 

Đổi cận:
x 1

1 5
2
+
t 0 1
Khi đó:
1
2
0
1
dt
I
t
=
+
∫
Đặt
( )
2
tan 1 tant u dt u du= ⇒ = +

Đổi cận:
x 0 1
t 0
4
π
Vậy
1
2
4 4
2 2

0 0 0
1 tan
.
4
1 1 tan 4
0
dt u
I du du u
t u
π π
π
π
+
= = = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Bài 27: Tính
2
3
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
Ta có:
2 2

2
3 3 3
1 1
1 1
dx x dx
x x x x
=
+ +
∫ ∫
Đặt
3 2 3 2 2
2
1 1 2 3
3
tdt
t x t x tdt x dx x dx= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
x 1 2
t
2
3
Khi đó:
( )
( )
( )
2 2 3 3
2
2
3 3 3

1 1
2 2
2
2 1 1 1
3 1 3 1 1
1 1
3 3
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln
3 3 1 3 2 3 3
2 1
2 2
2 2 1
2 1
dx x dx dt
I dt
t t t
x x x x
t
t t
t
 
= = = = − =
 ÷
− − +
 
+ +
 
 
− − +

= − − + = = − = =
 ÷
 ÷
 ÷
+
+
−
 
 
−
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 28: Tính
2
3
2
0
3
2 1
x
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải:
Ta có:
( )
2 2
3 3
2

2
0 0
3 3
2 1
1
x x
dx dx
x x
x
=
+ +
+
∫ ∫
Đặt
1t x dt dx
= + ⇒ =

Đổi cận:
x 0 2
t 2 3
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 2
2 2 3 3
3 3

2
2 2 2
0 0 1 1
3
2
2 2 2
1
3 3 3 1
3 1
3 3
2 1
1
3
9 1 3
3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln3 ln1 1 3 9ln 3 8
1
2 2
t t t
t
x x
I dx dx dt dt
x x t t
x
t
t t dt t t
t t
−
− + −
−
= = = = =

+ +
+
 
 
= − + − = − + + = − − − + − + − = −
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 29: Tính
ln2
2
2
0
3
3 2
x x
x x
e e
I dx
e e
+
=
+ +
∫
Giải:
Đặt
x x

t e dt e dx= ⇒ =

Đổi cận:
x 0 ln2
t 1 2
Khi đó:
( ) ( )
ln2 ln 2 2 2
2
2 2 2
0 0 1 1
2 2
1 1
3 3 3 2 1
3 2 3 2 3 2 1 2
2 2
1 1 3 4 9 4 27
2 2ln 1 ln 2 2 ln 3 ln 2 ln 4 ln3 2ln ln ln ln ln
1 1
1 2 2 3 4 3 16
x x x
x
x x x x
e e e t
I dx e dx dt dt
e e e e t t t t
dt dt t t
t t
+ + +
 

= = = = − =
 ÷
+ + + + + + + +
 
= − = + − + = − − − = − = − =
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Bài 30: Tính
( )
4
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
Giải: Đặt
2
2x t dx tdt= ⇒ =

Đổi cận:
x 1 4
t 1 2
Khi đó:
( )
( ) ( )
( )

4 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
2 2
1 1 1
1
2
2 1 4
2 ln ln 1 2 ln ln 2ln .
1
3 2 3
dx tdt dt
I dt
t t t t t t
x x
t t
 
= = = = − =
 ÷
+ + +
 
+
 
= − + = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 31: Tính
( )

1
3
2
0
1I x dx= −
∫
Giải: Đặt
sin , 0;
2
x t t dx costdt
π
 
= ∈ ⇒ =
 
 

Đổi cận:
x 0 1
t 0
2
π
Khi đó:
( ) ( )
( )
( )
2
1
2 2 2 2
3 3
2 2 3 4

0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
2 2
0 0 0 0 0
2
0
1 2
1 1 sin . .
2
1 1 1 1 1 1 sin 2 1
1 2 2 2 2 2 2 . . 1 4
2
4 4 2 8 4 2 2 2 8
0
1 1
8 8 8
cos t
I x dx t costdt cos t costdt cos tdt dt
t
cos t cos t dt dt cos tdt cos tdt cos t dt
dt co
π π π π
π π π π π
π
π
π
π
+
 
