Chuyên đề khoảng cách

Created by TEAM 6 Khoảng cách
CHUYÊN ĐỀ
Khoảng cách
Mục lục:
I. Lý thuyết và ví dụ . trang 1-11
II. Luyện tập. trang 11-14
Thành viên TEAM 6:
1. Phạm Thị Thanh Thuý
2. Trịnh Thị Thu Hiền
3. Nguyễn Tiến Hùng
4. Bùi Đức Anh
I. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ
A, Lí thuyết:
1.Khoảng cách giữa hai điểm
( , ), ( , )
A A B B
A x y B x y
là:
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= − + −
2.Khoảng cách từ điểm
0 0
( , )M x y
đến đường thẳng
Ax By C∆ = + +
là :
0 0
2 2

| |
( , )
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
3.Trường hợp đặc biệt:
0
( , ) | |x a d M x a∆ = = ⇒ ∆ = −
0
( , ) | |y b d M y b∆ = = ⇒ ∆ = −
4.Tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là:
0 0
( )d M x y
= +
Định nghĩa: Cho đường cong (C) và đường thẳng
( )
∆
. Lấy bất kỳ điểm
( )
M C∈
và điểm
( )
N ∈ ∆
khi đó
( )
; mind C MN∆ =
.

Bài toán: Cho (C): y=f(x) và
( ) : 0Ax By C
+ + =
V
Tìm
( , )d CV
.
Cách 1: Lấy bất kì
0 0 0 0
( , ) ( ) ( )M x y C y f x∈ ⇒ =
Tính
( )
0 0
2 2
;
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
và tìm
( )
min ;d M ∆
Khi đó
( ) ( )
; min ;d C d M∆ = ∆
Cách 2: Viết pt tiếp tuyến (t) của (C) song song
( )V
⇒

Tiếp điểm
0 0
( , )A x y
và
( ) ( )
; ;d C d A∆ = ∆
1
Created by TEAM 6 Khoảng cách
B, Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số:
2 1
( )
1
x
y C
x
+
=
+
Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
Giải:
Gọi
0
0
0
2 1
;
1
x
M x

x
 
+
 ÷
+
 
là điểm thuộc (C) (
0
1x ≠ −
)
2x 1 2x 1
lim lim 2
1 1
x x
x x
→+∞ →−∞
+ +
= =
+ +
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=2
1
2 1
lim
1
x
x
x
+
→−
+

= +∞
+
1
2 1
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= −∞
+
Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận đứng x = -1
Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là:
0
0 0
0 0
2 1
1
1 2 1 2
1 1
x
d x x
x x
+
= + + − = + + ≥
+ +
(BĐT Cauchy)

Dấu = xảy ra khi:
0 0
2
0 0
0 0
0
0 1
1
1 ( 1) 1
2 3
1
x y
x x
x y
x
= ⇒ =

+ = = + = ⇔

= − ⇒ =
+

Vậy 2 điểm M(0; 1) và N(-2; 3) thoả mãn đề bài
Ví dụ 2 : Cho (P)
2
2 2y x x= − +
và (d) y = x - 2. Tính khoảng cách ngắn nhất từ 1
điểm trên (P) đến (d).
Giải:
Cách 1: Khoảng cách cần tính chính là khoảng cách giữa (d) và tiếp tuyến (d') của (P)

song song với (d)
Ta có (d')//(d), nên tao dạng (d'): y = x + b
Để (d') tiếp xúc (P) thì :
hệ
2
2x 2
1 2x 2
x b x

+ = − +

= −

có nghiệm
3
2
1
4
x
b

=


⇔


= −



Lấy
1
0;
4
A
 
−
 ÷
 
thuộc (d). Do đó khoảng cách giữa (d) và (d') cũng chính là khoảng
cách từ A đến (d): x - y - 2 = 0
2
Created by TEAM 6 Khoảng cách
1
2
7 2
4
( ;( ))
8
2
AH d A d
−
= = =
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ 1 điểm trên (P) đến (d) là: MK =
7 2
8
Cách 2: Lấy tuỳ ý M(
2
; 2 2a a a− +
) thuộc (P)

2
2
2 2
3 4
2
1 3 7 7 2
( ;( )) ( )
2 4 8
2 2
1 ( 1)
7 2 3
min ( ;( ))
8 2
M M
a a
x y
d M d a
d M d a
− + −
− −
 
⇒ = = = − + ≥
 
 
+ −
⇒ = ⇔ =
Khi đó
3 5
;
2 4

M
 
 ÷
 
Ví dụ 3 : Cho hàm số
4 2
0 0 0 0
2 3 2 1y x x x= − + +
có đồ thị là (C) và đường thẳng
( ) 2 1x∆ = −
.Tìm trên đồ thị (c) điểm A có khoảng cách đến (
∆
) là nhỏ nhất
(Trích đề thi Đại học Mỏ-Địa chất -1999)
Giải:
Giả sử
0 0
( , )A x y
( )C∈
,ta có:
4 2
0 0 0 0
2 3 2 1y x x x= − + +
Khoảng cách từ A đến (
∆
) là :
4 2
0 0 0 0
| 2 3 2 1 2 1|
( , )

5
x x x x
d A
− + + − +
∆ =
4 2
0 0
| 2 3 2 |
5
x x− +
=
4 2
0 0
2 3 2
5
x x− +
=
4 2
0 0
2 3
2 1
4
5
x x
 
= − +
 ÷
 
2
2

0
2 3 7
4 16
5
x
 
 
= − +
 
 ÷
 
 
 
7
8 5
≥
⇒
Mind=
7
8 5
khi
0
3
2
x = ±
Vậy có hai điểm cần tìm:
1
3 1
; 3
2 8

A
 
− − −
 ÷
 ÷
 

2
3 1
; ; 3
2 8
A
 
− +
 ÷
 ÷
 
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
5 15
3
x x
y
x
+ +
=
+
.Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng
cách từ M tới trục hoành gấp 2 lần khoảng cách từ M tới trục tung.
Giải:

Gọi (x,y) là tọa độ của M, ta có hệ
2
5 15
3
| | 2 | |
x x
y
x
y x

+ +
=

+


=

Từ đó ta giải hai hệ sau:
3
Created by TEAM 6 Khoảng cách
2
5 15
3
2
x x
y
x
y x


+ +
=

+


=

(I) hoặc
2
5 15
3
2
x x
y
x
y x

+ +
=

+


= −

(II)
Giải hệ (I) ta được hai điểm:
1
1 61

; 1 61
2
A
 
− −
− −
 ÷
 ÷
 

2
1 61
; ; 1 61
2
A
 
− +
− +
 ÷
 ÷
 
Hệ (II) vô nghiệm.
Ví dụ 5: Cho hàm số
2
3
x
y
x
+
=

−
. Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho
khoảng cách từ M đên tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Giải:
Giả sử
0 0
( ; )M x y

( )C∈
, ta có:
0
0
0
2
3
x
y
x
+
=
−
2 2
lim lim 1
3 3
x x
x x
x x
→+∞ →−∞
+ +
= =

− −
Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận ngang y=1
3
2
lim
3
x
x
x
+
→
+
= +∞
−

3
2
lim
3
x
x
x
−
→
+
= +∞
−
Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận đứng x = 3
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là:
0

| 3|x −
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là:
0
0
5
| 1|
| 3|
y
x
− =
−
Ta phải có:
0
| 3|x −
0
5
| 3|x
=
−
0
3 5x⇒ = ±
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu nằm trên (C) có hoành độ là
0
3 5x = ±
// Chỗ này tìm điểm M cụ thể, theo yêu cầu của bài toán
Ví dụ 6: Cho hàm số
1
2
x
y

x
+
=
−
. Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho tồng
khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
(Trích đề thi Đại học Ngoại thương, năm 1997)
Giải:
Giả sử
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
0 0
; | | | |d x y= +
4
Created by TEAM 6 Khoảng cách
Ta có :
1
0;
2
M
 
−
 ÷
 
( )C∈
và
1
2
M
d =

Dựa vào đồ thị ta có:
i)
0
1
| |
2
x >
thì
1
2
d >
ii)
0
1
0
2
x< <
thì
0
1
2
y < −