= − = − = = = =

 ÷
 
= + + = + + = + + + =
= + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
2
0
1 sin 4 3
4 . .
2
8 16 8 4 8 16 16
0
t
s tdt
π
π
π π π π π
= + + = + =
∫
Bài 32: Tính
2
3
6
I cos xdx
π
π
=
∫

Giải:
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2
3 2 2 2
6 6 6 6
sin
2
. 1 sin 1 sin sin sin
3
6
1 1 1 5
1
3 2 24 24
x
I cos xdx cos x cosxdx x cosxdx x d x x
π π π π
π π π π
π
π
 
= = = − = − = − =
 ÷
 
= − − + =
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 33: Tính
4
4 4

0
sin 4
sin
x
I
x cos x
π
=
+
∫
Giải:
4 4 4 4
4 4 4 4 2 2
2
0 0 0 0
4
2 2
2
0
sin 4 2sin 2 2 2sin 2 2 2sin 2 2
1
sin sin 1 2sin
1 sin 2
2
1 1 1 1
1 sin 2 ln 1 sin 2 ln ln 2
4
1
2 2 2
1 sin 2

0
2
x xcos x xcos x xcos x
I dx dx dx dx
x cos x x cos x xcos x
x
d x x
x
π π π π
π
π
= = = = =
+ + −
−
−
 
= − = − − = − =
 ÷
 
−
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 34: Tính
3
2
4
1 sin
cos x
I dx
x

π
π
=
+
∫
Giải:
( )
( )
( )
2
3 2
2 2 2 2
4 4 4 4
2 2 2
4 4 4
1 sin
1 sin
1 sin 1 sin 1 sin
1 1 3 2 2
2
sin s 2 sin sin 2
2 4 4
4
x
cos x cos x
I dx cosxdx cosxdx x cosxdx
x x x
cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x
π π π π
π π π π

π π π
π π π
π
π
−
= = = = − =
+ + +
−
 
= − = − = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Bài 35: Tính
2
4
sin
sin
x cosx
I dx
x cosx
π
π
−
 
=
 ÷
+
 

∫
Giải:
( )
( )
2 2
4 4
sin
sin
2
ln sin ln 2
sin sin
4
d x cosx
x cosx
I dx x cosx
x cosx x cosx
π π
π π
π
π
− +
−
 
= = = − + =
 ÷
+ +
 
∫ ∫
Bài 36: Tính
2

3
0
sinI xdx
π
=
∫
Giải:
( )
( )
3
2 2 2
3 2 2
0 0 0
1 2
sin sin sin 1 1
2
3 3 3
0
cos x
I xdx x xdx cos x d cosx cosx
π π π
π
 
= = = − − = − − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 37: Tính
3
sin

cos x
I dx
x
=
∫
Giải:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
3
2
0
2
4 3 4 1 sin 3
3 4 3
. . sin
sin sin sin sin
1 1
4sin sin 4. sin ln sin
sin1 2
cos x x
cos x cos x cosx
I dx dx cosxdx d x
x x x x
x d x x x C
π
− − −
−
= = = = =

 
= − + = − + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 38: Tính
s 3
sin
in x
I dx
x
=
∫
( )
( )
3
2
s 3 3s 4sin 1
3 4sin 3 2 1 2 3 2 2. sin 2
sin sin 2
sin 2
in x inx x
I dx dx x dx x cos x dx x x x c
x x
x x C
−
= = = − = − − = − + +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫

Bài 39: Tính
1
4 2
0
1
x
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải: Đặt
2
2t x dt xdx= ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
Khi đó:
1 1
2
4 2
0 0
1
1 2
1 3
2 4
x dt
I dx
x x

t
= =
+ +
 
+ +
 ÷
 
∫ ∫
Đặt
1
2
y t dy dt= + ⇒ =

Đổi cận:
t 0 1
y
1
2
3
2
Khi đó:
3
1
2
2 2
1
0
2
2
1 1

2 2
1 3
3
2 4
4
dt dy
I
t
y
= =
   
+ +
+
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
Đặt
3 2
4
3
z y dz dy= ⇒ =

Đổi cận:
y
1
2
3
2

z
1
3
3
Khi đó:
3
3 3
2
2
2
2
1 1 1
2
2
3 3
1 3 1
3 3
2 4 1
3
3
4 4
4
dy dz dz
I
z
z
y
= = = =
+
 

+
+
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Đặt
( )
2
tan 1 tanz u dz u du= ⇒ = +

Đổi cận:
z
1
3
3
u
6
π
3
π
Ta được:
3
2
3
2 2
1
6
3
1 1 1 tan 1
3

1 1 tan
3 3 3 6 3
6
dz u
I du u
z u
π
π
π
π
π
+
= = = =
+ +
∫ ∫
Bài 40: Tính
( )
1
2
0
2 1
x
I dx
x
=
+
∫
Giải: Đặt
1
2 1

2 2
t dt
t x x dx
−
= + ⇔ = ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 1 3
Khi đó:
( )
1 3 3
2
2 2
0 1 1
1
3
1 1 1 1 1 1 2
2
. ln ln 3
1
2 4 4 4 3
2 1
t
x dt
I dx dt t
t t t t
x
−
     

= = = − = + = −
 ÷  ÷  ÷
     
+
∫ ∫ ∫
Bài 41: Tính
( )
0
9
2
1
1I x x dx
−
= +
∫
Giải: Đặt
1t x dt dx
= + ⇔⇒ =

Đổi cận:
x -1 0
t 0 1
Khi đó:
( ) ( )
( ) ( )
0 1 1 1
9 2
2 9 2 9 11 10 9
1 0 0 0
12 11 10

1 1 2 1 2
1
1 2 1 1
2
0
12 11 10 12 11 10 660
I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t
−
= + = − = − + = − + =
 
= − + = − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 42: Tính
2
0
1
dx
I
cosx
π
=
+
∫
Giải:
2 2 2
2 2
0 0 0

2
tan 1
2
1 2
2
0
2 2
x
d
dx dx x
I
x x
cosx
cos cos
π π π
π
 
 ÷
 
= = = = =
+
∫ ∫ ∫
Bài 43: Tính
1
15 8
0
. 1 3 .I x x dx= +
∫
Ta có:
1 1

15 8 8 8 7
0 0
. 1 3 . . 1 3 .x x dx x x x dx+ = +
∫ ∫
Đặt
8 7
1 3 24
24
dt
t x dt x dx dx= + ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 1 4
Khi đó:
(
)
5 3
1 1 4 4
2 2
3
1
15 8 8 8 7
2 2
0 0 1 1
4
1 1 1 1 29
. 1 3 . . 1 3 . . .
5 3
1

3 24 72 72 270
2 2
t t t
I x x dx x x x dx t dt t t dt
 
 ÷
−
= + = + = = − = − =
 ÷
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 44: Tính
1
3
2
0
1
x
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải:
(
)
(
)
(

)
(
)
( )
( )
3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
2 2
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1 1. 1.
0
5 5
J
x x x x x x
x

I dx dx dx x x x dx
x x
x x
x x x x
x
x x dx x dx x x xdx x x xdx
+ − + −
= = = = + − =
+ −
+ +
+ + + −
= + − = + − = + −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
1 4 4 2 4 43
Đặt
2
1 2t x dt xdx= + ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
Khi đó:
( )
(
)
2 2 2 2
3 3 5 3
1 1
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1
5 3
2 2
2 2
1 1 1 1 1 2
1 .
1 1
2 2 2 2 5 3
2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
5 5 3 3 5 3 15 15 15
J t t dt t t dt t dt t dt t t= − = − = − = − =
= − − + = − + = +
∫ ∫ ∫ ∫
Vậy
2 2 1
15 15
I = −
Bài 45: Tính
4
2
0
sin 4
1
x
I dx
cos x
π
=
+
∫

Giải:
Ta có:
4 4
2 2
0 0
sin 4 2sin 2 2
1 1
x xcos x
dx dx
cos x cos x
π π
=
+ +
∫ ∫
Đặt
2
1 2sin sin 2t cos x dt xcosxdx xdx= + ⇒ = − = −

( )
2 2
1 2 2 1 2 1 1 2 3cos x t cos x cos x t t= − ⇒ = − = − − = −
Đổi cận:
x 0
4
π
t 2
3
2
Khi đó:
( )

( )
3 3
2
2 2
3
2 2
2
2
2 2 3
6 6
4 4 4 6ln
3
2
3 3 4
4 2 6 ln 2 ln 2 6ln
2 2 3
t dt
I dt dt t t
t t t
− −
   