1
2
d⇒ >

0
0 0 0
0

1
2
x
d x y x
x
+
= − − = − −
−

2
0 0
0
1
2
x x
x
− + −
=
−
Tìm GTNN của y
2
1
2
x x
x
− + −
=
−
trên
1

;0
2
 
−
 
 
Ta có:
2
'
2
4 1 1
0, ;0
( 2) 2
x x
y x
x
− + −
 
= < ∀ ∈ −
 
−
 
⇒
y giảm trên
1
;0
2
 
−
 

 
Vậy miny=
(0)y
1
2
=
và điểm M cần tìm là
1
0;
2
M
 
−
 ÷
 
Ví dụ 7: Cho (C):
2
2 1
1
x x
y
x
− +
=
−
Tìm
1 2
( , ) ( )M x y C∈
với
1

1x >
để khoảng cách từ
M đến giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Giải:
2
2 1 2
2 1
1 1
x x
y x
x x
− +
= = + +
− −
1
lim
x
y
+
→
= +∞
và
1
lim
x
y
−
→
= −∞
⇒

đồ thị hàm số nhận x=1 làm tiệm cân đứng.
lim ( 2 1) lim ( 2 1) 0
x x
y x y x
→+∞ →−∞
− − = − − =
⇒
đồ thị hàm số nhận y=2x+1 làm tiệm cận xiên.
Tọa độ giao điểm 2 đường tiệm cận là nghiệm hệ phương trình
1 1
(1;3)
2 1 3
x x
I
y x y
= =
 
⇔ ⇔
 
= + =
 
Giả sử
2
( 1,3 2 ) ( )M a a C
a
+ + + ∈
với
0a
>
2 2 2 2 2

2 2
2 4 4
( 1 1) (3 2 3) 5 8 2 5 . 8 4(2 5)
min 2 2 5
⇒ = + − + + + − = + + ≥ + = +
⇒ = +
MI a a a a
a a a
MI
Dấu “=” xảy ra
2
2
4
4 2
5 2 5
20
a a
a
⇔ = = ⇔ =
5
Created by TEAM 6 Khoảng cách
Vậy điểm cần tìm
4
4 4
2 4 20
1 ;3
2
20 20
M
 

+ + +
 ÷
 ÷
 
.
Ví dụ 8: Cho (P):
2
2 3 1y x x= − +
và
( ): 5y x= −V
Tìm các điểm
( ), ( )M P N∈ ∈ V
sao cho MN nhỏ nhất
Giải:
Giả sử
2
( ;2 3 1) ( )M m m m P− + ∈
và
( ; 5) ( )N n n − ∈ V
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) (2 3 1 5) ( ) [( 5) 2( 2 3)]
2[( ) ( 2 3)] 2( 2 3) 2( 2 3) 2[( 1) 2] 8
2 2
⇒ = − + − + − + = − + − + − +
= − + − + + − + ≥ − + ≥ − + ≥
⇒ ≥
MN m n m m n m n m m m
m n m m m m m m m
MN

Dấu “=” xảy ra
2
1
1
3
( ) ( 2 3) 0
m
m
n
m n m m
=
=


⇔ ⇔
 
=
− + − + =


Vậy các điểm cần tìm là M(1;0) và N(3;-2)
Ví dụ 9: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị
4 9
( ) :
3
x
C y
x
−
=

−
các điểm
1 2
,M M
để độ dài
1 2
M M
nhỏ nhất
Giải:
4 9 3
4
3 3
x
y
x x
−
= = +
− −
3
lim
x
y
+
→
= +∞
và
3
lim
x
y

−
→
= −∞
⇒
đồ thị hàm số nhận
3x =
làm tiệm cận đứng.
( ) ( )
lim 4 lim 4 0
x x
y y
→+∞ →−∞
− = − =
⇒
đồ thị hàm số nhận
4y =
làm tiệm cận xiên.
Giả sử
1 1 1
( , )M x y ∈
nhánh trái của (C),
2 2 2
( , )M x y ∈
nhánh phải của (C)

1 2
3x x⇒ < <
nên đặt
1 2
3 ; 3x x

α β
= − = +
với
, 0
α β
>
( )
1 2
2
2 2 2 2
1 2 2 1 2 1
2
2
3 3
4 ; 4
3 3
( ) ( ) ( )
3 6
1 4 . 24
y y
M M x x y y
α β
α β
α β
α β αβ
αβ αβ
⇒ = − = −
 
⇒ = − + − = + + +
 ÷

 
 
 
= + + ≥ =
 
 ÷
 
 
 
1 2
min 2 6M M⇒ = ⇔
3
3
1
α β
α β
αβ
=


⇔ = =

=


Vậy điểm cần tìm là:
( ) ( )
1 2
3 3;4 3 ; 3 3;4 3M M− − + +
.