= = − + = − = − =
 ÷  ÷
   
   
= − − − = −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
Bài 46: Tính

2
4
1 sin 2
dx
I
x
π
π
=
+
∫
Giải:
( )
2 2 2 2
2 2
2
4 4 4 4
1 1 1
2
tan
1 sin 2 2 2 4 2
sin
2
4
4
4
dx dx dx dx
I x
x
x cosx

cos x
cos x
π π π π
π π π π
π
π
π
π
π
 
= = = = = − =
 ÷
+
 
 
+
 
 
−
 ÷
−
 ÷
 
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 47: Tính
( )
4

3
0
s 2
sin 2
co x
I dx
x cosx
π
=
+ +
∫
Giải:
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
4 4
3 3
0 0
sin sin
s 2
sin 2 sin 2
cosx x cosx x
co x
dx dx
x cosx x cosx
π π
− +
=
+ + + +

∫ ∫
Đặt
( )
sin 2 sint cosx x dt cosx x dx= + + ⇒ = −

x 0
4
π
t 2
2 2+
Khi đó:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 2 3 2
0 0
2
1 2 1 1 1 1 1 12 2
3 9
2 2 6 4 2
0
1 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 4 9 4 2 5
9 9 9
6 4 2
2 3 2 2 2 2 1 18 2 1 18 2 1
t
I dt dt
t t t t t
+ +
−

+
   
= = − = − + = − + + − =
 ÷  ÷
+ +
   
− − + + − −
= + = − = − = =
+
+ + + +
∫ ∫
Bài 48: Tính
4
0
s 2
sin 2
co x
I dx
x cosx
π
=
+ +
∫
Giải:
Ta có:
( ) ( )
4 4
0 0
sin sin
s 2

sin 2 sin 2
cosx x cosx x
co x
dx dx
x cosx x cosx
π π
− +
=
+ + + +
∫ ∫
Đặt
( )
sin 2 sint cosx x dt cosx x dx= + + ⇒ = −

Đổi cận:
x 0
4
π
t 2
2 2+
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
0 0
2
2 2 2
1 2ln 2 2 2ln 2 2 3 2ln3

0
3
2 1 2 ln3 ln 2 2 2 1 2ln
2 2
t
I dt dt t t
t t
+ +
−
+
 
= = − = − = + − + − + =
 ÷
 
 
= − + − + = − +
 
+
∫ ∫
Bài 49: Tính
( )
2
3
2
0
sin 2 1 sinI x x dx
π
= +
∫
Giải:

Đặt
2
1 sin 2 2sin sin 2t x dt xcosxdx xdx= + + ⇒ = =

Đổi cận:
x 0
2
π
t 1 2
Khi đó:
( )
2
4
2
3
2 3
0 1
2
1 15
sin 2 1 sin 4
1
4 4 4
t
I x x dx t dt
π
= + = = = − =
∫ ∫
Bài 50: Tính
( )
2

2
0
sin 1I xcosx cosx dx
π
= +
∫
Giải:
Ta có:
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2 2 3
0 0 0
sin 1 sin 1 2 2 .sinI xcosx cosx dx xcosx cosx cos x dx cosx cos x cos x xdx
π π π
= + = + + = + +
∫ ∫ ∫
Đặt
sint cosx dt xdx
= ⇒ = −

Đổi cận:
x 0
2
π
t 1 0
Khi đó:
( ) ( )
0 1

2 3 4
2 3 2 3
1 0
1
2 17
2 2
0
2 3 4 12
t t t
I t t t dt t t t dt
 
= − + + = + + = + + =
 ÷
 
∫ ∫
Bài 51: Tính
2
2 2 2 2
0
sin
sin
xcosx
I dx
a cos x b x
π
=
+
∫
Giải:
Ta có:

( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
sin sin sin
sin
1 sin sin sin
xcosx xcosx xcosx
I dx dx dx
a cos x b x
a x b x b a x a
π π π
= = =
+
− + − +
∫ ∫ ∫
Đặt
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 sin
sin sin
sin
tdt b a xcosxdx
t b a x a t b a x a
tdt
xcosxdx

b a

= −

= − + ⇒ = − + ⇒

=

−


Đổi cận:
x 0
2
π
t |a| |b|
Khi đó:
( )
2 2
2 2
2 2
1 1
.
b
a
b
b a
tdt
I t
b a a b

a
t b a
b a
−
= = = =
− +
−
−
∫
Bài 52: Tính
2
3
0
1
3 2
x
I dx
x
+
=
+
∫
Giải:Đặt
3
3 2
3
2
3 2 3 2 3 3 ;
3
t

t x t x t dt dx x
−
= + ⇒ = + ⇒ = =

Đổi cận:
x 0 2
t
3
2
2
Khi đó:
( )
3 3
3
2 2
5 2
2 4
3
2 2
2
2
1 1 1 42 4 2 37 4 2
3
. 1
3 3 5 2 3 5 5 15
2
t
t t
I t dt t t dt
t

−
 
 
−
= = + = + = − − =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
Bài 53: Tính
4
2
7
9
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
Đặt
( )
2 2 2
2 2
9 9 0 ;
9
dx tdt tdt

t x t x t tdt xdx
x x t
= + ⇒ = + > ⇒ = = =
−

Đổi cận:
x
7
4
t 4 5
Khi đó:
5
2
4
5
1 3 1 7
ln ln
4
9 6 3 6 4
dt t
t t
−
= =
− +
∫
Bài 54: Tính
4
0
1 tan
dx

I
x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt
( )
2
2 2 2
1
tan 1 tan
1 tan 1
dt dt
t x dt dx x dx dx
cos x x t
= ⇒ = = + ⇒ = =
+ +

Đổi cận:
x 0
4
π
t 0 1
Khi đó:
( )
( )
( )
( )

1 2 3
1 1
2 2
2 2
0 0
1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 2 1
0 0 0
J J J
dt t dt t dt dt
I dt
t t t t
t t t
 
−
 
= = − = − +
∫ ∫ ∫
+ + + +
+ + +
 
 
∫ ∫
14 2 43 1 4 2 43 14 2 43
Tính:
1
1
0

1
1 1 ln 2
ln 1
0
2 1 2 2
dt
J t
t
= = + =
+
∫
Tính:
( )
2
1 1
2
2
2 2
0 0
1
1
1 1 1 ln 2
ln 1
0
2 1 4 1 4 4
d t
tdt
J t
t t
+

= = = + =
+ +
∫ ∫
Tính:
1
4
3
2
0 0
1 1
2 1 2 8
dt
J du
t
π
π
= = =
+
∫ ∫
(với t = tanu)
Vậy
ln 2 ln 2 ln 2
2 4 8 8 4
I
π π
= − + = +
Bài 55: Tính
2
3
sin

dx
I
x
π
π
=
∫
Giải:
Ta có:
2 2 2
2 2
3 3 3
sin sin
sin sin 1 s
dx xdx xdx
x x co x
π π π
π π π
= =
−
∫ ∫ ∫
Đặt
sint cosx dt xdx= ⇒ = −

Đổi cận:
x
3
π
2
π

t
1
2
0
Khi đó:
( )
1 1 1 1
0
2 2 2 2
2 2
1
0 0 0 0
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3
ln 1 ln 1 ln ln
2
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2
0
dt dt dt dt
I dt t t
t t t t t t
−
   
= = = + = − + = − − − + = − − =
 ÷  ÷
− − − + − +
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1

ln ln3
2 3 2
= − =
Bài 56: Tính
1
2
0
sinx x
I dx
cos x
+
=
∫
Giải:
Ta có:
1 2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
sin sin
I I
x x xdx x
I dx dx
cos x cos x cos x
+
= = +
∫ ∫ ∫
14 2 43 14 2 43
Tính
3

1
2
0
xdx
I
cos x
π
=
∫
Đặt
2
1
tan
u x
du dx
v x
dv dx
cos x
=

=


⇒
 
=
=




Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
( )
( )
3 3 3 3
1
2
0 0 0 0
3 sin 3 3
tan tan ln
3 3
3 3 3
0 0
3 1
ln
3 2
d cosx
xdx x
I x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx
π π π π
π π
π π π
π
= = − = − = + = + =
= +
∫ ∫ ∫ ∫
Tính
( )
3 3
2

2 2
0 0
sin 1
2 1 1
3
0
d cosx
x
I dx
cos x cos x cosx
π π
π
−
= = = = − =
∫ ∫
Vậy
3
ln 2 1
3
I
π
= − +
Bài 57: Tính
1
3
2
0
1
x
I dx

x x
=
+ +
∫
Giải:
Ta có:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
2 2
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
1
1
1