6
Created by TEAM 6 Khoảng cách
Ví dụ 10: Cho
2
3 cos 4 sin 7
( ) : ( os 0)
1
x x
C y c
x
α
α α
α
+ +
= ≠
−
.Tìm
α
để khoảng cách từ
O(0,0) đến tiệm cận xiên của
( )C
α
là lớn nhất
Giải:
2
3 os 4 sin 7 4sin 3cos 7
( ) 3 cos 4sin 3cos
1 1
lim( 3 cos 4 sin 3cos ) lim( 3 cos 4sin 3cos ) 0
x x

x c
f x x
x x
y x y x
α α α α
α α α
α α α α α α
→+∞ →−∞
+ + + +
= = + + +
− −
− − − = − − − =
⇒
đồ thị hàm số nhận
3 cos 4sin 3cosy x
α α α
= + +
làm tiệm cận xiên.
2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 10 sin 3 10 os
4sin 3cos
(0; )
9cos 1 10 sin 10cos
[(4 10) 3 ](sin 10cos )
13
10(sin 10cos ) 10
13
min (0; )

10
BCS
c
d
d
α α
α α
α α α
α α
α α
+
+
∆ = =
+ +
+ +
≤ =
+
⇒ ∆ =
Dấu “=” xảy ra
sin 4 10 40 40
ar ( )
3 3 3
10 os
tg ctg k k Z
c
α
α α π
α
⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
Ví dụ 11: Cho hàm số

2
os +2x sin +1
2
x c
y
x
α α
=
−
a) Trong trường hợp tổng quát ,xác định phương trình tiệm cận xiên của đồ
thị.Tinh khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên.
b) Tìm
α
để khoảng cách ấy lớn nhất
Giải:
a)
lim( cos 2(sin cos )) lim( cos 2(sin cos )) 0
x x
y x y x
α α α α α α
→+∞ →−∞
− − + = − − + =
Suy ra phương trình tiệm cận xiên của đồ thị ,trong trường hợp tổng quát:
cos 2(sin cos )y x
α α α
= + +
• Nếu
cos
α
=0,thì tiệm cận xiên (trở thành tiệm cận ngang) có phương

trình
2siny
α
=
, vậy khoảng cách từ O đên tiệm cận xiên bằng
2 | sin | 2d
α
= =
.
• Nếu
cos 0
α
≠
,tiệm cận xiên cắt Ox tại điểm A có hoành độ:
2(sin cos )
cos
A
x
α α
α
+
= −
và cắt Oy tại điểm B có tung độ
7
Created by TEAM 6 Khoảng cách
2(sin cos )
B
y
α α
= +

OAB là tam giác vuông tại O ,khoảng cách từ O đến AB (tiệm cận xiên) là đường cao
hạ xuống cạnh huyền, vậy:
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 os
| | | | 4(sin cos )
A B
c
d OA OB x y
α
α α
+
= + = + =
+
2
2
2
4(sin cos )
1 os
d
c
α α
α
+
⇒ =
+

2
2 | sin cos |
1 os

d
c
α α
α
+
⇒ =
+
c) Để tìm GTLN của d,ta tìm GTLN của :
2
( )d f
α
=

2
2
4(sin cos )
1 osc
α α
α
+
=
+
=
8(1 sin 2 )
3 cos2
α
α
+
=
+

Đặt:
(1 sin 2 )
3 cos2
m
α
α
+
=
+

sin 2 cos 2 3 1m m
α α
⇒ − = −
Nếu m là một giá trị của
( )
8
f
α
thì phương trình lượng giác này có nghiệm, vậy:
2 2
(3 1) 1m m− ≤ +

2
4 3 0m m⇒ − ≤

3
0
4
m⇒ ≤ ≤
Điều này chứng tỏ rằng

2
ax
3
8. 6
4
m
d = =

ax
6
m
d⇒ =
Đạt được khi
α
là nghiệm của
3 5
sin 2 cos2
4 4
α α
− =

1
os
5
2
sin
5
c
α
α


=


⇒


=


hoặc
1
os
5
2
sin
5
c
α
α

= −




= −


Gọi

ϕ
là góc nhọn với
1 2
os ,sin
5 5
c
ϕ ϕ
= =
( )k k Z
α ϕ π
⇒ = + ∈
Tương tự ta có :
( )k k Z
α ψ π
= + ∈
(trong đó
1 2
os ,sin
5 5
c
ψ ψ
= − = −
)
Ví dụ 12: Cho hàm số:
4 2
2 4 1y mx x m= − − +
(1)
a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1
b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 cực tiếu và khoảng cách giữa chúng bằng 5
Giải:

a, Với m = -1 thì
4 2
2 5y x x= − − +
* TXĐ: D = R
* Giới hạn hàm số tại vô cực:
lim lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= = −∞
8
Created by TEAM 6 Khoảng cách
3
' 8 2 0 0y x x x= − − = ⇔ =
Bảng biến thiên:
// Thiếu đông biến, nghịch biến, cực đại cực tiểu.
* Điểm uốn:
2
'' 24 2 0y x= − − <
, nền đồ thị hàm số không có điểm uốn.
Vẽ đồ thị: - Giao Ox: x = 0
⇒
y = 5
Lấy thêm điểm: x = -1
⇒
y = 2; x = 1
⇒
y = 2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1

1
2
3
4
5
x
y
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
b, Ta có:
3 2
' 8 2 2 (4 1)y mx x x mx= − = −
Xét
0m
≤
đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu M(0,1- 4m)
Xét
0m >
đồ thì hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu tại A và B. Hai cực tiểu
A và B có hoành độ
1
2
x
m
= ±
đối xứng nhau qua trục tung, AB = 5
1
5
m
⇔ =
1

25
m⇔ =
Ví dụ 13: Cho (P):
2
y x=
và 2 điểm A(-1,1); B(3,9)
( )P∈
. Tìm
M ∈
cung AB sao
cho
ABC
S
V
lớn nhất
Giải:
9
−∞
0
−∞
+∞
x
y'
y
0+ -
5
+∞
Created by TEAM 6 Khoảng cách
1
.

2
ABC
MH AB S AB MH⊥ ⇒ =
. Khi đó
max max
ABC
S MH⇔
0 0 0
( , )M M x y⇔ ≡
với
0
( )M P∈
sao cho tiếp tuyến của (P) tại
0
M
song song với
AB.
Hệ số góc AB là
1
9 1
2
3 1
k
−
= =
+
( )
1 0 0 0
' 2 2 1k y x x x= = = ⇔ =
Vậy M(1,1) là điểm cần tìm.

Ví dụ 14: Cho hàm số:
2
2 5
1
x x
y
x
− + −
=
−
. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm
sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất
Giải:
1
lim
x
y
+
→
= +∞
và
1
lim
x
y
−
→
= −∞
⇒
đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng.

Hai nhánh đồ thị nằm về phía 2 đường tiệm cận đứng x = 1 nên ta có thể giả sử
1
A B
x x< <
và
4
1 ;A a a
a
 
− +
 ÷
 
;
4
1 ;B b b
b
 
+ − −
 ÷
 
(a,b > 0)
Ta có:
2
2 2 2
2 2
1 1 4 8 4
( ) 4 ( ) 1 1 8 1 8(4 2 4)AB a b a b a b ab
a b ab a b ab
 
 

     
= + + + + + = + + + + ≥ + + = +
 
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
 
 
(Theo BĐT Cauchy)
4 2 2 2AB⇔ ≥ +
.
Vậy có:
min 4 2 2 2AB = +
.
Dấu bằng xáy ra khi:
4
8
8
a b
a b
ab
ab
=


⇔ = =

=



Vậy
4 4 4 4 4 4
(1 8, 8 2 2); (1 8, 8 2 2)A B− + + − −
II.LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hàm số:
3
2
x
y
x
+
=
+
(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Chứng minh rằng đường thẳng
1
2
y x m= −
luôn cát (C) tại 2 điểm phân biệt A
và B. Xác định m sao cho độ dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất.
Đáp số: m = -2, khi đó AB =
10
Bài 2. Cho hàm số
2
3 3
2( 1)
x x
y

x
− + −
=
−
(C)
10
Created by TEAM 6 Khoảng cách
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Tìm m để đường thẳng y = m cát đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm A và B sao cho
AB = 1.
Đáp số: m =
1 5
2
±
Bài 3. Cho hàm số
1
y mx
x
= +
( )
m
C
a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số khi
1
4
m =
.
b) Tìm m đề hàm số trên có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận
xiên bằng
1