1 1
1
1
1. 1. 1.
0
5 5
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
x x
x x
x x x x
x
x x dx x x x xdx x x xdx
+ − + −
= = = = + − =
+ −
+ +
+ + + −
= + − = + − = + −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt
2
1 2t x dt xdx= + ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
Khi đó:

( )
(
)
2 2 2 2
3 3
1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
5 3
2 2
5 3
2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 .
2 5 2 5 5 2 2
2
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2 1 2 2
. .
1
5 2 5 2 3 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15
I t t dt t t dt t dt t dt
t t
= − − = − − = − + −
 
= − + − = − + − − + = − + − = − +
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 58: Tính
1

1
5 4
x
I dx
x
−
=
−
∫
Giải: Đặt
5 4 4t x dt dx
= − ⇒ = −

Đổi cận:
x -1 1
t 9 1
Khi đó:
( ) ( )
1 1 9 9 9
1 9 1 1 1
3
5 1
1 5 5 1 1
4 4
16 8 16
5 4 2
9 9
5 1 2 5 1 5 13 1
. 3 1 27 1
1 1

8 16 3 8 24 4 12 6
t
dt
x t
I dx dt dt tdt
x t t t
t t
−
−
 
−
 ÷
−
 
= = = = − =
−
= − = − − − = − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bài 59: Tính
9
3
1
1I x xdx= −
∫
Giải: Đặt
1t x dt dx
= − ⇒ = −

Đổi cận:
x 1 9

t 0 -8
Khi đó:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
9 8 0
7
4
4 7
3 4
3 3 3
3 3
1 0 8
0
3 3 3 3 468
1 1 2 2
8
4 7 4 7 7
I x xdx t t dt t t dt t t
−
−
 
= − = − − = − = − = − − + − = −
 ÷
−
 
∫ ∫ ∫
Bài 60: Tính
3

6
sin sin
6
dx
I
x x
π
π
π
=
 
+
 ÷
 
∫
Giải:
( )
3 3 3
2
6 6 6
2
3 sin sin
3 1
sin sin
sin sin
6
2 2
dx dx dx
I
x xcosx

x x
x x cosx
π π π
π π π
π
= = = =
   
+
+
+
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 3 3
2 2
6 6 6
3
6
2 tan tan
2

2 3
s 3 tan tan tan 3 tan 1 3 tan 3 tan 1
1 1
2 3 tan
3 tan 3 tan 1
d x d x
dx
co x x x x x x x
d x
x x
π π π
π π π
π
π
= = = =
+ + +
 
= − =
 ÷
+
 
∫ ∫ ∫
∫
( )
( )
( )
( )
( )
3 3
6 6

3 tan 1
tan
1
3 3
2 2 2 ln tan 2 ln 3 tan 1 2 ln 3 ln 2 ln 4 ln 2
tan
3 tan 1 3
6 6
3
2ln 3 2ln 2 ln
2
d x
d x
x x
x
x
π π
π π
π π
π π
+
 
= − = − + = − − − =
 ÷
+
 
 
= − =
 ÷
 

∫ ∫
Bài 61: Tính
1
2
0
3
x
dx
I
e
=
+
∫
Giải:
Đặt
x x
t e dt e dx= ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 1 e
Khi đó:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
1
2
2 2 2 2 2 2 2

0 1 1 1 1
2
2 2 2
2 2
1
1 2 1
3 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 3
. ln ln 3 2 ln
1
2 3 3 6 6 4
e e e e
x
e
d t
dx dt tdt tdt
I
e
t t t t t t t t
e
e
d t t t
t t
= = = = =
+
+ + + +
 
+
 

 
= − = − + = −
 ÷
 ÷
 
+
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 62: Tính
( )
1
2
2
11 5
dx
I
x
−
=
+
∫
Giải: Đặt
11 5 5t x dt dx
= + ⇒ =

Đổi cận:
x -2 1
t 1 6

Khi đó:
( )
1 6
2
2
2 1
6
1 1 1 1 1
1
5 5 30 5 6
11 5
dx dt
I
t t
x
−
−
= = = − = + =
+
∫ ∫
Bài 63: Tính
( )
1
sin ln
e
x
I dx
x
=
∫

Giải: Đặt
ln
dx
t x dt
x
= ⇒ =

Đổi cận:
x 1 e
t 0 1
Khi đó:
( )
1
1 0
1sin ln
sin 1 0 1 1
0
e
x
I dx tdt cost cos cos cos
x
= = = − = − + = −
∫ ∫
Bài 64: Tính
5
2
3
9I x dx= −
∫
Giải:

Đặt
2
2
2 2 2
2
2
9
9
2
9 9 9
9
2 2 2
t
t x x x
t
t t t
x t x t dx dt
t t t
+
= + − ⇒ =
+ − −
− = − = − = ⇒ =

Đổi cận:
x 3 5
t 3 9
Khi đó:
5 9 9
2 2 2
2

2 3 2
3 3 3
9
9 9 9 81 9 81
9 . ln
3
2 2 4 2 4 8 2 6
t t t t
I x dx dt dt t
t t t t t
 
− −
 
= − = = − + = − − =
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫
Bài 65: Tính
( )
4
2
12
1
sin
I dx
x cosx
π
π

−
=
+
∫
Giải:
( )
4 4
2
2
12 12
1 1 1 1 3
4
cot
2 2 4 2
sin
sin
4
12
I dx dx x
x cosx
x
π π
π π
π
π
π
π
− −
 
= = = − + =

 ÷
 
 
+
+
−
 ÷
 
∫ ∫
Bài 66: Tính
1
0
sinI xdx=
∫
Đặt
2t x dx td= ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
Khi đó:
1
0
2 sinI t tdt=
∫
Đặt
sin
u t du dt
dv tdt v cosx
= =

 
⇒
 
= = −
 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1 1 1
2 2 2 2 sin 2 sin1 1
0 0 0
I tcost costdt tcost t cos= − + = − + = −
∫
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1 Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)e
ax
trong đó P(x) là một đa thức Đặt
( )

u P x
dv

=


=


2 Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt

ln

u x
dv
=


=

Bài 1: Tính
1
2
0
x
I xe dx=
∫
Đặt
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
=

=



⇒
 
=
=



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
( )
( )
1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1
0 0
2 2 2 4 2 4 2 4 4
x x x x x
e
I xe dx xe e dx e e d x e e e e
+
= = − = − = − = − − =
∫ ∫ ∫
Bài 2: Tính
3
2

0
x
I dx
cos x
π
=
∫
Đặt
2
tan
co
u x
du dx
dx
v x
dv
s x
=

=


⇒
 
=
=



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:

( )
3 3 3
4
2
0 0 0 0
3 sin 3 3 3
tan tan ln ln 2
3 3
3 3 3 3
0 0
d cosx
x x
I dx x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx
π π π
π
π π
π π π π
= = − = − = + = + = −
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 3: Tính
1
2
0
x
I x e dx=
∫
Đặt
2
2

x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
=

=


⇒
 
=
=



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1 1
2 2
0 0 0
1
2 2
0
x x x x
I x e dx x e xe dx e xe dx= = − = −
∫ ∫ ∫
Tiếp tục tính:
1

0
x
J xe dx=
∫
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1
0 0
1
1
0
x x x
J xe dx xe xe dx= = − =
∫ ∫
Vậy I = e - 2
Bài 4: Tính
( )
1
3
0
3 1

x
I x e dx
−
= +
∫
Đặt
3
3
3
3 1
1
3
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
−
−
=

= +


⇒
 
= −
=




Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
3
0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1 1 2 5
3 1 3 1 3 1 3 1
0 0 0 0
3 3 3 3 3 3
x x x x x x x x
I x e dx x e e dx x e e d e x e e
e
− − − − − − − −
= + = − + + = − + − = − + − = −
∫ ∫ ∫
Bài 5: Tính
2
2
0
sinI x xdx
π
=
∫
Ta có:

2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 2 1
sin 2
2 2
cos x
I x xdx x dx xdx xcos xdx
π π π π
 
−
 ÷
= = = −
 ÷
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2
0
2
2 8
0
x
xdx
π
π
π
= =
∫

Tính
2
0
2xcos xdx
π
∫
Đặt
1
2
sin 2
2
du dx
u x
dv cos xdx
v x
=

=


⇒
 
=
=



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
2 2
0 0

1 1 2 1
2 sin 2 sin 2 0
2 2
2 2 4 2
0 0
cos x
xcos xdx x x xdx
π π
π π
= − = + = −
∫ ∫
Vậy
2
2
2
0
4
sin
16
I x xdx
π
π
+
= =
∫
Bài 6: Tính
2
sin
0
sin 2

x
I e xdx
π
=
∫
Giải: Ta có:
2 2
sin sin
0 0
sin 2 2 sin
x x
I e xdx e xcosxdx
π π
= =
∫ ∫
Đặt
sint x dt cosxdx= ⇒ =