2
. (Đại học khối A - 2005)
Đáp số: Hàm số có cực trị khi m > 0
Khoảng cách : m = 1
Bài 4. Cho hàm số
2
( 1) 1
( )
1
m
x m x m
y C
x
+ + + +
=
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = 1.
b) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị hàm số trên luôn có điểm cực đại, cực
tiếu và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng
20
. (Đại học khối B - 2005)
Đáp số: Cực đại
( )
2; 3m− −
; Cực tiểu
( )
0; 1m +
Bài 5. Cho
2
2 3 5

( ) :
1
x x
C y
x
− −
=
−
. Tìm
( )M C∈
để khoảng cách từ M đến Ox gấp 3 lần
khoảng cách từ M đến Oy.
Đáp số:
( )
3 3 34
3 34
;
5 5
M
 
− −
−
 ÷
 ÷
 
hoặc
( )
3 3 34
3 34
;

5 5
M
 
− +
+
 ÷
 ÷
 
Bài 6. Tìm điểm
3 5
( ) :
2
x
M C y
x
−
∈ =
−
để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận
của (C) là nhỏ nhất.
Đáp số: M(1;2) hoặc M(3;4)
Bài 7. Cho (C):
2
2 1
1
x x
y
x
− +
=

−
. Tìm
1 1
( , ) ( )M x y C∈
với
1
1x >
để khoảng cách từ M đến
giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Đáp số:
4
4 4
2 4 20
1 ,3
2
20 20
M
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
Bài 8: a) Cho A(3,0). Tìm điểm
2
( ) :M P y x∈ =
để AM nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (P)
tại M.
Đáp số: M=1 //Chỗ này có gì đó không ổn
Bài 9. Cho hàm số

2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
. Tìm hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ
thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất. (Trích đề thi Đại học Ngoại thương –
1999).
11
Created by TEAM 6 Khoảng cách
Đáp số:
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;1 2 ; 1 ;1 2
2 2 2 2
A B
   
+ + + − − −
 ÷  ÷
   
Bài 10. Cho hàm số
2
2 2x+1
2x 1
x

y
−
=
−
a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b, Tìm m để đương thẳng
y m=
cắt đồ thị tại 2 điểm A& B sao cho
10
S
9
OAB
=
V
.
Đáp số
5
3
m = ±
Bài 11. Tìm m để đường thẳng
y m=
cắt đồ thị
4 2
2x 2y x= − +
tại 4 điểm A, B, C, D
sao cho AB = BC = CD.
Đáp số:
41
25
m =

Bài 1. Cho hàm số
2
4x+2
2
x
y
x
−
=
−
(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm
( )M C∈
sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm trên dồ thị đến 2 đường tiệm
cận của nó không phụ thuộc vị trí điểm đó.
Đáp số
( )
2 2 2;3 2+
và
( )
2 2 2; 3 2− −
Bài 13. Cho hàm số
1 2x
1
y
x
−
=

−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Tìm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị để AB min.
Đáp số: A(2,3) và B(0,1)
Bài 14. Cho hàm số
3 2
3x 2y x= + −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Gọi A, B là 2 điểm cực trị của hàm số. Tìm m để tổng khoảng cách từ A, B đến
đường thẳng (d):
3 x 3 2 2 0m y m+ + + =
đạt max, min
Đáp số:
min
d 0 2m= ⇔ =
;
ax
1
d 2 5
2
m
m= ⇔ = −
Bài 15. Cho hàm số
1 2x
1
y
x
−
=
+

a) Khảo sát và vẽ.
b) Tìm m để đường thẳng (d)
3y x m= − +
cắt đồ thị hàm số tại A, B sao cho
2 2AB =
. Tìm tọa độ A, B.
Đáp số:
( ) ( )
1
, 2; 1 , 0;1
3
m A B= −
hoặc
( )
7 7
; 2; 5 ; 4;
3 5
m A B
 
= − − − −
 ÷
 
Bài 16. Cho hàm số
2
2x 3
2
x
y
x
− −

=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm trên (C) 2 điểm A, B sao cho
A / /B y x= −
đồng thời AB min.
Đáp số:
4 6
x
2
A
+
=
,
4 6
2
B
x
−
=
//Chỗ này cần bổ sung cho đúng ycbt
12