Đổi cận:
x 0
2
π
t 0 1
Khi đó:
1
2
sin
0 0
2 sin 2
x t

I e xcosxdx te dt
π
= =
∫ ∫
Đặt
t t
u t du dt
dv e dt v e
= =
 
⇒
 
= =
 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1
0 0
1 1 1
1
0 0 0
t t t t t
te dt te e dt te e= − = − =
∫ ∫
Vậy I = 2
Bài 7: Tính
( )
1
4 1 ln
e
I x xdx= +

∫
Đặt
( )
2
ln
4 1
2
dx
u x
du
x
dv x dx
v x x

=
 =
 
⇒
 
= +



= +

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
( )
( )
( )
( )

2 2 2 2
1 1
4 1 ln 2 ln 2 1 2 2
1 1
e e
e e
I x xdx x x x x dx e e x x e= + = + − + = + − + = +
∫ ∫
Bài 8: Tính
( )
1
2
0
ln 1I x x dx= +
∫
Đặt
2
1 2t x dt xdx= + ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
Khi đó:
( )
1 2
2
0 1
1
ln 1 ln
2

I x x dx tdt= + =
∫ ∫
Đặt
ln
dx
u t
du
t
dv dt
v t

=
=


⇒
 
=


=

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
2 2
1 1
2
ln ln 2ln 2 1
1
tdt t t dt= − = −
∫ ∫

Vậy
( )
1
2
0
1
ln 1 ln 2
2
I x x dx= + = −
∫
Bài 9: Tính
( )
2
6
ln sinI cosx x dx
π
π
=
∫
Đặt
( )
ln sin
sin
os
sin
cosx
u x
du dx
x
dv c dx

v x


=
=
 
⇒
 
=



=

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
6 6
1
2 2 2
ln sin sin ln sin in ln sin sin ln 2 1
2
6 6 6
I cosx x dx x x cosxdx x x x
π π
π π
π π π
π π π
= = − = − = −
∫ ∫

Bài 10: Tính
3
2
4
sin
xdx
I
x
π
π
=
∫
Đặt
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x
=

=


⇒
 
= −

=



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
( )
3 3
2
4 4
9 4 3
1 1 3
3 3
cot cot . ln sin ln
sin 3 36 2 2
3
4 4
xdx
I x x xdx x
x
π π
π π
π π
π
π
π π
−
= = − + = − + = +
∫ ∫
Bài 11: Tính
2

0
cos
x
I e xdx
π
=
∫
Đặt
os sin
x x
u c x du xdx
dv e dx v e
= = −
 
⇒
 
= =
 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
1
2 2
0 0
cos sin
2
0
x x x
I
I e xdx e cos x e xdx
π π
π

= = +
∫ ∫
1 4 2 43
Tính
2
1
0
sin
x
I e xdx
π
=
∫
Đặt
sin
x x
u x du cosxdx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
2 2
1
0 0
sin sin s sin
2 2

0 0
x x x x
I e xdx e x e co xdx e x I
π π
π π
= = − = −
∫ ∫
Suy ra:
2
2
0
1 1
cos sin
2 2
2 2
0 0
x x x
e
I e xdx e cosx e x
π
π
π π
 
−
 ÷
= = + =
 ÷
 ÷
 
∫

Bài 12: Tính
2
0
1 sin
.
1 osx
x
x
I e dx
c
π
+
=
+
∫
Ta có:
2
1
2 2 2 2 2
2
0 0 0 0 0
1 sin sin 1 sin
. . .
1 osx 1 osx 1 osx 2 1 osx
cos
2
x x
x x x
I
I

x e dx x e dx x
I e dx e dx e dx
x
c c c c
π π π π π
+
= = + = +
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 44 2 4 43
1 4 2 43
Tính:
2
1
2
0
1
2
cos
2
x
e dx
I
x
π
=
∫
Đặt
2
tan

2
2
x
x
u e
du e dx
dx
x
dv
v
x
cos

=

=

 
⇒
 
=
=
 



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần